一元函数微积分复习题1_1到1_9答案

《一元函数微积分》

习题1—1

1．确定下列函数的定义域：

（1）91

2-=x y ；

解：要使函数有意义，则：092

>-x 即 3>x 或3-

（2）x y a arcsin log =；

解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤

（3）2111x x y --+=

； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].

（4）)32(log 2

13-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>

≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞?. （5）)4(log 21arccos

2x x y a -+-=； 解：0412

112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。所以函数定义域：)2,1[- （6）x

y πsin 1=. 解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{

Z k k x x ∈≠,. 2.求函数?????=≠=00

0,1sin x x x y 的定义域和值域,并求??? ??π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞.

当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x

. 所以值域:[-1,1]. 12

sin )2(==ππf ,0)0(=f .

3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么? (1) 2)(,)(x x g x x f =

=;

解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数. (2) 2sin

21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同

因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数

R,值域为[-1,1],且)(cos 2

sin 21)(2x f x x x g ==-= (3)1)(,1

1)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同 因为)1(11

1)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g x x x f ==

. 解: 相同 因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==

x x x g x x

x x f 定义域均为非零实数,在定义域函数值恒等于1.

4.设x x f sin )(=, 证明:)2

cos(2sin

2)()(x x x x f x x f ?+?=-?+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin 2sin )sin()()(x x x x x x x f x x f ?+?=-?+=-?+.

5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.

解: 因为 5)(2

++=bx ax x f

故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f

由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f

所以有:82=a 且3=+b a

得:1,4-==b a .

6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数?

(1) )1(22x x y -=;

解: 定义域:),(+∞-∞

)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-

所以函数是偶函数.

(2)3

23x x y -=;

解: 定义域:),(+∞-∞ 32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.

所以函数既非奇函数又非偶函数. (3)22

11x

x y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞

)(11)(1)(1)(22

22x f x

x x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数.

(4))1)(1(+-=x x x y

解: 定义域:),(+∞-∞

x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-. 所以函数是奇函数.

(5)1cos sin +-=x x y ;

解: 定义域:),(+∞-∞

1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠- 所以函数既非奇函数又非偶函数. (6)2

x

x a a y -+=. 解: 定义域:),(+∞-∞

)(2

)(x f a a x f x

x =+=-- 所以函数是偶函数.

7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:

(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数. 证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞

(1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-?-+=Θ,. 故)(1x F 是偶函数.

(2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-?--=Θ,.故)(2x F 为奇函数.

8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.

由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数. 且 )(2

1)(21)(21x F x F x f +=

. 故命题成立.

9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.

证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-

不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L . )(x f 在),0(L 上单增, 则

)()(21x f x f ->- ，)(x f Θ奇函数

)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-

)()(21x f x f <

所以)(x f 在)0,(L -上也单增.

10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期:

(1) )2cos(-=x y ;

解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T .

(2) x y 4cos =;

解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+

ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .

(3) x y πsin 1+=;

解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T .

(4) x x y cos =;

解: 非周期函数

(5) x y 2sin =;

解: )](2cos 1[2

1)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T .

(6) x x y tan 3sin +=

解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+

=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π3

2和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .

11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定

义域.

(1) 3x y =,t x sin =;

解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞.

(2) u a y =,2x u =;

解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞.

(3) u y a log =,232+=x u ;

解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;

解: 不构成复合函数u y =

要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =;

解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.

(6) u y a log =, 22-=x u .

解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞?--∞.

12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;

解: 3u y =,1)1(2++=x u .

(2) 2)1(ln 3+=x y ;

解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .

(3) )13(sin 3+=x y ;

解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32

cos log x y a =.

解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.

13. 求下列函数的反函数:

(1) x y sin 2=;]2

,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-

∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin y x =. 得反函数: 2

arcsin x y =. (2) )2(log 1++=x y a ;

解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x . 得反函数: 21-=-x a y

反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-. (3) 1

22+=x x

y . 解: 121112112122+-=+-+=+=x x x x x y 由于112>+x , 则11210<+

12, y y x -=1log 2.

一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0'x f x f ， 则在),0(+∞内有（ ） （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ） （A ）必要条件。 (B) 充分条件。 （C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。 答B 4．设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是

)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型

数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。

一元函数微积分重点

微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分（主要是二元函数），无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。 一、熟记基本内容 事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。 二、紧抓内容重点 在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。 三、检测学习效果 大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病，这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候，如果充分了解其特点，就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用，可做做《考研数学客观题1500题》，必定能达到所希望的结果。微积分的解答题注重计算及综合应用能力，平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量，也能检测复习效果。 高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点：

《高等数学教程》第十一章重积分习题参考答案

《高等数学教程》第十一章 重积分 习题参考答案 习题11－1 1.(,)D Q x y d μσ=??. 3.(1)0; (2)0; (3)124I =I 4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I . 5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤. 习题11－2(A) 1. (1)4 0(,)x dx f x y dy ?? 或240 4 (,)y y dy f x y dx ??； (2)122 20 1 2 2 (,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy +????或2122 1 2 2 (,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +????； (3)2 2 4 (,)x x f x y dy -?或240 2 (,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +??. 2. (1)4 2 (,)x dx f x y dy ??; (2) 10 1(,)y dy f x y dx ?? ; (3)1 10 2(,)y dy f x y dx -?? ; (4) 1 (,)y e e dy f x y dx ? ?. 3. (1) 203; (2)32π-; (3)655; (4)64 15; (5)1e e -- 4. (1)92； (2)211 22e e -+. 5. 335. 6. (1)20 (cos ,sin )b a d f r r rdr π θθθ??； (2)2cos 20 2 (cos ,sin )d f r r rdr π θ πθθθ- -?? ; (3)1 (cos sin )20 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθθθ-+?? ; (4)3sec tan cot 44 4 (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π πθθ θ πθθθθθθ+++?? ??

一元函数微分学综合练习题

第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。

一元函数微积分学内容提要

第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ?=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，

多元函数微分学及其应用

第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

微积分——多元函数及二重积分知识点(教学内容)

教育类别+ 241 第四章 矢量代数与空间解析几何 微积分二大纲要求 了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图 形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影. 会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、 垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程. 理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法， 平面方程和直线方程及其求法. 第一节 矢量代数 一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念 定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。 定义4.2两个矢量a 与b ，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a . 换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。 k a j a i a a 3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a 称为坐标式。 .||2 32221a a a a 若,0 a 记| |0a a a 。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a 。 因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a 方向一致的单位矢量0 a ，则 .||0a a a 若},{321a a a a ，知 },cos ,cos ,{cos }, , { 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 2 3 2 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a 其中 ..是a 分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而 ,cos ,cos ,cos 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 3 3 22211 a a a a a a a a a a a a 且.1cos cos cos 2 2 2 2.矢量间的运算 设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a

一元函数积分知识点完整版

一元函数积分知识点完整版

牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知?+=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 一．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在 ]1,0[上连续，A dx x f =?20)cos (π，则 ==?π 20)cos (dx x f I _______。 二．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑?=∞→--+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑?=∞→---+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5：

求∑=∞→+=n i n i n n i n w 12tan lim 三．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 四．考察分项积分方法 讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。 问题6： 求下列不定积分： dx x x ?++2cos 1cos 12 五．考察定积分的分段积分方法 讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。 问题7： 计算以下定积分： {}?-+22cos ,5.0min )1(ππdx x x 六．考察不定积分的分段积分方法 讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。 问题8：

微积分基本教程48502

微积分教程 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分的基本介绍 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分的本质 【参考文献】刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，长沙：湖南科学技术出版社，2009 1．用文字表述： 增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。 2．用式子表示：

一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

微积分教学大纲

《微积分》教学大纲 课程代码： 名称：微积分学 授课专业：工业设计专业 学时数：100 一、课程的目的和要求 学生能够通过本课程的学习，获得一元函数微积分学、多元函数微分学方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。 更重要的是，在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解，并利用这一思想解决一些实际问题。通过这门课程的学习，提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力，全面提高学生的数学素质。 二、课程教学内容 第一部分函数 主要内容：函数的概念与性质，复合函数、初等函数的概念。 要求： 1、理解函数的概念，能列出简单实际问题中的函数关系。 2、理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性； 3、理解反函数和复合函数的概念； 4、理解初等函数的概念和性质。 重点：函数的的概念与性质。 难点：列出问题中的函数关系，反函数和复合函数的概念。 第二部分极限与连续 主要内容：极限的概念，极限四则运算，无穷小、无穷大的概念，函数连续的概念。 要求： 1、了解数列极限、函数极限的概念(对极限的精确定义、证明不作要求)； 2、掌握极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限； 3、理解解无穷小与无穷大、高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小的概念； 4、理解函数在一点连续和在一区间连续概念，了解函数间断的概念； 5、了解初等函数的连续性，了解在闭区间上连续函数的性质. 重点：极限的四则运算法则。 难点：极限的概念，连续的概念。 第三部分导数与微分 主要内容：导数和微分的概念，导数和微分的运算。 要求： 1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，了解函数的可导与连续之间的关系； 2、熟练掌握导数和微分的运算法则、导数的基本公式，了解高阶导数概念，能熟练求初等函数的一阶、二阶导数（n>2阶导数不作要求）； 3、掌握复合函数和隐函数的求导法； 4、会求曲线的切线与法线方程，了解微分在近似计算中的应用。

《高等数学》视频教程 蔡高厅教授主讲

《高等数学》视频教程蔡高厅教授主讲 中文名称：蔡高厅高等数学上下册RM压缩清晰版本 地区：大陆 语言：普通话 简介： 高等数学辅导讲座（蔡高厅） 分189讲上册95讲下册94讲！赠送与之配套的电子书课文！ 本教程讲解之细致，容量之庞大令人叹为观止！适合任何程度的朋友学习。即使只有高中数学水平，凭此讲座可在一月内快速成为高数高手，也可作为复习后期查缺补漏之用。本教程是目前国内水平最高的高等数学长期教程，影音俱佳，强烈推荐！！ 第一章函数第二章极限第三章导数与微分第四章导数的应用第五章不定积分 第六章定积分第七章空间解析几何与矢量代数第八章多元函数微积分第九章重积分 第十章曲线积分及曲面积分第十一章级数第十二章微分方程

适合人群： 1、在校大学生 2、自考人 3、考研人士（高数一，二） 4、其它想学习数学的人士 [点评][天津大学][高数](蔡高厅) 我来谈谈对天津大学蔡高厅高数的一些看法。这部高等数学教程应该是现在名气最大的，也是好评最高的。原因我认为有这么些，首先，整部教程体积很小（全部一起不到3G），而北航柳重堪高等数学加起来超过10G，对硬盘空间不是很大的用户是个不小的负担，这点使的很多人选择了它（包括我本人），在着，一共189讲的超大 容量，整个高等数学的全部知识，无论巨细，无一遗漏，是其他教程所不能及的（北航柳重堪高等数学），其次，本科学校的正规教程也是个很诱人的地方。以上说的是它的优点，下面说说我自己的体会。我是在看完北航柳重堪高等数学第一章时再看的，对比而言，蔡高厅高数给我感受就是蔡高厅本人一直在黑板上不停的版书，对知识本身的讲解很机械，这点我很不喜欢。既然是本科学校的教程，就应该讲究对知识本身和思维的沟通，重点应该是放上创造性上，而不只是知识的简单堆砌，蔡高厅的讲课完全是教科书的移植，加上一点做题的技巧，对基本概念的理解讲解很生硬，缺少沟通性。跟真正的数学教学相差很远“蔡高厅的讲课完全是教科书的移植”，这点我很同意。他的例题基本上都是他与别人合写的那本高数上的。[点评][天津大学][数学]【蔡教授讲】 提起蔡教授的数学，想想我干瘪的荷包真是感慨呀！那时想考试，看到网上无数的同志推荐这门课程，在购回后，白天在办公室偷偷看，晚上回家接着看，整整花了偶2月光阴才大功告成。因此，昨天看了网友对蔡教授的批评，本人对此是不同意的，数学是一门逻辑性很强的课程，讲究环环紧密相扣，因此，学习的风 格也以稳重为主，正是基于这一点，本人是十分推崇蔡教授的课的，别的不说，光是他老人家，诺高的身材弯腰板书，这种敬业精神与师德，就强过了许多年轻后辈。就以课程的本身而言，蔡教授讲得条理清晰，对每个定理都进行了详细的证明，辅以充足的示例，让你想不学好这门课都难。个人认为，蔡教授的这门课，无论下 载还是购买都值得！

一元函数微分

第二部分 一元函数微分 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0'x f x f ， 则在),0(+∞内有（ ） （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ） （A ）必要条件。 (B) 充分条件。 （C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。 答B 4．设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2 -∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。

（C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C

《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：

基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法

多元函数微分学复习(精简版)

高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y