圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线
22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB
的交点为Q 。
（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.
2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；
（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.
3. 如图，椭圆13
4:
2
21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的
面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.
4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为
W .
（Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.
5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；
（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。
6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=
(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2
·1cos PM PN MPN
-∠＝,求点P 的坐标.
7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线
12
2
2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3
MON π∠=
，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。
（II ）若0OM MN ⋅=（O 为坐标原点），1
3
FA AN =，求椭圆的离心率e 。
8. 设曲线2
212:1x C y a
+=（a 为正常数）与22:2()C y x m =+在x 轴上方只有一个公共点P 。
（Ⅰ）求实数m 的取值范围（用a 表示）；
（Ⅱ）O 为原点，若1C 与x 轴的负半轴交于点A ，当1
02
a <<时，试求OAP ∆的面积的最大值（用a 表示）。
1. （1）略
（2）为简化运算，设抛物线方程为2
00()2()x x p y y -=-，点Q ，C ，D 的坐标分别为
331122()()()x y x y x y ，，，，，，点(0,0)P ，直线y kx =，
2
00()2()x x p kx y -=-
220002()20x x pk x x py -+++=
一方面。要证112||||
PC PD PQ +=
y
22x py =
化斜为直后 只须证：
123
112x x x += 由于
00122
12122()
112x pk x x x x x x x pk
+++==+ 另一方面，由于(0,0)P 所以切点弦方程为：000()(2)x x x p y y --=- 所以 3x =0202x pk x pk
+=
+
00
231
2x pk x x pk
+=+ 从而 123
112x x x += 即
112||||
PC PD PQ +=
2. （1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2
,(),0)(2
,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-…………………2分
04
0),2,1(2=+-=⋅-=y x PF PM y PF 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y (4)
分
（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时， 则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y OB OA 得， 不合题意， 故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y =kx +b (k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x OB OA 得…6分
由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(42122
21212-===>=y y x y x y x x y 故有上
又y 2=4x , y =kx +b 得ky 2－4y +4b =0,……………………8分
所以)3216(1||),21(16.2,842
2222++=+=∆-=-=k k k AB k k b k b ……10分
因为.480)3216(196,304||64222≤++≤≤≤k
k k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是
]1,2
1
[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分
3. 由题意得C 为AP 中点，设)0,2(),,(00-A y x C ，),2,22(00y x P +
把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得,12
4)22(3124320202
020⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+y x y x 解之得：)
0,2(),3,4(),23,1(,231
00B P C y x 又故⎪⎩
⎪
⎨⎧==
故直线PD 的斜率为232403=--，直线PD 的方程为),2(23-=x y 联立)23,1(1
34
)2(232
2-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=D y x x y 解得，故直线CD 的倾斜角为90° 4. 解法一：
（Ⅰ）由|PM|－
|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长a =
又半焦距 c=2
，故虚半轴长b
所以 W 的方程为22
122
x y -=
,x ≥ （Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y
当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-= 当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得
222(1)220.k x kmx m ----=
故122
2,1km x x k
+=- 21222,1m x x k +=- 所以
1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++ 22222
22(1)(2)211k m k m m k k ++=++--22221k k +=-2421
k =+-. 又因为120x x >,所以2
10k ->,从而 2.OA OB ⋅>
综上,当AB ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2. 解法二: (Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为，则11(,)x y , 22(,)x y ,则
22()()2(1,2).i i i i i i x y x y x y i -=+-== 令,,i i i i i i s x y t x y =+=-
则2,i i s t =且0,0(1,2)i i s t i >>=所以
1212OA OB x x y y ⋅=+1122112211
()()()()44s t s t s t s t =+++--
121211
2,22
s s t t =
+≥= 当且仅当1212s s t t =,即1212
,x x y y =⎧⎨=-⎩时”=”成立.
所以OA OB ⋅的最小值是2.
5. (1)当k=0或k=-1或k=4时，C 表示直线；当k ≠0且k ≠-1且k ≠4时方程为
k k k k k k k k k
k y k k x -+≠
+>-+>+=-+++41
1,04101:, 141122且为椭圆的充要条件是 即是0 4,k 0k 1- 1,041 1: )2(><<-<<-+⋅+或或即为双曲线的充要条件是k k k k k ,6,41 ,1,x , 4k 122=-+=+=>- .,6,41 ,1,y , 0k 1-22不符得轴上双曲线焦点在时当=-+=+=< 12 767:2 2=-y x 综上得双曲线方程为 （Ⅲ）若存在，设直线PQ 的方程为：y=-x+m 07244: 7 262 22 2=--+⎩⎨⎧=-+-=m mx x y y x m x y 得消去 211223,,232),,(,00-=∴--=∴⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=-=m m m L M m y m x y x M Q P o o 上在直线则的上点是设 方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P 、Q ，直线PQ 的方程为2 1 --=x y 6. (1)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴 b =225a c -=， 所以椭圆的方程为22 1.95 x y += (2)由2 ,1cos PM PN MPN = -得 cos 2.PM PN MPN PM PN =- ① 因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中， 4,MN =由余弦定理有 222 2cos .MN PM PN PM PN MPN =+- ② 将①代入②，得 22 242(2).PM PN PM PN =+-- 故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2 213 x y -=上. 由(1)知，点P 的坐标又满足22 195 x y +=，所以 由方程组2222 5945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得33 ,2 5. 2 x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 即P 点坐标为 ( ,22222222 -、（-）、（-，）或（-）. 7. 解：（I ）3 π = ∠MON ，N M ,是直线l 与双曲线两条渐近线的交点， 3 3 6tan ==∴ πa b ， 即b a 3=………………2分 双曲线的焦距为4，42 2 =+∴b a ……………………4分 解得，1,32 2 ==b a ∴椭圆方程为13 22 =+y x …………5分 （II ）解：设椭圆的焦距为c 2，则点F 的坐标为)0,(c 0=⋅ON OM ， 1l l ⊥∴ 直线1l 的斜率为a b - ，∴直线l 的斜率为b a ， ∴直线l 的方程为)(c x b a y -= …………………………………………7分 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x a b y a x b a y )( 解得⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= =c ab y c a x 2 即点),(2c ab c a N 设),,(y x A 由AN FA 3 1=， 得()),(31,2y c ab x c a y c x -=- 即⎪⎩ ⎪⎨⎧-=-=-)(31) (312 y c ab y x c a c x ⎪⎩ ⎪⎨⎧= +=c ab y c a c x 4432 2 )4,43(22c ab c a c A + ……10分。 点A 在椭圆上，11616)3(2 2 22222=++∴c a c a a c ………………………………12分 2 2422216)3(c a a a c =++，2 2 2 161)13(e e =++∴ 021092 4=+-e e 9752 ±= e 3 7 5±=∴e 椭圆的离心率是3 7 5±= e 。 8. （Ⅰ）由22 222221 2(21)02()x y x a x m a a y x m ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩ ， ……① 设222()2(21)f x x a x m a =++-，则问题（Ⅰ）转化为方程①在区间(,)a a -上有唯一解： ①若21 02 a m +∆=⇒=，此时2P x a =-，当且仅当2a a a -<-<，即01a <<适合； ②若()()0f a f a -<，则a m a -<<； ③若()0f a m a -=⇒=，此时22P x a a =-，当且仅当22a a a a -<-<，即01a <<时适合；若()0f a m a =⇒=-，此时22P x a a =--，但22a a a --<-，从而m a ≠-。 综上所述，当01a <<时，212 a m +=或a m a -<≤；当1a ≥时，a m a -<<。 （Ⅱ）OAP ∆的面积是1 2 P S ay =。因为102a <<，所以有两种情形： ①当a m a -<≤ 时，20a a <-+< ，由唯一性得2P x a =-+然，当m a =时，P x 取得最小值2 2a a - ，从而P y max S = ②当212a m +=时，2P x a =- ，P y = ，此时1 2 S =。因此，有 当12103a <≤ 时，max 1 2 S = 12>即11 32 a << 时，max S = 经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又 故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. （2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10. 【答案】 （1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方 程为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴所求双曲线方程为. （2）由已知设, ,则() 依题意，解得. ∴双曲线方程为或. 高二数学圆锥曲线综合测试题（选修1-1&2-1） （考试时间：120分钟，共150分） 说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为36分，试卷Ⅱ分值为64分。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A. |a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( ) A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定 3．已知双曲线x 2 4－y 2 12 ＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.14 D.1 16 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值 为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2 a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( ) A. 255 B.32 C.23 3 D ．2 6．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 2 9＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 2 9 ＝1(x ＞4) 7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e 5 x (e 为双曲线离心率)，则有( ) A ．b ＝2a B ．b ＝5a C ．a ＝2b D ．a ＝5b 1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>⋅--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2< 解析几何大题专题 第一类题型 弦长面积问题 1．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求PAB △的面积的最大值； （Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并 加以证明． 2. （本小题14分） 已知椭圆22 :13+=x y C m m ，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程； （Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值. 3．（本小题共14分） 已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=>>离心率等于 1 2 ，(2,3) P、(2,3) Q-是椭圆上的 两点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为1 2 ，求四边 形APBQ面积的最大值. 4．（本小题满分14分） 已知椭圆 C：22 31(0) mx my m +=>的长轴长为O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率； （Ⅱ）设点(3,0) A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|||| BA BP =，求四边形OPAB面积的最小值. 5．（本小题共14分） 已知椭圆C： 2 21 4 x y +=，F为右焦点，圆O：221 x y+=，P为椭圆C上 一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧. （Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率; （Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值. 6.（本小题13分） 已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点． （I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （II）若OA OB，求△AOB面积的最小值. 1.已知椭圆222 2 1(0)x y C a b a b + =>>： 2 F (-2,0). （1） 求椭圆C 的方程； （2） 若直线y =x +m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求m 的值. 解：（1） 由题意，得222 22,.c a c a b c ?= ??? =??=+??? 解得 2.a b ?=??=??∴椭圆C 的方程为22184x y +=. （2） 设点A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1),(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M (x 0,y 0)， 由22 1,84.x y y x m ?+=? ??=+? 消y 得，3x 2+4mx +2m 2-8=0, Δ=96-8m 2＞0,∴-23＜m ＜23. ∴ ,3 22 2 10m x x x - =+= ∴300m m x y = +=. ∵点M (x 0,y 0)在圆x 2 +y 2 =1上，2 2 2()( )13 3 m m ∴- += ，5 m ∴=± . 2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为)02 1 (， F ． （1）求抛物线C 的方程； （2）已知直线)2 1(+ =x k y 与抛物线C 交于A 、B 两点，且FB FA 2=，求k 的值； （3）设点P 是抛物线C 上的动点，点R 、N 在y 轴上，圆1)1(22=+-y x 内切于PRN ?，求PRN ?的面积最小值． 解：（1）设抛物线C 的方程为2 2(0),y px p =>由 12 2 p = ，即1p =，所以抛物线C 的方程为2 2y x = （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由||2||FA FB =得故12112()2 2 x x + =+ 即12122 x x -= ① 又由21()22y k x y x ?=+???=? 得2 222 (2)04k k x k x +-+ =故12221x x k +=- ② 1214 x x = ③ 解①②③构成的方程组得1211,,4 3 x x k == =± 又由2242 (2)440k k k ?=--=->，即11k -<<，所求得的k 适合，因此所求得的k 的值为3 ± （3）设00(,),(0,),(0,)P x y R b N c ，且b c >∴直线PR 的方程为000()0y b x x y x b --+= 《考试中心-云题库》编制 1 圆锥曲线测试题 姓名：__________班级：__________考号：__________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择 1. 如果方程12 1||2 2=---m y m x 表示双曲线，那么实数m 的取值范围是（ ） A. 2>m B. 1 2 【答案】A 【解析】 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ， 使得123PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．)+∞ B ．[)2,+∞ C ．( D ． (]1,2 【答案】D 【解析】 6. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22 221y x a b +=（0a b >>）焦点与顶点，若双曲线的两条渐 近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A ． 13 B ．12 C ． 【答案】D 【解析】 7. 已知抛物线 ： 的焦点与双曲线 ：的右焦点的连线交于第一 象限的点 , 若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由已知可得抛物线的焦点 ，双曲线的右焦点为，两个点连线的直线方程为 圆锥曲线综合测试题 班级________ 姓名________ 学号_______成绩________ 一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．双曲线19 42 2=-y x 的渐近线方程是 （ ） A ．x y 2 3 ± = B ．x y 32± = C ．x y 4 9± = D ．x y 9 4± = 2．已知F 是抛物线24 1 x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（ ） A ．122－＝y x B ．161 22－＝y x C ．212－＝y x D ．222－＝y x 3．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y) 1 2 =，则=+BC AC （ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．不能确定 4．抛物线px y 22 =与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物 线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ）A ．7 B ．53 C ．6 D ．5 5．双曲线 )0,(12 2 2 2 >=- b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ， 若?=∠901B AF ，则双曲线的离心率为 （ ） A ． )22(2 1 - B ．12- C ．12+ D ． )22(2 1+ 6．若椭圆 )0(122>>=+ b a b y a x 和双曲线)0,(12 2 >=-n m n y m x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线 的交点，则21PF PF ?的值是（ ） A ．n b - B ． m a - C ． n b - D ． m a - 7．直线l 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被 直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ） A ．2 B ．2 C ．2 6 D ．5 8．直线143 x y +=与椭圆 221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．曲线)1(42≤--=x x y 的长度是 （ ） A ．34π B ．32π C ．38π D ．π3 10．方程22)1()1(-+-= +y x y x 所表示的曲线是 （ ） A ． 双曲线 B ． 抛物线 C ． 椭圆 D ．不能确定 11．已知曲线ax y =2 与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A 和B ，如果过这两个交点的 直线的倾斜角是?45，则实数a 的值是 （ ） A ．1 B ．23 C ．2 D ．3 12．给出下列结论,其中正确的是 （ ） A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b y 的双曲线的标准方程一定是12222=-b y a x B ．抛物线221x y - =的准线方程是2 1 =x C ．等轴双曲线的离心率是2 D ．椭圆()0,0122 22>>=+n m n y m x 的焦点坐标是()() ,,0,22 2 221n m F n m F --- 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量1 2 DE BC = ,那么以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率是 . 14．已知椭圆() x m y n x p y q m n p q R 2222 1+=-∈+与双曲线,,,有共同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则12PF PF ?= . 15．有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率)()(* 2 1 N n e n n ∈=，则所有这些椭圆的长轴长之和为 . 16．沿向量a =(m, n)平移椭圆15 22 =+y x ,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x －y+6=0上, 则m= 、n= . 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的 面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为 W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案) 圆锥曲线综合练 1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（） A。4 B。5 C。7 D。8 2.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 frac{\sqrt{5}}{2} 3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为 2 4.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是 frac{\sqrt{5}}{2} 5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为 frac{\sqrt{5}+1}{2} 6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是 sqrt{2} 7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离 为 12，则到另一个焦点的距离为 2\sqrt{5} 8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x- 5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为 9 9.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点 的距离为 10，则焦点到准线的距离为 2 1．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD ()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没 有，请说明理由 ()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？ 详解： ()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -， 则2 114x y =，2 224x y =， 抛物线的方程可变形为214y x = ，则'2 x y =， ∴直线PA 的斜率为01'|2 PA x x x k y ===， ∴直线PA 的方程()1112 x y y x x -=-，化简()112x x y y =+， 同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+， 由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪ =-⎨⎪⎩ ， ∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{ 1x y ==是方程的解， ∴直线AB 经过定点()0,1． ()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -， 由()1可知2P AB x k = ，2 Q CD x k =， AB CD ⊥， 14 P Q AB CD x x k k ∴⋅= =-，即4P Q x x =-， P x ∴，Q x 异号， 不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q P x x =- ， 4 4P Q P Q P P PQ x x x x x x ∴=-=-=+ ≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号， 即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值4 2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ，下顶点为B ，定 点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 【详解】 （1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3， 1 (2)32b a ∴+=，又由e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去）， 2,=1a b ∴= ∴椭圆方程为2 214 x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y 《 》 姓名： 10、直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4 ＝1交点的个数为 3 16、已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22 b y =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（ B ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形 17、双曲线22221x y a b -=与椭圆22 221(00)x y a m b m b +=>>>，的离心率互为倒数，则（ A ） Ａ．222a b m += Ｂ．222a b m +> Ｃ．222a b m +< Ｄ．a b m += 18、椭圆2222 22222222211()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是( D ) A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线 D ．有相同的焦点 25、以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线135********=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 ⑶⑷（写出所有真命题的序号） 27、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，k 给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则＜1或k ＞4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜ 2 5 其中所有正确命题的序号为___________．③④ 圆锥曲线综合测试题 一、选择题（每题5分） 1、双曲线x 2－5y 2＝0的焦距为（ ） A.6 B.26 C.23 D.43 2、顶点在原点，且过点（－4,4）的抛物线的标准方程是（ ） A.y 2＝－4x B.x 2＝4y C. y 2＝－4x 或x 2＝4y D.y 2＝4x 或x 2＝－4y 3、若椭圆192 2 2=+m y x （m>0）的一个焦点坐标为（1,0），则m 的值为（ ） A.5 B.3 C.23 D.22 4、已知方程1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A.－1 （2015年天津卷） 19. （本小题满分14分）已知椭圆22 22+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为 F -c （,0） ,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422 +4 b x y =截得的 线段的长为c ，. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围. 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为； （2）求证：. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||6 4,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相 等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 圆锥曲线测试卷 一、 1.解析： 抛物线的标准方程为x 2＝－4y ， 准线方程为y ＝1. 答案： C 2．解析： 双曲线x 24－y 2 12＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐 标为(0，±23)， 故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23， ∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 2 16 ＝1，应选D. 3．解析： 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26， 又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A 4．解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 2 12＝1， ∴a 2 ＝1，b 2 ＝12，∴c 2＝a 2＋b 2 ＝32 ， ∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎪ ⎫62，0.答案： C 5．解析： 椭圆x 23＋y 2 4＝1的下焦点为(0，－1)， ∴p 2＝－1，即p ＝－2.答案： D 6． 解析： 方程 x 2 k －3－ y 2 k ＋3 ＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0， 即k >3或kk >3是方程 x 2 k －3－ y 2 k ＋3 ＝1 表示双曲线的充分不必要条件．应选A. 7．解析： 由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2 为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c 圆锥曲线归纳总结 ——for Y uri 第22sin cos θθ+局部：知识储藏 1. 直线方程的形式 〔1〕直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 〔2〕与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离002 2 Ax By C d A B ++= + ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-=+ 〔3〕弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++- 或1221 1AB y y k =+ - 〔4〕两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆的方程的形式有几种？〔三种形式〕 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 距离式方程：2222()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n + =⋅< 距离式方程：2222|()()|2x c y x c y a ++--+= (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆：22b a ；双曲线：2 2b a ；抛物线：2p (4) 圆锥曲线的定义 黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时，122tan 2 F PF b θ ∆=S P 在双曲线上时，122cot 2 F PF b θ ∆=S 〔其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===⋅〕 (6) 记住焦半径公式： ①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x + ，焦点在y 轴上时0||2 p y + 33333333333333333333333333333333333华美的分割线3333333333333333333333333333333333333333 第0sin xdx π ⎰局部：三道核心例题 例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=， 1OF =。 〔1〕求椭圆的标准方程； 〔2〕记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为的垂心？假设存在，求出直线l 的方程;假设不存在，请说明 l PQM ∆ 圆锥曲线测试题及详细答案【1】 一、选择题： 1、双曲线 22 1102 x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 23 B ．3 C ．2 7 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2 -+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1 =PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角 三角形，则椭圆的离心率是（ ）. A. 21 2 C. 21 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（） A ． 163B ．83C ．316 D ．38 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 0123=-+y x D 082=-+y 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 1．如图，曲线22 :1(0,0)x y E m n m n +=>>与正方形L （1）求m n +的值； （2）设直线:l y x b =+交曲线E 于A ，B ，交L 于C ，D ，是否存在这 AB 成等差数列？若存在，求出实数b 样的曲线E ，使得CA ，的取值范围；若不存在，请 说明理由． 2.已知点1(0,)2 F ，直线l ：1 2 y =- ，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足 ()0HF PH PF ⋅+= ． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为 'l 的方程． 3．已知圆22 :4O x y +=，点(F ，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，记点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）若()11,A x y ，()22,B x y 为曲线C ，且⊥m n ， 试问AOB △的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4.（12分） 已知抛物线()2 :20C y px p =>的焦点F 与椭圆2 2:12 x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点. （1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值. （2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ= ，且22 854 HA HB +=都 成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 5．设抛物线)0(42 >=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率2 1 = e 的椭圆与抛物线的一个交点为)3 6 2, 32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,2 1[∈λ，求||PQ 的取值范围. 6. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点. 2:4E x y =F (),0P a x 圆锥曲线试题及答案(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)
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