高三数学模拟试题理科

新教材高考数学模拟题精编详解名师猜题卷第一套试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．若集合M ＝{x ＜|x |＜1}，N ＝{x |2

x ≤x }，则M N ＝（ ）

A ．}11|{<<-x x

B ．}10|{<

C ．}01|{<<-x x

D ．}10|{<≤x x 2．若奇函数f （x ）的定义域为R ，则有（ ）

A ．f （x ）＞f （-x ） C ．f （x ）≤f （-x ）C ．f （x ）·f （-x ）≤０D ．f （x ）·f （-x ）＞０

3．若a 、b 是异面直线，且a ∥平面 ，那么b 与平面的位置关系是（ ） A ．b ∥a B ．b 与相交 C ．b ? D ．以上三种情况都有可能

4．（理）已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2

221a a …2n a +等于（ ）

A ．2

)12(-n B ．)12(31-n C ．14-n

D ．)14(3

1-n

5．若函数f （x ）满足)(2

1

)1(x f x f =+，则f （x ）的解析式在下列四式中只有可能是（ ）

A ．

2x B ．21

+x C ．x -2 D ．x 2

1log 6．函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜

）的图像的大致形状是（ ）

7．若△ABC 的角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值围是（ ） A ．（0，

4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（4

3π，）

8

0 1 2 3 4 5 P

2x

3x

7x

2x

3x

x

A ．

181 B ．9 C ．9 D ．20

9．（理）若直线4x -3y -2＝0与圆012422

2

2

=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点，则实数a 的取值围是（ ）

A ．-3＜a ＜7

B ．-6＜a ＜4

C ．-7＜a ＜3

D ．-21＜a ＜19

10．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，

近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）

A ．))((2R n R m ++

B ．))((R n R m ++

C ．mn

D ．2mn 11．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有

四位同学分别给出下列四个结果：①26C ；②665646362C C C C +++；③726

-；④26A ．其

中正确的结论是（ ）

A ．仅有①

B ．仅有②

C ．②和③

D ．仅有③

12．将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：

①a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）

或（0，6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

13．已知函数)1(11)(2

-<-=

x x x f ，则=--)3

1(1

f ________． 14．已知正方体ABCD －A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'-ABCD 的体积以及该正

方体的外接球的体积之比为________．

15.（理）已知函数ax x x f +-=3

)(在区间（-1，1）上是增函数，则实数a 的取值围是________．

16．（理）已知数列{n a }前n 项和n

n n b ba S )

1(1

1+-+-=其中b 是与n 无关的常数，且0＜b ＜1，若∞

→n n S lim 存在，则∞

→=n n S lim ________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数)R (2sin 3cos 2)(2

∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）

的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2

π

]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．

18．（12分）设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，数t 的取值围．

19甲．（12分）如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．

（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数； （3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．

20．（12分）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款． （1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；

（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，8

1.05＝1.4774）

21．（12分）已知数列{n a }中5

31=

a ，112--=n n a a （n ≥2，+

∈N n ），数列}{n b ，满

足1

1-=

n n a b （+

∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1

)1(lim +-∞→n n

S b n n ．

22．（14分）（理）设双曲线C ：122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）的离心率为e ，若准线l 与

两条渐近线相交于P 、Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形．

（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ＝ax ＋b 截得的弦长为a

e b 2

2求

双曲线c 的方程．

参考答案

1．D 2．C 3．D 4．（理）D （文）A 5．C 6．B 7．C 8．（理）C （文）A 9．（理）B （文）D 10．A 11．C 12．D

13．-2 14．6∶2∶π33 15．（文）7 （理）a ≥3 16．（文）a ≥3（理）1 17．解析：（1）a x a x x x f +++=+++=1)6

π

2sin(212cos 2sin 3)(．

解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ．得)Z (6

π

π3ππ∈+≤≤-k k x k

∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6π

π∈+k k ．

（2）∵ 0[∈x ，2

π

]， ∴ 6π76π26π≤

+≤x ． ∴ 当2π6π2=+x 即6

π

=x 时，a x f +=3)(max ．

∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6

π

=x ．

18．解析：由已知得42

1=e ，12

2=e ，160cos 1221=??=?

e e ．

∴ 71527)72(2)()72(2

2

2212

2

12121++=+++=++?t t te e e t te te e e te ．

欲使夹角为钝角，需071522

<++t t ．得 2

17-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ．∴ ??

?==λ

λt t 72，∴ 722

=t ．

∴ 214-

=t ，此时14-=λ．即2

14-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为 ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值围是（-7，214-

） （214-，2

1

-）． 19．解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．

（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线， ∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD 所成的角． 设AD ＝a ，则a VG 2

3

=

，a DC 2=．在Rt △GDC 中，

a a a GD DC GC 2

3

4222

2

2

=+=+=．在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴

30=∠VCG ．即VC 与平面ABCD 成30°．

（2）连结GF ，则a AF AG GF 2

3

22=

+=

． 而 a BC FB FC 2

6

22=

+=

．在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ． 连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 2

3

=

=．∴ ∠VFG ＝45°．二面角V -FC -B 的度数为135°． （3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ．

∴ 92

1

==

??FC VF S VFC ，2321

==??BC FB S BFC ．∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ??????=3

131

．∴

93

1

23331??=??h ． ∴ 2=

h 即B 到面VCF 的距离为2．

（乙）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1AC 棱长为a ，则D （0，0，0），A （a ，0，0），B （a ，a ，0），1D （0，0，a ），E （a ，a ，

2a ），F （a ，2a ，0），G （2

a

，a ，0）．

（1）a F D (1=，

2a ，-a ），2(a EG -=，0，)2a

-， ∵ 0)2)((02)2(1=--+?+-=?a

a a a a D ，∴ EG F D ⊥1．

（2）0(=AE ，a ，2a ），∴ 02

201=?-?+?=?a

a a a a D ．

∴ AE F D ⊥1．∵ E AE EG = ，∴ ⊥F D 1平面AEG ．