专题2.1 与三角函数相关的最值问题
一.方法综述
三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一,而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型,其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型,熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键. 二.解题策略
类型一 与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题
【例1】若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移?(0?>)个单位,所得的图象关于y 轴对称,则?的最小值是( ) A.
4π B. 38π C. 8π D. 58
π 【答案】C
【指点迷津】()sin()f x A x ω?=+具有奇偶性时,k ?π=(k z ∈)或2
k π
?π=+(k z ∈).
【举一反三】
1、【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数2sin cos 33y x x ππ?
?
?
?=+
+ ? ??
??
?的图象向左平移()0??>个单位,所得图象对应的函数恰为奇函数,则?的最小值为
A.
12π B. 6π C. 4π D. 3
π
【答案】B
【解析】将函数2sin 23
y x π?
?
=+
??
?
的图象向左平移()0??>个单位,所得图象对应的函数: ()2sin 23y x π??
?=++????
,又其为奇函数,
∴
2
sin20
3
π
?
??
+=
?
??
,()
2
2k
πZ
3
k
π
?+=∈
,,
kπ
23
π
?=-,()Z
k∈,又0
?>
当k1
=时,?的最小值为
6
π
故选:B
2、【河南省2018届高三12月联考】若函数()2sin2
3
f x x
π
??
=+
?
??
关于直线x m
=(0
m<)对称,则m的最大值为()
A.
4
π
- B.
11
12
π
- C.
5
12
π
- D.
7
12
π
-
【答案】C
【解析】由题意得,()
2
32
m k k Z
ππ
π
+=+∈,即()
212
k
m k Z
ππ
=+∈,0
m<
Q,1
k
∴=-时,m 的最大值为
5
12
π
- .
3、【2018河南省林州市第一中学模拟】定义运算12
1423
34
a a
a a a a
a a
=-,将函数()3sin(0)
1cos
wx
f x w
wx
=>
的图象向左平移
2
3
π
个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则w的最小值是()
A.
1
4
B.
5
4
C.
7
4
D.
3
4
【答案】B
令0
k=可得ω的最小值为
5
4
.
本题选择B选项.
类型二 与三角函数的单调性相关的最值问题 【例2】已知0ω>, ()sin 4f x x πω?
?
=+
??
?
在2ππ??
???
,上单调递减,则ω的取值范围是( ) A. 15[
24???, B. 13[ 24???, C. 102??
???
, D. ](0 2, 【答案】A
【指点迷津】熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键. 【举一反三】
1、【皖江名校2018届高三12月份大联考】若函数()2sin 0y x ωω=>的图象在区间,36ππ??
- ??
?上只有一个极值点,则ω的取值范围为( ) A. 312ω<≤ B. 332ω<≤ C. 34ω≤< D. 39
22
ω≤< 【答案】B
【解析】结合题意,函数唯一的极值点只能是2
x π
ω=-
,所以有3
2{
6
2
π
π
ωπ
π
ω-
?<-?≤
得
3
32
ω<≤。 故选B.
2、【2018福建省闽侯第四中学模拟】将函数()2sin 4f x x πω?
?
=+
??
?
(0ω>)的图象向右平移
4π
ω
个单位,得到函数()y g x =的图象,若()y g x =在63ππ??
-???
?,上为增函数,则ω的最大值为( ) A.
54 B. 3
2
C. 2
D. 3 【答案】B
3.【2018广西桂林市第十八中学模拟】已知函数()()2
24sin sin 2sin 024x f x x x ωπωωω??
=?+->
???
在区间2,23ππ??-????
上是增函数,且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是( ) A. (]
0,1 B. 30,4
?
? ??
?
C. [
)1,+∞ D. 13,24??????
【答案】D 【解析】
类型三 转化为()sin()f x A x ω?=+型的最值问题
【例3】【2018河南省林州市第一中模拟】已知函数()2sin f x wx =在区间,34ππ??
-
???
?上的最小值为2-,则w 的取值范围是 ( )
A. ][9,6,2?
?-∞-
?+∞ ??? B. ][93,,22??
-∞-?+∞ ???
C. ][(),26,-∞-?+∞
D.
][3,2,2??
-∞-?+∞ ???
【答案】D
【解析】分类讨论:
当0ω>时, 3
4x π
π
ωωπ-≤≤
,此时有: 3
,3
2
2
ππωω-≤-∴≥,
当0ω<时,
4
3
x π
ππωω≤≤-,此时有: ,24
2
ππ
ωω≤-∴≤-,
综上可得: ω的取值范围是: ][3,2,2??-∞-?+∞ ??
?
. 本题选择D 选项.
【指点迷津】先求x ω的范围,进而结合三角函数的图象求值域. 【举一反三】
1、【2018山东省济南外国语学校模拟】函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移?(0?π<<)个单位后关于4
x π
=对称,且两相邻对称中心相距
2π,则函数()()2sin g x x ω?=+在,63ππ??
-????
上的最小值是( )
A. 2-
B. 1-
C. 3
D. 2 【答案】B
2、【2018湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考】函数
()πcos (0)3f x x ωω??=+> ???在[]0,π内的值域为11,2??
-???
?,则ω的取值范围是
A. 35,23??????
B. 24,33??
???? C. 2
,3∞??+???? D. 23,32??????
【答案】B
【解析】如图所示,
2433πππωω≤≤
,解得24
33
ω≤≤,故选B.
3、已知函数()sin 3f x x πω??
=-
???
(0ω>)向左平移半个周期得()g x 的图像,若()g x 在[]0π,上的值域为31??
-
????,,则ω的取值范围是( ) A. 116?????
?
,
B. 2332??????
, C. 1736??
????
, D. 5563
??
????
, 【答案】D
即函数的最小值为3最大值为1,则4233πππωπ-≤?,得5563
ω≤?.
综上,ω的取值范围是55,63??
????
,
本题选择D 选项.
类型四 转化为二次函数型的最值问题
【例4】【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】函数()()2cos2,43sin f x x g x a x ==-,当()()f x g x ≥对[]
,x n m ∈恒成立时, m n -的最大值为53
π
,则a =__________. 【答案】-7
【指点迷津】分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 【举一反三】
1、【2018华中学模拟】函数()3
f x x =,关于θ的为等式()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->对所有
0,2πθ??
∈????
都成立,则实数m 的范围为__________.
【答案】()
422,-+∞
专题4.4 立体几何中最值问题 一.方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目,而几何问题中的最值与范围类问题,既可以考查学生的空间想象能力,又考查运用运动变化观点处理问题的能力,因此,将是有中等难度的考题.此类问题,可以充分考查图形推理与代数推理,同时往往也需要将问题进行等价转化,比如求一些最值时,向平面几何问题转化,这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练.立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考:一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解;二是根据几何体的结构特征,变动态为静态,直观判断在什么情况下取得最值;三是将几何体平面化,如利用展开图,在平面几何图中直观求解。 二.解题策略 类型一距离最值问题 AB=,若线段DE上存在点P 【例1】如图,矩形ADFE,矩形CDFG,正方形ABCD两两垂直,且2 ⊥,则边CG长度的最小值为() 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
又22002B G a (,,),(,,),所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈,所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=, 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点,建立空间直角坐标系,设CG 长度为a 及点P 的坐标,求BP GP u u u r u u u r 与的坐标, 根据两向量垂直,数量积为0,得到函数关系式22 16 42a x x = --,利用函数求其最值。 举一反三 1、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 、F 分别是棱BC ,CC 1的中点,P 是侧面BCC 1B 1内一点,若A 1P ∥平面AEF ,则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n Λ (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;