数学专题 高考数学压轴题19
新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数
2复合函数
3创新性函数
4抽象函数
5导函数（极值，单调区间）--不等式
6函数在实际中的应用
7函数与数列综合
8数列的概念和性质
9 Sn与an的关系
10创新型数列
11数列与不等式
12数列与解析几何
13椭圆
14双曲线
15抛物线
16解析几何中的参数范围问题
17解析几何中的最值问题
18解析几何中的定值问题
19解析几何与向量
20探究性问题
19 解析几何与向量
1.设1F 、2F 分别是椭圆1
422
=+y x 的左、右焦点.
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
分析：本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题 解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3a b c === 所以
()(
)12
3,0,3,0
F F -，设(),P x y ，则
()()
22123,,
3,3
PF PF x y x y x y ?=-----=+-
()2
2
21133844x x x =+--=- 因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12
PF PF ?
有最小值2-
当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12
PF PF ? 有最大值1
解法二：易知2,1,3a b c ===，所以
()(
)12
3,0,3,0
F F -，设(),P x y ，则
222
12121212121212
cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=???
()()
222
222133123
2x y x y x y ??=+++-+-=+-????（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线
()()
1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，
联立22
2
14y kx x y =-???+=??，消去y ，整理得：2214304k x kx ??+++= ???
∴
12122243,1
14
4k x x x x k k +=-
?=
+
+
由()2214434304k k k ???=-+?=-> ???得：
32k <或32k >- 又00
0090cos 000A B A B OA OB <∠??> ∴12120OA OB x x y y ?=+>
又()()()212
1212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2223841144k k k k -=++++22
1
14k k -+=
+ ∵2223
1
01144k k k -++>++，即2
4k < ∴22k -<<
故由①、②得
322k -<<-
或3
2
2k <<
2．（07福建）
如图，已知点(10)F ，
， 直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线
l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =
． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF
λ=
，2MB BF
λ= ，
求
12λλ+的值；
分析：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力． 函数与方程的思想， 等价转化思想方法
解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =
得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =．
（Ⅱ）设直线AB 的方程为：
1(0)x my m =+≠．
P
B Q
M F
O A
x
y
O y
x 1
1-
l F
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ?
?-- ?
??，， 联立方程组241y x x my ?=?
=+?，
，
，消去x 得：
2440y my --=，2(4)120m ?=-+>，故 121244y y m y y +=??
=-?，． 由1MA AF λ= ，2MB BF λ= 得：
1112y y m λ+
=-，2222
y y m λ+=-，整理得：
1121my λ=--
，222
1my λ=--，
12122112m y y λλ??
∴+=--
+ ???
121222y y m y y +=--
2424m m =--
-
0=．
解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =
得：()0FQ PQ PF +=
， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ， 22
0PQ PF ∴-= ， PQ PF
∴= ．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．
（Ⅱ）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，得12
0λλ< ．
则：12MA AF MB BF λλ=- ．…………①
过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为
1
A ，
1
B ，
则有：
11MA AA AF MB BB BF
== ．…………②
由①②得：
12AF AF BF BF
λλ-=
，即
120λλ+=．
3．如图所示，已知圆
M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为 曲线E.
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H
（点G 在点F 、H 之间），
且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.
分析：本小题主要考查直线、圆、椭圆、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力． 函数与方程的思想， 等价转化思想方法
解：（I ）.0,2=?=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|. 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN
∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2.
.1,1,22
===∴b c a ∴曲线E 的方程为.
1222
=+y x
（II ）当直线GH 斜率存在时，
设直线GH 方程为,
12,222
=++=y x kx y 代入椭圆方程
得.
23
0.034)21
(222>>?=+++k kx x k 得由
设
2212212211213
,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=
+则
)2,()2,(,
2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又
λλλλλ2
12
22212
22122121)1(
.
,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴，
λλλλ2
22
2
22)1()121(316,213
)1()214(
+=
++=++-∴k k k k 整理得 .33
1
.31621
4.
316
323164,232
2<<<
++
<∴<+<∴>
λλ
λ解得k k
.131
,
10<<∴<<λλ 又
又当直线GH 斜率不存在，方程为
.31
,31,0==
=λFH FG x
)1,31
[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴
4. 已知方向向量为v=(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的
焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足
634
=
?ON OM ，
cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.
点评：本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方和综合解题能力。
函数与方程的思想，数形结合思想 （I ）解法一：直线323:-=x y l ， ①
过原点垂直l 的直线方程为
x
y 33
-
=， ②
解①②得
.
23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，
.323
22=?=∴c a
∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
.2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.
1262
2=+y x ③
解法二：直线333:-=x y l .
设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则??????
?-=?-?=.1332232p
q p q
解得p=3.
∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，
.32=∴c a ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. .2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.
1262
2=+y x ③
（II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.
当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得
,061212)13(2222=-+++k x k x k ,136
12,131222212221+-=?+-=+∴k k x x k k x x
,13)
1(62136124)1312(14)(1||22222222
212212
++=+-?-+-+=-++=k k k k k k k
x x x x k
MN
点O 到直线MN 的距离
21|2|k k d +=
,cot 634MON ON OM ∠=
? 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠?MON MON
MON ON OM
,634
||.632,634sin ||||=?∴=∴=
∠?∴?d MN S MON ON OM OMN
即
).13(634
1||6422+=
+k k k
整理得
.
33
,312±=∴=k k 当直线m 垂直x 轴时，也满足
632
=
?OMN S .
故直线m 的方程为
,33
233+=
x y
或
,33
233--
=x y 或.2-=x
经检验上述直线均满足0≠?ON OM .
所以所求直线方程为
,33
233+=
x y 或
,33233--=x y 或.2-=x 解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）.
当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k m 代入③，整理得
,061212)13(2222=-+++k x k x k ,
131222
21+-=+∴k k x x
∵E （－2，0）是椭圆C 的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=.13)1(6262)1312(622)()()(2
222212212++=++-?=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e
以下与解法一相同.
解法三：设M （11,y x ），N （22,y x ）. 设直线2:-=ty x m ，代入③，整理得
.024)3(2
2=--+ty y t
,32
,342
21221+-=+=
+∴t y y t t y y
.
)3(24
243
8
)34(4)(||2
22222212121++=
+++=-+=-t t t t t y y y y y y
,cot 634MON ON OM ∠=
? 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠?MON MON
MON ON OM
.632,634sin ||||=∴=
∠?∴?OMN S MON ON OM
=-?=+=???||||2
1
21y y OE S S S OEN
OEM OMN .)
3(24
242
22++t t
∴
2
22)3(24
24++t t =632，整理得.324t t =
解得,3±=t 或.0=t
故直线m 的方程为
,33
233+=
x y 或
,33233--=x y 或.2-=x
经检验上述直线方程为.0≠?ON OM
所以所求直线方程为
,33
233+=
x y 或
,33233--=x y 或.2-=x
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
高考数学选择题之压轴题
高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭
高考数学压轴题专题训练20道
相关文档
- 2019年北京市高考数学试卷(理科)
- 高考数学压轴题秒杀
- 高考数学压轴题大全
- 数学高考压轴题大全
- 2020年北京高考数学专项复习 压轴题
- 数学专题 高考数学压轴题13
- 2017高考压轴题总汇真题(含解析)
- 高考数学压轴题汇编
- 2016年北京卷高考数学压轴题的分析与解
- 2021年北京市高考数学压轴题总复习
- 高考数学压轴题精选(一)(老师用)
- 数学高考压轴题大全
- 2020届北京各区高三二模数学分类汇编—数列与创新压轴题(含答案)
- 2018高考数学压轴题(含答案)
- 高考数学压轴题汇总及答案
- 北京高考数学压轴题试题集锦(含详细解析)
- 2020-2021年北京各区高三二模数学立体几何压轴题分类汇编及答案详解教师版
- 历年高考数学压轴题集锦
- 北京市高考数学压轴题总复习
- (完整word版)清华老师绝密高考数学压轴题完全解析