有效数字及误差计算(精)

有效数字及误差计算

一、测量

所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行

比较，确定出它是标准量的多少倍。如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85％，则书的长度为0.1885m 。

测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。同样一个量，测量时选择

的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位．如

273.15K ，3.0×108m/s 等等。

二、测量分类

根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。

1．直接测量

直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。

相应测得量称为直接测量量。如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等等。

2．间接测量

间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物

理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量．相应的测得量就是间接测量量。如：物质的密度3

/a m ＝ρ、物体运动的速度t S v /=、物体的体积等等。

三、有效数字

测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该

测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。

图1用毫米尺测量工件的长度

如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。此工件的长度介于13mm 和

14mm 之间，其右端点超过13mm 刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为

13.6mm 。从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位

0.6mm 则是从尺上最小刻度间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是

有一定根据，是有意义的）。

定义：

由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。

如上读数13.6mm 共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出

来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。

注：

1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量

工具有关。

2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定

了。

3、仪器的读数规则

测量就要从仪器上读数，读数包括仪器指示的全部有意义的数字

和能够估读出来的数字。在测量中，有一些仪器读数是需要估读的，

如米尺、螺旋测微计、指针式电表等等。估读时，首先根据最小分格

大小、指针的粗细等具体情况确定把最小分格分成几分来估读，通常

读到格值的1/10，1/5或1/2。

4、有效位数的认定

（1）数字中无零的情况和数字间有零的情况：全部给出的数均为有效

数。如：56.14mm ，50.007mm 有效位数分别为四位、五位。

（2）对于小数末尾的零：有小数点时，小数点后面的零全部为有效数

字。如：50.140mm ，2.204500的有效位数分别为五位、七位。

（3）对于第一位非零数字左边的零：第一位非零数字左边的零称为无

效位零。如：0.05mm ，0.00155m 有效位数分别为一位、三位。

（4）科学计数法：计量单位的不同选择可改变量值的数值，但决不应

改变数值的有效位。因此，在变换单位时，为了正确表达出有效位

数，实验中常采用科学计数法（10的幂次方）。如：

km 1030.4m 1030.4m 1030.4cm 30.4542--?=μ?=?=

注：大单位转换小单位或小单位转换大单位时，原数的有效位不变。

四、有效数字的运算规则

0．数值的舍入修约规则

（1）确定需要保留的有效数字和位数。

（2）舍入后面多余的数字。原则－“四舍六入五凑偶”。如

→ 2.7173

→7.691

→3.142 → 4.510

注：测量结果的不确定度的有效数字，“只进不舍”。如某测量不确定

度的计算结果为0.32，结果表示中取0.4（结果表示式中的不确定度取1位

有效数）。

1．加减法运算

和差运算的结果，其小数点以后的位数和参与运算各量中小数点位数最

少的相同。如：

（354.4） （514）

2．乘除法运算

乘除运算结果的有效位数一般和参与乘除运算各量中有效位最少者的位

数相同。如

683125854251029.8341.0243203=÷?=?

注：（1）乘法：若两因子的最高位的积大于或等于10，其结果就要多保留一位有效数字。如：9.3596

2.432

3.8＝? （2）除法：若被除数有效数字的位数小于（等于）除数的有效数字位

数，并且它的最高位的数小于除数的最高位的数，其结果的

有效数字位数应比被除数少1位。如53.01

36712＝÷ 在以上四则运算中，确定计算结果的有效数取位的原则,概括为：可靠数

与可靠数运算的结果仍为可靠数；可靠数与可疑数运算的结果为可疑数；可

疑数与可疑数运算的结果仍为可疑数。运算进位的数字是可靠数字。

3．乘方、开方运算

此类运算规则和乘法运算法则相同。如：

114.18256.42＝）（ 37.739.542/1＝）（

4．三角函数、对数、指数运算

（1）对数函数：

对数运算结果的有效数字，其小数点后面部分的位数与真数的位数

相同。如：

3

3753.17.56lg = 若真数的第一位数大于5，运算结果的有效数字可以多取1位。如：

4

38312.078.6lg = （2）指数函数：

指数运算结果的有效数字位数与指数的小数点后的位数相同（包括

小数点后的0）。如：177827925.6==x x e

，由于6.25的小数点后只有2位，则625.6108.1?==x x e

， 而当x=0.0000924，小数点后有7位，则000092.10000924

.0==x x

e 。 对于x 10的有效数字取法与x e 的取法相同。

（3）三角函数：

三角函数运算结果的有效位数通常是由角度的有效位数决定的。

通过改变角度值的末位的1个单位，由函数值的变化来决定三角函

数值的有效数字取位。如：3918581.058.35sin =

，而

8109581.059.35sin = ，两结果在小数点后第四位产生差别，即

5818.058.35sin =

5．非测量常量的有效位数是无限的

（1）自然数是准确的，运算中不考虑它们的位数（或者说有效位数无限）。

（2）运算中无理常数（如π，e ，2等）的位数：

* 若是手工计算，此类常数有效位比参加运算的各分量中有效位最少者

多取一位。

* 若是计算器，可以直接利用计算器相应的“键”。

五、 测量误差的基本概念

测量的目的是为了得到测量结果，但在许多场合下仅给出测量结果往往

还不充分。任何测量都存在缺陷，所有的测量结果都会或多或少地偏离被测量的真值，因此在给出测量结果的同时，还必须同时指出所给测量结果的可靠程度。在各种测量领域，经常采用诸如测量误差、测量准确度和测量不确定度等术语来表示测量结果质量的好坏。

附：真值，是指在一定条件下，任何物理量的大小都是客观存在的，不以人的意志为转移的客观量值。

1．测量误差的定义

测量误差常常简称为误差（）：测量值（x）减去被测量的真值（a）。

注：(1)由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。严格意义上的误差也无法得到，因而得到的只是误差的估计值。

（2）误差只有通过测量才能得到。通过误差分析所得到的测量结果的所谓“误差”，实际上并不是真正的误差，而是被测量不能确定的范围。

测量误差的大小反映了测量结果的准确程度。测量误差可以用绝对误差、相对误差、百分误差表示。

绝对误差＝测量量值－真值

附：最佳值，是指测量结果中的报告值。如直接多次测量中的平均值。

2．系统误差和随机误差

误差可以分为系统误差和随机误差两类。

系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

注：（1）由于真值不确定，则能确定的只是系统误差估计值。

（2）对测量仪器而言，其系统误差也称为测量仪器的偏差。

（3）在重复性条件下得到的不同测量结果应该具有相同的系统误差。

（4）系统误差可以通过对测量结果进行修正而消除。

随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。

注：（1）随机误差等于误差减去系统误差。

测量结果为无限多次测量结果的平均值，根据随机误差的性质（对称性、抵偿性）可知，随机误差为零。只存在系统误差。

实际测量只能进行有限次数，测量结果中随机误差和系统误差分量都存在。

在重复性条件下得到的不同测量结果具有不同的随机误差，但有相同的系统误差。

根据定义，误差、系统误差和随机误差均表示两个量值之差，因此随机误差和系统误差也都应该具有确定的符号，同样也不应当以“±”号的形式出现。由于随机误差和系统误差都是对应于无限多次测量的理想概念，而实际上无法进行无限多次测量，只能用有限次测量的结果作为无限多次测量结果的估计值，因此可以确定的只是随机误差和系统误差的估计值。

附：随机误差的性质，单峰性、对称性、有界性、抵偿性。

3．随机误差的处理

根据随机误差的分布特征，可知：

（1）在多次测量时，正负随机误差常可以大致相消，因而用多次测量的算

术平均值表示测量结果可以减少随机误差的影响；（2）测量值的分散程度直

接体现随机误差的大小，测量值越分散，测量的随机误差就越大，因此必须

对测量的随机误差做出估计才能表示出测量的精密度。

对随机误差估计的方法有多种，科学实验中，常用标准偏差来估计测量的

随机误差。

▲ 残差、偏差和误差

设a 为被测量真值，m 为总体平均值（无限多次测量结果的平均值），x 为

测量平均值（有限次测量的平均值），i x 为单次测量值。

① 残差i x ?：单次测量值i x 与测量平均值x 之差。

x x x i i -=?

② 偏差mi x ?：单次测量值i x 与总体平均值m 之差。

m x x i mi -=?

③ 误差ε：单次测量值i x 与真值a 之差。

a x x i i -=?0

▲ σ、x S 和x S

① （总体标准偏差）： n

m x n i i n ∑=∞→-12)(lim ＝σ 注：σ不是测量值中任何一个具体测量值的随机误差；

的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况；

② x S （单次测量值的标准偏差，有限次测量时）：

贝塞尔公式 1

)(12--∑=n x x S n i i x ＝ 注：x S 是从有限次测量中计算出来的对总体标准偏差的最佳估计值，称

为实验标准误差。

③ x S （算术平均值的标准误差）：)1()(12--∑=n n x x S n i i x ＝＝n S x

注：

算术平均值的标准偏差，表征同一被测量量的各个测量列算术平均

值分散度，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。

算术平均值对单次测量的随机误差有一定的抵消，因而更接近真值，

它们的随机误差分布离散就会小得多。

附：多次测量的最佳值为算术平均值

设在一组测量值中，n 次测量的值分别为：x 1、x 2、x 3、…、x n ，由统计原

理可知，其真值的最佳值x 0是能使各次测量值与该值之差的平方和为最小的

那个值。即存在x 0值使得∑=-=n i i x x

x f 1200)()(有最小值。令

∑=--=n i i x x dx x df 1

000)(2)(＝0 则得 x n x x n

i i ==∑=/10

即，算术平均值最接近于真值。

4．系统误差的处理

（1）系统误差的发现 发现系统误差是消除和修正系统误差的前提。

1）理论分析法：测量过程中因理论误差公式的近似等原因造成的系统误

差常常可以从理论上作出判断并估计其量值，如伏安法测电阻。

2）实验比较法：对被测量的测量量采用实验方法对比、测量方法对比、

仪器对比及测量条件对比来研究其测量结果的变化规律，从而发现可能存在

的系统误差。

3）数据分析法：分析多次测量的数据分布规律来发现系统误差。

（2）系统误差的减小和修正

1）通过公式引入修正值。

2）消除系统误差产生的因素。

3）改进测量原理和测量方法。

六、测量结果的不确定度概念

1．表征测量结果质量的指标

（1）精密度、准确度和精确度

精密度、准确度和精确度都是评价测量结果好坏的三个概念，但含义不

同。

1）．精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。即指在规定条件下

对被测量进行多次测量时，各次测量结果之间离散的程度。精密度高则离散

程度小，随机误差小，但系统误差的大小不明确。

2）．准确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。它反应了在规定条

件下，多次测量数据的平均值或实验所得结果与真值符合的程度。准确度高

即测量结果接近真值的程度好，系统误差小，但数据离散程度，即随机误差的大小不明确。

3）．精确度：表示测量结果中系统误差与随机误差综合大小的程度，也就是对测量的精密度和准确度的综合评定。对于实验测量来说，精密度高准确度不一定高；而准确度高精密度也不一定高；只有精密度和准确度都高时，也就是说，只有随机误差和系统误差都小时，精确度才高。

图 2精密度、准确度、精确度示意图

为了更好地理解这些概念，现以打靶为例来形象地说明。图2（a）表示弹着点相互之间比较分散，但总体来看没有明显的固定偏向，因而随机误差大，系统误差小，即精密度较低，而准确度较高；图 (b)表示弹着点比较密集，但总体来看偏离耙心较远，因而随机误差小，系统误差大，即精密度较高，而准确度较低；图 (c)表示弹着点比较密集，且总体来看离靶心近，因而随机误差小，系统误差也小，即精密度和准确度都高，这才是精确度高。

以上关于测量结果质量评价的几个术语，能够定性地描述测量结果的质量。对测量结果的质量定量描述还得有具体的处理方法。

目前国际上采用测量不确定度来定量评定测量结果。

2．测量不确定度

（1）为什么要引入不确定度

由于真值一般不可能准确的知道，误差仅是一个理想概念，测量误差也就不可能确切获得。根据现实可行的办法，由实验数据和测量条件推算出来的只能是误差的估计值。将任何一个确定的已知值称为误差是不科学的，因而误差估计值应采用一个专门名称，即测量不确定度。

（2）测量不确定度的概念：

测量不确定度：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。

注：1）不确定度表示一个区间，即被测量之值可能的分布区间。（测量误差仅是一个差值）为了表征这种分散性，测量不确定度可以用标准偏差，

或标准偏差的倍数。

2）测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征。

3）测量结果：它是被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的分量。

被测量之值：它是指许多个测量结果，其中不仅包括通过测量得到的测量结果，还应包括测量中没有得到但又是可能出现的测量结果。

（3）测量不确定度的表示

1）第一种表示方式

标准不确定度：测量不确定度用标准偏差表示。统一规定用小写拉丁字母“u”表示。在正态分布情况下，所对应的置信概率仅为68.27%。

2）第二种表示方式

扩展不确定度：测量不确定度也可以用标准偏差的倍数kσ来表示。统一规定用大写拉丁字母U表示。即标准不确定度和扩展不确定度之间的关系为：

式中k为包含因子。扩展不确定度U表示具有较大置信概率。

附：JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》规定，除计量学基础研究基本物理常数测量，以及复现国际单位制单位的国际比对等领域通常仅给出合成标准不确定度外，在其余领域中一般均要求给出测量结果的扩展不确定度。附：误差可以用绝对误差和相对误差两种形式来表示，不确定度也同样可以有绝对不确定度和相对不确定度两种形式。绝对不确定度常简称为不确定度，而相对不确定度则往往在其不确定度符号“U”或“u”上加上脚标“rel”以示区别。被测量x的标准不确定度u(x)（或U(x)）和相对标准不确定度urel(x)（或Urel(x)）之间的关系为：

或

在计算相对不确定度时，分母中的x应取其真值。由于真值无法知道，实际上用的是约定真值。而在实际工作中一般常以该量的最佳估计值，即测量结果来代替。

（4）测量不确定度的分类

由于测量结果会受许多因素的影响，因此通常不确定度由多个分量组成。评定方法分为A、B两类。

A类测量不确定度：是指用对观测列进行统计分析的方法进行的评定，其标准不确定度用实验标准差表征；

B类测量不确定度：是指用不同于对观测列进行统计分析的方法进行的评定。即所有与A类评定不同的其他评定方法均称为B类评定，它可以由根据经验或其他信息的假定概率分布估算其不确定度，也以估计的标准偏差表征。

合成标准不确定度：所有各不确定度分量的合成，规定以符号uc表示，它是测量结果的标准偏差的估计值。

由于无论A类不确定或B类不确定，它们的标准不确定度均以标准偏差表示，因此两种评定方法得到的不确定度实质上并无区别，只是评定方法不同而已。在对各不确定度分量进行合成得到合成标准不确定度时，两者的合成方法也无区别。因此在进行不确定度评定时，过分认真地讨论每一个不确定度分量究竟属于A类不确定或是B类不确定是没有必要的。

注：所谓的A类和B类仅是为了叙述方便起见而对其按评定方法进行的分类，而不是对不确定度本身的分类。

根据定义，测量不确定度是与测量结果相联系的参数，意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表述中应该包括测量不确定度。

七、不确定度的确定

1、A类不确定度的估算

对于有限多次直接测量，其不确定度的A类分量记为：

其中：tp为分布系数，为无限多次直接测量的不确定度A类分量，。

附表：分布系数t与测量次数n的关系

t n 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20

P

0.68 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08 1.07

1.06 1.04 1.03 1

0.90 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.86 1.83

1.76 1.73 1.71 1.65

0.95 4.30 3.18 2.78 2.57 2.46 2.37 2.31

2.26 2.15 2.09 1.96

0.99 9.93 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36

3.25 2.98 2.86 2.58

在大学物理实验中约定1：

针对测量次数一般少于10次的具体情况，可取，即不确定度的A类分量为：

＝

注意：此式应用条件：测量次数必须在6～10次。(置信概率近似为95％或更大。或者说，被测量的真值落在范围内的概率接近或大于95％。)

2、B类不确定度的估算

在工程实践中，绝大多数测量都是一次测量。通常以仪器的最大允差表

示一次测量结果的B类不确定度。一般而言，与的关系为：

其中C为置信系数，它由仪器质量指标在〔－，〕范围内服从的分布（正态分布、均匀分布、三角分布）来确定。

附表：几种常见仪器的质量指标在最大允差内的分布与置信系数C的关系

仪器名称米尺游标卡尺千分尺物理天平秒表

误差分布正态分布均匀分布正态分布正态分布正态分布

C 3 3 3 3

在大学物理实验中约定2：

C=1，即把直接当作B类不确定度。即：

注：最大允差在大学物理实验中是一种简化表示，它是参照国家标准规定的计量仪表、器具的准确度等级或允许误差范围，由生产厂家给出或由实验室结合具体测量方法和条件简化的约定。通常取最大允差等于仪表、器具的示值误差限或基本误差限。

在大学物理实验中约定3：

仪器最大允差确定：

（1）对可以估读的仪器：仪取仪器最小分度的一半。如米尺的最小刻度为1mm，则米尺的仪＝0.5mm。

（2）对不可以估读的仪器：仪取仪器最小分辨读数。如分辨率为0.05mm 的游标卡尺，其仪＝0.05mm；分辨率为0.02mm的游标卡尺，其仪＝0.02mm；分辨率为的分光计，其仪＝；各类数字式仪表，仪＝仪器最小读数。

（3）对有说明或注明仪器精度等级的仪器：仪按仪器说明书计算，如：螺旋测微器（0～50mm），仪＝0.004mm；电学仪器（如电阻箱、电桥、电表等），仪按其仪器等级计算，如：电阻箱、电桥，；电磁仪表（指针式电流表、电压表），。

3、合成不确定度（也称为总不确定度，简称为不确定度）

根据国际标准化组织等7个国际组织联合发表《测量不确定度表示指南ISO1993(E)》的精神，大学物理实验的测量结果表示中，当两类不确定度相互独立时，可用“方、和、根”法合成，获得总不确定度，简称不确定度。

相对不确定度为：

八、测量结果的不确定度确定

1、单次直接测量

因单次测量不存在不确定度A类分量，故单次测量的总不确定度就等于

不确定度B类分量。

注：此时的不确定度可能小于多次测量的不确定度，这并不意味着单次测量比多次测量准确，只是其置信概率要小于多次测量。

2、多次直接测量

对A类不确定度主要讨论多次等精度测量条件下，读数分散对应的不确定度，用贝塞尔公式计算；对B类不确定度，主要讨论仪器不准所对应的不确定度；用两类不确定度的“方、和、根”来求总不确定度。

如：用螺旋测微器测量小钢球的直径，六次测量值分别为：5.499，5.498，5.500，5.499，5.498，5.500，单位mm，试求测量结果的不确定度。

解：根据不确定度理论，可知A类不确定度分量为

＝0.00090mm

根据说明书可知，螺旋测微器的误差限为0.004mm，即B类不确定度分量为

其总不确定度为

0.0041mm

3、间接测量

间接测量的最佳估计值和总不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的。设间接测量的函数式为

其中，，则间接测量量的最佳估计值为

间接测量量的不确定度为

相对不确定度为

特例：当间接测量的函数式为乘除形式，可以先求相对不确定度

再求总不确定度

附表：常用函数的不确定度传递公式

函数式不确定度传递公式

九、测量结果的表示

实验数据处理好以后，最终要把测量结果表示出来，才算完成实验的测

量任务。测量结果一般可写成

式中X 表示测量结果，表示被测量的最佳值，表示测量的不确定度。即：一

个被测量的测量结果的表示包括“测量值”、“不确定度”、“单位”三部

分。也可以连同给出相对不确定度。即测量结果可以表示为

注意：有效数字（补充）

一个测量数据的最终结果通常只能保留一位可疑数字；

在测量结果的表示方法中，不确定度在计算的中间过程中可以保留两位有效

数字，但在最终结果中只能保留一位有效数字，其后面的数据采取“只进不

舍”的修约原则取舍；如

χ √

最终结果中不确定度所在数量级和测量最佳值的末位数所在的数量级相同；

如

χ √

在用科学记数法来表示测量结果时，要求结果表达式中两部分所乘的10的幂

次相同； 如：

√，可以写成√

不宜写成χ

5、测量结果表示式中的相对不确定度保留两位有效数字。

十、举例

直接测量圆柱体的直径D 和高度h ，由函数关系4/2h D V π=计算出圆柱

体的体积。用分度值0.01mm 的测微仪重复6次测量直径D 和高度h ，测得数

据如下： 次数

1 2 3 4 5 6 D/mm

10.075 10.085 10.095 10.060 10.085 10.080 H/mm 10.105 10.115 10.115 10.110 10.110 10.115

（1）求体积V 的测量结果最佳值

计算直径D 和高度h 的测量平均值分别为：mm D 080.10=，

mm h 112.10=。由此可得体积的测量最佳值为：

==4/2h D V π806.95256524860068635705368204957mm 3（计算器运算结果）

根据前面有效数字运算原则，测量结果应只有5位有效数字，即

3295.8064/mm h D V ==π

（2）不确定度评定

测微仪的仪器误差引起不确定度分量B u （＝仪?）：由测微仪的说明书获得测微仪的示值误差范围为mm 01.0±，取仪?＝0.01mm 。

直径D 的重复性测量引起的不确定度分量记为)(D u A ：由贝塞尔公式可得

mm D D D u n i i A 012.01

6)()(12=--=∑= 高度h 的重复性测量引起的不确定度分量记为)(h u A ：由贝塞尔公式可得

mm h h h u n i i A 0041.01

6)()(12=--=∑= 由总不确定度合成公式可分别得到直径D 和高度h 的总不确定度： mm D u D u A 016.0)()(2

2＝仪?+=

mm h u h u A 011.0)()(22＝

仪?+= 根据不确定度的传递公式可得圆柱体的体积不确定度为：

××方法1×××直接利用不确定度传递公式先求不确定度，再求相对不确定度。

)()()(22

22h u h V D u D V V u ??? ????+??? ????=

式中：)(11.1602unit Dh D V ==??π，)(801.794

2unit D h V ==??π，最后整理得到 ()()3227.2011.0801.79016.011.160)(mm V u =?+?=

相对不确定度为 %336.0%10095

.80671.2)(=?==V V u u rel ××方法2×××考虑到函数式仅有乘除运算，可以先求相对不确定度，再求不确定度。

)(ln )(ln )()(22

22h u h V D u D V V V u V u rel ??

? ????+??? ????== 圆柱体体积的对数及其偏导数为 h D V ln ln 24ln ln ++=π D D V 2ln =??，h

h V 1ln =?? 即可得：22)()(2)()(??? ??+??? ?

??==h h u D D u V V u V u rel 简写成：())()(2)(22h u D u V u rel rel rel +=

其中：%159.0%100080.10016.0)(=?=D u rel ，%109.0%100112

.10011.0)(=?=h u rel 即测量结果的相对不确定度为：

%337.0)%)109.0()159.02(()(22=+?=V u rel

根据相对不确定度与不确定度及测量值的关系，可得测量结果的不确定度

37.2%337.095.806)()(mm V u V V u rel =?=?=

（3）测量结果表达式

???=±=%

34.0)3807(3

rel u mm V

有效数字及其运算法则

有效数字及其运算法则 物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。哪些是能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。前面已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。实验数据的记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明了误差。因此，有效数字是对测量结果的一种准确表示，它应当是有意义的数码，而不允许无意义的数字存在。如果把测量结果写成54.2817±0.05（cm）是错误的，由不确定度0.05（cm）可以得知，数据的第二位小数0.08 已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法应当是：54.28±0.05（cm）。测量结果的正确表示，对初学者来说是一个难点，必须加以重视，多次强调，才能逐步形成正确表示测量结果的良好习惯。 一、有效数字的概念 任何一个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么一个物理量的数值就不应当无止境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能比较真实的表达物理量。因此，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效数字的概念。若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字，故测量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的5.63cm称为三位有效数字。 有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。如0.0135m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。 二、直接测量的有效数字记录 物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读出，并记录下来。仪器上显示的最后一位数字是0时，此0也要读出并记录。对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。在记录直接测量的

误差与有效数字练习答案

误差与有效数字练习题答案 1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（±）cm ，d 乙 =（±）cm ，d 丙 =（±）cm ，d 丁 =（±）cm ，问哪个人表达得正确其他人错在哪里 答：甲对。其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。 仪 =0.0002g 请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。 3.61232i m m g n ∑= = A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=?= B 类分量： 0.6830.6830.00020.000137u g =?=?=仪 合成不确定度：0.000182U g == 取 ，测量结果为： (3.612320.00018)m U g ±=± ( P= ) 相对误差: 0.000180.005%3.61232 U E m = == 试求其算术平均值，A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。 cm n L L i 965.98=∑= ， A 类分量: (0.6831S t n =-=?0.0064cm 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =?=?=仪 合成不确定度: 0.035U cm ==== 相对误差: %04.096 .9804.0=== L U E ( P= ) 结果: cm U L )04.096.98(±=±

4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。 处理：t =t 2 – t 1= U ==+=+2 222t 21t 3.03.0S S ℃ , %7.03 .735 .0=== t U E （ 或 ℅） t =( ± ℃ ( P= ) 5.一个铅质圆柱体，测得其直径为d ±U d =（±） cm ，高度为 h ±U h =（ ± ）cm ， 质量为m ±U m =（ ± ）g 。试求：（1）计算铅的密度ρ；（2）计算铅的密度ρ的相对误差和不确定度；（3）表示ρ的测量结果。 处理：（1）072.11120 .4040.214159.310 .149442 2=???=== h d m V m πρg/㎝3 （2）%3.00030.0120.4003.0040.2003.0410.14905.02 22==?? ? ??+??? ??+??? ??==ρρ U E 3cm g 04.0033.0003.0072.11U ==?=?=E ρρ （3） )04.007.11(±=±ρρU g/㎝3 ( P= ) 6.按照误差理论和有效数字运算规则改正以下错误： （1）N =± 正：N =（±）cm ，测量误差决定测量值的位数（测量结果存疑数所在位与误差对齐） （2）有人说有五位有效数字，有人说只有三位，请纠正，并说明其原因。 答：有效数字的位数应从该数左侧第一个非零数开始计算，应有四位有效数字。其左端的“0”为定位用，不是有效数字。右端的“0”为有效数字。 （3）L =28cm =280mm 正：L =×102mm ，改变单位时，其有效数字位数不变。 （4）L =（28000±8000）mm 正：L =（±）×104mm ，误差约定取一位有效数字。 7.试计算下列各式（在书写计算过程中须逐步写出每步的计算结果）： （1）已知y = lg x ，x ±σx =1220 ± 4 ，求y ： 处理： y = lg x = lg 1220 = 10 ln 12204 10ln = =x Ux Uy = 0014.00864.3±=±Uy y ( P= ) （2）已知y = sin θ ，θ±S θ=45°30′±0°04′ ，求y ： 处理： y = sin45°30′= U y =∣cos θ∣U θ =∣cos 45°30′∣60 1804 ???π= , 0008.07133.0±=±Y U y ( P= )

有效数字和误差

误差与有效数字 武汉市第六中学物理教研组 朱克生 物理实验离不开误差分析和测量值与计算值的有效数问题。本文主要目的是了解误差的有关概念，并对测量值与计算值的有数数字的保留个数做一个定量的描述。 一、误差 1、误差的定义 测量值与被测物体的真实值之间的差异叫误差。误差是绝对不能避免的，但是可以减小。 2、误差的分类 （1）、从误差来源上分为偶然误差与系统误差。 ①偶然误差是由于实验人和读数的不准确等偶然因素造成的。它的特点是：当多次重复同一测量时，偏大和偏小的机会比较接近，可以用取平均值的方法来减小偶然误差。 比如长度的测量，多次测量同一个物体的长度，估计值就会或大或小，为了减小误差可以取平均值。 ②系统误差是由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的。系统误差的特点：多次重复同一测量的结果总是大于（或小于）被测量的真实值，呈现单一倾向。比如采用打点计时器来验证机械能守恒定律，由于空气阻力和计时器与纸带的摩擦，造成物体增加的动能总比．．物体减小的重力势能小。 （2）、从误差分析上分为绝对误差与相对误差。 ①绝对误差，测量值与真实值之差。注意：绝对误差有正负之分的。比如长度的测量，要估计到最小分度的下一位，估读总是不准确的，测量值有时比真实值大，有时比真实值小，所以绝对误差有正有负，但绝对误差的大小一般不大于最小分度值（天平指感量）。 ②绝对误差的绝对值与测量值的百分比称为相对误差。如果绝对误差用Δx 表示，测量值用x 表示，则相对误差就是η=%100??x x 。严格讲，式中分母应为真实值。实验估算时则用测量值代替。（人教版高中物理必修一P99） 绝对误差由于仪器本身的原因造成，一般很难减小，所以在相同的条件下为了提高测量的准确程度，应该考虑尽量减小相对误差。 比如用逐差法求匀变速直线运动的加速度。如果所给的长度有五段，此时应该舍去一段，我们就舍弃长度小的哪一段，因为在绝对误差相同的情况下，长度小的相对误差要大一些。 二、有效数字 1、定义：具体地说，是指在实验中实际能够测量到的数字。比如某一物体的长度测量值

误差有效数字和数据处理

第一章 误差、有效数字和数据处理 第一节 测量误差的基本概念 一、测量误差 进行物理实验，不仅要观察物理现象、定性地研究物体变化规律，而且要定量地测量所观察物体的量值（量值是指用数和适当的单位表示的量，如2.30 m 、15.5 kg 等）。通过测量可以认识物理现象的内在关系，揭示物理过程的本质。所谓测量，就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物理量进行比较，以确定它是标准量的多少倍。这个标准量称为物理量的单位，这个倍数称为待测物理量的数值。一个物理量必须由数值和单位组成。本书使用国际单位制。 1. 直接测量和间接测量 测量可以分为直接测量和间接测量两类。凡是能以量具、仪器的刻度直接测得待测量的大小的测量，叫做直接测量。但是大多数物理量都没有直接测量的仪器，需要进行间接测量。所谓间接测量，就是先经过直接测量得到一些量值，然后再通过一定的数学公式计算，才能得出所求结果的测量。 2. 测量误差 任何物理量在一定条件下都客观地存在一个唯一确定的值，这个值称为真值。但是，由于实验条件、测量方法、测量仪器和测量者自身判断等原因，任何测量都不是绝对准确的，所以测得数值与真值之间总存在着差异。我们把所得测量值与真值之差定义为测量值的误差，用下式表示 i i x x x （1） 式中：x 为真值；i x 为第i 次测量值；i x 为第i 次测量误差。 产生误差的原因是多方面的，根据误差的性质及其产生原因，可将误差分为系统误差和偶然误差两大类。 （1）系统误差。

系统误差的特点是测量的结果总向某一定方向偏离，或按照一定的规律变化。产生系统误差有以下几个原因：仪器本身的缺陷、理论公式或测量方法的近似性、环境的改变（如测量过程中温度、压强的变化）、个人存在的不良测量习惯等。 由于系统误差的数值和符号（＋、－）是定值或按某种规律变化，因此系统误差不能通过多次测量来消除或减小。但是，如果能找出产生系统误差的原因，就能采取适当的方法来消除或减小它的影响，或对测量结果进行修正。因此，实验中一定要注意消除系统误差。 （2）偶然误差。 即使在测量过程中已减小或消除了系统误差，但在同一条件下对某一物理量进行多次测量，总存在差异，误差时大时小、时正时负。这种现象的产生是由于观察者受到感官的限制，或由于实验过程中受到周围条件无规则变化的影响，或由于测量对象自身的涨落，或由于其他不可预测的偶然因素所引起的。这样的误差称为偶然误差。对某一次测量来说，偶然误差的大小、符号都无法预先知道，完全出于偶然。但是当测量次数足够多时，偶然误差就具有明显的规律性，即偶然误差遵循统计规律。理论和实验都表明，大量的偶然误差均服从“正态分布”。偶然误差有如下特点： ① 绝对值相等的正负误差出现的几率相等。 ② 绝对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大。 ③ 偶然误差的算术平均值随测量次数的增加而减小，当测量次数趋于无穷时，它趋于零。 ④ 偶然误差存在一个“最大误差”，即误差的绝对值不超过某一限度。 由于偶然误差存在上述性质，我们可以用增加测量次数的方法来减小它。当测量次数足够多时，测量列的偶然误差趋于零，测量列的算术平均值就趋近于真值。 故在有限次测量中，我们应取测量列的算术平均值作为真值的估计值，或称之为最佳值。 二、直接测量的误差估算和测量结果的表示 1. 多次直接测量的误差及其表示 上面我们讲过，为了减小偶然误差，可以在同一条件下对同一物理量进行多次重复测量，用多次测量值的算术平均值作为被测量的最佳估计值。 设我们对某一物理量进行了n 次测量，测量值分别为12, , , n x x x 。其算术平均值为 121 11()n n i i x x x x x n n （2） 由上所述，x 为该物理量的最佳值。那么，各次测量值与x 的偏差，就近似为各测量值与真值的误差。在一般的讨论中，我们不去严格区分“偏差”和“误差”。 在物理实验中，多次测量的误差常用算术平均绝对偏差和标准偏差来表示。 （1）算术平均绝对偏差。

第7章 定量分析中的误差及有效数字答案

思考题 1. 指出在下列情况下，各会引起哪种误差如果是系统误差，应该用什么方法减免 (1) 砝码被腐蚀； 答：引起系统误差(仪器误差)，采用校准砝码、更换砝码。 (2) 天平的两臂不等长； 答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(天平两臂等长)或更换仪器。 (3) 容量瓶和移液管不配套； 答：引起系统误差(仪器误差)，采用校正仪器(相对校正也可)或更换仪器。 (4) 试剂中含有微量的被测组分； 答：引起系统误差(试剂误差)，采用空白试验，减去空白值。 # (5) 天平的零点有微小变动； 答：随机(偶然)误差。 (6) 读取滴定管体积时最后一位数字估计不准； 答：随机(偶然)误差。采用读数卡和多练习，提高读数的准确度。 (7) 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液； 答：过失，弃去该数据，重做实验。 (8) 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸入CO2。 答：系统误差(试剂误差)。终点时加热，除去CO2，再滴至稳定的终点(半分钟不褪色)。 2. 判断下列说法是否正确 (1) 要求分析结果达到%的准确度，即指分析结果的相对误差为%。 | (2) 分析结果的精密度高就说明准确度高。 (3) 由试剂不纯造成的误差属于偶然误差。 (4) 偏差越大，说明精密度越高。 (5) 准确度高，要求精密度高。 (6) 系统误差呈正态分布。 (7) 精密度高，准确度一定高。 (8) 分析工作中，要求分析误差为零。 (9) 偏差是指测定值与真实值之差。 (10) 随机误差影响测定结果的精密度。 (11) 在分析数据中，所有的“0”均为有效数字。 … (12) 方法误差属于系统误差。 (13) 有效数字中每一位数字都是准确的。 (14) 有效数字中的末位数字是估计值，不是测定结果。

误差与有效数字

分享 ?丁铖 ? ?丁铖的分享 ? ?当前分享 返回分享首页? 分享 大物实验 - 误差与有效数字练习来源：姚晨炜的日志 误差与有效数字练习题答案 1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d乙 =（1.283±0.0003）cm ，d丙 =（1.28±0.0003）cm ，d丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？ 答：甲对。其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。 2.一学生用精密天平称一物体的质量m，数据如下表所示：Δ仪 =0.0002g 请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。 A类分量： B类分量： 合成不确定度：=0.00018g 取0.00018g ，测量结果为： ( P=0.683 ) 相对误差: 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为

试求其算术平均值，A类不确定度、B类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。 ， A类分量: =1.060.006=0.0064cm B类分量: 合成不确定度: =0.04cm 相对误差: ( P=0.683 ) 结果: 4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t1±S t1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t2±S t2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t2–t1的表示式及相对误差。 处理：t =t2–t1=26.2-99.5=-73.3℃, U =0.5℃ , （或 -0.7℅） t =( -73.3 ± 0.5)℃ ( P=0.683 ) 5.一个铅质圆柱体，测得其直径为d ±U d=（2.040±0.003） cm ，高度为h±U h=（4.120 ± 0.003）cm， 质量为m±U m =（149.10 ± 0.05）g。试求：（1）计算铅的密度ρ；（2）计算铅的密度ρ的相对误差和不确定度；（3）表示ρ的测量结果。 处理：（1）g/㎝3 （2） （3） g/㎝3 ( P=0.683 ) 6.按照误差理论和有效数字运算规则改正以下错误： （1）N=10.8000±0.3cm 正：N =（10.8±0.3）cm ，测量误差决定测量值的位数（测量结果存疑数所在位与误差对齐）

分析化学中的有效数字及其运算

2.2 分析化学中的有效数字及其运算 一、分析结果的有效数字及其处理 1. 有效数字的概念 既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字(重复测定时不会发生变化的准确数字)和它后面的不定数字(重复测定时会发生变化的数字)，但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字才能正确反映分析对象的量的多少．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，由确定的数字和它后面第 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(significant figure) 一位具有一定不确定度的不定数字构成，决定于单位的数字和多余的不定数字不能正确反映分析对象的量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 的多少因而不是有效数字。 ．．．．．．．．．．．．如用示值变动性为±0.0001 g的分析天平称得样品0.203 16g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。 有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0 mL，其不确定度为±0.1 mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。 2. 有效数字的确定 有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确定度 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。例如，称得样品的质量为(0.200 0±0.000 2)g，可见其不确定度为±0.0002 g，相对不确定度±1‰。又如，氯的相对原子质量为35.452 7(9)，可见其不确定度为±0.000 9，相对不确定度为±0.03‰。 所以，根据分析结果的准确度或不确定度可确定分析结果的有效数字 ．．．．．．．．．．．)．，或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．准确数字和末位不定数字 者说分析结果的有效数字可根据分析结果的准确度或不确定度来确定，有效数字最后一位数字必须是不定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 数字并且只有最后一位数字是不定数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．。 [例2-8] 有效数字的确定举例如下： ①(0.305 0±0.000 2)g(样品质量)，78.96(3)(Se的相对原子质量)和20.43 mL(标准溶 液体积)均为四位有效数字；31.05%(百分含量，计算结果)也为四位有效敷字。 ②0.095 7(3)mol/L(标准溶液浓度，其中0为与单位有关的数字即不是有效数字)， 20.0 mL(试剂体积)和1.75×10-5 g/mol(HAc的酸度常数)，均为三位有效数字。 ③0.50 g(试剂质量)，7.8 mL(试剂体积)，2.0 mol/L(试剂浓度)和pH=8.35(溶液酸度，其中8是与单位有关的数字；即8不是有效数字，[H+]＝0.45×10-8 mol/L)，均为两位有效数字。 ④0.000 3 mol/L(标准偏差)和一0.3%(相对误差)，±2‰。(相对不确定度)，都只有一位有效数字。 由于误差、偏差、标准偏差和不确定度等衡量的是分析结果的最后—位不定数字的差异程度，因而分． 析结果的误差、偏差、标准偏差和不确定度等参数都只有一位有效数字，允许保留一位参考数字的做法是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 错误的 ．．．。 3. 数字修约规则 舍弃多余数字的过程称为数字修约，它所遵循的规则称为数字修约规则。过去人们习惯采用“四舍五

高中物理实验误差和有效数字

高中物理实验误差和有效数字 一、考试大纲中实验能力的要求 能独立的完成知识列表中的实验，能明确实验目的，能理解实验原理和方法，能控制实验条件，会使用仪器，会观察、分析实验现象，会记录、处理实验数据，并得出结论，对结论进行分析和评价；能发现问题、提出问题，并制定解决方案；能运用已学过的物理理论、实验方法和实验仪器去处理问题，包括简单的设计性实验． 二、考试大纲对实验的说明 1．要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、电火花计时器或电磁打点计时器、弹簧秤、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等． 2．要求认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差；知道用多次测量求平均值的方法减少偶然误差；能在某些实验中分析误差的主要来源；不要求计算误差．3．要求知道有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果．间接测量的有效数字运算不做要求． 三、有效数字

1．带有一位不可靠数字的近似数字叫做有效数字． 2．有效数字的位数：从左侧第一个不为零的数字起到最末一位数字止，共有几个数字，就是几位有效数字． 例：0.092 3、0.092 30、2.014 0有效数字的位数依次为3位、4位和5位． 3．科学记数法：大的数字，如36 500，如果第3位数5已不可靠时，应记作3.65×104；如果是在第4位数不可靠时，应记作 3.650×104． 四、误差 1．系统误差产生的原因及特点 (1)来源：一是实验原理不够完善；二是实验仪器不够精确；三是实验方法粗略．例如，在验证力的平行四边形定则实验中，弹簧测力计的零点未校准；在验证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力代替对小车的拉力等． (2)基本特点：实验结果与真实值的偏差总是偏大或偏小． (3)减小方法：改善实验原理；提高实验仪器的测量精确度；设计更精巧的实验方法． 2．偶然误差产生的原因及特点

5、误差和有效数字

5、误差和有效数字 学习目标： ①认识误差，知道系统误差和偶然误差。 ②知道绝对误差和相对误差。 ③要求知道有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。 【知识点】： 一.偶然误差和系统误差 1．产生误差的原因有两个，一是来自( )本身的缺陷，二是来自实验人( )的不准确。通过改进仪器和谨慎( )，可( )误差而不能（）误差。 2．误差分为系统误差和( )误差。用多次测量取平均的方法可以减小（）误差。但不能减小( )误差。 3.系统误差的特点是：在多次重复同一实验时，测量结果总是（）被测量的的真实值。 4．“因为任何测量结果都不可能绝对准确，所以误差是不可避免的。”这一说法对吗？ 5. 指出以下误差是系统误差还是偶然误差 A．测量物体质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。 B．用毫米刻度尺测量物体长度，毫米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差 二.绝对误差和相对误差 6．误差也叫（）误差，误差与（）的比值叫做（）误差 (供选答案：相对、绝对)。 三．有效数字 7．带有一位（）的近似数字叫做有效数字。有效数字的末位数字是（）的，但却是（）的（供选答案：可靠、不可靠、有意义、无意义）。 8．在“( )”内写出各有效数字的位数： ①0.21秒（）②0.210秒（）③0.021秒（） ④2.1×103千克（）⑤2.10×103千克（）⑥0.210×103米（） ⑦0.21×10﹣2牛（）。 9．两同学用正确方法，测量同一木板的厚度分别为12.3毫米和1.230厘米，指出两同学所用尺子的最小刻度分别为（）和（）。 四．测量仪器的读数规则 实验测量时、在哪位数上开始出现误差，是由测量仪器本身的最小分度即精度决定的。 如最小分度为“1mm”的刻度尺，，测量误差出现在下一位，测量结果要保留到以mm为单位小

实验中的误差和有效数字-教学设计

实验中的误差和有效数字 【教材分析】 本节选自鲁科版必修一第二章第三节，是在学习了匀变速直线运动速度变化规律、位移变化规律的内容之后，本节课的学习为高中物理实验探究的误差和数据分析打下基础，为下节课“科学测量：做直线运动物体的瞬时速度”做好铺垫。 【教学目标与核心素养】 物理观念：能理解相对误差与绝对误差的概念；掌握有效数字的表示和其位数的表达。 科学思维： 1．能根据实验目的和实验器材判断实验操作中存在的误差。 2．掌握减小误差的方法。 科学探究：能发现并提出物理问题；能分析纸带数据并找出实验中的误差，并制定解决方案。 科学态度与责任：知道实验器材的改进能促进人们认知的发展；知道物理实验的探究需要实事求是。 【教学重难点】 教学重点：有效数字的概念；科学测量中所存在的误差。 教学难点： 1．能在实验中分析误差的主要来源。 2．会用有效数字表达直接测量的结果。 【教学过程】 导入新课： 问题：1．能否确定在光滑斜面上下滑的小球是否做匀变速直线运动？ 学生：需要测得小球在斜面上的运动信息 问题：2．实验探究时，如何获得有效的、可信的数据？ 引发学生对实验误差的思考，引出本节内容 新课讲授： 一、科学测量中的误差 （一）绝对误差和相对误差 待测体

待测体在客观上存在着准确的数值，称为真实值（a） 实际测量得到的结果称为测量值（x） 思考：测量总存在误差。 1．绝对误差：测量值（x）与真实值（a）之差称为绝对误差（?x） ?x=x?a 问题：如何判断多个测量结果的可靠性？引出相对误差的概念。 2．绝对误差（?x）与真实值（a）的比值称为绝对误差（δ） 问题：如何获得真实数据？ 结论：科学测量中常用多次测量的平均值代替真实值。 思考：绝对误差相同时，相对误差也一定相同么？ 甲乙 真实值3.46cm真实值1.45cm 测量值3.47cm测量值1.44cm 绝对误差0.01cm绝对误差0.01cm 请同学计算甲、乙两种情况下的相对误差。 相对误差0.29％相对误差0.69％对比两种情况，得出结论：在绝对误差相同的情况下，被测量的数值越大，测量结果的相对误差就越小，测量结果的可靠性就越大。 （二）系统误差和偶然误差 1．系统误差 定义：由于测量原理不完善或仪器本身缺陷等造成的误差。 举例加深理解。 例：表盘刻度不准确所造成的误差

有效数字及差计算

有效数字及误差计算 一、测量 所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行 比较，确定出它是标准量的多少倍。如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85％，则书的长度为0.1885m 。 测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。同样一个量，测量时选择 的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位．如 273.15K ，3.0×108m/s 等等。 二、测量分类 根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。 1．直接测量 直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。 相应测得量称为直接测量量。如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等等。 2．间接测量 间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物 理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量．相应的测得量就是间接测量量。如：物质的密度3 /a m ＝ρ、物体运动的速度t S v /=、物体的体积等等。 三、有效数字 测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该 测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。 图1用毫米尺测量工件的长度

如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。此工件的长度介于13mm 和 14mm 之间，其右端点超过13mm 刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为 13.6mm 。从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位 0.6mm 则是从尺上最小刻度间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是 有一定根据，是有意义的）。 定义： 由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。 如上读数13.6mm 共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出 来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。 注： 1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量 工具有关。 2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定 了。 3、仪器的读数规则 测量就要从仪器上读数，读数包括仪器指示的全部有意义的数字 和能够估读出来的数字。在测量中，有一些仪器读数是需要估读的， 如米尺、螺旋测微计、指针式电表等等。估读时，首先根据最小分格 大小、指针的粗细等具体情况确定把最小分格分成几分来估读，通常 读到格值的1/10，1/5或1/2。 4、有效位数的认定 （1）数字中无零的情况和数字间有零的情况：全部给出的数均为有效 数。如：56.14mm ，50.007mm 有效位数分别为四位、五位。 （2）对于小数末尾的零：有小数点时，小数点后面的零全部为有效数 字。如：50.140mm ，2.204500的有效位数分别为五位、七位。 （3）对于第一位非零数字左边的零：第一位非零数字左边的零称为无 效位零。如：0.05mm ，0.00155m 有效位数分别为一位、三位。 （4）科学计数法：计量单位的不同选择可改变量值的数值，但决不应 改变数值的有效位。因此，在变换单位时，为了正确表达出有效位 数，实验中常采用科学计数法（10的幂次方）。如： km 1030.4m 1030.4m 1030.4cm 30.4542--?=μ?=?= 注：大单位转换小单位或小单位转换大单位时，原数的有效位不变。 四、有效数字的运算规则 0．数值的舍入修约规则 （1）确定需要保留的有效数字和位数。

分析化学中的有效数字及其运算

精心整理 2.2分析化学中的有效数字及其运算 一、分析结果的有效数字及其处理 1.有效数字的概念 既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值， 数字 、3和1 有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0mL，其不确定度为±0.1mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。 2.有效数字的确定

有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 定度 ．．。例如，称得样品的质量为(0.2000±0.0002)g，可见其不确定度为±0.0002 g，相对不确定度±1‰。又如，氯的相对原子质量为35.4527(9)，可见其不确定度为±0.0009，相对不确定度为±0.03‰。 所以，根据分析结果的准确度或不确定度可确定分析结果的有效数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．准确数字 。 )，其中 字的差异程度，因而分析结果的误差、偏差、标准偏差和不确定度等参数都只有一 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 位有效数字，允许保留一位参考数字的做法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 3.数字修约规则 舍弃多余数字的过程称为数字修约，它所遵循的规则称为数字修约规则。过去人们习惯采用“四舍五入”规则，其缺点是见五就进，必然会导致修约后的测量值

系统偏高；现在则通行“大五入小五舍五成双一次修约”规则，逢五时有舍有入，由五的舍入所引起的误差本身可自相抵消。 “大五入小五舍五成双一次修约”规则规定，把多余的不定数字看成一个整体(一次修约)，与5(添零补齐位数)比较，前者大于后者就入(大5入)，前者小于后者就舍(小5舍)，前者等于后者就使修约后其前一位为偶数即前一位为奇数时进、为偶数时舍(5 =22222)0003.0(3)001.0()00006.0(2±?+±+±?±g/mol =±0.002 g/mol 这表明Na 2CO 3的摩尔质量的千分位(小数点后的第三位数字)有±2的不确定度，因此其有效数字应保留到千分位(小数点后第三位)，即 ＝[2×2298968(6)+12.011(1)+3×159994(3)]g/mol ＝(105.989±0.002)g/mol

定量分析中的误差及有效数字练习题

定量分析中的误差及有效数字练习题 一、填空题： 1 在分析过程中，读取滴定管读数时，最后一位数字n次读数不一致，对分析结果引起的误差属于_______误差。 答案: 偶然误差 2 标定HCl溶液用的NaOH标准溶液中吸收了CO2 ,对分析结果所引起的误差属于_______误差。 答案: 系统误差中的试剂误差（你们可答系统误差或试剂误差） 3 移液管、容量瓶相对体积未校准，由此对分析结果引起的误差属于_______误差。 答案: 系统误差中的仪器误差（你们可答系统误差或仪器误差） 4 在称量试样时，吸收了少量水分，对结果引起的误差是属于_______误差。 答案: 系统误差中的操作误差（你们可答系统误差或操作误差） 5 标定NaOH溶液浓度时，所用的基准物邻苯二甲酸氢钾中含有少量的邻苯二甲酸，对标定结果将产生_______误差。 答案: 负 6 用减量法称取试样，使用了一只磨损的砝码，将对测定结果产生_______误差。 答案: 正 7 在定量分析中,_______误差影响测定结果的精密度;_______误差影响测定结果的准确度。 答案: 偶然；系统 8 偶然误差服从_______规律，因此可采取_______的措施减免偶然误差。 答案: 正态分布，平行多次操作 9 不加试样，按照试样分析步骤和条件平行进行的分析试验，称为_______。通过它主要可以消除由试剂、蒸馏水及器皿引入的杂质造成的_______。 答案: 空白试验。仪器和试剂误差 10 系统误差的减免是采用校正仪器以及做_______试验、试验和空白试验等办法减免的，而偶然误差则是采用增加_______的办法，减小偶然误差。 答案: 对照、回收,重复试验次数 11 误差表示分析结果的_______;偏差表示分析结果的_______。 答案: 准确度好坏；精密度高低 12 多次分析结果的重现性愈好,则分析的精密度愈_______。 答案: 高 13 用相同的方法对同一个试样平行测定多次，得到的n次测定结果相互接近的程度，称为_______。测定值与真值之间接近的程度，称为_______。 答案: 精密度。准确度 14 标准偏差和算术平均偏差相比，它的优点是能够反映_______的影响，更好地表示测定结果的_______。答案: 大偏差存在，精密度（分散程度） 15 以下二个数据，根据要求需保留三位有效数字；1.05499修约为_______;4.715修约为_______。 答案: 1.05;4.72 16 下列数据包括有效数字的位数为0.003080_______位；6.020*10-3_______位；1.60*10-5 _______位；pH=10.85 _______位；pKa=4.75 _______位；0.0903mol×L-1 _______位。 答案: 四;四;三;二;二;三 17 在分析化学的数据处理中，加和减的规则是按照小数点后位数_______的一个数字来决定结果的保留有效数字位数；而乘除法的结果则是和算式中有效数字位数_______的数据相同。 答案: 最少;最少 二、判断题 1 要求分析结果达到0.2%的准确度，即指分析结果的相对误差为0.2%。

误差与有效数字练习答案

误差与有效数字练习题答案 1、有甲、乙、丙、丁四人,用螺旋测微计测量一个铜球的直径,各人所得的结果表达如下:d 甲 =(1、2832±0、0003)cm ,d 乙 =(1、283±0、0003)cm ,d 丙 =(1、28±0、0003)cm ,d 丁 =(1、3±0、0003)cm ,问哪个人表达得正确？其她人错在哪里？ 答:甲对。其她人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。 2、一学生用精密天平称一物体的质量m ,数据如下表所示 : Δ仪 =0、0002g 请计算这一测量的算术平均值,测量标准误差及相对误差,写出结果表达式。 3.61232i m m g n ∑= = A 类分量: (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=?= B 类分量: 0.6830.6830.00020.000137u g =?=?=仪 合成不确定度:0.000182U g ====0、00018g 取0、00018g ,测量结果为: (3.612320.00018)m U g ±=± ( P=0、683 ) 相对误差: 0.000180.005%3.61232 U E m = == 3、用米尺测量一物体的长度,测得的数值为 试求其算术平均值,A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差,写出结果表达式。 cm n L L i 965.98=∑= , A 类分量: (0.6831S t n =-、06?0、006=0、0064cm B 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =?=?=仪 合成不确定度: 0.035U cm ====0、04cm 相对误差: %04.096 .9804.0=== L U E ( P=0、683 ) 结果: cm U L )04.096.98(±=±

误差和有效数字

误差和有效数字 一、误差的概念 测量值与真实值的差异，叫做误差。 造成误差的原因都有哪些？（学生讨论后回答，并引导学生进行归纳） 归纳起来有两个方面： 1．仪器本身的缺陷、实验原理或方法不完善。 如：米尺的刻度不准，天平两臂不严格等长，电表刻度、零点不准等。 这种误差有什么特点？（总是偏大或偏小） 怎样才能减小这类误差？（校准仪器、完善原理） 2．实验者操作和读数不准确。 如：按停表的时机把握不准，读数时视线对不准而导致读数有偏差，伏安法测电阻时电表内阻的影响等。 这种误差有什么特点？（有时偏大有时偏小） 怎样才能减小这类误差？（多次测量取平均值） 二、偶然误差和系统误差 偶然误差：由于一些偶然因素所造成的误差。 系统误差：由于仪器本身的缺陷、实验原理或方法不完善所造成的误差。 三、误差大小的表示 1．绝对误差：测量值与真实值的差值，叫绝对误差。 例1 用同一把刻度尺分别测一本书的厚度和长度，从PPT（见课件）所给出的图中可读出其读数分别为多少？其读数引起的绝对误差各多大？它们的测量结果的准确度谁大？是否绝对误差小的准确度一定高？（引导学生从单位长度的偏差支考虑）——引入相对误差2．相对误差：绝对误差与测量值的比值，叫做相对误差。相对误差常常用百分数表示。 例2 上例中，测量长度和厚度的相对误差分别为多大？ 由此可知，当用同一工具测量时，被测数值越大，则其读数的相对误差就越小，结果的准确程度就越高，所以实验中我们应考虑的是怎么样去减小相对误差。 思考：用刻度尺测量一根金属丝的直径，为尽可能减小误差，可怎样进行测量？ 四、有效数字 从上面的读数中，可以发现实验时读取的数据的最后一位是估计出来的，它是一位不可靠的近似数。这种带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。 出示一刻度尺，请学生读出其有效数字： 2．02cm ，3．27cm ，3．90cm ，5．00cm 问：它们各有几位有效数字？若将其化为以米为单位，则应如何表示？若将其化为以微米为单位，则又应如何表示？为什么？ 指出：由以上分析可知，最末一位非0数字后面的0是有意义的，不能随意舍去或添加。但小数中最前一位非0数字前面的0表是表示小数点的位置的，不是有数字。 指出：有效数字的运算问题比较复杂，高中阶段不作要求，运算结果一般取两到三位有效数字就可以了。 练习： 1．下列关于有效数字的说法正确的是（） A．0.082和6.010都是四位有效数字，而1.4×102和3.10×10-2都是三位有效数字

误差与有效数字.

第一章 误差与有效数字 1.1甲答案合理。因为取样量为两位有效数字，所以结果也应该表示为两位有效数字。 1.2 测定的平均值6 2.490% 2.491% 2.491% 2.489% 2.492% 2.487%+++++= x =2.490% 标准偏差s = 1)(12 --∑=n x x n i i 1 60 (0.001%) (0.001%) (-0.001%) (0.002%) (-0.003%) 222 2 22-+++++= =0.0018% 变异系数CV =x s = 4102.7% 490.2%0018.0-?= 最终报告结果为：2.490% 1.3 解：从小到大排列：51.96，51.97，51.98，52.00，52.01，52.12 6875.096 .5112.5201.5212.52111=--=--=-x x x x q n n n 0625.096 .5112.5296.5197.511122=--=--=x x x x q n ∵n=6时 ,Q 0.90=0.56 ∴q 1＞Q ，52.12应舍去 q 2＜Q ，51.96应予保留。 再检验，51.96，51.97，51.98，52.00，52.01 2.096 .5101.5200.5201.52113=--=--=-x x x x q n n n ∵n=5时 ,Q 0.90=0.64 q 3＜Q ，52.01应予保留。 x =（51.96+51.97+51.98+52.00+52.01）/5=51.98 标准偏差 1 503.002.0001.002.02 2222-++++=S =0.02121 变异系数CV = x s = 4101.498 .5102121.0-?= 查表5次实验，置信度90%，t=2.132