北师大版八年级下册-第一章-三角形的证明-讲义(无答案)

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A B

C

D E F

第一章：三角形的证明

【基础知识】

1、全等三角形

(1)定义: 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2)性质：全等三角形的 、 相等。 （３）判定:“S ＡＳ”、 、 、 、 。 2、等腰三角形

(1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。 (２)性质:①等腰三角形的 相等。(“等边对等角”)

②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( ) ③等腰三角形是 图形。

（3)判定:①定义 ②“ ”

(４）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。 性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 判定:①定义 ②有一个角 是等边三角形。 3、直角三角形

(1）定义:有一个角是 的三角形是直角三角形。

（2）性质：①“勾股定理” 。

②直角三角形两锐角 。

③直角三角形斜边上的中线等于 。

④在直角三角形中，３0°角所对直角边等于 。 （３)判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形

③“勾股定理逆定理” 。

4、角平分线

（１)定义: 。 (2)性质：①角平分线上的点 相等。

②三角形的三条角平分线 ,且到 相等。

(3)判定：到角的两边 的点,在这个角的平分线上。 （4)角平分线的作法： 5、线段的垂直平分线

（1)定义: 一条线段的 叫线段的垂直平分线。 （2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。

②三角形三边的垂直平分线 ,且到 相等。

（3)判定:到一条线段两个端点 的点,在这条线段的垂直平分线上。 （4）线段的垂直平分线的作法:

6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。

互逆命题:在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 。 7、逆定理:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．

【典例讲解】

一、选择题

1、到△AB Ｃ的三条边距离相等的点是△ＡB Ｃ的( )

A.三边中线的交点

B.三条角平分线的交点Ｃ.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点 2、如图,从等腰△A ＢC 底边BC 上任意一点分别作两腰的平行线ＤE 、DF ，分别交AC 、ＡＢ于点Ｅ、F ，则□ＡＦＤＥ的周长等于这个等腰三角形的( ）

A. 周长 B ． 周长的一半 C ． 一条腰长的2倍 D. 一条腰长

3、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于Ｄ,B Ｅ⊥AC 于E ，ＡＤ与BE 相交于Ｆ,若B Ｆ＝A Ｃ,则∠ABC 的大小是( )

Ａ.45° Ｂ.50° C ．55° D.60°

４、如图,在△ＡＢＣ，∠Ｃ=90°,∠B ＝１5°，A Ｂ的中垂线DE 交ＢC 于D,E 为垂足，若ＢＤ=１０ｃｍ，则ＡC 等于( ）

A.1０c ｍ Ｂ．8c ｍ C ．5c ｍ Ｄ．2．5cm

５、如图,已知在△ABC 中,ＡB=ＡＣ,∠Ｃ=3０°，AB ⊥ＡＤ,A Ｄ＝3ｃｍ，则ＡC 的长等于（ ) A ．22

ｃｍ B ．32 c ｍ Ｃ．23 ｃｍ D ．33ｃｍ

2题 ３题 4题

A B

5题

６、△AＢC中，∠A∶∠B∶∠C＝１∶2∶3，最小边ＢC=４cm，最长边AB的长是( ) Ａ.5 cm? B.6cm C.5cm D.８ｃm

7、下列定理中逆定理不存在的是( )

A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等

Ｂ.在一个三角形中，如果两边相等,那么它们所对的角也相等

C.同位角相等,两直线平行

D.全等三角形的对应角相等

8、下列说法正确的是( ）

A.真命题的逆命题是真命题Ｂ.每个定理都有逆定理

C．每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题

二、填空题

1、命题:“全等三角形的对应角相等”的逆命题是__＿___________＿_______＿___。

这条逆命题是___＿＿_命题（填“真”或“假”）

2、已知,如图,O是△ABC的∠ABC、∠ＡＣB的角平分线的交点,OD∥AＢ交BC于D,OE∥ＡC交BC于E，若ＢC = 10 cm,则△ＯDＥ的周长.

３、如图,∠AOP=∠BOＰ=１5°,PＣ∥OA，PD⊥ＯA，若PC=４，则PＤ的长为.

4、如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形，所有的三角

形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为７ｃｍ，则正方形

A、B、C、D的面积的和是2

cm．

5、在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABＣ的三条

线的交点最适当．

６、如图（九），一个正方体的棱长为2cm,一只蚂蚁欲从A点处沿正方体侧面到Ｂ点处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是.

7、如图（十)的(1）中，ABCD是一张正方形纸片，Ｅ,F分别为ＡB，CＤ的中点，沿过点D

的折痕将A角翻折，使得点Ａ落在（2）中EF上，折痕交AE于点G,那么∠ADG= .

三、解答题

1﹑已知某开发区有一块四边形的空地AＢCD,如图，现计划在空地上种植草皮,经测量∠A=9０°，AB＝3m，BＣ=12ｍ,CD=13m,ＤＡ＝4m,若每平方米草皮需要２00元,问需要多少投入？

２、如图,0

60

=

∠A，AB＝AD=8,0

150

=

∠D,四边形的周长为32，求BＣ和CD的长。

C

D

D

B

C

--

３、作图题(保留作图的痕迹,写出作法)（共６分)

如图（十一）,在∠AＯB内，求作点P,使P点到OA，OB的距离相等，

并且P点到M,N的距离也相等.

4、如图(十五)，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，DE⊥ＡB于E,DF⊥ＡＣ于Ｆ.

求证：(１)ＡD⊥EF ;

（2)当有一点G从点D向A运动时，DＥ⊥ＡB于E，

DF⊥AＣ于F,此时上面结论是否成立?

5、如图(十六）,△ABC、△DEＣ均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点Ｎ为线段BE的中点,求证：△CＮM为等边三角形．

4如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过Ｍ作ＤE∥AC，求证：AD+ＣE=DＥ

５、如图２所示，已知：在△AＢC中，AD为△ABC的中线,F为AC上一点,且AF ＝

3

1

AC，连结ＢＦ交AＤ于E,若ＥF＝5cm.求ＢE的长。

A

F

E

B D

C

6、已知:如图，D是等腰AＢC底边BＣ上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D

点在什么位置时，ＤE=DＦ?并加以证明.

--

7、已知:菱形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABＣD分割成四个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形.(画图工具不限,要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分;不要求写出画法，不要求证明)注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法．分法一: 分法二: 分法三:

8、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（１)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;

（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于Ｏ,若∠Ａ=６０°, ∠ＤCB=∠ＥBＣ=

1

2

∠A ，请你写出图中一个与∠Ａ相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;

（3）在△ABC中,如果∠Ａ是不等于６0°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且∠DCＢ=∠E ＢC=

1

2

∠A，探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

O

E

D

C

B

A

９、巳知:如图，在△ABC中AB=ＡC，延长AB到Ｄ使BD=AＢ,E为AＢ的中点,

求证：CＤ＝2ＣE

--

C

【巩固练习】

1.一个等腰三角形有一角是7０°，则其余两角分别为_______＿_.

2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_____＿___.

３.如下左图，△ABＣ中，∠Ｃ=９0°，AＭ平分∠ＣAB，CM=2０cm，则点

M到AB

的距离

是__＿＿＿_＿_

４.如上右图,等边△ABC中，Ｆ是AＢ中点,EF⊥AC于E,若△ABC的边长为10,则AE=______

＿__,AＥ∶ＥＣ＝______＿＿_.

5.如下左图,△ABC中，DE垂直平分ＢC,垂足为E,交ＡB于D,若AB=1０cm，AC=6 ｃm,则

△ACD的周长为______＿__.

6.如上右图,∠Ｃ=９0°，∠ＡBC=75°,∠CDＢ＝30°,若BC=3 cｍ,则AD＝_＿_____＿_ ｃm.

7.如下左图，Ｂ在ＡC上,D在CE上,AD＝BD=BC，∠ACE＝25

°,∠ＡDE=＿__＿＿____.

?(17题)?

8.等腰直角三角形一条边长是1 cm,那么它斜边上的高是_______＿_ｃm.

9.如上右图,在∠AOB的两边OA、OB上分别取OＱ=OP,OT＝OS,PT和QS相交于点C，则图

中共有_________对全等三角形.

１0.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___＿___＿___＿＿＿＿_，这个逆命题

是＿______＿＿命题.

１1.三角形三边分别为a、b、c,且a2-bｃ=a(ｂ－c)，则这个三角形（按边分类)一定是_＿＿___

＿＿_三角形.

１2.等边三角形的高为23,则它的边长为( ）

A．4?B．3??C．2 D.5

13.等腰三角形的顶角是ｎ°,那么它的一腰上的高与底边的夹角等于( )

Ａ.

2

90

n

? B.90-

2

n

C.

2

n

Ｄ.9０°－ｎ°

1４．下列由线段ａ、b、c组成的三角形,不是直角三角形的是（)

Ａ.ａ=3，b=4,c＝5 Ｂ.a=１，b=

3

4

，c=

3

5

Ｃ．ａ＝9，ｂ=１２，c=15 D．ａ=3,ｂ=２,c=5

15．直角三角形的三边长为连续自然数,则它的面积为（)

A.6

B.7．5 ?

C.1０??

D.12

１6．△ＡBC中，∠A∶∠B∶∠Ｃ＝1∶２∶３,最小边BC＝4 cm,最长边AB的长是（)

A.5 cm?

B.6 cｍ?C．5cm?Ｄ.８ｃｍ

1７.如右图，△ＡＢC中,AB＝AＣ,BC=BＤ,ＡD=ＤＥ=EB,

则∠A的度数为（）

--

--

A ．55° B.４5° Ｃ.36° Ｄ.３0° 1８.等腰△A ＢC 中，ＡＣ=2

B Ｃ,周长为60，则B Ｃ的长为( ）

A.１5? Ｂ.12 C ．１5或12 D.以上都不正确 19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 c ｍ，其斜边上的高是（ ） A.1３ c ｍ B ．

13

30 cm C.

13

60 ｃm D ．9 cm

20.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ) A ．25 ?B.５０??C.１00 ?Ｄ．６0

２1．等腰三角形的底边为ａ,顶角是底角的4倍，则腰上的高是( ）

A.

23a ? B .3

3 a C ．

63a ?D. 2

1

ａ 2２．若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形一定是（ ) A.等腰三角形??Ｂ．等边三角形 C.等腰直角三角形

?D.直角三角形

23.等腰三角形A ＢC 中，∠Ａ＝120°,BC 中点为D ，过D 作DE ⊥ＡＢ于E ，ＡE ＝4 cm ，则AD 等于( ） A ．8 c ｍ B ．７ cm C.6 cm ?D.４ cm ２4．下列说法中，正确的是（ )

Ａ．两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等

C ．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

25.如右图，AB ⊥ＣD ,△A ＢD 、△ＢCE 都是等腰三角形,如果ＣD =8，BE =3,那么AC 长为( ) A.８ ? Ｂ.５ C.3 ? D.34

2６．将两个全等的有一个角为3０°的直角三角形拼成下右图,其中两条长直角边在同一直线

上，则图中等腰三角形的个数是（ ) A.４ ?B.３ ??Ｃ.２

D.1

2７.下列定理中逆定理不存在的是（ ) A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等

Ｂ.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等 C ．同位角相等，两直线平行 Ｄ.全等三角形的对应角相等 *28.已知一个直角三角形的周长是４+２6

,斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为

( ）

Ａ.5 ?Ｂ．2

?C.

4

5

? D.１

29．已知:如图，AB =ＡC ，ＤＥ∥A Ｃ，求证:△DBE 是等腰三角形.

∠ＢＡD =

2

1

∠

30．已知:如图，在Rt △ＡBC 中,∠C ＝90°,

ＢAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求

证:C Ｄ=2

1DB .

31.已知三角形的三边分别是n 2＋n ,n +21和n 2+n +2

1

（n >0），求证:这个三角形是直角三角形.

32.如图，△ＡＢC中，ＡＢ=AC,∠1＝∠2，求证:ＡD平分∠BA C.

３３．如图，以等腰直角三角形ＡＢC的斜边ＡB与边面内作等边△AＢD,连结DＣ,以DＣ当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧,若ＡB=2，求ＢＥ的长. ＊34.①在△ABＣ中，AB=AC,AB的垂直平分线交AＣ于N,交BC的延长线于M，∠A＝30°，求∠NＭB的大小.

②如果将①中的∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的大小.

③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）

④将①中的∠A改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改?

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【连接中考】

1．(2０１1山东济宁，9,3分)如图，△A ＢC 的周长为3０ｃm ，把△A ＢC 的边AC 对折,使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ,交A Ｃ边于点E ,连接A Ｄ,若AE ＝4cm ，则△ABD 的周长是

A ．22cm Ｂ.20 cm C ．１8cm D.1５cm

2.(2011湖北黄冈,14,3分)如图，把Rt △A ＢC 放在直角坐标系内,其中∠CA Ｂ＝90°，ＢC=5,

点Ａ、B 的坐标分别为(1,０)、（４，0），将△A ＢＣ沿x 轴向右平移，当点C 落在直线ｙ=2x －6上时,线段B Ｃ扫过的面积为( )Ａ.4? Ｂ．8 ?C.16?D ．8

2

3. (2011安徽，６，4分)如图,D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，B Ｄ=4，ＣD =3,Ｅ、Ｆ、G 、

Ｈ分别是ＡＢ、ＡＣ、CD 、BD 的中点,则四边形EFG Ｈ的周长是（ ）

A.7

?B.9 ???C ．10?? ?D ．11

4． (201１山东威海，3，３分)在□ABCD 中,点E 为AD 的中点，连接ＢＥ,交ＡC 于点F ,则AF :C

Ｆ＝( )

A.1:２?

Ｂ.1：3? C.2:３

?D.２：5

5． （20１1浙江省,8，3分)如图,在五边形ABCDE 中,∠BAE=120°， ∠B=∠E ＝90°,ＡB=BC,ＡＥ=ＤE,在BC ，ＤE 上分别找一点Ｍ,N,使得△AMN 的周长最小时，则∠A ＭN+∠ＡNM 的度数为（ ）

B

C

A

D

E

A B C

O y

x

--

A. １０0°

B.１10°

C. 120°

D. 1３0°

M

E

D

C B A

6． (201１浙江金华，15,4分)如图,在□ABCD 中,AB ＝3，AD =4,∠A ＢC =６0°,过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ,与DC 的延长线相交于点H ，则△DE Ｆ的面积是 7. （2011四川南充市，1０,3分）如图,⊿ABC 和⊿C ＤE 均为等腰直角三角形，点B,Ｃ，D 在一条直线上,点M 是ＡE 的中点,下列结论:①tan ∠AE Ｃ=

CD

BC

;②S ⊿ABC

+S ⊿CDE ≧S ⊿ＡCE ;③B Ｍ⊥D

Ｍ;④BM ＝ＤM.正确结论的个数是( ) (Ａ）1个 （B)2个 （C)3个 (D)4个

8. (201１浙江义乌,10,３分）如图,△AB Ｃ和△ＡDE 都是等腰直角三角形,∠ＢAC =∠D ＡＥ＝9０°, 四边形ＡCDE 是平行四边形，连结ＣE 交AD 于点F ,连结ＢD 交 CE 于点Ｇ,连结B Ｅ． 下列结论中：① ＣE =BD ; ② △AD Ｃ是等腰直角三角形;③ ∠A ＤB =∠A ＥＢ; ④ C Ｄ·AE =

ＥF ·CG ；一定正确的结论有（ ） A ．1个? B ．2个

C.３个

D.4个

9. (2011四川凉山州,８,４分）如图,在ABC △中,

13AB AC ==，10BC =，点D 为

BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE 等于( )

A ．1013

B ．1513

C ．6013 Ｄ.7513

10. (２０１1浙江杭州，16,4)在等腰Ｒt △AB Ｃ中,∠Ｃ＝90°，ＡＣ＝1，过点Ｃ作直线l

∥AB ,F 是l 上的一点,且A Ｂ=AF ,则点F 到直线BC 的距离为 .

11． （2０11浙江台州,14,５分)已知等边△ＡBC 中,点D ，E 分别在边AB,BC 上,把△B ＤＥ沿直线DE 翻折,使点B 落在点Ｂˊ处，DB ˊ,ＥB ˊ分别交边AC 于点F ，G,若∠ＡＤF=80o ,则∠EGC 的度数为

1２. （2011山东济宁,1５,3分）如图,等边三角形ABC 中，D 、Ｅ分别为AB 、ＢC 边上的两个动点，且总使AD ＝B Ｅ，A Ｅ与ＣD 交于点F ，AG ⊥C Ｄ于点G ，则

FG

AF

= ．

13. （2011贵州贵阳，1５，4分)如图，已知等腰Ｒt △AB Ｃ的直角边长为１,以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Ｒｔ△ＡDE ，…,依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为____＿_.

１4. （２0１1广东茂名,14,3分）如图，已知△ABC 是等边三角形,点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ在同一直线上且CG =CD ,DF ＝D Ｅ，则∠E ＝ 度．

1５. (2011安徽芜湖，6,４分)如图,已知ABC △中,45

ABC ∠=, F 是高AD 和BE

的交点,4CD =,则线段DF 的长度为（ ）. A ．2?Ｂ． ４Ｃ．3

2Ｄ．42H F E

C

A

A

B

C

D E

F

G G

F

E C

B

A

D

A

O

N

M Q

P

--

…

A 1 A

A 2 A 3 B

B 1

B 2

B 3

C

C 2 C 1

C 3

D

D 2

D 1 D 3

16．

(2011浙江衢州,1,3分）如图,OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ,点Q 是射线OM

上的一个动点,若2PA =，则PQ 的最小值为( )A.１ Ｂ．2 C.3 Ｄ. 4 17. (２０11贵州贵阳，７，3分)如图,△A ＢC 中，∠C =90°，ＡＣ=３，∠B ＝30°,点Ｐ是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ) (A)3.5 （Ｂ）4.2 （C ）5.８ （Ｄ）7

18. （2０1１河北，9,3分)如图3，在△ABC 中,∠Ｃ＝90°,B Ｃ=6,D ，Ｅ分别在AB,AC 上，将△ABC 沿D Ｅ折叠,使点A 落在点A ′处,若A ′为CE 的中点，则折痕ＤE 的长为（ )

A.

2

1?? B.2 Ｃ．3 Ｄ．4

图3

A

'

C

B

A

D

E

19. (２0１1江苏无锡,16,2分)如图,在R ｔ△ＡBC 中，∠ACB = 90°，Ｄ、E 、F 分别是AB 、

B Ｃ、

C Ａ的中点,若Ｃ

D = ５cm ，则EF = _____＿＿__cm ．

20. (2０1１山东枣庄,１5，４分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若

AB =14cm,则阴

影部分的面积是____＿_＿_ｃm ２

.

21. (2011山东泰安,19 ,３分)如图,点Ｏ是矩形ABCD 的中心,E 是ＡＢ上的点，沿CE 折叠后,点Ｂ恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为

A.2 3

B. ＼f(3＼r(3),2）

C. 错误!

D.6

22. (2011四川重庆,10，4分)如图,正方形ABCD 中，ＡB ＝6,点E 在边CD 上,且CD =3D Ｅ．将

△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点Ｇ，连结AG 、ＣＦ．下列结论：①△A ＢG ≌△AFG ;②B Ｇ=ＧC ；③ＡG ∥C Ｆ;④S △FGC =３．其中正确结论的个数是( ) A ．１

B.2

Ｃ．3 ??D.4

２３. ( 2011重庆江津， 10,４分)如图，四边形A ＢCD 中,AC=a ，BD=b,且A Ｃ⊥ＢD,顺次连接四边形A ＢCD 各边中点，得到四边形Ａ１Ｂ1C 1D １,再顺次连接四边形A 1B 1C 1Ｄ1各边中点，得

到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A ｎＢn C n D n ．下列结论正确的有( ） ①四边形A ２B ２C ２D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4Ｄ4是菱形；③四边形A 5B ５C 5Ｄ5的周长4

b

a +； ④四边形A n B n C ｎD ｎ的面积是12+n a

b A ．①② B.②③ C.②③④ D.

①②③④

2４． （2011山东临沂,11,3分)如图,△ABC 中,ＡＣ的垂直平分线分别交A Ｃ、AB 于点D 、Ｆ,BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E,已知∩Ａ=3０°,BC=2，AF=B Ｆ，则四边形B ＣD Ｅ的面积是( ）

A.2

3

B.3

3 C ．４

D ．4

3

2５. (２011湖北武汉市，1２,3分）如图,在菱形ABC Ｄ中，ＡB ＝ＢＤ，点E ,F 分别在ＡB ，

AD 上，且AE =DF .连接ＢF 与ＤE 相交于点Ｇ，连接CG 与BD 相交于点H .下列结论：①△AE Ｄ

≌△ＤF Ｂ； ②S 四边形 BCDG =

4

3 ＣG 2

；③若AF =2DF ，则ＢG =6ＧF ．其中正确的结论 A.只有①②． B ．只有①③.C.只有②③. D.①②③.

A

C

B

E

F

D

A

C D

B

F 30° 45°

--

２6. (2０11四川内江,１6,5分)如图，点Ｅ、F 、Ｇ、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、C Ａ的中点,当四边形A ＢCD 的边至少满足 条件时,四边形EFGH 是菱形. ２７. (２011重庆綦江，14，4分）如图，菱形A ＢCD 的对角线ＡC 、BD 相交于点O ，且ＡC ＝8，ＢＤ=6，过点O 作O Ｈ⊥AB ,垂足为H ，则点Ｏ到边AB 的距离OH = . 28． (2011四川绵阳17,4）如图,将长8c ｍ，宽4ｃm 的矩形纸片ABC Ｄ折叠,使点Ａ与C 重合，则折痕EF 的长为__＿_＿c ｍ.

2９. （201１四川凉山州,17，4分）已知菱形ＡB ＣD 的边长是8，点E 在直线AD 上,若DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则

MC AM

的值是 。

３０．(20１１山东日照,16,4分)正方形ABC Ｄ的边长为4,Ｍ、Ｎ分别是B Ｃ、ＣＤ上的两个

动点,且始终保持AM ⊥M Ｎ.当B Ｍ= 时,四边形A ＢＣＮ的面积最大．

31. （2０１１山东烟台，24，１0分）已知:如图,在四边形A ＢＣＤ中，∠AB Ｃ＝９0°，CD ⊥AD ，AD 2

+CD 2

=２AB 2

．

(1)求证:A Ｂ=BC ;

(2)当BE ⊥A Ｄ于E 时,试证明:BE =ＡE +CD ．

３1．（2011宁波市，23,８分)如图,在□AB ＣD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点,BD 是对角线，

过A 点作AGD Ｂ交CB 的延长线于点Ｇ． （1）求证:DE ∥BF ; （2)若∠G =9０,求证四边形DEBF 是菱形．

3２． （２01１广东株洲，２3,８分）如图,矩形ABC Ｄ中,点Ｐ是线段AD 上一动点，O 为B

Ｄ的中点， PO 的延长线交B Ｃ于Q. （1)求证: O Ｐ=OQ ； (2)若AD=8厘米，AB=6厘米，Ｐ从点Ａ出发，以1厘米／秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长;并求ｔ为何值时,四边形P ＢQD 是菱形．

３3.(2０11四川内江，18，9分)如图，在Ｒｔ△A ＢＣ中，∠BAC ＝9０°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为４５°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合,连结BE 、EC.试猜想线段ＢE 和EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想.

A B

C

D E

F

G H

A B

C

D

E F

G

H B

--

3４． （2011四川成都,20,１0分） 如图,已知线段ＡB ∥CD ，AD 与ＢC 相交于点K ,E 是线段

A Ｄ上一动点．

(1)若BK ＝

52ＫC ，求AB

CD 的值； （２）连接BE ,若BE 平分∠ABC ，则当ＡＥ=

1

2

AD 时,猜想线段ＡＢ、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当A Ｅ=1

n

A Ｄ (2 n ),而其余条

件不变时,线段ＡＢ、ＢC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

A

B

C

D

E

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

三角形的证明单元检测卷 1．（4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是 （） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 2．（4分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是 A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 4．（4分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加 下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．B E=DF D．A D∥BC 5．（4分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平 分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为 （） A．10 B ． 8 C．5D．2.5 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB， BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E， ∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为 （） A．2.5 B．1.5 C．2D．1 7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB 于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF； ②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以 上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点， ∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（） A．10 B．12 C．24 D．48 9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分 ∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．10 10．（4分）（2013?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于 点M和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN的长为半径画 弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说 法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的 中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1B．2C．3D．4 12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0， 2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三 点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是 （） A．2B．3C．4D．5 13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；

七年级下北师大版三角形单元测试

第五章三角形单元复习题 一、选择题 1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( ) A．三角形内部B．三角形的一边上 C．三角形外部D．三角形的某个顶点上 2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( ) A．4、5、6 B．6、8、15 C．5、7、12 D．3、9、13 3．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( ) A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜90° C．60°＜α＜180°D．60°≤α＜90° 4．下列判断正确的是 ( ) A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( ) A．x＜6 B．6＜x＜12 C．0＜x＜12 D．x＞12 6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形 ( ) A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ( ) A．三条中线交点B．三条角平分线交点 C．三条高线交点D．三条高线所在直线交点 8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 ( ) A．30°B．75°

C．105°D．30°或75° 9．如图5—124，直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路，现计划建 一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( ) A．一处B．二处 C．三处D．四处 10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角 形按角分类是 ( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．根本无法确定 二、填空题 1．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________． 2．四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形． 3．过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角，那么∠A，∠B 中较大的角的度数是____________． 4．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝______．5．如图5—125，∠A＝∠D，AC＝DF，那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可)，才能使△ABC≌△DEF． 6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________． 8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE 的度数是______．

北师版八年级上第七章平行线的证明知识点总结及习题

八年级上册第七章平行线的证明 【要点梳理】 要点一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.要点诠释： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论． （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 要点三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点诠释： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.

相似三角形的判定及证明技巧讲义

- 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。

A D E F B C

2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代

(完整word)新北师大版八年级下册《三角形的证明》

三角形的证明 【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 2．证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌ΔAD E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 4．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .

5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理． 图5－7 【巩固练习】 1．下列说法正确的是（） A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等 2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌ △EDB≌△EDC，则∠C的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙 4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线． （1）请证明AD＝A'D'； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗? 图4－9

北师大版八年级上册数学《平行线的证明》测试题

第七章 平行线的证明本章测试题 一、 填空题（每题４分，共３2分） 1．在△ＡBC 中，∠C =２（∠A +∠B ),则∠Ｃ＝＿_____＿_. ２．如图,AB ∥ＣD ,直线E Ｆ分别交ＡＢ、ＣＤ于E 、F ,E Ｇ平分 ∠BEF ，若∠1=7２o ，则∠2= ; 3．在△ABC 中,∠BA Ｃ=90o，AD ⊥BC 于Ｄ,则∠B 与∠D ＡC 的 大小关系是_____＿__ 4．写出“同位角相等,两直线平行”的题设为___＿___，结论为＿___＿＿_. 第２题 5．如图,已知A Ｂ∥ＣD ,BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__＿＿_＿____. 6．如图,∠1=27o，∠2＝95o，∠３＝38o，则∠4＝＿______ 7.如图，写出两个能推出直线ＡB ∥ＣD 的条件_____＿＿＿＿_____＿___＿＿_＿＿_. 8.满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△AB Ｃ是______＿＿_＿_＿_ 二、 选择题(每小题４分,共２4分) 9.下列语句是命题的是 【 】 （Ａ)延长线段AB (Ｂ)你吃过午饭了吗? (C)直角都相等 (Ｄ）连接Ａ,Ｂ 两点 10.如图，已知∠１+∠2=180o,∠3=７5o, 那么∠4的度数是 【 】 (A)7５o (B)４5o (C ）10５o （D ）135o 11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角” 是假命题是 【 】 (A ）设这个角是30o，它的余角是６0°，但30°<6０° (B)设这个角是４5°,它的余角是45°，但45°＝45° (C)设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<6０° (D)设这个角是50°,它的余角是４0°,但４0°＜5０° 1２.若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D ）不能确定 1３.如图,△ABC 中，∠Ｂ＝5５°,∠C =６3°,DE ∥AB , 则∠DEC 等于【 】 （A)63° ? (B) 1１8° (C) 5５°?? （D)62° C A B D E E C D B A 1 3 2 4 第5题 第6题 第7题 A B C D E F G 12D A B C E 第10题

三角形的证明讲义

小巨人学科教师辅导讲义

D C B A F E 121、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为 ____ 。 2、如图在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B 的度数。 3、如图，已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。求证：AD = BC 。 4、如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠ C = 29°，求∠A 。 5.如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥ AC 。 求证：∠1 =∠2。 总结一下： 1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）； 2、推论（三线合一）： 第二篇章 1、 如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE = CE ，延长AE ，交BC 边于点D 。求证：AD ⊥BC 。 2、已知：如图，点D,E 在三角形ABC 的边BC 上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE 3、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明） 归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”） 推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边) 2、反证法证明问题的一般步骤： 从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。 1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 2.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。 321A B C D A B C D E F D C B A C B A E A B C D

北师大版七年级数学下册《三角形》知识点汇总

北师大版七年级数学下册《三角形》知识点 汇总 一、三角形及其有关概念 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、c的三角形记作“ΔABc”，读作“三角形ABc”。 三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。 一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c 三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。 三角形的内角的关系：

三角形三个内角和等于180°直角三角形的两个锐角互余。 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。 三角形的分类： 三角形按边分类： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形，也叫正三角形。 三角形按角分类： 直角三角形 三角形锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 三角形的三种重要线段： 三角形的中线： 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内

第一章三角形的证明复习资料

精品文档 《第1章三角形的证明》复习资料 知识点： 一、全等三角形的判定及性质 性质：全等三角形对应角相等、对应边相等 判定：①判定一般三角形全等：（SSS、SAS、ASA、AAS）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 推论：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合（即“三线合 一”）． 等边三角形的性质及判定定理 性质：等边三角形的三个角都相等，每个角都等于 60°；等边三角形是轴对图形，有 3 条对称轴. 判定：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 222a?bc。tp://w ww.xk =、b、c，则如果直角三角形的两直角边长和斜边分别为为a222a?bc，那么这个=a、b、c满足关系勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长三角形是直角三角形。常见的勾股数有：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 2.含30°的直角三角形的边的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 四. 线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 精品文档． 精品文档 . 垂直平分线上判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 . 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等角平分线五. 的距离相等；角两边性质：角平分线上的点到 . 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

北师大版八年级下册数学第一章三角形测试题

第1题 第2题 第3题 启用前绝密 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学（第一章） 出题人：分数： 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题（每小题3分，共36分） 1、如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△ DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 2、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 3、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论 ①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形 的周长是（ ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝ 5、一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 6、到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点. A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高

第6题图 7、△ABC 中，AB = AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC = 75°，则∠A 的度数为（ ） A 35° B 40° C 70° D 110° 8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上的一点BE=CD ，CF=BD ，那么∠EDF 等于（ ） A. 90°－∠Ａ B.90°－2 1 ∠Ａ C.45°－2 1∠Ａ D.180°－∠Ａ 9、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） A 45° B 55° C 60° D 75° 10、如图，AB=CD ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AE=CF ，则下列结论错 误的是（） A. BC=AD 且BC ∥AD B. AB ∥CD C.AB=DE D. △ABD≌△CDB 11、如图，AB ∥CD ，AD ⊥CD 于D ，AE ⊥BC 于E ，∠DAC=35°，AD=AE ， 则∠B=（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 12、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 度数是（ ） A 45° B 55° C 60° D 75° 二、填空题。（每小题3分，共24分） 13、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，延长BC 到D ，使CD ＝AC ，

北师大版三角形的证明

等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为 钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质

八年级数学上册 第七章 平行线的证明达标测试卷 北师大版

第七章达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( ) A．定义B．命题C．公理D．定理 2．下列命题中，是真命题的是( ) A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．三角形的一个外角大于它的任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．下列四个图形中∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是( ) 4．如图，已知l1∥l2，∠A＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为( ) A．40°B．60°C．80°D．100° (第4题) (第6题) (第8题) (第9题) (第10题) 5．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为( ) A．30°B．70°C．30°或70°D．100° 6．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB 平行，则∠QPB的度数是( )

A．60°B．80°C．100°D．120° 7．用点A，B，C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25°，小红家在小明家正东方向，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB等于( ) A．35°B．55°C．60°D．65° 8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4一定满足关系( ) A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 9．如图，AB∥CD∥EF，下列式子中，等于180°的是( ) A．α＋β＋γB．α＋β－γ C．－α＋β＋γD．α－β＋γ 10．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC 上，将△ABC沿着DE折叠压平，若∠A＝75°，则∠1＋∠2等于( ) A．150°B．210°C．105°D．75° 二、填空题(每题3分，共24分) 11．证明“互补的两个角，一定一个是锐角，一个是钝角”是假命题，可举出反例：_________________________________________________. 12．将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……那么……”的形式：__________________________________． 13．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上，若∠ADE＝126°，则∠DBC＝________. (第13题) (第14题) (第15题) 14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为________． 15．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝

相似三角形详细讲义

知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)

综合滚动练习：特殊的三角形 时间：45分钟分数：100分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．已知一个等腰三角形底角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为() A．20°B．70°C．80°D．100° 2．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是() A．12 B．15 C．18 D．20 3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是() A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 第3题图第4题图4．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠P AB的度数是() A．10°B．15°C．20°D．25° 5．如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是() A．△ABD≌△ACD B．∠B＝∠C C．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等边三角形 第5题图第6题图 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为() A．15°B．17.5°C．20°D．22.5° 7．(2017·滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD ＝BA，则∠B的大小为【方法1②】() A．40°B．36°C．30°D．25°

第7题图第8题图 8．★如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有() A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．如图，已知∠B＝∠C，从①BE＝CE，②AB＝DC，③∠BAE＝∠CDE这三个等式中选出一个作为条件，可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号)． 第9题图第11题图 10．若△ABC的三边a，b，c满足条件：a－3＋b－4＋c－5＝0，则△ABC是________三角形． 11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则∠DAC＋∠C＝________°. 12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.折叠该纸片，使点C落在点E 处，折痕为AD.若CD＝3cm，则BD的长为________cm. 第12题图第13题图 13．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________． 14．(2017·淄博中考)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________． 三、解答题(共44分)

北师大版小学四年级下册三角形的分类

北师大版小学四年级下册 《三角形的分类》教学设计 一、学情分析： 本班学生在学习此内容之前，已经学习了三角形的认识，能够在物体的面中找出三角形，学习了角的知识，认识了常见的角，为学生学习三角形的特征从角和边的不同角度对三角形进行分类做好了有力的知识支撑。 二、教学目标： （1）、让学生在给三角形分类的探索活动中发现和认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 （2）、让学生在实际操作中加深对三角形的认识，体会探索图形特征的一些方法，发展空间观念。 （3）、激发学生的主动参与意识、自主探索意识和创新意识。 三、教学重难点： 1、通过思考、自主探索、合作交流，分别从三角形的角和边两个方面特征，对三角形准确地进行分类。 2、能够掌握各种三角形的特征以及各类三角形之间内在联系。 四、教学过程

1、列出认识过的角和三角形的一些特点 （直角、锐角、钝角、周角、平角） （三个角、三条边） 2、谈话导入，感受分类 3、揭示课题：三角形的分类 4、根据三角形的特点和所认识的角探究三角形按角分和按边分类情况 (1)小组合作学习，初步探究分类情况。 (2)全班交流，抓住三角形的特点深化学习分类。 5、认识三类三角形的关系 （1）、明确指出三类三角形的特点 (2)、锐角三角形里有几个锐角（3个）直角三角形有几个锐角（2个）钝角三角形有几个锐角（2个） 提问：所以一个三角形至少有几个锐角最多有几个锐角 6、认识三角形边的关系 （1）、介绍不等边三角形的基本特点 （2）、结合图形，向学生介绍等腰三角形的各部分的名称，分别指出等腰三角形各部分名称：腰、底、顶角、底角。 （3）、让同学们任意画一个等腰三角形，量一量各个角，通过测量，发现什么（等腰三角形的两个底角相等。） （4）结合图形，向学生说明等边三角形，也叫正三角形。并且三个内角都相等，都是60度。

北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳

北师大版八年级数学上册《平行线的证明》 知识点归纳 第七章平行线的证明 为什么要证明？实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。 定义与命题 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题可以写成“如果......那么......”的形式，其中如果引出的部分是条件，那么引出的部分是结论。 真命题：正确的命题称为真命题。 假命题：不正确的命题称为假命题。要说明一低点命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例， 公理、定理 公理：公认的真命题称为公理。 证明：演绎推理的过程称为证明。

定理：经过证明的真命题称为定理。 本书认定的真命题： 两点确定一条直线。 两点之间的距离最短。 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 过直线外一点有且只有一条直线玙这条直线平行。 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 三边分别相等的两个三角形全等。 数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。 同角的补角相等。同角的余角相等。 三角形的任意两边之和大于第三边。 对顶角相等。 平行线的判定; 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。。 两条直线被第三条直线所载，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。。

北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易错题进阶辅导讲义

北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易 错题进阶辅导讲义 北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易错题进阶辅导讲义1 【第一阶梯】 【专题一】等腰三角形的内角 题目 1．（2021秋?农安县期末）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（） A．50° B．50°或65° C．80° D．65° 2．（2021秋?平南县期末）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（） A．50° B．65° C．50°或65° D．80° 3．（2021秋?昆山市校级期末）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 4．（2021秋?连城县期末）等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为．【专题二】等腰三角形的边的 题目

5．（2021秋?太仓市期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（） A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm 6．（2021秋?顺义区期末）若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（） A．22 B．17 C．13 D．17或22 7．（2021春?洛宁县期末）等腰三角形两边长分别为5和7，则它的周长是（） A．19 B．11 C．17 D．17或19 8．（2021秋?余干县期末）如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（） A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定 9．（2021春?道里区期末）如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 10．（2021秋?如东县期末）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为2，则它的周长等于（） A．8 B．7 C．8或5 D．8或7

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题） 1．（2014?遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（） 2．（2014?台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（） 3．（2014?安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三 4．（2014?宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） C D 5．（2014?甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）

6．（2014?本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（） 7．（2013?西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（） C D 8．（2013?滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（） 10．（2012?泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（） 11．（2011?成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到