2 相似三角形的性质 教案

相似三角形的性质
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概述
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
新人教版
课时时长（分钟）
120
知识点 1.相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等
2.相似三角形的性质：对应中线、角平分线、高的比都等于相似比
3.相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
教学目标 1.掌握相似三角形的角平分线、高、中线、周长与面积的性质及应用，
会用它们的性质解决实际问题
2.经历观察，探索，发现，归纳的过程，探讨相似三角形的周长与面积的
性质，在发现问题和解决问题的过程中，学会解决问题的方法.
3.在学习过程中，能欣赏几何图形的简单美，体验学习数学的乐趣和成
功的喜悦.
教学重点 相似三角形的性质：对应边相等，对应角相等
教学难点 1.相似三角形的性质：对应中线、角平分线、高的比都等于相似比
2.相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【教学建议】 “相似三角形的性质”是本章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义的基础上，
进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究.这里我们希望能够培养学 生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从 特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力.
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【知识导图】
相似三角形的性质
对应边成比例，对应角相等 对应中线、角平分线、高的比都等于相似比 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
教学过程
一、导入
如果两个三角形相似，那么它们的周长、面积有什么关系？两个相似多边形呢？
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二、复习预习
相似三角形判定：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形 相似（AA） 判定定理 2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角 形相似（SAS） 判定定理 3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似（SSS） 判定定理 4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似. 判定定理 5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似. 上节课我们学习了相似三角形的判定，本节课我们研究相似三角形的性质.
三、知识讲解
考点 1 相似三角形的性质 1
相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 知识拓展：相似三角形的性质可用于有关角的计算，线段长的计算以及三角形的周长和面积 的计算，还可以用于证明两角相等，两条线段相等. 规律方法小结：运用转化思想把要求证得线段间的关系逐步转化为易证得线段间的关系，即 由未知向已知转化.当两个三角形相似，但又没有指明对应点的情况时，应进行分类讨论.
考点 2 相似三角形的性质 2
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
（1）如图：若
相似于
,它们的相似比是 k,且 AD⊥BC 于点 D,
AD AB
?
?k
D 1 ,则 A1D1 A1B1
.
于点
4

（2）如图：若
相似于
分别为 ， 的中点，则
, 它 们 的 相 似 比 为 k, 且 .
（3）如图：若 ?ABC相似于?A1B1C1，它们的相似比为k, AD, A1D1分别是?BAC, B1 A1C1的平分线，则 AD ? AB ? k.
A1D1 A1B1
知识拓展：（1）在应用此性知时，要注意找准对应线段； （2）相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中对应元素的顺序.
考点 3 相似三角形的性质 3
（1）相似三角形的周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 知识拓展：（1）周长的比是相似比，面积的比是相似比的平方，不要与周长的比混淆. （2）等（同）高的三角形面积比等于底的比；等（同）底的三角形面积比等于高的比.
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新课导读 ? 点拨：如果两个三角形相似，那么他们的周长之比等于相似比，面积之比等于相
似比的平方.如果两个多边形相似，那么它们的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比 的平方.
四 、例题精析 类型一 相似三角形的性质 1
例题 1
如图，D、E 分别是 AB、AC 上的点，△ADE∽△ACB，且 DE=4，BC=12，AC=8，求 AD 的长．
【解析】解：解：∵△ADE∽△ACB， ∴=， ∴=， 解得：AD= ． 【总结与反思】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．
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类型二 相似三角形的性质 2 例题 2
已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ）
A．
B． C． D．
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为 ，
∴△ABC 与△DEF 对应中线的比为 ，故选 A． 【总结与反思】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．
类型三 相似三角形的性质 3
例题 3
两个相似三角形，他们的周长分别是 36 和 12．周长较大的三角形的最大边为 15，周长较小 的三角形的最小边为 3，则周长较大的三角形的面积是（ ） A．52 B．54 C．56 D．58
【解析】解：∵两相似三角形的周长分别是 36 和 12 ∴相似比为 3：1 ∵周长较大的三角形的最大边为 15，周长较小的三角形的最小边为 3 ∴周长较大的三角形的最小边为 9，周长较小的三角形的最大边为 5 ∴周长较大的三角形的第三条边为 12 ∴两个三角形均为直角三角形
∴周长较大的三角形的面积= ×9×12=54 故选 B． 【总结与反思】根据已知先求得两相似三角形的相似比，然后根据相似比可求得较大的三角 形的三边的长，根据其边长判定三角形为直角三角形，从而不难求得其面积．
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五 、课堂运用 基础
1. 如果两个相似三角形对应边之比是 1：4，那么它们的对应中线之比是（ ） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 2.下列说法正确的是（ ） A．同位角相等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．相似三角形周长的比等于相似比的平方 D．用一个平面去截正方体，截面的形状可能是六边形 3. 如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点 E，在不添加辅 助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AB 边上的垂直平分线与 AB、BC 交于点 D、E， AC 边上的垂直平分线与 AC、BC 分别交于点 G、F， （1）△AEF 是什么形状？你能证明吗？ （2）连结 DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明 DG= BC 吗？ （3）DG=5cm，试求△AEF 的周长．
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答案与解析 1.【答案】B． 【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是 1：4， 又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比， ∴它们的对应中线之比为 1：4．故选 B． 2. 【答案】D． 【解析】解：同位角不一定相等，A 错误； 有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，B 错误； 相似三角形周长的比等于相似比，C 错误； 用一个平面去截正方体，截面的形状可能是六边形，D 正确，故选：D． 3. 【答案】C． 【解析】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC， ∴与△AEF 相似的三角形有 2 个．故选：C． 4.【答案】同解析． 【解析】解：（1）△AEF 为等边三角形．理由如下： ∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°， ∵DE 垂直平分 AB，FG 垂直平分 AC， ∴BE=AE，AF=CF， ∴∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°， ∴∠AEF=2∠B=60°，∠AFE=2∠C=60°， ∴△AEF 为等边三角形； （2）∵D 是 AB 中点、G 是 AC 中点， ∴DG 是△ABC 中位线，∴DG= BC；
（3）∵DG=5，∴BC=2DG=10， ∵AE=BE，AF=CF， ∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm， ∴△AEF 的周长为 10cm．
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巩固
1.A4 纸是由国际标准化组织的 ISO216 定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用
这一国际标准．将一张 A4 纸沿着长边中点对折后，得到的矩形与原矩形相似，则 A4 纸长与
宽的比值是
．
2.如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边 AB 上取点 P，使得△PAD 与△PBC 相似，则
这样的 P 点共有几个？
3. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，过点 E 作 EF∥AB，交 AD 于点 F，连接 BF． （1）求证：BF 平分∠ABC； （2）若 AB=6，且四边形 ABCD∽四边形 CEFD，求 BC 长．
答案与解析 1.【答案】 ：1． 【解析】解：设矩形的长为 a，宽为 b， 则 AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE= ， ∵矩形 ABCD∽矩形 BFEA，
∴ = ，即 = ， ∴a：b= ：1．
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2. 【答案】这样的点 P 共有 3 个. 【解析】解：设 AP=x，则有 PB=AB﹣AP=7﹣x，
当△PDA∽△CPB 时， = ，即 =
，
解得：x=1 或 x=6，
当△PDA∽△PCB 时， = ，即 =
，
解得：x= ，则这样的点 P 共有 3 个. 3.【答案】同解析． 【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴∠FAE=∠AEB， ∵EF∥AB， ∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠FAE=∠BAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=EB， ∴四边形 ABEF 是菱形， ∴BF 平分∠ABC； （2）解：∵四边形 ABEF 为菱形， ∴BE=AB=6， ∵四边形 ABCD∽四边形 CEFD，
∴
，即
，
解得：BC=3±3 （负值舍去），
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∴BC=3+3 ．
拔高
1.如图，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点，则 AD：BE 的值为？
2.如图，四边形 ABCD∽四边形 EFGH，连接对角线 AC，EG．
求证：
．
3. 如图，在△ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移 动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时 出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由．
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答案与解析
1.【答案】 3
【解析】连接 OA、OD， ∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点， ∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，
∴OD：OE=OA：OB= 3 ：1，
∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB， ∴△DOA∽△EOB，
∴OD：OE=OA：OB=AD：BE= 3 ：1= 3 ， 故答案为： 3
2.【答案】同解析. 【解析】证明：∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH，
∴ = ，∠D=∠H，
∴△ADC∽△EHG，
∴
．
3.【答案】2 或 0.8 秒. 【解析】解：设经 x 秒钟△PBQ 与△ABC 相似， 则 AP=2xcm，BQ=4xcm， ∵AB=8cm，BC=16cm， ∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm， ∵∠B 是公共角，
∵①当
，即
时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=2；
②当
，即
时，△QBP∽△ABC，
解得：x=0.8， ∴经 2 或 0.8 秒钟△PBQ 与△ABC 相似．
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六 、课堂小结
（1）相似三角形的对应角相等. （2）相似三角形的对应边成比例. （3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. （4）相似三角形的周长比等于相似比. （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
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七 、课后作业
基础
1. 如图，取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片， 若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a、b 应满足的条件是（ ）
A．a= b B．a=2b C．a=2 b D．a=4b
2. 如果△ABC∽△DEF，A、B 分别对应 D、E，且 AB：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是
（）
A．BC：DE=1：2
B．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2
C．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2
D．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2
3. 在长 8cm，宽 6cm 的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩
形面积是
cm2．
4. 如图，已知△ABC 中，AB=20，BC=14，AC=12，△ADE 与△ACB 相似，∠AED=∠B，DE=5．求
AD，AE 的长．
答案与解析 1. 【答案】B． 【解析】解：对折两次后的小长方形的长为 b，宽为 a，
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∵小长方形与原长方形相似， ∴= ，
∴a=2b． 故选：B． 2.【答案】D． 【解析】解：A、BC 与 EF 是对应边，所以，BC：DE=1：2 不一定成立，故本选项错误； B、△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：4，故本选项错误； C、∠A 的度数：∠D 的度数=1：1，故本选项错误； D、△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 正确，故本选项正确．故选：D． 3.【答案】27． 【解析】解：设宽为 x， ∵留下的矩形与原矩形相似，
∴ =，
解得 x= ．
∴截去的矩形的面积为 ×6=21cm2，
∴留下的矩形的面积为 48﹣21=27cm2，
4.【答案】AD= ；AE=
【解析】解：∵△ADE 与△ACB 相似， ∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴
，
∴
∴AD=
∵
∴
∴AE=
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巩固
1.如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
A．
B.
C．
D.
2.矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8．点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足△PBE∽△DBC，
若△APD 是等腰三角形，则 PE 的长为
．
3. 如图，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC．
（1）求∠BAD 的大小；（2）求 CD 的长．
答案与解析 1.【答案】同解析． 【解析】解：∵小正方形的边长均为 1 ∴△ABC 三边分别为 2， ， 同理：A 中各边的长分别为： ，3， ； B 中各边长分别为： ，1， ； C 中各边长分别为：1、2 ， ；
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D 中各边长分别为：2， ， ；
∵只有 B 项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 故选 B． 2.【答案】 或 3．
【解析】解：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BAD=90°，
∴BD=
=10，
当 PD=DA=8 时，BP=BD﹣PD=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴ = ，即 = ，
解得，PE= ， 当 P′D=P′A 时，点 P′为 BD 的中点， ∴P′E′= CD=3，
故答案为： 或 3．
3.【答案】（1）∠BAD=153°；（2）CD= .
【解析】解：（1）∵△ABC∽△DAC， ∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°， ∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=153°． （2）∵△ABC∽△DAC，
∴
，
又 AC=4，BC=6，
∴CD=
=；
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拔高
1.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均在正方形网格的格点上，线 段 AB，PQ 相交于点 M，则图中 PA 与 AM 的比？
2．如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2=AB?AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD=4，AB=6，求 的值．
答案与解析 1.【答案】解：连接 AP，QB， 由网格可得：∠PAB=∠QBA=90°， 又∵∠AMP=∠BMQ， ∴△PAM∽△QBM，
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∴=， ∵AP=3 ，BQ= ，AB=2 ，
∴=
，
解得：AM=
，
=
=2．
【解析】根据题意得出△PAM∽△QBM，进而结合勾股定理得出 AP=3 ，BQ= ，AB=2 ， 进而求出答案
2.【答案】（1）证明：∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；
（2）证明：∵E 为 AB 的中点∴CE= AB=AE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD； （3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE=AF：CF，
∵CE= AB，∴CE= ×6=3，
∵AD=4，∴
，∴
．
【解析】（1）由 AC 平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB， 然后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2=AB?AD； （2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得
CE= AB=AE， 继而可证得∠DAC=∠ECA，得到 CE∥AD；
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《相似三角形的性质》教案

《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1

图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边

相似三角形的性质 (2)教学设计

相似三角形的性质 【教学目标】 1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。 2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。 【教学重难点】 重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。 【教学过程】 一、设计龟免赛跑故事导入新课 有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？ (以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。) 二、自主探究，发现新知 1．分组猜想探究活动，完成下列实验报告单

(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。)

猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。2．验证猜想，得出结论（小组讨论） 探究：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 ?AB BC CA k A B B C C A === '''''' ?AB=kA′B'，BC=kB'C'，CA=kC'A' ? AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+'' == ''+''+''''+''+'' 可以得到相似三角形周长的比等于相似比 类似的方法还可以得出相似多边形周长的比等于相似 延伸问题： 探究： （1）如图27．2-11（1），?ABC∽? A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比呢？ 图27．2-11（1） 分析：如图27．2-11，分别作出?ABC和? A'B'C'的高AD和A'D'。 ∵∠ADB=∠A'D'B'=900又∠B=∠B' ∴?ABD∽?A'B'D' ∴1 '''' AD AB k A D A B ==（在此得出相似三角形对应高的比等于相似比）1111111 1 2 1 2 ABC A B C BC AD S S B C A D ? ? ? = ? = ()() 1111 2 1111 1 2 1 2 kB C kA D k B C A D = ? 可以得到：相似三角形面积比等于相似比的平方 相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比吗？

相似三角形的性质(经典全面)

一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== ''''''''（k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的 角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B C 'C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

《相似三角形的性质(1)》教学设计

数学教学设计 6.5 相似三角形的性质（1） 教学目标 1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题． 2．发展学生合情推理和有条理的表达能力． 教学重点 理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题． 教学难点 能根据已知条件，构建数学模型，有条理的说理． 教学过程（教师） 学生活动 设计思路 旧知回顾 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，你能得到什么？ 积极思考，回答问题——大多数学生会运用所学知识发表自己的观点： ∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'， ． 即：对应角相等、对应边成比例． 引导学生回忆相似三角形的相关内容，为学习新知识铺垫． 探索发现 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点， （1）△DEF 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？ （3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？ 观察、思考，运用三角形相似的判定方法得 出△DEF 与△ABC 相似，并运用对应边的关系得出△DEF 与△ABC 相似比为1 2 ，△DEF 的周 长与△ABC 的面积比为1 4．用类似的方法可以解 决变式后的问题． 通过特殊问题的研 究，发现两个相似三角形的周长比与面积比的规律，得出猜想． 继续取△DEF 的各边中点M 、N 、P ，得到下图． （1）△MNP 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？ （3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？ 通过建模，培养学生的归纳能力． 推理猜测 根据刚才的探究，你有什么猜想？ 1．相似三角形周长的比等于相似比． 观察、思考、感悟得出相似三角形的周长比与面积比的规律． 经历探究——感悟——猜想的过程． A′ B′ C′ AB BC CA A B B C C A == ''''''C A B F D E C A B E D F M N P B C A

相似三角形及其应用学案

§4.6相似三角形及其应用 学习目标： 1.了解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的方法；会用相似三角形性质证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等． 2.了解图形的位似及性质，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小． 3.在利用图形的相似解决一些实际问题的过程中，进一步学习分析问题和解决问题的能力． 一、课前预习 （一）知识梳理 1．相等，成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形 是三角形。 2．相似三角形的判定：①对应相等的两个三角形相似．②两边对应成，且相等的两个三角形相似．③三边的两个三角形相似． ④如果一个直角三角形的和一条边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．⑤平行于三角形一边的直线，截其它两边所得三角形与原三角形 . 3.相似三角形的性质 ①相似三角形的相等，成比例．②相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于．面积的比等于． 4. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做位似比． （二）基础训练 1．如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm， △ABC∽△APQ的相似比是（） A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 2．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.

3.如图，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行， 请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC． 4.下列说法中正确的是（） A．两个直角三角形一定相似； B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似； D．两个等腰梯形一定相似 5.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（） A．1 4 B ． 4 1 C． 1 3 D． 3 4 6. 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16， 面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( ) A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6 7.如图，点P是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点， 过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似， 满足这样条件的直线共有（）条． A．1 B．2 C．3 D．4 二、例题精讲 例1如图，⊙O中的弦AB截另一弦CD成CE、DE两部分，已知AB=7，CE=2，DE=6，求AE长 A E D C B

24.3.3相似三角形性质 学案

24.3.3《相似三角形的性质》教学案 一、课时学习目标： 1、知道相似三角形中的对应线段的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方。 2、会利用相似三角形的两个性质解决简单问题。 二、课时复习导学： 1、识别两个三角形相似的简便方法有哪些？ /////''ABC A B C AB 10cm,AC 6cm,BC 8cm,A B 5cm,A C 3cm,B C 4cm,??======’‘2、在与中，这两个三角形相似吗？说明理由。如果相似，它们的相似比是多少？ 三、课堂学习研讨： 上述两个三角形会相似，即ABC ?∽' ''C B A ?，它们对应边的比就是相似比，相似比为：236C A AC ''== 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在下图中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、 A ′D ′之间有什么关系？（你会证明k B A AB D A AD =' '=''） 然后由此可以得出结论： 下图中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似． （2）与（1）的相似比＝___________，（2）与（1）的面积比＝___________; （3）与（1）的相似比＝___________，（3）与（1）的面积比＝___________. 从上面可以看出当相似比＝k 时，面积比＝k 2．数学上可以说明，对于一般的相似三角 形也具有这种关系． 由此可以得出结论： 相似三角形的面积比等于________________________． 例5 已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，AD 、 A ′D ′分别是△ABC 、△A ′B ′C ′ 对应边BC 、 B ′C ′上的高，求证：2k S S C B A ABC ='''??． 证明：

北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》教案

《相似三角形的性质》教案 教学目标 知识与技能 1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法. 2、灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题. 过程与方法： 1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度. 2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法. 3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力. 情感与态度： 在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，软件应用的验证，让学生体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用. 教学重点 相似三角形性质定理的探索、理解及应用. 教学难点 综合应用相似三角形的性质与判定，探索三角形中面积与线段之间的关系. 教学方法与手段 探究式教学、小组合作学习、多媒体教学. 教学过程 一、创设情境，引入新课 1、如果两个三角形相似，那么它们的对应边、对应角各有什么特性？ 研究三角形的问题，除了探索边和角之外，我们还经常计算它们的 周长和面积，那么相似三角形的周长和面积有什么特性呢？ 2、问题情境： 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是：

被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？ 二、实践交流，探索新知 1、做一做： 学生：将课前准备好的正方形网格中两个三角形的各边进行测量和计算. 2、想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？ 3、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？ 4、在学生思考、讨论的基础上，鼓励并引导学生分析、讨论证法，写出规范的证明过程. 三、归纳小结： 相似三角形性质定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 四、基础训练，加深理解 练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格： 比或周长比则要开平方. 五、综合应用，解决问题 已知：如图，DE ∥BC ，AB =30m ，BD =18m ，△ABC 的周长为80m ，面积为100m 2，求△ ADE 的周长和面积？ 解析：∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC D

人教版初三数学下册相似三角形性质学案

年级初三教师程硕时间2016.11.24星期四 学科数学课型新授课课题27.2.2相似三角形的性质 教学理解相似三角形的性质，会利用相似三角形的性质解决简单的问题。目标 课前我们已经学习了哪些判定相似三角形的方法? 1. 【导出猜想，确定方向】 典型问题1:探究三角形相似的性质主要是研究三角形几何量之间的关系，三角形有哪些几 例题何量？请列举出来; 2. 【计算探究，归纳总结】 问题2: 已知△ ABC ABC'，相似比为 归纳总结：相似三角形对应高的比等于 ____________________ ;符号语言： 问题3:如果△ ABCABC'，相似比为k,它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似比？ 符号语言: 归纳总结： 1?相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于 2. 相似三角形对应线段的比等于 练习: 1.两个相似三角形的相似比为1:3 ,它们的对应高的比是____________________ 是______ ，对应角平分线的比是_____________ 2、如果△ ABC A'B'C',相似比为k,它们的周长有 什么关系？ ，对应中线的比

归纳总结：相似三角形周长比等于 问题4:(小组讨论，写一写) 如果△ ABC ABC'，相似比为k, 归纳总结：相似三角形的面积比等于 3. 【典例探讨运用新知】 若厶ABC的边BC上的高AM是6,面积为12(5， 求△ DEF的边EF上的高DN和面积. 方法总结： 1. 我们研究了相似三角形的哪些几何量？ 2. 它们与相似比有什么关系？ 3. 相似三角形都有哪些性质？ 1、判断题 (1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角 形的角平分线也扩大为原来的 5 倍；( ) (2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍， 这个三角形的面积也扩大为原来的9倍; ( ) 2、已知△ ABC DEF，且面积比为4 : 25,则厶ABC与厶DEF的相似比是 ____________ 。 △ ABC与厶A'B'C'的面积比是多少? 例题：如图，在△ ABC和厶DEF中, AB=2DE , AC=2DF，/ BAC= / EDF . 小结 反馈 检测

相似三角形复习学案.docx

相似三角形复习学案 复习目标： 相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。 1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。 2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。 3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。 一．知识要点： 1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段； 2、比例性质：（1）基本性质：a c a d bc a b b2ac b d b c （2）合比定理：a c a b c d b d b d （3）等比定理：a c m a c m a .(b d n 0) b d n b d n b 3、相似三角形定义：________________________________ ． 4、判定方法： ______________________________________________________________________ 5、相似三角形性质： （1）对应角相等，对应边成比例； （2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段） （3）周长之比等于； （4）面积之比等于． 6、相似三角形中的基本图形． （1）平行型：（ A 型， X 型）（ 2）交错型： （3）旋转型：（4）母子三角形： 二、练习： （一）、自我训练 训练 1：判断 1．两个等边三角形一定相似。（） 2．两个相似三角形的面积之比为1∶ 4，则它们的周长之比为1∶ 2。（） 3．两个等腰三角形一定相似。（） 4．若一个三角形的两个角分别是40°、70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、70°，

则这两个三角形不相似。 （ ） 训练 2：填空 1．如果 a 3 c 12 ，则 a 与 c 的比例中项是 ． ， 2．已知， a b c ，则 a 2c 2b ． 2 4 5 a c b 3．如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD=3，BD=2， EC=1，则 AC= ． 4. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 ． A ． B ． C ． D ． 5．如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中 △ ABC 相 似的是 ． A B C A ． B ． C ． D ． 6. 在同一时刻， 身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米，则 树的高度为 ． 7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 , 点 P 处放一水平的平面镜 , 光线从 点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB ⊥BD ，CD ⊥ BD ，且测得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12米， 那么该古城墙的高度是 ． （二）、大展身手： 1. 已知 a 1 ，则 a 的值为 __________ b 2a b 2．如图，平行四边形 ABCD 中， AE ∶ EB=1∶ 2，若 S △AEF =6，则 S △CDF = ． 3．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 是 BC 延长线上一点， AE 交 CD 于点 F ，若 AB ＝ 7cm ， CF ＝3cm ，则 AD ∶ CE ＝ ． 4．如图，矩形 ABCD 中， E 是 BC 上的点， AE ⊥ DE ， BE ＝ 4， EC ＝ 1，则 AB 的长为 ．

相似三角形的性质 (第2课时)

相似三角形的性质（第2课时） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］

让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽， 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难．

例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法． 解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为． ∽∽且，． ． 学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而 ［小结］ 1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3． 2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题． 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7． 八、板书设计

《27.2.2 相似三角形的性质》教学设计

《27.2.2 相似三角形的性质》教学设计 湖北省嘉鱼县高铁中学孙幼阶 一、内容和内容解析 （一）内容 相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （二）内容解析 判定和性质是研究几何图形的两个重要方面，我们已研究了相似三角形的判定，接下来就要对性质进行研究．与全等三角形一样，相似三角形的性质主要研究三角形几何量之间的关系． 由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．三角形还有其他的几何量，如高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．教材先是对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究，推广得到对应线段的比等于相似比，以此作为基础，得到相似三角形面积的比与相似比的关系． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的探究和运用． 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1．了解相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系． 2．会利用相似三角形性质解决简单的问题． （二）目标解析 1．达成目标1的标志是：知道相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，能够通过推理证明两条性质． 2．达成目标2的标志是：会利用相似三角形性质求有关线段的长和三角形的面积． 三、教学问题诊断分析 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，由定义可得到，且类比于全等三角形的对应角相等，对应边相等，这些性质学生易于发现．但三角形还有其他的量，如何提出它们的性质？可提出哪些性质？既要从一维层面上提，又要想到二维层面上来，对学生现有的认知基础来说，还有一定的难度． 本节课的教学难点：提出相似三角形性质的猜想． 四、教学支持条件分析 用几何画板佐证“相似三角形对应线段的比等于相似比”． 五、教学过程设计 （一）导出猜想，确定方向 问题1：对于相似三角形，我们已研究了它的定义与判定，根据已有的研究几何图形的经验，我们还需研究什么？可以从哪些角度来研究？ 师生活动：学生思考交流． 追问1：相似三角形的性质主要是研究三角形几何量之间的关系，三角形有哪些几何量？

《相似三角形的性质(1)》导学案1

相似三角形的性质（1）导学案 态度就是竞争力，积极的学习态度就是你脱颖而出的砝码 【学习目标】： 1.掌握相似三角形的性质的对应高，对应中线，对应角平分线的比存在的等量关系。 2.进一步巩固三角形相似的判定定理，并能进行相应性质的推导。 3.能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算。 4.经历讨论与交流，猜想与验证，发展说理习惯，在观察、操作、推理、归纳等探索 过程中，提高学习数学的兴趣和自信心。 【学习重点】：相似三角形的性质 【难点】：探究相似三角形的性质 【学习方法】：小组合作学习探究 【学习过程】： 模块一预习反馈 一、旧知链接 1.相似三角形的定义 三角对应，三边对应的两个三角形。叫做相似比。 2.相似三角形的判定方法 ①的两个三角形相似；②的两个三角形相似； ③的两个三角形相似。 3.当两个相似三角形相似比为1时，两个三角形 4.全等三角形性质:全等三角形的对应边对应角；对应高、对应中线、对应角平分线分别_______。 5.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的性质三角________，三边___________ 两个三角形相似除了上述性质，我们还可以得到哪些结论呢？这就是我们这节课所要学 习的相似三角形的性质。 二、自学探究 实验、猜想、证明：相似三角形对应高的比等于相似比 1.在方格纸中画出一对相似三角形△ABC∽△A1B1C1, AD,A1D1,分别为BC, B1C1,边上的高。

（1）△ABC与△A1B1C1的相似比为_________； （2）； （3）你发现了什么特殊关系？ __________________ (4) 若△ABC与△A1B1C1相似比为k,那么 。 （5）猜想： 如图，已知它们的相似比为k，分别为边上的高。求证：. 2.类比探究相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 变式1:如果把对应的高改为对应角的角平分线呢？猜想: 已知: 求证： 结论:_________________________ ___________________________________ 变式2: 如果把对应的高改为对应边上的中线呢？猜想: 已知: 求证：

九年级数学上册：相似三角形性质定理1及其应用教案

九年级数学上册：相似三角形性质定理1及其应用教案 （一）教学知识点 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系. （二）能力训练要求 1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程,理解相似多边形的性质. 2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （三）情感与价值观要求 1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系,培养学生的探索精神和合作意识. 2.通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识. ●教学重点 1.相似三角形中对应线段比值的推导. 2.运用相似三角形的性质解决实际问题. ●教学难点 相似三角形的性质的运用. ●教学方法 引导启发式 ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§4.8.1 A） 第二张：（记作§4.8.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］在前面我们学习了相似多边形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,相似三角形是相似多边形中的一种,因此三对对应角相等,三对对应边成比例.那么,在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质. Ⅱ.新课讲解 1.做一做

投影片（§4.8.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件,如图4－38,图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′,CD 和C ′D ′分别是它们的高. （1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似,请说明理由,并指出它们的相似比. （3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形. （4）D C CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流. 图4－38 ［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43 （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′,且相似比为3∶4. （3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′ ∵∠BCD =∠B ′C ′D ′ ∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）D C CD ''=43

浙教版-数学-九年级上册-《相似三角形的性质及其应用(2)》导学案

4.5 相似三角形的性质及其应用（2）导学案 预习新知 1.如图，已知△ABC∽△DEF，其中∠A=∠D=90°，∠B=∠E=30°，AC=1，DF=2， （1）求△ABC与△DEF的相似比； （2）求△ABC与△DEF的周长之 比； （3）求△ABC与△DEF的面积之 比. 2.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 例3: 如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10 000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。 我求助：预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：

梳理知识点 个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处： 达标练习 1.两个相似三角形的面积之比是1：4，则它们的相似比是_________，周长之比是______. 2.两个相似三角形对应高的长分别为8和6，则它们的面积比是（ ） A ．4：3 B.16：9 C.2：3 D. 3：2 3.用6倍的放大镜照一个面积为3的三角形，放大后的三角形面积是_______. 4.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的延长 线上一点，AB ：AE =2：5，若S △DFC =12cm 2,则 S △EFB =_______ cm 2 知识链接： 相似三角形对应边上的高之比等于 ；对应边上的中线之比等于 ；

5.如图，已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，AD 、A ’D ’分别为△ABC 、△A ’B ’C ’的角平分线，试证明'' AD A D =k. 6.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，23AE EC ，S △ABC =25，求S 四边形BFED . 挑战自我 7.如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ：DB =4：3，则DE ：BC =__________，S △AED ：S 四边形DECB =__________. 8.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：EB =1：2. （1）求△AEF 与△CDF 的周长之比； （2）如果S △AEF =6cm 2,求S △CDF . 9.如图，在R t △ABC 中，有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足怎样的关系式？请写出来，并说明理由.

相似三角形的性质定理

相似三角形的性质定理（2、3） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 先学后教，达标导学 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］ 让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽，

同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习． （2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周 长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm， 且AB=15cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难． 例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．∽∽且，．

相似三角形的性质(导学案)

k ，则对应边上 相似三角形的性质 一、 复习引入 1 ?相似三角形的判别法的哪些？ 2?你还知道相似三角形的性质有什么吗？ 3.什么是相似比？ 本节课我们将研究相似三角形的其他性质? 二、 新课讲解 1. 探究活动一探究相似三角形对应高的比 右图△ A B C,AD 为BC 边上的高。 则：(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△ A 'B 'C '并作 出B 'C '边上的高A 'D '。 求：△ A B C 与厶A 'B 'C '的相似比为多少？ AD 与A 'D '比是多少？ (2)如右图两个相似三角形相似比为 的高有什么关系呢？ ______________ 说说你判断的理由是什么？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于 ________________ 2. 探究活动二类比探究相似三角形对应角平分线的比 如右图△ A B C , AF 为/ A 的角平分线。 则：(1)把三角形扩大2倍后得△ A 'B 'C ', A 'F '为 / A '的角平 分线，△ A B C 与厶A 'B 'C '的相似比 为多少？ AF 与A 'F '比是多少？

k,则对应角的 (2)如右图两个相似三角形相似比为 角平分线比是多少？ 说说你判断的理由是什么？ 归纳：相似三角形对应边上的角平分线之比等于 3. 探究活动二类比探究相似三角形对应中线的比 如右图△ A B C , AE 为BC 边上的中线。 则:⑴把三角形扩大2倍后得△ A 'B 'C ', A 'E '为B 'C '边上的中线。 △ ABC 与厶A 'B 'C '的相似比为多 少？ AE 与A 'E '比是多少？ (2)如右图两个相似三角形相似比为k ，则对应边上的中线的比是多少 呢? A 说说你判断的理由是什么？ 归纳：相似三角形对应边上的中线之比等于 三角形的性质定理 1: __________________ 三、基础训练 1、 两个相似三角形对应边比为3:5,那么相似比 ____________ 对应边上的高之比为 , 对应边上的中线比为 ___________ 对应角的角平分线比为 ________________ 。 2、 两个相似三角形对应角的角平分线比为 1:4,可直接得到对应边上的高之比为 , 对应边上的中线比为 ______________ 。 3、 已知△ ABCA 'B 'C ',△ ABC 的三边分别为3、 4、5,^ A 'B 'C '的三边长分 别为 12、16、R,则 R= ____________________________ 。 4?两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是 2cm 和5cm ,则这两个三角形的相似 比是 在这两O o E f <7

相似三角形性质教案

相似三角形的性质(2) 教学目标 1、经历探索相似三角形性质的过程，并会运用相似三角形的性质解决有关的问题。 2、通过探索相似三角形性质的过程，渗透逻辑推理的方法，引导学生从直观发现向自觉说理过渡，从而获得发现问题、解决问题的经验，发展了学生的数学问题意识和创新意识，为候机学习奠定基础。 3、通过相似三角形定理及应用的学习，培养学生类比思想、归纳思想及特殊到一般的认识规律，拓展学生思维。 教学重点： 1、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比； 2、相似三角形性质的应用。 教学难点： 1、用转化的思想、类比的方法进行归纳推理，得到相似三角形的性质； 2、相似三角形判定和性质的综合运用。 教学方法： 小组合作探究、启发式教学 教学手段： 多媒体教学 教学过程： 1、课前复习： （1）什么叫相似三角形？什么是它们相似比? （2）如果两个三角形相似，那么它们的边和角各有什么性质？ ①相似三角形的对应边______________ ②相似三角形的对应角______________ [问题]:两个相似三角形除了以上两条性质外， 它们还有哪些性质呢? 2、情境教学，讲授新课： 一个三角形有三条重要线段：高、中线、角平分线 如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？ 问题1:吴迪同学把学校的某两块三角形绿化带绘制在由边长为1的小正方形组成的网格图纸上，如右图所示.由图形所提供的有关信息解决下列问题: A B C D E F

推理及猜想： 问题2:猜想下列问题,并说明你的理由. 归纳小结： 相似三角形的性质： 对应高的比 对应中线的比 都等于相似比 对应角平分线的比 对同一对相似三角形而言，我们可以发现： 对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=相似比 3、巩固练习： 课堂练习一：填空题（口答下列各题） 1．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________. 2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______. 3．两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为______ . 课堂练习二：解答题 已知△ABC ∽△DEF ，BG 、EH 分△ABC 和 △DEF 的角平分线，BC ＝6cm,EF ＝4cm,BG ＝4.8cm.求EH 的长. (1)ABC A B C '''??与你的理由，并指出它们的相似比是多少？(2)AD A D ''''若和分别是BC、B C 在图中再找出一对相似三角形. (3)AD A D ''等于多少？你是怎么做的？A B C '''??如图，ABC ，相似比为K，1AD A D BC B C ''''''（）若、分别是、的高，AD 则等于多少？A D 2,BAC B A C AD A D '''''∠∠'' （）若AD、A D 分别为、的角平分线 则等于多少？ 3,AD A D BC B C AD A D ''''''（）若、分别为、边上的中线 则等于多少？∽ C A B A ’ C ’ B ’ 相 似 三 角 形