排列组合及概率统计

考纲解析

排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。

资源链接 本讲对应CIU 视频资源：概率论及数理统计.jbl 。 本讲内容

10.1 排列组合基础

10.1.1 排列的基本概念及实例

从n 个不同的元素中，任取m (m ≤n )个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。如果元素和顺序至少有一个不同。则叫做不同的排列。元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。排列数的计算公式为

)1()2)(1(+---=m n n n n A m

n Λ（其中m ≤n ，m ，n ∈Z ）。 10.1

（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作7个元素的全排列——77A = 5040。

（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——6

6A = 720。

（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有2

2A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 5

5A =240种排列方法。

（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头

和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有5

5A 种方法，

所以一共有22A 5

5A =2400种排列方法。

解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有6

6A 种方法；若甲站在排

这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要

注意审题，题

意是可能设置

陷阱的地方。

对于这类

问题，要掌握

常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。

头，且乙站在排尾则有55A 种方法。所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有7

7A －662A ＋55A =2400种。

10.2 7位同学站成一排。

（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起

进行全排列有6

6A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有2

2A 种方法。所以这样的排法一共有66A 2

2A =1440种。

（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

解：方法同上，一共有55A 3

3A =720种。

（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙

不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有2

5A 种

方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法。所以这样的排法一共有25A 44A 2

2A =960种方法。

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

若丙站在排头或排尾有25

5A 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=?-A A A 种方法。

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙

不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有1

4A 种方法，再将其余的5个元素

进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有14A 55A 2

2A =

960种方法。

10.1.2 组合的基本概念及实例

一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做

从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号m

n C 表示。组合数的计算公式为：

!

)

1()2)(1(m m n n n n A A C m m

m n m n

+---=

=

Λ或!

)(!!

m n m n C m n -=

（n ，m ∈ N *，且m ≤n ）

组合数还具有下面的性质：m n n m n C C -=。一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，

剩下n - m 个元素。因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个

元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=。在这里，主要体现：“取法”与“剩法”

是“一一对应”的思想。

注：1．规定10

=n

C 。 2．等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标。

3．此性质作用：当2

n m >时，计算m n C 可变为计算m

n n C -，能够使运算简化。

例如：20012002C =200120022002-C =1

2002C =2002。

注意

组合数的性质，在中往往可到简化计效果。

4．y n x

n

C C =y x =?或n y x =+。 10.3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。

（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：（1）5638

=C （2）2127=C （3）3537=C 可发现：=38C +27C 37C 。因为从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一

类含有1个黑球，一类不含有黑球。因此根据分类计数原理，上述等式成立。

一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m

n C 1+，这些组合

可以分为两类：一类含有元素a 1，一类不含有a 1。含有a 1的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个

元素中取出m -1个元素与a 1组成的，共有1

-m n C 个；不含有a 1的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个。

10.4 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法。 （1）分给甲、乙和丙三人，每人两本；

（2）分为三份，每份两本；

（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

（4）分给甲、乙和丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； （5）分给甲、乙和丙三人，每人至少一本。

解：（1）根据分步计数原理得到902

22426

=C C C 种。 （2）分给甲、乙和丙三人，每人两本有2

22426

C C C 种方法。这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙和丙三名同学有3

3A 种方法。根据分步计数原理可得：3

3222426

xC C C C =

，所以

153

3

2

22426==A C C C x 。因此分为三份，每份两本一共有15种方法。

（3）这是“不均匀分组”问题，一共有603

32516

=C C C 种方法。 （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有3603

3332516

=A C C C 种方法。 （5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有902

22426

=C C C 种方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有3603

3332516=A C C C 种方法；③“1、1、4型”，有903

346

=A C 种方法。所以一共有90+360+90 = 540种方法。

10.2 概率论及应用数理统计基础

概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于0和1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。 10.2.1 古典概率

所谓事件A 的概率是指事件A 发生可能性程度的数值度量，记为P (A )。规定P (A )≥0，P (Ω) = 1。满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N Ω，而事件A 所含的样本数，即有利于事件A 发生的基本事件数为N A ，则

事件A 的概率便定义为：基本事件总数

包含基本事件数

A N N A P A ==Ω)(。

10.5 （取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。

（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。

（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球。 （3）一次取球：从袋中任取3个球。

在以上取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。 解：（1）有放回取球N Ω = 8×8×8 = 83 = 512（袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球

的概率相等）2253523355231

2=???? ??=?????? ??=A N （先从三个球里取两个白球，第一次取白球有5种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况），

()44.0512225

===ΩN N A P A 。

（2）无放回取球N Ω = 8 ? 7 ? 6 = 3

8A = 336，18023345231325=???

? ??=?????? ??=A A N A ，故()54.0336

180

===ΩN N A P A 。

（3）一次取球

5631518138=???? ??=A N ，301325=???

? ?????? ??=A N ，

要理解概率的意义，所谓概率就是某一事件发生的可能性相对于所有的可能性来说所占的比值。

古典概率围绕事件进行，注意样本空间的概念，所谓样本空间就是所有的可能性，而样本点就是某一种可能性。

注意取球问题是一个非常典型的应用，关键就是要把握是否有放回。

故()。

54.0563*******==???

?

?????? ?????? ??==

Ω

N N A P A 古典概率具有下面的性质。

● 若A ?B ，则P (B -A )=P (B )-P (A )。即差的概率等于概率之差。 ● 若A ?B ，则P (A )≤P (B )。即概率的单调性。 ● P (A )≤1，对任意事件A ，P (A )=1-P (A )。

● 对任意事件A ，B ，有P (A U B )=P (A )+P (B )-P (AB )。

10.6 设A ，B ，C 为三个事件，已知P (A )=P (B )=P (C )=0.25，P (AB )=0，P (AC )=0，

P (BC )=0.125，求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解：由于ABC ?AB ，故0≤P (ABC )≤P (AB ) = 0，从而P (ABC ) = 0。所求概率为 P (A ?B ?C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) - P (AB ) - P (AC ) - P (BC ) + P (ABC )

8508100414141=+---++= 10.2.2 条件概率

在实际问题中，常常需要计算在某个事件B 已发生的条件下，另一个事件A 发生的概率。

在概率论中，称此概率为事件B 已发生的条件下事件A 发生的条件概率，简称为A 对B 的条件概率，记为P (A | B )。一般地，因为增加了“事件B 已发生”的条件，所以P (A | B ) ≠ P (A )。

设A 、B 为两个事件，且P (B ) > 0，则称)

()

(B P AB P 为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率，

记为)

()

()|(B P AB P B A P =。再看一下乘法公式：设有事件A 和B ，若P (A ) > 0或P (B ) > 0，由概

率得P (AB ) = P (A )P (B | A )，或P (AB ) = P (B )P (A | B )。再看n 个事件的情况，设有n 个事件A 1，A 2，…A n ，若P (A 1A 2…A n -1) > 0，则有P (A 1A 2…A n ) = P (A 1)P (A 2 | A 1)P (A 3 | A 1A 2)P (An | A 1A 2…A n -1)。事实上，由事件的包含关系,........121321211-????n A A A A A A A A A 有

P (A 1)≥P (A 1A 2)≥P (A 1A 2A 3)≥…..≥P (A 1A 2…A n –1)＞0，

故公式右边的每个条件概率都是有意义的，于是由条件概率定义可得

)...|().....|()|()(121213121-n n A A A A P A A A P A A P A P

)

....()....()()

()()()(12121213211211-?

?????

=n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P A P ),...,(21n A A A P =。

10.7 甲、乙和丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假

设被抽的10个试题签中有4个难题签，按甲先、乙次及丙最后的次序抽签。求甲抽到难题签、

甲和乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙和丙都抽到难题签的概率。

解：设A ，B 和C 分别表示甲、乙和丙各抽到难题签的事件，则有

5

2

104)(==A P ，

15

2

93104)|()()(=

?==A B P A P AB P ，

)15

4931041()|()()(=?-

==A B P A P B A P ， 30

1

8293104)|()|()()(=

??==AB C P A B P A P ABC P 。 在概率中，还经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常需把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果，这就需要用到全概率公式。在很多实际问题中若事件A 发生的概率的计算比较困难，则可利用全概率公式转为寻求划分B 1，B 2，…B n 及计算P (B i )和P (A | B i )的问题。

10.8 盒中有12只新乒乓球，每次比赛时取出3只，用后放回，求第3次比赛时取

到的3只球都是新球的概率。

解：设A 表示第3次比赛取到3只新球的事件，B i (i = 0,1,2,3)表示第2次取到i 只新球

的事件，由3

12339)(C C C B P i i i -=，31239)|(C C B A P i

i -=，得146.0)|()()(1

==∑=i i n i B A P B P A P 。 10.9 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4

件，且具有如下的概率：

一批产品中的次品数

0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

概率

1

2

3

4

现进行抽样检验，从每批中随机抽取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率。

解：设A 表示一批产品通过检验的事件，B i (i = 0,1,2,3,4)表示一批产品中含有i 件次品，

则由1.0)(0=B P ，1)|(0=B A P ，2.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，900.0)|(10100

1099

1==C C B A P ，

809.0)|(10100

10982==

C C B A P ，2.0)(3=B P ，727.0)|(10100

10973==

C C B A P ，

1.0)(4=B P ，65

2.0)|(10100

10964==

C C B A P ，得=

)(A P c B P i n

i )(1

∑=

652.01.0727.02.0809.01.0900.02.011.0?+?+?+?+?=814.0≈。

10.2.3 贝叶斯公式

设A 为样本空间Ω的事件，B 1，B 2，…B n 为Ω的一个划分，且0)(,0)(>>i B P A P ，则n i B A P B P B A P B P A B P n

j i i i i i Λ,2,1)

|()()

|()()|(1

==

∑=。这一公式称为贝叶斯公式。若把A 视为观察的“结

果”，把B 1，B 2，…B n 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并做出了“由果溯因”的推断。

10.10 设某工厂甲、乙和丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，

35%和20%。且各车间的次品律依次为4%，2%和5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，

问该产品是由哪个车间生产的可能性大？

解：设A 表示产品为次品的事件，B 1，B 2，B 3分别表示产品有甲、乙和丙车间生产的事件，则由%45)(1=B P ，%35)(2=B P ，%20)(3=B P ，

注意对于贝叶斯公式的应用来说，关键在于一个转换，也就是说怎样完成A 发生条件下B 发生的概率和B

B 发生条发生的概转换，要题意。

%4)|(1=B A P ，%2)|(2=B A P ，%5)|(3=B A P ，

得)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=

于是有 514.0035.044

.045.0)()()|(11≈?==A P A B P A B P ；

200.0035.002

.035.0)()()|(22≈?==A P A B P A B P ；

286.0035

.005

.020.0)()()|(33≈?==

A P A

B P A B P 。 可知该产品是由甲车间生产的可能性最大。 10.2.4 事件的独立性及贝奴里实验

设事件A ，B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A ，B 是相互独立的。若事件A ，B 相互

独立，且0)(>A P ，则有)()

()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===，在实际问题中，常常不是根

据定义来判断事件的独立性，而是由独立性的实际含义，即一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率来判断两事件的相互独立性。

假设在相同条件下进行n 次重复试验，并且每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生；同时在每次试验中，A 发生的概率均一样，即p A P =)(；而各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概率模型，或称为n 重贝努里试验。

在n 重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A 发生的次数。若)(k P n 表示n 重贝努里试验中A 出现k (0≤k ≤n )次的概率，p A P =)(，q p A P =-=1)(，则n 重贝努里试验A 中出现

k 次的概率计算公式为k

n k k n

q p C k P -=)(，n k ,,2,1,0Λ=。 10.11 一大楼有5个同类型的独立供水设备，调查表明，在任意时刻t ，每个设备

被使用的概率为0.1，问在同一时刻，

（1）恰有两个设备被使用的概率是多少？

（2）至少有三个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有三个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

解：在同一时刻观察5个设备，它们工作与否是相互独立的，故可视为5重贝努里试验，p = 0.1，q = 1?0.1 = 0.9，于是可得

（1）0729.0)9.0()1.0()2(322

5

51===C P p 。 （2）00856.0)9.0()1.0()5()4()3(5

3

55

5552==++=∑=-k k k k

C P P P p 。 （3）99954.0)9.0()1.0()3()2()1()0(3

055

55553==+++=∑=-k k k k

C P P P P p 。 （4）40951.0)9.0(1)0(1554=-=-=P p 。

10.2.5 离散型随机变量及其分布

为了使各种不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等工具引进概率论，需引入随机变量的概念。设试验的样本空间为Ω，在Ω上定义一个单值实函数X = X (e )，e ∈Ω，对试验的每个结果e ，X = X (e )有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，所以X = X (e )的取值也是随机的，称此定义在样本空间 Ω上的单值实函数X = X (e )为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示。通俗地讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。如果随机变量X 的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X 为离散型随机变量。下面看一下离散型随机变量的几个重要分布。

1．两点分布

如果随机变量X 为0时概率为q ，为1时概率为p ，并且q = 1 - p ，0 < p < 1，则称X 服从参数为p 的(0-1)两点分布，简称为两点分布，记为X ~B (1,P )。

2．二项分布

如果随机变量X 的分布律为k

n k q p k n k X P -=???? ??==)(，k = 0, 1, 2…n ，其中0 < p < 1，q =

1 ? p ，则称X 服从参数为(n ，p )的二项分布，记为X ～B (n ，p )。

10.12 一批产品的废品率为0.03，进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为

0.1的概率。

解：令X 表示20次独立重复抽样中出现的废品数。X ～B (20，0.03)（注意：不能用X 表示频率，若X 表示频率，则它就不服从二项分布），所求的概率为

0988.097.003.0220)2()1.020(182==???

? ??====X p X

P 。 3．泊松分布

如果随机变量X 的分布律为P {X = k } =

λλ-e k x

!

，k = 0，1，2，…其中λ > 0，则称X 服从

参数为λ的泊松分布，记为X ~π(λ ) 或者X ~P (λ)。

10.13 设X ~π(λ)且已知P {X = 1} = P {X = 2}，求P {X = 4}。 解：由于X ~π(λ)，即X 的分布律为P {X = k } =λλ-e k k

!

，k = 0，1，2，…于是有

λ

λ

λλ--?==

=e

e

X P !

1}1{1

，λλ

λλ--=

=

=e e

X P 2

!

2}2{2

2

，由P {X = 1} = P {X = 2}可得方程λ

λ

λλ--e

e

2

2

，即2λ = λ2。解得λ = 2，0（弃去）。所以

X ~π(2)于是0902

.04

2}4{2

4==-e X P 查表0.0902。 10.2.6 连续型随机变量及其分布

所谓连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应

当是连续的，设F (x )为随机变量X 的分布函数，如果存在非负函数f (x )使得对任意实数X ，有?

∞

-x dt t f x F )()(，则称X 为连续型随机变量，f (x )为X 的概率密度。对于概率密度，有一个

重要的结果：?=<

dx x f b x a p )(}{。

注意对于离散型随机变量来说，关键就在它的离散上，作用域是一个个独立的点，取值时要注意几个点就对应一个区间。

二项分布要注意和贝奴里试验的对应关系。

对于泊松分布来说，主要是公式的运用。

连续型随机变量首先要理解区间的概念，是从负无穷到正无穷，但并不是每一

10.14 一种电子管的使用寿命为X 小时，其概率密度为??

?

??>≥=1000100100

)(2x x x x f ，，某仪

器内装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。

解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为

3

1

1501001100150100100}150{1501002

=-=-==≤?x dx x X P ，令Y 表示工作150小时内损坏的电子管数，则)3

1

3(~，B Y ，服从二项分布。于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率

44.094

)32()31(13}1{21==???

? ??==Y p 。

1．均匀分布

如果随机变量X 的概率密度为??

?

??≤≤-=，其他，01

)(b x a a b x f ，则称X 在区间[a ，b ]上服从均匀

分布，记为X ~U [a ，b ]；其分布函数为b

x b x a a x a b a

x x f >≤≤

????--=，，，10)(。

10.15 某公共汽车从上午7：00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7：00，

7：15，7：30，…时刻有班车到达此车站，如果某乘客是在7：00至7：30间等可能地到达此车站候车，问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。

解：设乘客于7点过X 分钟到达车站，则X ～U [0，30]，即其概率密度为f (x) = ??

??

?≤≤其他，，0300301

x ，于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为 p {10≤X ≤15或25≤X ≤30} = p {10≤X ≤15} + p {25≤X ≤30}

=?

?=+=+15

10302531305305301301dx dX 。 2．指数分布

如果随机变量X 的概率密度为?

??<≥- 000

)(x x e x f x ，，λλ，其中λ > 0，则称X 服从参数为λ的指

数分布，记为X ~E (λ)，其分布函数为?

??<≥-=-000

1)(x x e x f x ，，λ。

10.16 设随机变量X 服从参数为λ = 0.015的指数分布。

（1）求p {x > 100}。

（2）若要使p {X > x } < 0.1，问x 应当在哪个范围内？

解：由于X ～E (0.015)，即其概率密度为???<≥=-0000015)(015.0x x e x f x ，，，于是，

（1）p {X > 100} =

??+∞

+∞

--+∞

-==100

100

015.0015.0100

|)(015.0)(x x e dx e dx x f

段上都有定

义，区分概率密度和概率函数。

注意结合例题体会公式的运用。

注意积分区间段的运用。

正态分布主要注意标准型的使用。

≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≥ ≥ ≥

（2）要p{X > 0} < 0.1，即1.0)(015.0)(015.0015.0015.0<=-==-+∞+∞

+∞

--?

?

x

x x

x

x t e

ee dt e dt t f 。 取对数，便得?0.015x < 1n0.1，于是便解得5.153015

.01

.0n 1=>x 。 3．正态分布

如果随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x e x f x 2

221)(σμ

πσ，

其中μ，σ2(σ > 0)为常数，则称X 服从参数(μ，σ2)的正态分布，记为X ～N (μ，σ2)。

称μ = 0，σ2 = 1的正态分布N (0，1)为标准正态分布，其概率密度为

+∞<<∞-=-x e x x 2

2

)(21)(π

ψ；分布函数为?∞--=x dt e x t 22

21)(πφ（其值有表可查）

。 10.17 从某地乘车前往火车站，有两条路可走。（1）走市区路程短，但交通拥挤，

所需时间X 1～N （50，100）。（2）走郊区路程长，但意外阻塞少，所需时间X 2～N （60，16）。若有70分钟可用，应走哪条路线？

解：走市区及时赶上火车的概率为

97725.0)2()5()2(10500105070}700{1=?--=??

?

??--???

??-=≤≤ΦΦΦΦΦX P ， 走郊区及时赶上火车的概率为P {0≤2≤70}=??

?

??--??? ??-=≤≤460046070}700{2

ΦΦX P = Φ(2.5) ? Φ (?12.5) = Φ (2.5) = 0.9938，故应走郊区路线。如果还有65分钟可用，情况又如何呢？同样，

走市区及时赶上火车的概率为P {0≤X 1≤65}9332.0)5.1(10500105065}650{1

=≈??

?

??--??? ??-≤≤ΦΦΦ 而走郊区及时赶上火车的概率便为P {0≤X 2≤

65}=??

?

??--??? ??-=≤≤460046065}650{2ΦΦX P ≈ Φ(1.25) = 0.8994，此时便应改走市区路线。

本讲自测

1．取数问题。从0,1,……,9共10个数字中随机不放回的接连取4个数字，并按其出现的先后次序排成一列，求下列事件的概率：（1）4个数排成一个偶数；（2）4个数排成一个4位数；（3）4个数排成一个4位偶数。

2．为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a 和b ，每个报警系统单独使用时，系统a 有效的概率为0.92，系统b 的有效概率为0.93，而在系统a 失灵情况下，系统b 有效的概率为0.85。试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b 失灵情况下，系统a 有效的概率。

3．某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？

4．设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X 服从参数λ=3的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于90％的概率使用户得到及时服务。

≤ ≤ ，

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率统计 排列组合

概率统计 排列统计 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.以下条件可以确定一个平面的是（ ）。 .A 空间三点 .B 一直线和一个点 .C 两条直线 .D 两平行直线 2.两条直线不平行是这两直线异面的（ ）。 .A 充分条件 .B 必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 3.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，那么这种五位数的个数是（ ）。 .A 72 .B 60 .C 48 .D 50 4.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 .A 24个 .B 30个 .C 40个 .D 60个 5.将12人分成两组，一组8人，一组4人的分法数为（ ）。 .A 812A .B 812C .C 841212+C C .D 841212 C C 6.抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ）。 .A 两个都是正面 .B 至少出现一个正面 .C 一个是正面一个是反面 .D 以上答案都不对 7.同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）。 . A 14 . B 15 . C 16 . D 1 9 8.样本：6,7,8,8,9,10的标准差是（ ）。 .A 2 . B . C 3 . D 9.下列变量中，不是随机变量的是（ ）。 .A 一射击手射击一次的环数 .B 水在一个标准大气压下100C 时会沸腾

.C 某城市夏季出现的暴雨次数 .D 某操作系统在某时间发生故障的次数 10.某射击手击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）。 .A 0.16 .B 0.36 .C 0.06 .D 0.42 11.在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）。 . A 19 . B 1 10 .C 111 .D 112 12. 在10(x 的展开式中，6x 的系数为（ ）。 .A 61027C - .B 41027C .C 6109C .D 6 109C - 13.二项式8(1)x -的展开式中的第5项是（ ）。 .A 3 56x .B 3 2 56x - .C 470x .D 270x 14.设()6 26012631+…x a a x a x a x -=+++，则0126+=…a a a a +++（ ）。 .A 32 .B 64 .C 729 .D 56 15.已知某种奖券的中奖概率是50%，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）。 . A 25 . B 58 . C 516 . D 5 32 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。 16.56101054 99 4P P P P -=- 。 17.甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为 。 18.已知互斥事件,A B 的概率3()4P A = ，1()6 P B =，则()P A B ?= 。 19.若把英语单词“bookkeeper ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种。 20.若23 1818 x x C C -=，则x = 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。 21.5人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站排头或排尾，那么不同的排法总数是多少？（10分）

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几 个元素全排列，再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有 （ ） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上， 可 先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素， 如 此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（ ） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（ ） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法： 例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高中数学-排列组合概率综合复习

高中数学 排列组合二项式定理与概率统计

其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。 例4、设88 018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例5、组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1) C r -1n -1 C ．nr C r -1 n -1 D ．n r C r -1n -1 . 例6、在的展开式中，含的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 1 84 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 )5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 4 x

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

高中数学竞赛_排列组合与概率【讲义】

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用 m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地 0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为 n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---222110.其

排列组合题型总结

排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一．直接法、 1． 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ， 共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因 而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ??个，其中0在百位的有 2242?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-2242?C ?22A =432 （个） 三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方 法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ?=100中插 入方法。 四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×4 4A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ） 2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校

组合数学中的概率论方法 (1)

组合数学中的概率论方法 概率方法的背景和出发点— 当今科学的发展表明：概率方法是组合数学中最强大和应用广泛的数学工具。导致它迅速发展的一个主要原因在于理论计算机科学与统计物理学中重要研究对象的随机性。 概率方法的基本出发点可以描述如下： 为了证明具有某一个组合结构性质的存在性，人们需要构造一个概率空间并且用它证明：在这个空间中随机选取的一个具有此组合性质的元素的概率值为正。 历史上最早运用这个方法的是伟大的数学家P.Erdos ！在过去的五十多年里面他对于这门学问的贡献是如此之大，以至于人们称之为“P.Erdos 方法”。他在这个邻域里面的众多深邃的研究结果不但多如天上的繁星，更因为许多著名的公开问题和猜想而成为这门学科蓬勃发展的发动机。 这个讲义不可能完全介绍这门学科的全貌，它主要是介绍概率方法在组合数学邻域中的运用,尤其强调通过典型例子的形式来介绍这一方法。 知识背景： 概率是描述事件发生可能性大小的数量指标，它是逐步形成可发展完善起来的。最初人们讨论的是古典概型（随机）试验中事件发生的概率。所谓古典概型试验是指样本空间中的点的样本点的个数是有限的且每一个样本点（组成事件）发生的可能性是相同的，简称为有限性与等可加性。例如：掷一枚均匀骰子的试验与从一个装有n 个相同（编了号）的求中随机模一个球的试验都是古典概型试验。对于古典概型试验，人们给出概率的如下定义： 定义1.设试验E 是古典概型的，其样本空间Ω由n 个样本点组成，其中一事件A 由r 个样本点组成，则定义事件A 的概率为 n r ，记为 n r A A P =Ω= 中样本点数目中样本点数目)( 古典概率有下面几个基本性质： （1） 对于任意一个事件A ，有;1)(0≤≤A P （2） .1)(=ΩP （3） 设m A A A ,...,,21为互斥的m 个事件，则有 ∑===m i i m i i A P A P 1 1 )()( 注意：在实际应用当中，古典概型受到限制！因为他只用于有限概率空间。而对于无限的情形，则要用到一点定义：

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计

例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 184 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408 1 例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.16 625 B. 96625 C. 192625 D. 256625

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

排列组合常见题型及解答

排列组合常见题型 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、 3 8 A D、 3 8 C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排

法种数有 【解析】：把A,B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排 法数是52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（数字作答） 【解析】： 1 11789A A A =504 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600 【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A ＝20种不同排法。

在概率的计算中的排列组合

预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义

由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有

基本公式排列组合二项式定理及概率统计

基本公式·排列组合二项式定理及概率统计 151排列数公式 ： m n A =)1()1(+--m n n n ！ ！ )(m n -(n ，m ∈N * ，且m n ≤)．规定1!0= 154组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C +规定0 =n C 155组合恒等式 （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=n r r n C 0=n 2; （5）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (6)n n r n n n n C C C C C 2210 =++++++ (7)420531 2-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C (8)321 232-=++++n n n n n n n nC C C C (9)r m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 (10)n n n n n n n C C C C C 2222212 0)()()() (=++++ 156排列数与组合数的关系:m m n n A m C =?！ 157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列） （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位 置）1 1111----+= m n m m n A A A （着眼元素）种 （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种 ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种 （3）两组元素各相同的插空 m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有 n m n n n m C A A 11 ++=种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C + 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n C C C C C N ) !(22=?????=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m m C C C C C N ) !(!!...22=????=-- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得

排列组合问题经典题型(含解析)

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

排列组合与概率原理及解题技巧

排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元 素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221 10.其中第r+1