高等数学函数极限练习题
设x
x
x f +=
12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f
定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。
定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。
在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。
的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=?
的奇偶性。
判定函数)1ln()1()(x x e
x f x
x -+?-=+ [
)设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0
函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()()
???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．，
；
，．，；， 设64240)(42220)(2
x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ??
[][]设，；
，．
，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021???
???>-≤=????>≤-=．
，；
，．， ；，设000)(00)(2
x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1
2002??
[]设，；
， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020
．求．，；
，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+?
??≥<+=????≥<=
设， ；，；， ４．求的反函数．f x e x x x x x f x x x ()()()=-∞<<+≤≤-<<+∞???
?
?01041?
设，；，；，．求的反函数．f x x x x x x f x x x ()()()=-∞<<≤≤<<+∞???
?
?114242φ
求：．
，；
，设?????≥-<-=001)(2
x x x x x f
。
为常数．及的定义域；
)()()2()2()()1(2
a a f f x f
设，；
， ；， ．
求．f x x x x x f x f x f x x ()()(sin )()=-<-≤>???
??
+?---11111354622
设，；
，．求．f x x x x x f x ()()=+≥+
设，；，．
，求及．f x x x x x f f ()log (cos )(sec )=≤>???221144ππ
：试作出下列函数的图形．， ；， ；，设??
?
??>-=<≤-+=0200012)(x x x x x x f
．；；2
)
()()3()()2()()1(x f x f y x f y x f y +-=
==
：试作出下列函数的图形，，；，设???
??≤<+-=<≤--=2020102)(x x x x x x f
．；；2
)
()()3()()2()()1(x f x f y x f y x f y -+=
-==
的图形。
，试画出．，
；
设.)(),()( 2111,1)(2x f y x f y x f y x x x x x f =-==?????≤<+-≤-= []上是偶函数。，在，使求．，
，，
设11)()(1001)()(2
-??????≤≤-<≤-?=x f x x x x x x x f
???
?
???
>-=
，当时，， 当时，，当设01
000)()(x x x x x x x f
是奇函数。
，在，使求；
求)()()()2()cos 2()1(∞+-∞?+x f x x f
，
．， ；， ；，
设)21()(21210010)(x f x F x x x x x x f -=??
?
??<≤-<≤<≤-= 的图形。
画出的表达式和定义域；求)()2()()1(x F x F
设， ， ；， ．求的定义域及值域。f x x x x x x f x ();()=-≤<+≤<-≤
?
?010101212
设，；
，求、及的值。f x x x x f f f x ().()()()=+≤>???-1020202
设，；
，求，其中．f x x x x x x x f a f a a ()()()=-+≤->?????++->22
1121
110 求函数的反函数，并作出这两个函数的图形。y x =+ln 1
求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。y x y x =+
=sin()()π
?4
求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。y x y x =-=tan()()1? 利用图形的叠加作出函数的图形。y x x =+sin
利用图形的叠加作出函数的图形。y x x
=+1
作函数的图形（草图）y x =-1
1
。
作函数的图形（草图）y x =-ln()1。 作函数的图形。（草图）y x =-arcsin()1
（草图）作出下列函数的图形： ．
；；
222)1()3()2(1)1(-=-=+=x y x y x y 设函数，就和时，分别作出其草图。y ax a a ===-lg 12
列函数的图形（草图）的图形（如图）作出下利用x y 2=：
．
；x x y y 23
1)2(12)1(=+=
）列函数的图形：（草图的图形（如图）作出下利用x y sin =
。；)4
sin()2(2sin )1(π-
==x y x y
利用的图形（如图）作出下列函数的图形：（草图）；y x y x y x ==
=+sin ()sin ()sin 11
221
21
2
ππ
-
义域。的反函数，并指出其定，求函数)(3ln
∞+-∞=x
y 义域。的反函数，并指出其定求函数)( 3+∞<<-∞=x x
ch y
义域。的反函数，并指出其定求函数)( 3+∞<<-∞=x x
Sh y
义域。
的反函数，并指出其定求函数，1
1
22+-=x x e e y 验证11
22-=-cth x sh x 。
验证11
22-=th x ch x
。
验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ-=-。 验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ+=+。 验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ-=-。 验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ+=+。 验证。22Shx Chx Sh x ?=
证明Sh x Ch x Ch x 222+=。
，，设ax
a
x x x x x f +-=?+∞<<-∞=1)()( arctan )(
[]。，验证：，)()()()11(a f x f x f x a -=?<< []设，，求f x x x x f x ()ln ()()=+=+11??。
[]设，，求f x x x
x x f x ()()()=+=11
2
??。 [][][]设，，求、及。f x x x f x f x f f x x ()sin ()()()()==???2
[][]设，，求及。f x x x x f x f x ()()()()=+=
+11
1
2??? ()[]{}
设，，求及f x x
x x x f f x f f f x ()()()=-≠≠?????
?1011。 []设，，求及其定义域。f x x x x x f x ()()()=+=+-1111
22??
[]已知，，且，求，并指出其定义域。f x e f x x x x x ()()()()==-≥2
10???
[][]设，，求及。f x x x x f x f ()ln ()()()==-???102
[]设，，求及其定义域。f x x x x f x ()arcsin ()lg ()==?? 求函数的反函数，并指出反函数的定义域。y x x =-≤-211()
求函数的反函数，并指出其定义域。y x x =-≤ 的反函数求函数x x y +-=11arctg 。 求函数的反函数，并指出其定义域。y e e x x = --12 () 求函数的反函数的形式。y a x a x a =-+>ln ()0 求函数的反函数，并指出其定义域。y e e x x =+1 求函数的反函数y x x x =+4。 的定义域。，并指出的反函数求函数)()()1(1111)(x x x x x x f φφ≤-+--= 求函数的反函数式中，。f x x x x a a a ()log ()()()=++>≠1012φ 设，求的反函数，并指出其定义域f x e e e e f x x x x x x ()()().=-+-? 设，试讨论的单调性和有界性。f x x x x f x ()()()=+≤<+∞10 讨论函数在区间，和，内的单调性。f x x x ()()()=++∞1 011 讨论函数的有界性。f x x x ()=+12 讨论函数，当，，时的有界性。f x x x ()()()=+∈-∞+∞1 32001 Y 讨论函数在，上的单调性。f x x ()()=-∞+∞2 讨论函数在，上的单调性。f x x a a x ()()()=->-∞+∞-1 讨论函数在，内的单调性f x x ()ln ()=-+∞10。 b x a f x x x x x x f ++=???≤<-<≤-+=)()(311112)(φ，， ， 设 为奇函数。除外的值，使，试求)0)((=x x b a φ 判断的奇偶性f x e e x x x x x ()ln ()=+--+-<<111111。 证明是奇函数f x x x ()()()=+--2323。 判定在其定义域，上的奇偶性。f x x arc x ()cot ()=+-∞+∞ 判定 的奇偶性。f x x x x ()()()()=--+-∞<<+∞13132323 的奇偶性。 判定))(0()(2 2+∞<<-∞>++=x a x a x a x f )()()(),()(12)(x F x G x f x F x G e e x f x x +=+=使与偶函数，求奇函数设。 设函数满足，讨论的奇偶性。f x f x f x x f x ()()()()4211 -= 的奇偶性。，判断)10)(1(log )(2≠>++=a a x x x f a 判定函数，的奇偶性。f x a a a a x x ()()=+>≠21 01 设函数对任意实数、满足关系式： 求； 判定函数的奇偶性。 f x x y f x y f x f y f f x ()()()()()()()()+=+102 求的最小正周期。f x x x x ()sin sin sin =++1221 3 3 [][]42)(2)(202)(2，在，求上，在为周期的周期函数，且是以设--==x f x x x f T x f 上的表达式。 的最小正周期求x x x f cos 3sin )(?=。 设为奇函数，且满足条件和。试求及 为正整数； 如果是以为周期的周期函数，试确定的值。 f x f a f x f x f f f n n f x a ()()()()()()()()()()()1221222=+-= [] 设 则是奇函数而不是偶函数；是偶函数而不是奇函数；是奇函数又是偶函数；非奇函数又非偶函数。 答（ ） F x x x e x F x A B C D x x ()()()() ()()()()=+--∞<<+∞-1 讨论函数在，的有界性f x x x ()()=++-∞+∞1212 4 。 设是定义在，内的任意函数，则是（ ）奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；非负函数。 f x f x f x A B C D ()()()()()()()()-∞+∞-- 下列函数中为非偶数函数的是（ ）； ； ；()sin ()arccos ()()lg() A y x B y x C y x x x x D y x x x x x x =?-+== -++++= +++21 21343411222 2 设，，，则 在，单调减；在，单调增； 在，内单调增，而在，内单调减；在，内单调减，而在，内单调增。 答（ ） f x x x f x A B C D ()()()()()()()()()()()()()()=-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞0000 f x e e x A B C D x x ()()sin ()()()()()=--∞+∞-在其定义域，上是有界函数； 单调增函数；偶函数； 奇函数。 答（ ） f x x A B C D ()sin ()()()()()=-∞∞在其定义域，＋上是奇函数； 非奇函数又非偶函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数。 答（ ） 2ππ f x x x A B C D ()cos() ()()()()()= ++-∞+∞212 在定义域，上是有界函数； 周期函数；奇函数； 偶函数。 答（ ） f x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333 23 2在其定义域，上是 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为的周期函数； 最小正周期为 的周期函数； 非周期函数。 答（ ） ππ π 设，，，则此函数是 奇函数； 偶函数； 有界函数； 周期函数。 答（ ） f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤?????3330 02 设，，，则此函数是周期函数； Ｂ单调减函数； 奇函数 偶函数。 答（ ） f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤?????3 3 0ππ f x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。 答（ ） 函数 是奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ） f x a x a x a A B C D a ()ln ()()()()()=-+>0 答（ ） ；； ； 的是 下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 121 2)(222 2+--++=+=++=+-=x x x x y D x x x y C x x y B y A x x 关于函数的单调性的正确判断是 当时，单调增； 当时，单调减； 当时，单调减；当时，单调增； 当时，单调增；当时，单调增。 答（ ） y x A x y x B x y x C x y x x y x D x y x x y x =-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1 01 01 0101 0101 ()()()() [][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是 ； ；； 答（ ） x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π22 下列函数中为奇函数的是 ； ； ； 答（ ） ()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x ==+ ==--224 22π 求函数的定义域及值域y x =arcsin(lg )10。 确定函数的定义域及值域y x x =+arccos 212 。 求函数的定义域及值域y x =-lg(cos )12。 求函数的定义域及值域y x x =+-22。 已知)(x f 是二次多项式，且38)()1(+=-+x x f x f ，0)0(=f ，求)(x f 。 图中圆锥体高OH = h，底面半径HA = R，在OH上任取一点P（OP = x），过P作平面α垂直于OH，试把以平面α为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。 设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。 在半径为R的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并指出函数的定义域。 在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积表示成一边长的函数。 生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃（如图），它的相邻两面借用夹角为? 135的两面墙（图中AD和DC），另外两面用篱笆围住，篱笆的总长是30米，将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。 有一条由西向东的河流，经相距150千米的A、B两城，从A城运货到B城正北20千米的C城，先走水道，运到M处后，再走陆道，已知水运运费是每吨每千米3元，陆运运费是每吨每千米5元，求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。 由直线x y =，x y -=2及x 轴所围成的等腰三角形OAB 。在底边上任取一点]2 , 0[∈x ，过x 作垂直x 轴的直线，试将图上阴影部分的面积表示成x 的函数。 旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克，而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系。 设有一块边长为a 的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。 等腰直角三角形的腰长为l （如图），试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x 的函数。 在底AC = b ，高BD = h 的三角形ABC 中，内接矩形KLMN （如图），其高为x ，试将矩形的周长P 和面积S 表示为x 的函数。 设M 为密度不均匀的细杆OB 上的一点，若OM 的质量与OM 的长度的平方成正比，又已知OM = 4单位时，其质量为8单位，试求OM 的质量与长度间的关系。 等腰梯形ABCD （如图），其两底分别为AD = a 和BC = b ，（a > b ），高为h 。作直线 MN // BH ，MN 与顶点A 的距离AM = x )2 2(b a x b a +≤<-，将梯形内位于直线MN 左边 的面积S 表示为x 的函数。 建一蓄水池，池长50 m ，断面尺寸如图所示，为了随时能知道池中水的吨数（1立方米水为1吨），可在水池的端壁上标出尺寸，观察水的高度x ，就可以换算出储水的吨数T ，试列出T 与x 的函数关系式。 设 ，求的定义域f x x f x ()arcsin(lg )().=10 设 求的定义域f x x x f x ()arcsin ln(),().=---3 24 设 ，求的定义域f x x x x x f x ()lg()()=+-+-+655622。 .)() 1lg(1 2)(的定义域，求设x f x x x f -+ += 设的定义域。，求)()cos 21lg()(x f x x f -= ()的定义域。 ，求设 x f x x x f 1 21lg )(+-= 的定义域，求设 )(4 1 2sin src )2ln(9)(2x f x x x x f -++-= 。 [][])()( )(1)(223t t t t t ????? 求设 += ).()(32)2(2h x f x f x x x f ++-=-及 求设 ?? ????-= )(1)1 (),()2(,1)(x f f a f a f f x x x f ， ，求设 。 [].)()1 (11)(x f f x f x x x f 及 求设 +-= ).(,2)1(x f x x x f 求设 +=+ ).2 (cos ,cos 1)2(sin x f x x f 求设 += 12)1()(222 ++= +x x x x f x x f 设 ，)(x f 求。 )( , )0( 1 )1(42 x f x x x x x f 求 设 ≠+=-。 z x f x z y y x f y x z 及求时且当设 )( , , 0 , )(2==-++=。 )() () ( , )(y x f y f x f e t f t -==证明 设 。 )()2()2( 1 , )1lg()(2y F y F y F y x x F =--->+=时有证明当设。 )1()()(,11ln )(yz z y f z f y f x x x f ++=++-=证明设 ).1,1(< )2 5 ( ),2(),2(,2)(2f f f x f x -=-求设。 )1()( , 5522)(22t f t f t t t t t f =+++ =证明设。 )(,)1()1(2 x f x x x x f 求设+=。 )12(, )1(2+=-x f x x f 求 设。 时，且当设 2)(1=-=x x t f x y ，)(5222x f t t y ，求+-=。 及其定义域，求，设)(02)(ln 2x f x x x x f +∞<<+-=。 )()0( )11()1 (2x f x x x x f ，求 设>++=。 )()0(13)1(243x f x x x x x x x f ，求 设≠+++=+。 )1()11(1)(2-≠+-+=x x x f x x x f ，求设。 1)()1(3)2(3)3()(2+-+++-+++=x f x f x f x f c bx ax x f ，计算设的值，其中c b a ，，是 给定的常数。 ),00()(≠≠++=abc x c bx x a x f ， 设 成立，对一切，使求数0)()(≠=x x f x m f m 。 ,5 5 lg )(-+=x x x f 设 的定义域；确定)()1(x f []的值，求若)2(lg )()2(g x x g f =。 ,2||)1(110==-++===x a y x y x f a y 及满足条件，设 .)(y x f 及求 设，求的定义域f x x x f x ()arctan ()=-+251 2。 设，求的定义域f x x x f x ()l g ()=+256 。 的定义域，求设)(12)(2 x f x x x f --= 。 的定义域，求设 )(16sin )(2x f x x x f -+=。 设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．， )0( x x f --++=。 ? ?+x x 2的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 设)ln(2)(22 x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 )(log log )(22x x f =的定义域是_________________。 2 32)(2+-= x x x x f 的定义域是________________。 函数3 1 2arcsin )(-=x x f 的定义域用区间表示为______________。 函数x x x f -= 1 )(的定义域用区间表示为________________。 函数)12arccos()(-=x x f 的定义域用区间表示为_____________。 函数)4()(-=x x x f 的定义域是_____________。 函数)6ln()(2x x x f -+=的定义域用区间表示为______________。 函数)4ln(1 )(+=x x f 的定义域用区间表示为_____________。 设)2ln(1)(x x x f -++=，则)(x f 的定义域用区间表示为。 函数2 2)(+-=x x x f 的定义域用区间表示为_______________。 设x x f -=2arcsin )(，则)(x f 的定义域用区间表示为______________。 设)(x f 的定义域是(0,1)，则)1(2x f -的定义域是________________。 设x x f ln )(=，x x arcsin )(=?，则)]([x f ?的定义域是________________。 设)(x f 的定义域是[0，4），则)(2x f 的定义域是______________。 设)(x f 的定义域是2] , 1(，则?? ? ??+11x f 的定义域是______________。 设)(x f 的定义域是（0，1），则)(lg x f 的定义域是______________。 函数)sin(arcsin )(x x f =与函数)arcsin(sin )(x x g =是否表示同一函数？为什么？ 函数)12ln()(2+-=x x x f 与函数)1ln(2)(-=x x g 是否表示同一函数？为什么？ 函数)cos(arccos )(x x f =与函数x x g =)(是否表示同一函数？为什么？ 函数2 1 2)cos 1()(x x f -=与函数x x g sin )(=是否表示同一函数？为什么？ 什么？ 是否表示同一函数？为与函数函数x x g x x x f +=--=11 )(1 1)(2 函数x x f lg 10 )(=与函数x x g =)(是否表示同一函数？为什么？ 函数334)(x x x f -=与函数31)(-=x x x g 是否表示同一函数？为什么？ 函数2 1)(--= x x x f 与函数2 1)(--= x x x g 是否表示同一函数？为什么？ 函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是否表示同一函数？为什么？ 函数x x x f -+=1)(2与函数x x x g ++=11 )(2 是否表示同一函数？为什么？ 1 - x 关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020 第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x → 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f 高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说 A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B 的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=； 2 、 高等数学公式 导数公式： 基本积分表: tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x r C secxdx In secx tgx C cscxdx In cscx ctgx C dx 1 arctg x C 2 2 a x a a dx 1In 2a x a C 2 2 x a x a dx 1In 2a a x C 2 2 a x a x dx arcsi 吐 C / 2 2 va x a dx sec 2 xdx tgx C 2 cos x dx 2 . .2 csc xdx ctgx C sin x secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx x a C In a shxdx chx C chxdx shx C dx 2 2 ----------- In(x . x a ) C ；2 2 v 3 .x a 2 2 n sin n xdx n cos xdx ■- x 2 a 2dx x x 2 2 a 2 一 x 2 a 2dx x 2 -x 2 a 2 2 2 x 2 2 :a x dx 一 ：■ a x n 1 三角函数的有理式积分: 2 _____________________ a 2 2 In(x x a ) C 2 a (tgx) sec x (ctgx) csc x (secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x ) a x l na (log a x) 1 xl na (arctgx) (arcctgx) 1 1 x 2 * * * 1 1 x 2 (arcsin x) (arccos x) 1 第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=； 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ???, n , ???}. N +={1, 2, ?? ?, n , ???}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={???, -n , ???, -2, -1, 0, 1, 2, ???, n , ???}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); (4)对偶律 (A ?B )C =A C ?B C , (A ?B )C =A C ?B C . （一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-=?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷 小 4、 x =0是函数1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 101 4- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0； 1 第一章 函数极限与连续 高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。 第一节 函数的概念 一、几个基本概念 1 常量与变量 在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a 、b 、c …… 等表示常量，用小写字母x 、y 、z 、…… 表示变量。 例如：圆周率π是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。 注意： 1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了； 2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。 2 集合、区间 集合是表示具有同一种属性的全体。 例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。 有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了 下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号： 开区间：()b a ,={} | b x a x << ；关于大学高等数学函数极限和连续
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