六同第三讲 直线型面积计算

第三讲直线型面积计算

教学目标：1.掌握等量代换和割补法的性质与特点

2.灵活运用这两种方法决求直线型图形的面积。

3.培养学生分析问题解决问题的能力

教学重难点：割补法在求图形面积中的应用。

教学方法：讲练

教学用具：讲义

教学过程:

一、故事导入

一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，认为围起半个地球总够大了。（讲到这里，老师们可以停下来问问同学们还有更好的方法吗？让学生们各抒己见）

揭晓答案，数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”师：这个故事告诉我们想问题不能墨守成规，而要把思路发散开来。就像我们同学从3年级开始就已经学习了长方形、正方形、梯形、三角形等图形，对于他们的面积公式肯定是熟记于心。（这里可以带着学生复习一下面积公式：长方形S=a×b；正方形 S=a×a；梯形 S=(a+b) ×h÷2；三角形 S= a×h÷2。另外老师可以准备一些规则以及不规则的图形卡片，引导学生发现生活中实际有很多平面图形并不是规则的图形，那么我们该如何来求它们的面积呢？这就需要一定的方法了）

下面就跟着老师走进今天的数学课堂，学完今天的内容大家就会豁然开朗了！那么我们一起来学习----直线型面积计算

二、新课学习

例1：（原例3）、已知长方形ABCD的面积是40平方厘米，AE=5cm，求BD的长。

解析：可以很容易发现BD是三角形ABD的一条边，又因为AE为BD的高，那么在已知高的情况下如何求底边？利用公式三角形 S= a×h÷2变形得a=s×2÷h。可以求得BD。

三角形ABD的面积：40÷2=20平方厘米

BD的长：20×2÷5=8厘米

小结：本题采用公式变形的方法计算出结果，称之定义法。

例2：（原例1）、三角形ABC 的面积为36平方分米,DC=2BD,求阴影部分的面积。

解析：由题意DC=2BD ，可以理解成BD 被分成3份，BD 占1份，DC 占2份，又因为三角形ADC 和三角形ABD 等高，所以三角形ADC 是三角形ABD 的2倍。

36÷（1+2）×2=24平方分米

过渡：来看下一个例题可不可以用这个方法呢？

例3、如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE=3ED ，三角形ABC 的面积为96平方厘米，求阴影部分。

解析：D 为三角形ABC 的底边BC 的中点，BD=CD ，而且三角形ABD 和ADC 等高，所以三角形ABD 和ADC 面积相等。也可以理解为AD 把三角形ABC 分成了面积相等的两部分，三角形ABD 占一份。同样的，在三角形ABD 中，底边AD 上有这样的关系----AE=3ED ，说明AD 被分成了4等分，ED 占一份，AE 占3份，即三角形ABD 被分成了面积相等的4部分，三角形ABE 占3份。

SABD=96÷2=48平方厘米

48÷4×

3=36平方厘米

小结：通过以上两个例题，我们知道了同高三角形面积的份数关系等于底的分数关系（因为有些学生不知道比，所以老师们可以视班里学生情况总结）下面我们看下练习7

练习：如下图，已知在三角形ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD 。若三角形ADE 的面积为1平方厘米。求三角形ABC 的面积。

D C

C B

C

解析：这一题和刚才的两题就有点区别了，题目中给出了边的份数关系和小三角形ADE的面积。我们要求大三角形ABC的面积。连接BD，我们还是从大三角形开始分析：CD=2AD，说明AC被分成了3等份，CD 占2份，即三角形ABC被分成了面积相等的3等份，三角形ABD占一份；BE=3AE,说明AB被分成了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面积被分成了4等份，三角形ADE占一份。这样我们就找到了SADE与SABC的关系。

1×（3+1）=4（平方厘米）

4×（2+1）=12（平方厘米）

例4、下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，大正方形边长为5厘米，求三角形ABC的面积。

解析：这个题目只有小正方形的边长是已知的，而三角形ABC中有一部分在小正方形中，还有一部分在大正方形中。如果我们能通过等量代换把三角形ABC全部都转换到小正方形中就好解决了。

连接AD，显然AD∥BC,接下来怎么转化呢？我们把梯形ABCD单独拿出来讨论，

发现，三角形ABD和ACD有公共的底AD，且它们的高相等（由于AD∥BC）。所以，SABD=SACD，而这两个三角形有一个公共的部分---三角形ADF，根据我们前面讲的，等式两边都减去SADF后所得结果仍然相等，

联系图形，即SABF=SCDF。这是著名的蝶形定理中的一个性质。

然后，我们就可以把三角形ABC全部转化到小正方形中了，SABC=SBCD。

SABC=SBCD=4×4÷2=8（平方厘米）

答：三角形ABC的面积为8平方厘米。

小结：这一题我们连接AD，利用两个正方形的对角线，找出一个梯形，然后再进行等量代换。把三角形ABC中的ABF割下来补到三角形CDF中，这样就用到了我们今天要学习的第二种方法----割补法，把不能直接求的面积转化为可以求的面积。这一题还要注意蝶形定理的运用。

例5：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积.

F

A

解析：先看一个简单的加减法算式13=5+8，如果等式的两边都减去3，结果还会不会相等呢？（提问）其实这里面隐含着一个很重要的性质----两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同减。

现在我们来看这一题，阴影部分的面积不能直接求出，可以转化为△ABC与△DOC的面积差。△ABC和△DEF 是相同的三角形，所以S△ABC=S△DEF；从图中看出，△DOC是△ABC和△DEF的公共部分。根据我们前面的分析，可以得出

S△ABC-S△DOC =S△DEF -S△DOC，所以S阴=SOEFC。

SOEFC=（

10+7）×2÷2=17（平方厘米）

答：阴影部分的面积为17平方厘米。

例6、如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下地长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

解析：已知条件只给出了大、小两个直角三角形的斜边长，可是求三角形的面积需要知道直角边长，怎么办呢？能不能想办法把直角边转化为直角边呢？

题目所给的三角形非常特殊，等腰直角三角形，其底角为45度。我们将这个三角形沿着其中一条直角边旋转180度，之后得到下图：

A

我们发现，三角形ABC 和DEF 仍然是等腰直角三角形，且这两个三角形的面积可以直接得出。然后根据我们刚才学习的等量代换的思想，可以计算出阴影部分的面积，然后再得出题目所求。

SABC=9×9÷2=40.5（平方厘米）

SDEF=5×5÷2=12.5（平方厘米）

S 阴=40.5-12.5=28（平方厘米）

S 梯=28÷2=14（平方厘米）

这种方法我们利用了这里特殊的45度角，除了利用补图形的办法外，还有没有别的办法呢？求三角形的面积需要知道底边长和对应边上的高，我们给这个等腰三角形作高，大家有没有什么发现呢？（引导学生，让他们学会利用等腰直角三角形特殊的45度角）

如下图MN 垂直于AC ，三角形CNM 和FHM 也都是等腰直角三角形，

MN=CN=AC ÷2=4.5（厘米）

MH=FH=CD ÷2=2.5（厘米）

HN=4.5-2.5=2（厘米）

S 梯=（5+9）×2÷

2=14（平方厘米）

D

M F A

小结：这一题我们有两种方法，都是利用了等腰直角三角形中特殊的45度角，或者是旋转补图形，或者是作高。下面大家看练习题8

练习：在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。

已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。

解析：这一题和例题的条件很相似，只是例题中平行于底边剪掉一个三角形，而本题中则平行于一条直角边剪掉一个三角形。根据刚才的学习，大家应该对等腰直角三角形中特殊的45度角很有好感了！因为它对我们解题很有帮助。与例题类似，我们先补图形，如下图：

我们发现，三角形AOF， AEF，ABC都是等腰直角三角形。因为题目中告诉了直角梯形的上底，即OF=OE=3，

AO=3，所以三角形AEF的面积可求。等腰梯形

EFCB的面积也可求，这样就能求出三角形ABC的面积。根

据三角形的面积计算公式，可以求出BC，AD，然后再求CD，OD，即下底和高。

（3+3）×3÷2=9（平方厘米）

36×2+9=81（平方厘米）

BC×AD÷2=CD×AD=CD×CD=81（平方厘米）

CD= AD =9（厘米）

OD=9-3=6（厘米）

答：下底为9厘米，高为6厘米。

例7、在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

解析：求矩形的面积我们必须知道其长和宽，而题目给出的条件与所求没有任何关系，所以我们要想办法把已知条件转化为我们可以用的量。

因为题目给出的是一个直角三角形，我们给它补一个相同的直角三角形，让它变成一个矩形，如下6

图：

G F E

D C

我们发现，在矩形ABCD 中，三角形ABC 和ACD 相等；在矩形AEOG 中，三角形AOG 和AOE 相等；在矩形CFOH 中，三角形COF 和COH 相等。根据等量代换的思想，SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG ，即SBEOH=SDFOG 。矩形DOFG 的面积可以有已知条件求出，所以得解。

SBEOH=SDFOG=4×6=24

小结：在这一例中，我们利用对称的思想补图形，然后再进行等量代换，得出题目所求。下面大家看练习题9，用类似的方法试试看。

练习：在下图中，长方形AEFD 的面积是18平方厘米，BE 长3厘米，求CD 的长。

D 解析：这一题和例题非常的类似，只是把已知和求解调换了。同样的，我们先要补图形，如图 M

D

C B

A

和例题类似，在矩形ABGC 中，三角形ABC 和BGC 相等；在矩形BEFM 中，三角形BEF 和BMF 相等；在矩形CDFH 中，三角形CDF 和FHC 相等。所以，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC ，即SAEFD=SGMFH

SGMFH=FM ×HF=BE ×CD

CD=18÷3=6(厘米)

过渡：是不是所有的图形问题都可以用这种对称的思想解决呢？（提问）接下来我们看例8。

例8、在下图中，平行四边形ABCD 的边长长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。

D

解析：同样的，我们先来看一个加法算式10=8+2，现在我在等号的两边同时加上4，所得到的新式子仍然相等吗？

在这个变化过程中同样的包含一个重要的性质----两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍然相等，简称同加。

现在我们看这一题，平行四边形的面积没办法直接求出，可以转化为阴影部分与梯形FGCB 的和。由已知条件，有这样的等量关系：S 阴=S △EFG+10。由前面分析的性质，如果在等式的两边同时加上梯形FGCB 的面积，等式仍然成立，即

SFGCB+S 阴=SFGCB+S △EFG+10。联系图形，我们发现，等式的左边是平行四边形ABCD 的面积，右边的（SFGCB+S △EFG ）是三角形BEC 的面积，即SABCD=SBEC+10。

SABCD=10×8÷2+10=50（平方厘米）

答：平行四边形的ABCD 的面积为50平方厘米。

小结：

例8中的图形面积都不能直接求出，我们通过转化为其他可求的图形才得以解决，这叫做等量代换，即一个量可以用它相等的量来代替。另外，在这两个例题中我们用到了两条重要的性质：两个相等的量同时减去一个相同的量，所得结果仍然相等；两个相等的量同时加上一个相同的量，所得结果仍然相等。这在以后的学习中也经常会用到，大家要掌握。下面我们看下练习10 。

练习：在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB 比三角形EFD 的面积大18平方厘米。求ED 的长。

A

解析：由已知得出等量关系，SAFB=SEFD+18，所以SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18，联系图形，发现等式左边就是直角梯形ABCD的面积，右边的（SBCDF+SEFD）就是直角三角形BEC的面积，即SABCD=SBEC+18。而直角梯形ABCD的面积我们可以直接求出，进而计算出三角形BEC的面积，然后根据三角形的面积计算公式求出CE的长，最后计算ED的长。

SABCD=（4+8）×6÷2=36（平方厘米）

SBEC=36-18=18（平方厘米）

SBEC=BC ×CE÷ 2

CE=18×2÷6=6(厘米)

ED=6-4=2(厘米)

答：ED的长为2厘米。

总结：今天这节课可是大丰收，学习了很多解决直线型面积计算的方法，比如利用公式的变换、割、补、对称、等量代换等思想，课后要好好复习，并把方法运用到实际计算中去。好吗？

家庭作业

练习题1，2，3，4，5、6

板书设计

直线型面积计算

长方形 S=a×b

正方形 S=a×a

梯形 S=(a+b) ×h÷2

三角形 S= a×h÷2

等量代换：同减；同加

割补法：蝶形定理；等腰直角三角形45度角；一半模型；份数

课后反思：

练习巩固：

1、（1）一块长方形草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草（阴影部分）的面积。

（15-1）×（10-1）=126平方米

（2）已知：ABCD 是长方形，4AB =，6BC =，3AE =，1CF =。（单位：厘米）求阴影部分的面积。

连BD 3×4÷2+3×6÷2=15平方厘米

（3）、已知：在四边形AECF 中，AE 和EC 垂直，CF 和AF 垂直。8AE =，7AB =，4CD =，10CF =。（单位：厘米）求：阴影部分的面积。

连AC 8×4÷2+7×10÷2=51平方厘米

2、在直角三角形ABC 中，AB=4cm,BC=3m,AC=5cm 。求AC 边上的高BE 的长。

4×3÷5=2.4厘米

3、如下图，已知在△ABC 中，3BE AE =，2CD AD =。若△ADE 的面积为1平方厘米。求三角形ABC 的面积。

平方厘米所以因为连128318

3

1

=++====????ABC BDC BDE ADE S S S S BD

????

?

E

D B C A

A B

C

D

F

4、如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ?的面积是多少平方厘米．

A

连接BF 三角形ADE=三角形DEF=5

三角形BDF=三角形ADF=10

三角形ABC=10×3=30

5、如下图，两个正方形的边长分别为8cm 和12cm ，求阴影部分面积。

×8÷2+4×12÷2=32+24=56平方厘米

6、下图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

（15+20）×8÷2=140平方厘米

7、在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。

（3+3）×3÷2=9（平方厘米）

36×2+9=81（平方厘米）

BC ×AD ÷2=CD ×AD=CD ×CD=81（平方厘米）

CD= AD =9（厘米）

OD=9-3=6（厘米）

8、在下图中，长方形AEFD的面积是18平方厘米，BE长3厘米，求CD的长。

CD=18÷3=6(厘米)

9、在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。

SABCD=（4+8）×6÷2=36（平方厘米）

SBEC=36-18=18（平方厘米）

SBEC=BC ×CE÷ 2

CE=18×2÷6=6(厘米)

ED=6-4=2(厘米)

第二讲不规则图形面积的计算(二)精选.

第二讲不规则图形面积的计算（二） 不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。 例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。 解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半. 例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD

例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。 解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD ＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。 例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。 分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长. ＝（157-7）×2÷20 =15（厘米）。 例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

小升初数学综合素质训练(2) 直线型面积计算

小升初数学综合素质训练（二） 第二讲：面积计算 计算平面图形的面积时，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 【例题分析】 1、已知图1－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=2 3 BC ，求阴影部 分的面积。 2、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图1－2所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？ 3、四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 两点三等分，且四边形AECF 的面积为15平方 厘米。求四边形ABCD 的面积（如图1－3所示）。 4、如图1－4所示， 如下图,在三角形ABC 中, BC =8厘米, AD =6厘米,E 、F 分别为AB 和AC 的中点。那么三角形EBF 的面积是______平方厘米。 5、如图1－5所示，BO ＝2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 6、如图1－6所示，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF C D 1－1 B C 1－ 2 1－3 B C D B 1－5 1－4

的面积是4，求三角形ABC 的面积。 7、（06年三帆中学培训试题）将三角形ABC 的BA 边延长1倍到点D ，CB 边延长2倍到点E ，AC 边延长3倍到点F ，如图1-7，问三角形DEF 的面积是多少?( S △ABC =1) 8、（小学数学夏令营五年级组试题）如图1-8，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积。 9、（07年“希望杯”培训试题）如图1-9，两个正方形的边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。则两个正方形空白部分的面积相差多少平方厘米？ 10、在图1-10中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边 EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2 ，求平行四边形ABCD 的面积。 11、图1-11中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形 EDF 的面积大9厘米2 ，求ED 的长。 12、（小学数学奥林匹克决赛试题）图1-12中，ABCD 是7×4的长方形，DEFG 是10×2的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差。 B A D C F F C 1－6 ,1-7 1-8 1-9 1-10 1-11 1-12

横断面面积计算及土方计算新方法

一、横断面面积计算 路基的填挖断面面积，是指断面图中原地面线与路基设计线所包围的面积，高于地面线者为填，低于地面线者为挖，两者应分别计算。通常采用积距法和坐标法。 1.积距法：如图4-4将断面按单位横宽划分为若干个梯形和三角形，每个小条块的面积近似按每个小条块中心高度与单位宽度的乘积：Ai=b h i 则横断面面积： A =b h 1+b h 2 +b h 3 +… +b h n =b∑ h i 当 b = 1m 时，则 A 在数值上就等于各小条块平均高度之和∑ h i 。 2.坐标法：如图4-5已知断面图上各转折点坐标（xi,yi）, 则断面面积为： A = [∑（x i y i+1 -x i+1 y i ) ] 1/2 坐标法的计算精度较高，适宜用计算机计算。

图4-4 横断面面积计算(积距法) h 4 h 1 h 2 h 3 h n A 图4-5 横断面面积计算(坐标法) 5,y 5) 二、 土石方数量计算 路基土石方计算工作量较大，加之路基填挖变化的不规则性，要精确计算土石方体积是十分困难的。在工程上通常采用近似计算。即假定相邻断面间为一棱 柱体，则其体积为： V=（A 1+A 2） 2 L 式中：V — 体积，即土石方数量（m 3）； A 1、A 2 — 分别为相邻两断面的面积（m 2）；

L —相邻断面之间的距离（m ）。 此种方法称为平均断面法，如图4-5。用平均断面法计算土石方体积简便、实用，是公路上常采用的方法。但其精度较差，只有当A1、A2相差不大时才较准确。当A1、A2相差较大时，则按棱台体公式计算更为接近，其公式如下： V=31(A 1+A 2) L (1+m m 1) 式中：m = A 1 / A 2 ，其中A 1 ＜A 2 。 图4-5 平均断面法 第二种的方法精度较高，应尽量采用，特别适用计算机计算。 用上述方法计算的土石方体积中，是包含了路面体积的。若所设计的纵断面 有填有挖基本平衡，则填方断面中多计算的路面面积与挖方断面中少计算的路面面积相互抵消，其总体积与实施体积相差不大。但若路基是以填方为主或以挖方为主，则最好是在计算断面面积时将路面部分计入。也就是填方要扣除、挖方要增加路面所占的那一部分面积。特别是路面厚度较大时更不能忽略。 计算路基土石方数量时，应扣除大、中桥及隧道所占路线长度的体积；桥头引道的土石方，可视需要全部或部分列入桥梁工程项目中，但应注意不要遗漏或重复；小桥涵所占的体积一般可不扣除。 路基工程中的挖方按天然密实方体积计算，填方按压实后的体积计算，各级公路各类土石方与天然密实方换算系数如表4—6所示，土石方调配时注意换算。 表 4—6 路基土石方换算系数

不规则图形面积的计算(一)

不规则图形面积的计算（一） 我们曾经学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等基本图形（也叫规则图形）的面积计算，但在实际问题中，有些图形的面积是由一些基本图形通过组合、平凑而成的，他们的面积及周长无法用公式直接计算，我们通常称这些图形为不规则图形。 那么，我们怎样计算不规则图形的面积和周长呢？ 我们一般是将这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，从而较轻松的解决问题。 【例1】如图，正方形的边长是4，求阴影部分面积 【分析】正方形的对角线将正方形平分，又因所截其直线平行于正方形的边，故阴影和空白处的面积相等。 【例2】如图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE。求阴影部分的面积。 【分析】由FG=2GE可知，G点是线段EF的三等分点，故阴影部分的面积是

三角形CEF面积的三分之一。 【例3】如图，平行四边形ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC=8，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10。求CF的长。 【分析】本题看似没有思路，重要是要理清各个面积之间的联系。 提示语对于求不规则图形的面积，首先要看清题目所给的条件，及通过题目所给条件可以得出什么？一般利用加辅助线，可以通过剪、拼、凑的方法得出答案。， 自己练 1、求下列图形阴影部分面积：单位：厘米

2、解答题： 直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米。又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积。 （3）、有一三角形纸片沿虚线折叠到右下图，他的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米。求原三角形面积。 【提高题】求阴影部分面积（字母是为解题方便加的）

第一讲直线型面积的计算-((带完整答案)五年级奥数

第一讲 直线型面积的计算 内容概述 前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！ 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。如下表： 对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！ 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等． ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ?和BCD ?夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ??=；反之，如果BCD ACD S S ??=， 则可知直线AB 平行于CD 。 这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！ 开学了！去奥数网学习数学！ C D B

例题精讲 【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成 （1）2个面积相等的三角形； （2）3个面积相等的三角形； （3）4个面积相等的三角形。 分析：（1）如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样 就将三角形分成了2个面积相等的三角形； （2）如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线 段的中点；答案不唯一； （3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考； 前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例2 。 【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两 边中点的连线。如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义 可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。那么请你说明： （1）DE与BC平行 （2）DE= 1/2 BC （3）S△ADE= 1/4 S△ABC 分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。 如右图（1），连接DC、BE。因为D、E分别是AB、AC的中点，所以S△BDC= 1/2 S△ABC= S△BEC，又因为△BDC与△BEC同用BC做底，根据“内容概述”部分常 用结论③可得：DE与BC平行。同理可得：DF与AC平行，EF与AB平行。 （2）我们知道两组对边平行的四边形是平行四边形，因为DE与BC平行，EF与AB平行，所以四边形BDEF是平行四边形，所以DE=BF=1/2 BC。同理可得：DF= 1/2 AC，FE= 1/2 AB 。 （3）如图（1），因为E是AC的中点，所以S△ABE= 1/2 S△ABC，D是AB的中点，所以

六年级数学计算阴影部分面积-(五)

求阴影部分面积 例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是最基本的方法：圆 面积减去等腰直角三角形的 面积， ×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面 积。(单位:厘米) 解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减 去 圆的面积。 设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以 =7， 所以阴影部分的面积为： 7-=7-×7=1.505平方厘米 例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：最基本的方法之一。用四 个圆组成一个圆，用正方 形的面积减去圆的面积， 所以阴影部分的面积： 2×2-π＝0.86平方厘米。例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：同上，正方形面积减去圆面积， 16-π()=16-4π =3.44平方厘米 例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是一个用最常用的方法 解最常见的题，为方便起见， 我们把阴影部分的每一个小 部分称为“叶形”，是用两个 圆减去一个正方形， π ()×2-16=8π-16=9.12 平方厘米 另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍， 问：空白部分甲比乙的面积多多少厘 米？ 解：两个空白部分面积之差就是两圆面 积之差（全加上阴影部分） π-π()=100.48平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关） 例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长× 对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5 所以阴影面积为： π ÷4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面 积，割补以后为圆， 所以阴影部分面积为 ： π()=3.14平方厘米

高思导引-四年级第七讲-直线形计算教师版

第7讲?直线形计算一 内容概述 掌握正方形，长方形,平行四边形,三角形以及梯形的面积计算公式,并能够熟练应用;计算平行四边形和三角形的面积时，学会选择适当的底和高. 典型问题 兴趣篇 1. 如图7-1,由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字,如果这个图形的周长是10２厘米,那么它的面积是多少平方厘米？ 分析：简单的图形知道周长求解面积,图是由相同的小正方形组成 即每一边长相等。周长是由3４个边长组成，算出边长的长度 就可以算出面积。 ） （面积：） （2cm 1441633cm 334102=??=÷ ２． 如图7－２,用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片，其中小正方形纸片面积是49平方厘米，其中一个长方形纸片的面积为28平方厘米，那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米? 分析：分别由小正方形的面积知道边长，从而知道另外长方形的宽,求解大正方形的边长。 解: ） （） （）（2cm 1211111cm 1174cm 47287 749=?=+=÷?= 3． 如图7-3,小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放，边长分别是3、7、９, 图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？ 分析：阴影部分的面积是由两个平行四边形组成。根据边长相差求解底，而高为正方形的高 解:399273=?+? 4. 如图7－４,从梯形AB ＣD 中分出两个平行四边形ABEF 和ＣDFG ，其中ＡＢE Ｆ的面积等于60平方米,且ＡF 的长度为10米，ＦD 的长度为4米,平行四边形CDFG 的面积等于多少平方米？ 分析：利用平行四边形的面积＝底*高，知道面积求解出高就能算出面积了。 解：（平方米）（平方米）24466 1060=?=÷ 5． 如图7-5,把大、小两个正方形拼在一起,它们的边长分别是8厘米和6厘米，那么左图和右图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米?

高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的比例关系

J 望 昆大侠 溝了！ 这个故事 说起来就久远 了■ ■ ■ ■ 1 ■律! □-5 T L 不打里思与蔡川因为这一战 攀道剑鮒眾翳胡 请1乍亦 第十八讲 直线形计算中的比例关系 很久以前. 青一场n 惊江 鬭的人战.匚 原大侠望昆与 魔救蹌一高手 黎川相约在华 山之昴决斗. 苓苓「这个飞繚是 怎么来的呼 这就是 ■小黎飞镖" 的来由了！ 望昆用尽力■击出一 劃”正好打在?小養飞 *JT 上，井在无星不轉 的飞傑 上留下了一道削* 决斗的情况十幷滋 熱.熾后黎川发出了自 己的绝招?小柴飞象， 打向了箋昆.

在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系, 中的基本结论. 当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比. 如图所示，对于三角形ABD与三角形BDC ,它们有共同的高BH ,可知三角形ABD的面积AD 三角形BDC的面积DC ° 例题1.如图，AE:EB=3:2, CD:DB=7:5,三角形ABC的面积是60,求三角形AED的面积. 「分析」图中是否有等高的三角形? 练习1.如图，CE : AE 2:5 , CD : DB 7:5三角形ABC面积为120，求三角形AED的面 积. 在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖” ?把“飞镖”立起来（如图），标好字母，A 会发现两个三角形：三角形ADE与三角形ABC ?这两个三角形有一个公共的角A,并且 ■' 角A的两边AD、AE分别在AB、AC上.对于符合这种情况的三角形ADE与三角形ABC, 我们称之为“共角三角形” . D F面我们复习一下其 A B

对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如： 在“小黎飞镖”中，有三角形ADE的面积AD AE .（同学们，可以想一想如何来证明这 三角形ABC的面积AB AC 个结论.提示：连结四边形BDEC的一条对角线） 例如：如果在“小黎飞镖”中，D点是AB上靠近B的3等分点，E点是AC上靠近A AD 2 AE 1 的3等分点，那么，，那么三角形ADE的面积就是三角形ABC面积的AB 3 AC 3 2 1 2 3 3 9 . 有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了?请看下面的问题. 例题2.如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍.三角 形AED的面积是10,那么三角形ABC的面积是多少？ 「分析」△ ADE占厶ABC的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算? 练习2. 积是8, 三角形ABC中，BD的长度是AB的丄,AE的长度是AC的1 .三角形AED的面 4 那么三角形ABC的面积是多少？ 例题3?如图，已知长方形ADEF的面积是16, BE=3BD, CE=CF .请问：三角形BEC的 面积是多少? 「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？

面积比法计算设计断面洪水中面积指数的确定

面积比法计算设计断面洪水中面积指数的确定 刘连梅,信增标，王保东,田燕琴(水利部河北水利水电勘测设计研究院,天津3０025０)【摘要】：南水北调中线工程河北段460多ｋm，共与大小河沟20０多条相交,有不少河沟交叉断面设计洪水需要采用面积比法计算。为此，对海河流域部分河流实测降雨洪水资料作了分析，得出了不同时段洪量的面积指数范围,为南水北调中线工程设计提供了依据。 【关键词】: 南水北调中线工程;设计洪水;面积比法;面积指数 1 问题的提出 在设计洪水计算时,当设计断面无实测资料，但其上游或下游建有水文站实测资料,且与设计断面控制流域面积相差不超过3%,区间无人为或天然的 分洪、滞洪设施时,可将水文站实测资料或设计洪水成果直接移用于设计断面;若区间面积超过3%，但小于20％,且全流域暴雨分布较均匀时,常用面积 比法将水文站设计成果进行推算。该方法的关键是面积指数的选取。在海滦河流域以往一般根据经验取值，在只对计算洪峰流量时,面积指数一般选用０．5 ~ ０.7；计算时段洪量时面积指数没有选定范围。南水北调中线工程河北省段460多ｋm，共与大小河沟20０多条相交,有不少河沟交叉断面设计洪水需要采用面积比法计算,为此对海河流域部分河流实测降雨洪水资料作了分析，得出了不同时段洪量的面积指数范围,为中线工程设计提供了依据。 2 河流、水文站及洪水资料的选取２．1 河流及水文站的选取原则 一般讲，一条河的上下游两站流域面积小于20%时，可作为分析对象。但海滦河流域实际上水文站网稀少,因此选取时将区间面积放宽到30%，个别站放宽到３5%。基本满足此条件的河流及水文站见表１所列。 2.２洪水资料的选取 洪水资料的选取应符合以下３条原则：（1）尽量选取较大的洪水资料；(2）选取流域内降雨分布比较均匀的场次洪水；(3）对上游修建大中型水库的河流，应选取建库前的资料。 由于滦河和桑干河流域面积过大,包含了迎风山区、背风山区和高原区,难以出现全流域均匀降雨,未选用洪水资料。其他４条河8个代表站流域面积

六年级数学-不规则图形面积计算

不规则图形面积计算（1） 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形. 我们的面积及周长都有相应的公式直接计算. 如下表： 实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算. 一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过 实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了、例题与方法指导 例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和 12厘米. 求阴影部分的面积。 思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白” 三角形（△ ABG、△BDE、△ EFG）的面积之和。

例 2 如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，△ ABE 、△ ADF 与四边形 AECF 的面积 彼此相等，求三角形 AEF 的面积 . 1 ∴四边形 AECF 的面积与△ ABE 、△ ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的 。 3 在△ ABE 中，因为 AB=6.所以 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2， ∴△ ECF 的面积为 2×2÷ 2=2。 所以 S △ AEF=S 四边形 AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。 例 3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米和 6 厘米。如右图那样 在等腰直角三角形 ABC 中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=4， ∴阴影部分面积 =S △ ABG-S △ BEF=25-8=17（平方厘米）。 例 4 如右图， A 为△ CDE 的 DE 边上中点， BC=CD ，若△ ABC （阴影部分）面积为 5 平方厘米 . 求△ ABD 及△ ACE 的面积 . 思路导航： 取 BD 中点 F ，连结 AF.因为△ ADF 、△ ABF 和△ ABC 等底、等高， 所以它们的面积相等，都等于 5 平方厘米 . ∴△ ACD 的面积等于 15 平方厘米，△ ABD 的面积等于 10 平方厘米。 又由于△ ACE 与△ ACD 等底、等高，所以△ ACE 的面积是 15 平方厘米。 思路导航： ∵△ ABE 、△ ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等， 重合 . 求重合部分（阴影部分）的面积。 思路导航： C

小学数学五大直线型面积模型

小学数学五大直线型面积模型 一：等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等 2、两个三角形高相等面积比等于他们的底的比 3、两个三角形的底相等，面积比等于他们的高的比 二：鸟头定理 1、两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形，面 积比等于对应角（相等或互补）两角夹边的乘积之比 三、蝴蝶定理 任意四边形与四边形、长方形、梯形、连接对角线所形成四部分比例关系是 一样的 四、相似三角形模型 1、相似三角形是形状相同，但大小不一样的三角形叫相似三角形 2、相似三角形一切对应线段成比例，并且这个比例等于相似比 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方 一：等积变换 1、用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求 三角形ABC 的面积． 3、如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且SABCD=54 平方厘米，求S △BEF ． 4、如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积． 5、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 6、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点， H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？ 7、(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积 为5平方厘米，ABC ?的面积是 平方厘米． 8、图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方 厘米? 二、鸟头定理 1、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 2、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积 等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ 3、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 4、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中 阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

六年级数学计算阴影部分的面积-(五)

求阴影部分面积 例 1.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积， ×例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。 设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以 =7，所以阴影部分的面积为： 7-

-2×1=1.14（平方厘米） =7- ×7=1.505平 方厘米

例 3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：最基本的方法之一。用 四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：同上，正方形面积减去圆面积， 16- π( )=16-4π =3.44平方厘米 例 5.求阴影部分的面积。(单 位:厘米) 解：这是一个用最常用的方法 解最常见的题，为方便起见， 我们把阴影部分的每一个小 部分称为“叶形”，是用两个 圆减去一个正方形，π( )×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的例 6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？ 解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分） π-

8倍。π( )=100.48平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的 情况如何无关） 例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π ÷4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用 图形的差来求,无需割、补、 增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面 积，等于左面正方形下部空白部分 面积，割补以后为 圆，所以阴影部分面积为：

不规则图形的面积计算

不规则图形的面积计算 在图形面积计算时,经常会到一些无法直接求或不规则的图形,这时我们需要转换解题思维，根据图形的基本关系，运用分解、平移、旋转、割补、添辅助线等方法来思考。下面介绍几种常见的面积计算的解题思路. 一、“大减小” 例1．求下图中阴影部分的面积（单位：厘米） 解析：阴部部分的面积=“大减小” =两正方形面积-空白部分面积 =（4×4+3×3）-（4+3）×4÷2 =11平方厘米 二、“补” 例2．四边形ABCD是一个长10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米，求CF的长。 解析:假设三角形EFC为图1，四边形ECBA为图2，三角形ADE为图3。给1、3同时补上2，它们的面积差不会发生改变 图形3的面积-图形1的面积=10

（图形3+图形2）-（图形1+图形2）= 即长方形ABCD的面积-三角形ABF的面积=10 那么，三角形ABF的面积=60-10=50=AB×BF÷2 可算出 BF=10厘米，所以CF=10-6=4厘米 例3．如图，四边形ACEF中，角ACE=角EFA=90°，角CAF=45°，AC=8厘米，EF=2厘米，求四边形ACEF的面积 解析：分别延长AF、CE，交于B点 在三角形ABC中，很明显，它是个等腰直角三角形，面积=8×8÷2=32平方厘米 在三角形EFB中，很明显，它也是一个等腰直角三角形，面积=2×2÷2=2平方厘米 所以，S四边形ACEF=S△ABC-S△EFB=32-2=30平方厘米 三、“移” 例4．如图所示（1图），四边形ABCD是一个长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路，求路的面积。 解析：小路是曲折的，不规则图形，可用采用“移”的思路来解决 把图1下面空白部分往上、往左移，使它与上面空白部分连接在一起，就成了图2中的空白部分，是一个长方形，长是20-2=18米，宽是14-2=12米，这个长方形的面积=18×12=216平方米，小路的面积=大长方形的面积-空白长方形的面积=20×14-216=64平方米 例5．如图，AE=ED，AF=FC，已知三角形ABC的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积

六年级奥数专题第一讲直线型面积知识

知识提要 模型一：任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”) ①S1：S2=S4：S3或者S1×S3＝S2×S4 ② A0：OC=(S1+S2)：(S4+S3) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①Sl：S3=a2：b2 ②S1：S3：S2：S4=a2：b2：ab：ab； ③S的对应份数为(a+b)2． 梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道，构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果． 模型三：燕尾定理： S△ABG：S△AGC=S△BGE：S△EGC =BE：EC S△BGA：S△BGC=S△AGF：S△FGC =AF：FC S△AGC：S△BCG=S△ADG：S△DGB =AD：DB 燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之

中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径．通过一道例题证明一下燕尾定理： 模型四：相似三角形性质 ①AD AB = AE AC = DE BC = AF AG ② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下： (1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； (2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方； (3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线； 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。 这四个模型，再加上我们在秋季学习的三角形面积与底、高成比例的模型共同构成几何的五大模型，这五大模型在以后的学习中会经常用到，希望同学们能认真学习． 模型一：“蝴蝶定理”主要抓住两种状态

六年级数学重点内容面积计算

六年级数学重点内容面积计算（一） 一、知识要点 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 二、精讲精练 【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AN ED BD=2/3BC 求阴影部分的面积。 ■. 【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于 AE=ED连接DF,可知S A AEF=S\EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。 因为BD=2/3BC 所以S A BDF= 2S A DCF 又因为AE= ED,所 以S A ABF= S A BDF= 2S A DCF 因此，S A ABC= 5 S △ DCF由于S A ABC= 8平方厘米，所以S A DCF= 8- 5 二1.6 （平方厘米），则阴影部分的面积为1.6 X 2二3.2 （平方厘米）。 练习1 : 1. 如图，AE= ED BC=3BD S A ABC= 30平方厘米。求阴影部分的面积。

8 形的面积，求另两个三角形的面积是多少? 2. 如图所示，AE=ED DC= 1/3BD , S A ABG= 21平方厘米。求阴影部分的面 3 .如图所示，DE= 1/2AE , BD= 2DC S A EBB 5平方厘米。求三角形 ABC 的面积。 【例题2】两条对角线把梯形ABCD^割成四个三角形, 如图所示，已知两个 三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？ 【思路导航】已知S ^BOC 是 S ^DOC 勺2倍，且高相 等，可知：BO= 2DO 从S A ABD 与 S A ACD 相等（等底等高） 可知：S A ABO 等于6,而厶ABM A AOD 勺高相等，底是△ AOD 的2倍。所以△ AOD 勺面积为6- 2= 3。 因为S A ABD 与 S A ACD 等底等 高 因为S A BOC 是 S A DOC 勺2倍 所以 S A ABO= 6 所以A ABC 是A AOD 的2倍 所以 A AOD= 6宁 2 = 3o 答：A AOD 勺面积是 练习2: 1.两条对角线把梯形ABCD^割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角 D A A n

不规则图形面积的计算及详细讲解

第一讲不规则图形面积的计算（一） 习题一（及详细答案） 一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）： 二、解答题： 1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。 2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN （阴影部分）的面积. 3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。 4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积. 5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积. 6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？ 7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.

8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长. 习题一解答 一、填空题： 二、解答题： 3．CE=7厘米． 可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米． 4．3．提示：加辅助线BD ∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。 同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6， 6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）÷2=（米），长方形的长为=（米）.

六同第三讲直线型面积计算

第三讲直线型面积计算 教学目标：1.掌握等量代换和割补法的性质与特点 2.灵活运用这两种方法决求直线型图形的面积。 3.培养学生分析问题解决问题的能力 教学重难点：割补法在求图形面积中的应用。 教学方法：讲练 教学用具：讲义 教学过程: 一、故事导入 一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，认为围起半个地球总够大了。（讲到这里，老师们可以停下来问问同学们还有更好的方法吗？让学生们各抒己见） 揭晓答案，数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”师：这个故事告诉我们想问题不能墨守成规，而要把思路发散开来。就像我们同学从3年级开始就已经学习了长方形、正方形、梯形、三角形等图形，对于他们的面积公式肯定是熟记于心。（这里可以带着学生复习一下面积公式：长方形S=a×b；正方形S=a×a；梯形S=(a+b) ×h÷2；三角形S= a×h÷2。另外老师可以准备一些规则以及不规则的图形卡片，引导学生发现生活中实际有很多平面图形并不是规则的图形，那么我们该如何来求它们的面积呢？这就需要一定的方法了） 下面就跟着老师走进今天的数学课堂，学完今天的内容大家就会豁然开朗了！那么我们一起来学习----直线型面积计算 二、新课学习

例1：（原例3）、已知长方形ABCD 的面积是40平方厘米，AE=5cm ，求BD 的长。 解析：可以很容易发现BD 是三角形ABD 的一条边，又因为AE 为BD 的高，那么在已知高的情况下如何求底边？利用公式三角形 S= a ×h ÷2变形得a=s ×2÷h 。可以求得BD 。 三角形ABD 的面积：40÷2=20平方厘米 BD 的长：20×2÷5=8厘米 小结：本题采用公式变形的方法计算出结果，称之定义法。 例2：（原例1）、三角形ABC 的面积为36平方分米,DC=2BD,求阴影部分的面积。 解析：由题意DC=2BD ，可以理解成BD 被分成3份，BD 占1份，DC 占2份，又因为三角形ADC 和三角形ABD 等高，所以三角形ADC 是三角形ABD 的2倍。 36÷（1+2）×2=24平方分米 过渡：来看下一个例题可不可以用这个方法呢？ 例3、如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE=3ED ，三角形ABC 的面积为96平方厘米，求阴影部分。 D C

六年级：数学 - 组合图形面积的计算

小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学六年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

数学 - 组合图形面积的计算 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学六年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 一、教材内容： 九年义务教育六年制小学教科书第九册第三单元第五节《组合图形面积的计算》。即P90---91页的例题和练习题。 教学要求： 使学生初步了解组合图形面积的计算方法，会计算一些较简单的组合图形的面积。 使学生掌握组合图形常用的割补方法。 教学重点、难点： 教学重点：利用正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些平面图形面积来求组合图形的面积。 教学难点： 根据图形特征采用什么方法来分解组合图形，达到分解的图形既明确而又准确求出它的面积。

教学过程： 以“寻标追源”为教学模式，以目标教学为基本教学形式，以尝试法为主要教学手段。 前置回顾，展示目标； 在发散思维中探究新知，精讲点拨，完成目标； 概括总结，反馈矫正。 ㈠、引标：创设情境，引导探索 ⒈旧知辅垫，诱发注意 电脑显示单车、榨栏、阶梯组合图，标出几种已学过的三角形、平行四边形、长方形、梯形，让学生说出名称和面积计算字母公式。 （这里通过实物感知，了解各平面图形的特征，说出面积公式，加深对旧知识的复习，沟通新旧知识的联系，为学习新知识做好铺垫。） 设景感知，激活思考 电脑显示一幅美丽的画面，一位小天使对一面墙提出问题：“你能计算这幢房的侧面墙的面积吗？”从而揭示课题《组合图形面积的计算》。 （这样通过直观并带有趣味的引导，使学生产生好奇心，引起学习动机，迫切“试一试”的愿望。从而吸引了学生的注意力，激发了学生的求知欲，从这里打开学生通道，促使学生

第一讲不规则图形面积的计算(一)

第一讲不规则图形面积的计算（一） 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，它们的面积及周长都有相应的公式直接计算。 实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 例1 如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米。求阴影部分的面积。 A B C 解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个

“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。 1×10×10=50； 因为S△ABG= 2 1（10＋12）×12=132； S△BDE= 2 1（12－10）×12=12。 S△EFG= 2 又因为S甲＋S乙=12×12＋10×10=244， 所以阴影部分面积=244－（50＋132＋12）=50（平方厘米）例2如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、 △ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。 解：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD面积的三分之一。也就是： 1×6×6=12。 S四边形AECF=S△ABE=S△ADF= 3 在△ABE中，因为AB=6，所以BE=4，同理DF=4，因此，CE=CF=2，所以△ECF的面积为2×2÷2=2。 所以S△AEF= S四边形AECF－S△ECF=12－2=10（平方厘米）。 例3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如下图那样重合。求重合部分（阴影部分）的面积。