一元函数微分学
第二章 一元函数微分学
第一节 导数的概念
教学目的：掌握导数的概念，会用导数的定义求函数的导数，会用导数描述一些实际问题的
变化率。
教学重点、难点：导数概念，会用导数的定义求函数的导数，用导数描述一些实际问题的
变化率。
教学形式：多媒体教室里的讲授 教学时间：90分钟 教学过程
一、引入新课
微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。 在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。 二、新授课
1．导数概念实例
（ 1）、变速直线运动的瞬时速度问题
设动点M 作变速直线运动，其经过的路程s 是时间t 的函数，即()s s t =，求它在时刻
0t 的瞬时速度。
如右图所示，假定在某一瞬时0t ,动点的M 位置是0(s s t =而经过极短的时间间隔t ?后,即在瞬时0t t +?,动点的位置到达0()s s t t =+?，于是动点M 在时间间隔t ?内所走过的路程是：
000()()s s s s t t s t ?=-=+?-，
动点M 在t ?这段时间内的平均速度v 为
00()()s t t s t s v t t
+?-?==??
由于时间间隔t ?较短，它可以大致说明动点M 在0t 时刻的速度，且时间间隔t ?取得
越小，这段时间内的平均速度愈接近0t 时刻瞬时速度。若令t ?趋于零，则极限值
000()()lim t s t t s t t
?→+?-?精确地反映了动点在0t 时刻的瞬时速度 。 0()v t =0lim t s t ?→?=?000()()
lim t s t t s t t
?→+?-? （2）、切线问题
割线的极限位置——切线位置（附：Flash 说明）
如图，如果割线MN 绕点M 旋转而趋向极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。
极限位置即
设
。
割线MN 的斜率为
，
，，
切线MT 的斜率为 。
2．导数的定义
上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的 极限：
000
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-?
其中
00()()f x x f x y
x x
+?-?=??是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。
定义：设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在0x 取得增量x ?时，相应地函数y 取得的增量00()()y f x x f x ?=+?-。
若极限0000()()lim lim x x f x x f x y
x x
?→?→+?-?=??存在，则函数()f x 在点0x 处可导，并称此
极限值为函数()y f x =在点0x 的导数，记为：
000()'() '| | |x x x x x x dy df x f x y dx dx
===或
即
其他形式 ；
。
关于导数的说明： ①点导数是因变量在点
处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢
程度。
② 如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数
在开区间内可
导。
③ 对于任意
都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导
函数记作，，或。 即
或
。
注意：1）.
。
2）.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数。
3．由定义求导数
步骤：(1)求增量
； (2)算比值
；
(3)求极值
。
根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用Mathematica 的Limit[ ]语句计算，步骤如下:
1> 定义函数
[_]f x =函数表达式
2> 根据定义求导
Limit[([][])/,0 ]f x h f x h h +-→
例1 设圆的面积为A ,半径为r ,求面积A 关于半径r 的变化率。 解（1）:
1> 面积关于半径函数关系为 2
()A r r π=；
2> 圆半径r 的增量r ?，则圆面积的增量为22()A r r r ππ?=+?-； 3> 圆面积的平均变化率为
A r
??； 4> 面积A 对半径r 的变化率为
22
002
00()'()lim lim
2()()lim lim (2)2r r r r A r r r A r r r
r r r r r r r
ππππππ?→?→?→?→?+?-==???+?==+?=? 解（2）:用Mathematica 求解
例2 求函数(C 为常数)的导数。
解（1）：
。
即
。
解（2）用Mathematica 求解
课堂练习 P45 第5题
例3 根据导数的定义求n
y x =的导数，其中n 为正整数 。
解（1）：由二项式定理，得
1122211221()()(),
().n n n n n
n n n n n n n
n n n n y x x x C x x C x x C x y
C x C x x C x x
-----?=+?-=?+?++??=+?++??
于是
10'lim
,n x y
y nx x
-?→?==? 即1()'n n x nx -=,
解（2）：利用Mathematica 的Limit[ ]语句计算,n y x =的导数。
因此 1
()'n n x nx -=. 一般地，对幂函数()y x α
α=为实数， 有
1()'x x ααα-=
利用这一公式，可以求出幂函数的导数。
例如，当1
2
α=时，1
2(0)y x x x ==>的导数为
1
11
122
211()'22
x x x --== ,
即 ()'2x x
=.
当1α=-时 ，11
(0)y x x x
-==≠的导数为
1112
()'(1)x x x ----
=-=-, 即 211
()'x x
=-
课堂练习 P45 第6（1）、（3）、（5）题
利用导数的定义还能够比较容易地求出 ：
11(log )'; (ln )';ln ()'ln ; ()';
(sin )'cos ; (cos )'sin .a x x x x x x x a x
a a a e e x x x x =
=====- 三、本节小结：
导数定义，和几个常见的导数公式 四、课外作业： P45习题3—1
第3题
3．将一个物体铅直上抛，经过时间t （单位：s ）后，物体上升高度为21102
s t gt =-（单位：m ），求下列各值：
（1）物体在1 s 到(1 ) t s +?这段时间内的平均速度；
（2）物体在1 s 时的瞬时速度；
（3）物体在0t 到0t t +?这段时间内的平均速度； （4）物体在0t 时的瞬时速度；
第4题
4．设210y x =，试按导数定义求1'|x y =-。
第二章 一元函数微分学
第二节 导数的概念
教学目的：掌握可导与连续关系，求导举例 教学重点、难点：几何意义、可导与连续关系 教学形式：课堂讲授 教学时间：90分钟 教学过程
一、回顾上次课内容
1．各种增量比值（变化率）模型： 2．导数的定义：
3．传统方式求函数的导数：
4．用Mathematica 的Limit[ ]语句求函数的导数： 5．一些已经求出来的基本函数的导数公式。 二、新授课 1．左导数与右导数
定义2： 由于导数为000
()()lim
x f x x f x x ?→+?-?，则000()()
lim x f x x f x x
-?→+?-?和
000
()()
lim x f x x f x x
+
?→+?-?分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数与右导数，分别记为
0+0'() '()f x f x -和 。
2．可导与连续的关系
定理一 函数在()y f x =点0x 处可导的充分必要条件是()f x 在点0x 处的左导数与右导数都存在且相等。
证明 略。 1、 函数
连续，若
则称点
为函数
的角点，函数在角点不可
导。 .
例题 1 判断函数, 0
||, 0
x x y x x x -
图 ) 。
解 由于|0||0|||y x x ?=+?-=?，所以
000000||lim lim lim 1
||lim lim lim 1x x x x x x y x x x x x y x x x x x +
++--?→?→?→?→-?→?→???===?????-?===-???
因为左、右极限不等，故极限0lim
x y
x
?→??
不存在，即函数在点0x =处不可导。
从几何直观上看，它的图像在点0x =处没有切线。
再例如，
在处不可导，
为
的角点。
定理二 凡可导函数都是连续函数。 证 设函数
在的点
处可导，
∴ 函数
在点
连续。
注意：该定理的逆定理不成立，即若函数()f x 在点0x 处连续，在点0x 处未必可导，即连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。 ★ 连续函数不存在导数举例 2、设函数
在点
连续，但
，称函
数在点
有无穷导数。(不可导)例如，
，在
处不可导。
3、设函数在连续点的左右导数都不存在(指摆动不定)，则点不可导。例如，
在处不可导。
4、若，且在点的两个单侧导数符号相反，则称点为函数的尖点(不可导点)。
例2讨论函数，在处的连续性和可导性。
解是有界函数，。
在处连续。
但在处有，
当时，在-1和1之间振荡而极限不存在，
在处不可导。
证明略。
3．导数的几何意义
1、几何意义
表示曲线在点处的切线的斜率，即，(为倾角)
切线方程为；
法线方程为.
例3求等边双曲线在点处的切线
的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
解由导数的几何意义，得切线斜率为
所求切线方程为，即。
法线方程为，即。
三、本节小结：
连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件
1、导数的实质：增量比的极限；
2、；
3、导数的几何意义：切线的斜率；
4、函数可导一定连续，但连续不一定可导；
5、求导数最基本的方法：由定义求导数。
6、判断可导性
外独立完成的作业：
推导一遍基本初等函数的导数公式。
第二章 一元函数微分学
第三节 导数的运算
教学目的：掌握导数的运算法则和基本公式。 教学重点、难点：可导函数四则运算的导数法则。 教学形式：多媒体演示、讲授法 教学时间：90分钟 教学过程
一、 引入新课
复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式
1()'x x ααα-= ()'0c =
11
(log )'; (ln )';
ln ()'ln ; ()';(sin )'cos ; (cos )'sin .
a x x x x x x x a x
a a a e e x x x x ======- 基本初等函数与初等函数的关系。 二、新授课
1、可导函数的和、差、积、商的求导法则
定理三 设函数(),()u x v x 在点x 处可导，则函数(0)u
u v uv v v
±≠、、在点x 处可导，且有： （1）若()()()f x u x v x αβ=±，则'()'()'()f x u x v x αβ=±，,αβ为常数； （2）若
()()()f x u x v x =?，则'()'()()()'()f x u x v x u x v x =?±?，
推广：()''''uvw u vw uv w uvw =++；
（3）若
()()()u x f x v x =
，()0v x ≠，则2
'()()()'()
'()['()]
u x v x u x v x f x v x ?-?=。
证明（1）： 对于自变量x ，取得其改变量x ?，从而函数()y f x =取得改变量
0000[()()][()()] [()()][()()]
()()()()'lim lim ()
lim lim
'()x x x x y u x x v x x u x v x u x x u x v x x v x y u x x u x v x x v x u v x x x x x
y u v
y x x x
u v
x x u x αβαβααββααββαβαβαβαβ?→?→?→?→?=+?++?-+=+?-++?-?+?-+?-??=+=+????????==+?????=+??=+'()
[()()]''()'() [()()]''()'()
v x u x v x u x v x u x v x u x v x αβαβαβαβ+=+-=-即同理可证： 证(3) 设，
在处可导。
推论
(1)； (2)
；
(3)
.
例1 求432378y x x x =-+-的导数。
434332'(2378)' (2)'(3)'(7)'(8)' 897
y x x x x x x x x =-+-=-+-=-+解： 课堂练习一：
（1）设曲线22y x x =+-在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 ；
例2 求2()sin f x x x =的导数。
2222'()(sin )'
()'sin (sin )' 2sin cos f x x x x x x x x x x x
==+=+解： 课堂练习二：
（2）设函数(1)(2)(3)y x x x x =---，则'(0)y = ； 例3 求
的导数。
解
即
同理可得
例4 求
的导数。
解
同理可得
课堂练习三：
（3）设11x
y x
-=
+ ，则'y = ； 三、本节小结：
1、可导函数的和、差、积、商的求导法则
定理三 设函数(),()u x v x 在点x 处可导，则函数(0)u
u v uv v v
±≠、、在点x 处可导，且有： （1）若()()()f x u x v x αβ=±，则'()'()'()f x u x v x αβ=±，,αβ为常数； （2）若
()()()f x u x v x =?，则'()'()()()'()f x u x v x u x v x =?±?，
推广：()''''uvw u vw uv w uvw =++；
（3）若
()()()u x f x v x =，()0v x ≠，则2
'()()()'()'()['()]
u x v x u x v x f x v x ?-?= 2、基本初等函数的导数
22
(tan )'sec ; (2) (sec )'sec tan (3) (cot )'csc ; (4) (csc )'csc cot .
x x x x x x x x x x ===-=-(1)；
四、课外作业：
P50第2题（1）、（2）、（3）
第三章 一元函数微分学
第四节 导数的运算
教学目的：掌握导数的基本公式，用Mathematica 软件求函数的导数，会求反函数的导数。 教学重点、难点：会用Mathematica 软件求函数的导数，会求反函数的导数。 教学形式：多媒体演示、讲授法 教学时间：90分钟 教学过程
二、 引入新课
复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式
1()'x x ααα-= ()'0c =
11(log )'; (ln )';ln ()'ln ; ()';(sin )'cos ; (cos )'sin .a x x x x x x x a x
a a a e e x x x x =
=====- 经过求导法则所得到的基本初等函数的导数：
22
(tan )'sec ; (2) (sec )'sec tan (3) (cot )'csc ; (4) (csc )'csc cot .
x x x x x x x x x x ===-=-(1)；
二、新授课
1、利用Mathematica 求导数
在求函数导数的过程中，会遇到大量的运算，需要特别仔细。但是，求函数导数的步骤却是有规律的，特别符合计算机运算的要求。
利用Mathematica 求导数的格式为
D [ 函数表达式，求导变量 ]
例1 利用Mathematica 求解前面的基本初等函数的导数。
注：Log[a]=ln[a].
2、反函数的导数
定理如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数
在对应区间内也可的导，且有
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
证任取，给以增量
由的单调性可知，于是有，连续，
，又知
即
例1求函数的导数。
解在内单调、可导，且，在内有
同理可得
；
我们也可以更快地用Mathematica软件求得此二函数的导数
例2求函数的导数。
解在内单调、可导，
且，在内有
特别地
我们也可以更快地用Mathematica软件求得此二函数的导数
三、本节小结：
1、用Mathematica软件求函数的导数
D[ 函数表达式，求导变量]
2、反函数求导方法
四、课外作业：
用传统方式求arctanx、及arccotx的导数。
第三章 一元函数微分学
第五节 导数的运算
教学目的：掌握复合函数的求导法则
教学重点、难点：复合函数的概念。熟练复合函数的求导 教学形式：多媒体讲授、演示 教学时间：90分钟 教学过程
一、 引入新课 默写公式
1()'0 ()'()'lna ()'
1
(log )' (sin )'cos ln (cos )'si x x x x a C x x a a e e x x x x a
x μμμ-=======-，，，，，
，
22n (tan )'sec (cot )'csc (sec )'sec tan (c )'csc cot (arcsin )'(arccos )' x x x x x x x x cs x x x x x ==-==-==，，，，，22
1
(arctan )', 11
(arccot )'1x x x x
=+=-
+。
二、新授课
1、复合函数的导数
定理 如果函数()u x ?=在点x 处可导，函数()y f u =在对应点u 处可导，则复合 函 数[()]y f x ?=在点x 处可导，且
'()'()dy
f u x dx
?=，或记为'''x u x y y u =? 证 由在点可导，
故
则
。
推广 设，
则复合函数
的导数为
例1 求211(7)y x =+的导数。
解 函数211(7)y x =+可以看作由函数11y u =和2
7u x =+复合而成。 由复合函数求导法则，得
11
10
210
2
'()''
11(7)'11(2)22(
7)
y u u u x u x x x ==?+
=?
=+ 我们用Mathematica 软件求此函数的导数
课堂练习：
P50 2．求下列各函数的导数: （,,,,,A a b n ω?为常数）
（2
）2(2y x = （4）2
(21)y x =-
（5）sin()s A t ω?=+
例2 求ln ln y x =的导数。
解 l n l n
y x =由ln ,ln y u u x ==复合而成， 所以 11111
'(ln )'()'ln ln y u u u x x x x x
=?=
?=?= 。 用Mathematica 软件求此函数的导数
对复合函数的复合过程熟悉后，可不必写出中间变量，直接按照复合的次序，由外到里，层层求导。
例3 求10
(12)y x =- 的导数。 解 9 '10(12)(12)'y x x =--
99
10(12)(2)20(12)x x =--=--
例4 求2
lnsin y x = 的导数。
2
2
2
1 'cos 2sin 2cot y x x x
x x =
??=解: 用Mathematica 求得上面两函数的导数
一元函数微分学典型例题
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学
2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
22.2 二次函数与一元二次方程 两课时 优秀教案
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程文档设计者： 设计时间：文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载 教学目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法. 3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根. 4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想. 教学重难点 理解一元二次方程与函数的关系. 教学过程与方法 1.自主阅读课本(10分钟) 2.交流互动(10分钟) 知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位 置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根 的情况b 2-4ac的值 有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0 只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0 知识点三:求方程的近似解 3.课堂练习(11分钟) 习题22.2第2题(1)、(2). 4.拓展性练习(11分钟) (1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 .
(2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 (3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列 x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y-0.80-0.54-0.200.220.72 A.1.6 高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='- ) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→ 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 个性化教学辅导 设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 １.抛物线y ＝x 2 ＋2x －2的顶点坐标是 （ ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 2.5.1二次函数与一元二次方程教学设计 教学目标： 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神，通 过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性，具有初步的创新精神和实践能力 教学重点： 理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就 是二次函数与y二h交点的横坐标. 教学难点： 探索方程与函数之间的联系的过程；理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根 的个数之间的关系. 教法与学法指导： 在教学中，为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织一一启发引导，学生探究一一交流发现，组织开展教学活动 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、设问题情境，弓I入新课 【师】我们已学过一元一次方程kx ? b = 0（k = 0）和一次函数y二kx ? b（ k = 0）的关系， 你还记得吗？处理方式：学生交流后回答. 【师】现在我们学习了一元二次方程ax+ bx （0（a0和二次函数 2 y=ax + b x（ c 0 ）它们之间是否也存在一定的关系呢？（学生可进行猜测）今天这 节课我们就来探索他们之间的关系?（教师板书课题） 设计意图：这一环节主要是激发学生的求知欲望，使学生通过解决问题，让学生有种成就 感.同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯 二、活动探究 探究一：二次函数与一元二次方程的内在联系 （多媒体展示） 第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 [考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( ) （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) 4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( ) （A）f(x)在(0，δ)内单调增加 （B）f(x)在(一δ，0)内单调减少 （C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0) （D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0) 5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( ) （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y （B）0＜△y＜dy （C）△y＜dy＜0 （D）dy＜△y＜0 7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( ) 8 (1998年)设f(x)连续，则 （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( ) （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x) （B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b) （D）f(x)g(x)＞f(a)g(a) § 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b a c a b -- ，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 第二部分 一元函数微分学 [选择题］ 容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时，必有（ ) （A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 （C) y d 是比h 高阶的无穷小量。 (D ） y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ) （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C 6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） (A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 (C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x高等数学教案--一元函数微分学的应用
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