两平面垂直的判定和性质练习题及答案

典型例题一

例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．

（１）如图1，已知l A l ∈=?,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．

（２）如图２，已知l A A l ?∈=?,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ．

（３）已知βαβα??=?A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，?l 平面H PAQ =，连结PH 、QH ．

作图与证明在此省略．

说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．

典型例题二

例2. 如图，在立体图形ABC D -中，若E CD AD CB AB ,,==是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）.

（A ）平面ABC ⊥平面ABD

（B ）平面ABD ⊥平面BDC

（C ）平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE

（D ）平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE

分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.

解：因为,CB AB =且E 是AC 的中点，所以,AC BE ⊥同理有AC DE ⊥，于是⊥AC 平面BDE .因为?A C 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于?AC 平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDE .所以选C.

说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三

例３．如图，P 是ABC ?所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，?AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为?BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，?BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为?AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．

典型例题四

例４．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．

分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．

证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有AC BC ⊥①．

因为⊥PA 平面ABC ，?BC 平面ABC ，则BC PA ⊥②．

由①②及A PA AC = ，得⊥BC 平面PAC ．

因为?BC 平面PBC ，有平面PAC ⊥平面PBC ．

说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直?线面垂直?面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

典型例题五

例５．如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为 45，与面β所成的角大小为

30，求二面角βα--MN 的大小．

分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．

解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，

连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，

30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内

的射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．

设a BQ =，在B A Q Rt ?中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠ ,在Rt △BHQ 中，

,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠ 2

222sin ===∠a a BQ BH BQH , BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．

典型例题六

例６．如图，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．

（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；

（２）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；

（３）求C A '与平面CD C '所成的角；

（４）若二面角C AD C --'的平面角为 120，求二面角D C C A -'-的平面角的正

切值．

分析：根据问题及图形依次解决．

解：（１）∴'⊥⊥∴⊥,,,C D AD DC AD BC AD 二面角C AD C --'的面为ADC 和面C AD '，棱为AD ，二面角的平面角为C CD '∠．

（２）若 90='∠C CD ，a C C a C D DC a AC 2

2,21,='∴='=∴= ．

（３）⊥∴⊥'⊥AD DC AD C D AD ,, 平面C C D '，D C A '∠∴为C A '与平面CD C '所成的角．在直角三角形C AD '中， 30,2

1='∠∴='=C DA AC C D DC ，于是 60='∠D C A ．

（４）取C C '的中点E ，连结AE 、DE ，

C C DE C C AE AC C A DC C

D '⊥'⊥∴='=',,, ，

AED ∠∴为二面角D C C A -'-的平面角．

,4

1,21,120a DE a CD D C DC C =∴=='='∠ 在直角三角形AED 中，,23a AD =DE AD AED =∠∴tan 324

123==a a ． 说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．

典型例题七

例7 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小．

分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB 垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．

再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD ，过F 作B D 1的垂线FE ，PEF ∠即为所求二面角的平面角了．

解：过P 作1BD 及1AD 的垂线，垂足分别是E 、F ，连结EF ．

∵AB ⊥面1AD ，PF ?面1AD ，

∴PF AB ⊥，

又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD ．

又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，

∴PEF ∠为所求二面角的平面角．

∵D AD Rt 1?∽PFA ?，∴1

1AD AP DD PF =． 而21=AP ，11=DD ，21=AD ，∴4

2=PF ． 在1PBD ?中，2

51==PB PD ． ∵1BD PE ⊥，∴2

321==BD BE ． 在PEB Rt ?中，2222=-=

BE PB PE ， 在PEF Rt ?中，2

1sin ==

∠PE PF PEF ， ∴?=∠30PEF ． 典型例题八

例8 在ABC ?所在平面外有一点S ，已知AB SC ⊥，SC 与底面ABC 所成角为θ，二面角C AB S --的大小为?，且?=+90?θ．求二面角A SB C --的大小．

分析：由题设易证SD SC ⊥，由已知得SC ⊥平面SAB ，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角A SB C --的平面角，那么可能会走弯路．

解：如图所示，作SO ⊥平面ABC 于O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ． ∵SO ⊥平面ABC ，

∴SCO ∠是SC 与平面ABC 所成角，θ=∠SCO ．

∵SO ⊥平面ABC ，AB SC ⊥，

∴CD AB ⊥，SD AB ⊥．

∴SDO ∠是二面角C AB S --的平面角，?=∠SDO ．

∵?=+90?θ，∴SD SC ⊥．

又∵AB SC ⊥，∴SC ⊥平面SAB ，

∴平面SBC ⊥平面SAB ，

∴二面角A SB C --的大小为?90．

说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB ∠不满足第(3)条，不是二面角A SB C --的平面角．

在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为?90，反之亦然．

典型例题九

例9 如果αβ⊥，αγ⊥，a =γβ ，那么α⊥a ．

分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证α⊥a ，只要证明直线a 与平面α内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明α⊥a 的目的；(2)要证α⊥a ，只要证明a 平行于平面α的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．

证法一：如图所示，设b =βα ，c =γα ，

过平面α内一点P 作b PA ⊥于A ，作c PB ⊥于B ．

∵αβ⊥，∴β⊥PA ．

又a =γβ ，∴a PA ⊥，同理可证a PB ⊥．

∵P PB PA = 且α?PB PA 、，∴α⊥a ．

证法二：如图所示，

设b =βα ，在平面β内作直线b l ⊥1．

∵βα⊥，∴α⊥1l ．

设c =γα ，在平面γ内作直线c l ⊥2．同理可证a l ⊥2，因此21//l l ．

由于β?1l ，β?2l ，∴β//2l ．

而γ?2l ，γβ =a ，∴a l //2．

故由a l //2知，α⊥a ．

证法三：如图所示

过直线a 上一点P 作直线α⊥'a ．

∵γβ =a ，a P ∈，

∴β∈P ，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，

那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），

∴β?'a ．同理可证γ?'a ，故γβ =

'a ． 椐公理2可知，直线'a 与直线a 重合．

∴α⊥a

说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．

(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．

典型例题十

例10 设由一点S 发出三条射线SA 、SB 、SC ，α=∠ASB ，β=∠BSC ，θ=∠ASC ，α、β、θ均为锐角，

且θβαcos cos cos =?．求证：平面ASB ⊥平面BSC ． 分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．

证明：如图，任取点A ，作SB AB ⊥于B ，过B 作SC BC ⊥于C ，连结AC ． ∵αcos ?=AS SB ，βcos ?=SB SC ，

故βαcos cos ??=AS SC ．

又由θβαcos cos cos =?，

则θcos ?=AS SC ，从而可得?=∠90ACS ，

即SC AC ⊥，已作SC BC ⊥，故SC ⊥平面ACB ，

即有SC AB ⊥，已作SB AB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ，

故平面ASB ⊥平面BSC ．

说明：本题易犯错误是：作SB AB ⊥于B ，作SC BC ⊥于C ，连结AC ，由三垂线定理得AC SC ⊥，∴SC ⊥平面ACB ，∴SC AB ⊥，∴AB ⊥平面SBC ．其错误原因是作SB AB ⊥后，将AB 误认为是平面SBC 的垂线．

此题的证明也可以作SB AB ⊥于B ，SC AC ⊥于C ，连结BC ．在SBC ?中，由余

弦定理及条件θβαcos cos cos =?，证明222SC BC SB +=，从而BC SC ⊥，∴SC ⊥面

ABC ，∴SC AB ⊥．由此进一步证明，平面ASB ⊥平面BSC ．

典型例题十一

例11 如果二面角βα--l 的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4、24，求二面角的大小．

分析：如果二面角βα--l 内部，也可能在外部，应区别处理．

解：如图甲是点P 在二面角βα--l 的内部时，

乙是点P 在二面角βα--l 的外部时．

∵α⊥PA ，∴l PA ⊥．

∵l AC ⊥，∴面l PAC ⊥．

同理，面l PBC ⊥，

而面PAC 面PBC PC =

∴面PAC 与面PBC 应重合，

即A 、C 、B 、P 在同一平面内，

ACB ∠是二面角的平面角．

在APC Rt ?中，212422sin ===

∠PB PA ACP ， ∴?=∠30ACP ．

在BPC Rt ?中，2

2244sin ===∠PC PB BCP ， ∴?=∠45BCP ，

故?=?+?=∠754530ACB （图甲）或?=?-?=∠153045ACB （图乙）．

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．

典型例题十二

例12 P 为?120的二面角βα--a 内一点，P 到α和β的距离均为10，求点P 到棱a 的距离．

分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．

解：如图，

过点P 作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，

设相交直线PA 、PB 确定的平面为γ，O a =γ ，则OA =αγ ，OB =βγ 连结PO ，则10==BP AP

∵α⊥PA ，β⊥PB ，

∴γ⊥a ，而?PO 平面γ，

∴PO a ⊥，

∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离．

又∵γ⊥a ，γ?OA ，γ?OB

∴AOB ∠是二面角βα--a 的平面角，即?=∠120AOB ．

而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径．

∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用APB ?．

在APB ?中，10==BP AP ，?=∠60APB ，∴10=AB ． 由正弦定理：3

32060sin 2=?==AB R PO ． 说明：(1)该题寻找?120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．

(2)充分借助于四边形PAOB 为一圆内接四边形，∵OA PA ⊥，OB PB ⊥，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．

典型例题十三

例13 如图，正方体的棱长为1，O BC C B =11 ，求：

(1)AO 与11C A 所成的角；

(2)AO 与平面AC 所成角的正切值；

(3)平面AOB 与平面AOC 所成的角．

解：(1)∵AC C A //11，

∴AO 与11C A 所成的角就是OAC ∠．

∵OB OC ⊥，⊥AB 平面1BC ，

∴OA OC ⊥（三垂线定理）．

在AOC Rt ?中，2

2=OC ，2=AC ，

∴?=∠30OAC ．

(2)作BC OE ⊥，平面1BC ⊥平面AC ．

∴OE ⊥平面AC ，OAE ∠为OA 与平面AC 所成的角．

在OAE Rt ?中，21=OE ，2

5)21(122=+=AE ． ∴5

5tan ==∠AE OE OAE ． (3)∵OA OC ⊥，OB OC ⊥，∴⊥OC 平面AOB ．

又∵?OC 平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．

说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角??? ??2,0π，直线和平面所成角??

????

2,0π，二面角(]π,0三种． 典型例题十四

例14 如图，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2=PB ，PB 与平面PCD 所成的角为?45，PB 与平面ABD 成?30角，求：

(1)CD 的长；

(2)求PB 与CD 所在的角；

(3)求二面角D PB C --的余弦值．

分析：从图中可以看出，四面体BCD P -是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC 与平面BCD 所成的二面角的余弦值为333

221=??=??BD PC BC PD ，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何体中．

解：(1)∵⊥PD 平面ABCD ，∴BC PD ⊥．

又⊥BC 平面PDC ，

∴BPC ∠为PB 与平面PCD 所在的角，

即?=∠45BPC ．

同理：PBD ∠即为PB 与平面ABD 所成的角，

∴?=∠30PBD ，

在PBC Rt ?中，∵2=PB ，∴2==PC BC ．

在PBD Rt ?中，?=∠30PBD ，∴1=PD ，3=BD ．

在BCD Rt ?中，2=BC ，3=BD ，∴1=CD ．

(2)∵CD AB //，∴PB 与CD 所成的角，

即为PB 与AB 所成的角，PBA ∠即为PB 与AB 所成的角

∵⊥PD 平面ABCD ，AB AD ⊥，∴AB PA ⊥（三垂线定理）．

在PAB Rt ?中，1==CD AB ，2=PB ，∴?=∠60PBA ．

(3)由点C 向BD 作垂线，垂足为E ，由点E 向PB 作垂线，垂足为F ，连结CF ． ∵⊥PD 平面ABCD ，∴CE PD ⊥．

又BD CE ⊥，∴⊥CE 平面PBD ，

CF 为平面PBD 的斜线，由于PB EF ⊥，

∴由三垂线定理：CF PB ⊥．

∴CEF ∠为二面角D PB C --的平面角

在BCD Rt ?中，2=BC ，1=DC ，3=BD ， ∴3

6=?=BD CD BC CE ． 在PCB Rt ?中，2=BC ，2=PC ，2=PB ， ∴1=?=PB

CP BC CF ， ∴3

6sin ==∠CF CB CFE ． ∴3

3cos =∠CFE ， ∴二面角D PB C --的余弦值为

33． 说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；

另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．

典型例题十五

例15 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，?=∠90BSC ，?=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===

(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ；

(2)求S 到平面ABC 的距离．

分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．

(1)证明：∵a SC SB SA ===，

又?=∠=∠60ASB ASC ，

∴ASB ?和ASC ?都是等边三角形，

∴a AC AB ==，

取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．

在BSC Rt ?中，a CS BS ==，

∴BC SH ⊥，a BC 2=

， ∴2

)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在SHA ?中，∴222

a AH =，22

2a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，

∴⊥AH 平面SBC ．

∵?AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．

或：∵AB AC SA ==，

∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ?的外心，

又BSC ?为?Rt ，∴H 在斜边BC 上，

又BSC ?为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，

∴⊥AH 平面BSC ．

∵?AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．

(2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，

∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 2

22==， ∴点S 到平面ABC 的距离为a 2

2． 典型例题十六

例16 判断下列命题的真假

(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．

(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．

分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体C A 1中，平面AC ⊥平面1AD ，平面 AC 平面1AD AD =，在AD 上取点A ，连结1AB ，

则AD AB ⊥1，即过棱上一点A 的直线1AB 与棱垂直，但1AB 与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是1AB 没有保证在平面11A ADD 内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；

(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体

C A 1中，平面1A

D ⊥平面AC ，1AD ?平面11A ADD ，AB ?平面ABCD ，

且1AD AB ⊥，即AB 与1AD 相互垂直，但1AD 与平面ABCD 不垂直；

(3)如上图，正方体C A 1中，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，1AD ?平面11A ADD ，

?AC 平面ABCD ，1AD 与AC 所成的角为?60，即1AD 与AC 不垂直．

说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．

典型例题十七

例17 如图，在?60二面角βα--a 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为3和5，

求P 到交线a 的距离．

解：作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，

设PA ，PB 所确定的平面为γ，Q a = γ，

连AQ ，BQ ，∵α⊥PA ，

∴a PA ⊥．

同理a PB ⊥，∴⊥a 平面γ，

∴PQ a ⊥，则PQ 是P 到a 的距离．

在四边形PAQB 中，?=∠=∠90B A ，

∴PAQB 是圆的内接四边形，且R PQ 2=．

又∵?=∠60BQA ，?=∠120BPA ， ∴7120cos 53253=???-+=AB ，

33143

2760sin 2=?=?==AB R PQ ． 说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P 、B 、A 、Q 四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．

典型例题十八

例18 如图，四面体SABC 中，A B C ?是等腰三角形，a BC AB 2==，?=∠120ABC ，且⊥SA 平面ABC ，a SA 3=．求点A 到平面SBC 的距离．

分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A 到SBC 的垂线，先确定一个过点A 和平面SBC 垂直的平面，∵⊥SA 平面ABC ，故作BC AD ⊥于D ，连结SD ，则平面SAD ⊥平面SBC ，平面SAD 实际上就是二面角A BC S --的平面角SDA 所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角A BC S --的平面角的作图过程完全相同．

解：作BC AD ⊥交BC 于D ，连结SD ，

∵⊥SA 平面ABC ，根据三垂线定理有BC SD ⊥，又D AD SD = ，

∴BC ⊥平面SAD ，又BC ?平面SBC ，

∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC 平面ADS SD =，

∴过点A 作SD AH ⊥于H ，由平面与平面垂直的性质定理可知：⊥AH 平面SBC ． 在SAD Rt ?中，a SA 3=，a AB AD 360sin =??=， ∴23)3()3(332

222a a a a a AD SA AD

SA AH =+?=+?=， 即点A 到平面SBC 的距离为

23a ． 说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)

●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？

两个平面平行的判定和性质39

两个平面平行的判定和性质 一.选择题 1.α,β是两个不重合的平面,b a ,是两条不同的直线,在下列条件下,可判断βα//的是 A.α,β都平行于直线b a , B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.b a ,是α内两条直线,且ββ//,//b a D.b a ,是异面直线,且ββαα//,//,//,//b a b a 2. 已知:n m ,表示两条直线,γβα,,表示平面,下列命题中正确的个数是 ( ) ①若βαγβγα//,//,,则且n m n m =?=? ②若n m ,相交且都在α,β外,βαβα//,//,//,//n n m m ,则βα// ③若,//,//βαm m 则βα// ④若,//,//,//n m n m 且βα则βα// A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是（ ） A.2 0π θ< < B.2 0π θ≤ < C.3 0π θ≤ ≤ D.3 0π θ≤ < 4. 给出下列四个命题: ①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小; ②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等; ③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行; ④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.其中正确的命题有( ) A.①②④ B.②③④ C.①③ D.④ 二.填空 5.如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 6.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为?30，则线段AC 长的取值范围为 . 7.(1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________． (2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 三、解答题 8.如图，βα//，AB βα，交于A 、B ，CD βα，交 于C 、D ，AB ?CD ＝O ，O 在两平面之间，

两个平面平行的判定和性质(二)

两个平面平行的判定和性质 9.5两个平面平行的判定和性质（3） 教学内容： 1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定和性质 教学目标： 分清两个平面的位置关系：能利用两个平面平行的判定定理以及课本中例1来判定两个平面平行；能根据两个平面平行的性质定理证明两条直线互相平行；能利用课本中例2证明直线和平面垂直；理解两个平行平面的距离这一概念，能求两平面间的距离。 教学过程： 一、知识讲解： 没有公共点--两平面平行 1、两个平面的位置关系有两种： 有一条公共直线--两平面相交 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 2、证明两平面平行的方法： （1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是： a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β． （3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是： a⊥α，a⊥β则α∥β． （4）平行于同一个平面的两个平面平行 . 3、两个平面平行的性质有五条： （1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为： "面面平行，则线面平行"。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β． （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为： "面面平行，则线线平行"。用符号表示是：α∥β， α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b． （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证 线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β．（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（课本P38练习第3题） （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（课本

直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案设计1

直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α．

2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．

直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 ?? ? ?? a?α b?α a∥b ?a∥α 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 ?? ? ?? a?α，b?α a∩b＝A a∥β，b∥β ?α∥β 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD.

∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB綊BD，

两平面的平行的判定和性质

典型例题一例1：已知正方体ABCD - A1B1C1D1. 求证：平面 AB1D111平面C1BD . 证明：T ABCD - A1B1C1D1 为正方体, ??? D1A//C1B , 又C1B 平面C1BD , 故D1A// 平面 C1BD . 同理D1B1 //平面C1BD . 又D1A D1B1 D1 , ???平面AB1D1// 平面C1BD . 说明：上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离. 典型例题二 例2:如图，已知// , A a, A 求证：a . 证明：过直线a作一平面，设 b . ?/ // ??? a1 // b 又a//

? a//b 在同一个平面内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行? a与a1重合，即a

说明：本题也可以用反证法进行证明. 典型例题三 例3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一 个也相交. 已知：如图，// ,1 A. 求证：I与相交. 证明：在上取一点B，过I和B作平面，由于与a有公共点 A , 与有公共点 B . ???与、都相交. 设a, b . ?/ // ? a//b 又I、a、b都在平面内，且I和a交于A . T I与b相交. 所以I与相交. 典型例题四 例4:已知平面// , AB , CD 为夹在a ,间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点. 求证：EF〃, EF // . 证明：连接AF并延长交于G . ??? AG CD F ? AG , CD确定平面，且 DG .

?/// ，所以AC//DG , ACF GDF , 又AFC DFG , CF DF , ??? △ ACF ◎△ DFG ? ??? AF FG ? 又AE BE , ? EF//BG, BG ? 故EF // ? 同理EF // 说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理. 典型例题六 例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A1、B1、G、D1，且A、B i、C i、D i互不重合，也无三点共线. 求证：四边形A i B i C i D i是平行四边形. 证明：T AA , DD i ?- AA // DD i 不妨设AA和DD i确定平面 . 同理BB i和 CC i确定平面 又AA i // BB i，且BB i ? AA // 同理AD // 又AA i AD A // A D i, B i C i

第11讲 空间中垂直关系的判定与性质

空间中垂直关系的判定与性质 一．基础知识整合 1.直线与平面存垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足． （2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 （3）判定定理 ?????l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ?l ⊥α 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． （2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角， 其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3.平面与平面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 ?????a αa ⊥β?α⊥β 符号语言

? ????α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ?a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D 为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥ 平面ABC . 变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点， P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC . 题型二：面面垂直的判定 例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ， AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG . 证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG 为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG 的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ， 所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG . 变式训练 2 ：如图，在空间四边形 ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、 F 、 G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面 BDG . 证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， 又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共21题，题分合计105分) 1.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是 A.两条线段同时与平面垂直 B.两条线段互相平行 C.两条线段相交 D.两条线段与平面所成的角相等 2.平面α与平面β平行,它们之间的距离为d (d >0),直线a 在平面α内,则在平面β内与直线a 相距2d 的直线有 A.一条 B.二条 C.无数条 D.一条也没有 3.以下四个命题:①P A ?PB 是平面α的两条相等的斜线段,则它们在平面α内的射影必相等;②平面α内的两条直线l 1? l 2,若l 1?l 2均与平面β平行,则α//β;③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α//β;④α?β为两相交平面,且α不垂直于β,α内有一定直线a ,则在平面β内有无数条直线与a 垂直.其中正确命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,有下列四个命题:(1) α∥β?l ⊥m ;(2) α⊥β?l ∥m ;(3)l ∥m ?α⊥β;(4)l ⊥ m ?α∥β,其中正确的两个命题是: A.(1)与 (2) B.(1)与(3) C.(2)与(4) D.(3)与(4)

5.两个平面平行的条件是 A.一个平面内一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内的任一条直线平行于另一个平面 6.两平面α与β平行,α ? a,下列四个命题中 ①α与β内的所有直线平行 ②α与β内的无数条直线平行 ③α与β内的任何一条直线都不垂直 ④α与β无公共点 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7.给出下列命题: ①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 8.在下列条件中,可判断平面α与β平行的是 A.α?β都垂直于平面r. B.α内存在不共线的三点到β的距离相等. C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β. D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β. 9.给出下列命题: ①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 10.给出以下命题: (1)平面α∩平面β=直线l,点P∈α,点P∈β,则P∈l (2)过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个

平面与平面垂直的性质(教案)

平面与平面垂直的性质（教案） 教学目的 通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标： 1 理解掌握面面垂直的性质定理 2 能初步运用性质定理解决问题 教学重点难点： 重点：理解掌握面面垂直的性质定理 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： (一) 复习提问 师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问） 生：线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 生：面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。 1)平面ADD′A′⊥平面ABCD 2) DD′⊥面ABCD 3)AD′⊥面ABCD

师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？ （提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略） 师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。 （三）新课 已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B， 求证：AB⊥β (让学生思考怎样证明) 师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于 平面内两条相交直线，而题中条件已有一条， 故可过该直线作辅助线） 证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a， ∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β， ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 1.面面垂直的性质定理： 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. （用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β 师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。 2. 例题分析 例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为 正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD 内找一点，使AE⊥面BCD 解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E， 连结AE，则AE为BD的中线

垂直的判定和性质专题及答案

垂直的判定和性质专题 垂直的判断方法及性质汇总： 一、判定线面垂直的方法 1．定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2．如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6． 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 二、判定两线垂直的方法 1．定义：成?90角 2．直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5．一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 三、判定面面垂直的方法 1．定义：两面成直二面角,则两面垂直 2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 四、面面垂直的性质 1．二面角的平面角为?90 2．在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3．相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 专题训练： 一．选择题： 1．已知直线l ⊥平面α，给出：① 若直线m ⊥l ，则m //α；② 若直线m ⊥α，则m //l ；③ 若直线m //α，则m ⊥l ；④ 若直线m //l ，则m ⊥α。以上判断正确的是 B （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②④ 2．下列命题正确的是 B （A ）垂直于同一直线的两条直线平行 （B ）垂直于同一直线的两条直线垂直 （C ）垂直于同一平面的两条直线平行 （D ）平行于同一平面的两条直线平行 3．设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到△ABC 各顶点的距离相等，且P 到△ABC 各边的距离相等，那么△ABC C （A ）是非等腰三角形 （B ）是等腰直角三角形 （C ）是等边三角形 （D ）不是A 、B 、C 中所述的三角形 4．正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，PA =12，那么P 到对角线BD 的距离是D （A ）123 （B ）122 （C ）63 （D ）66 5．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 D （A ）l ?α （B ）l ⊥α （C ）l //α （D ）l ?α或l //α 6．已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是 D （A ）a a b b αα⊥??⊥??? （B ）//a b a b αα⊥? ?⊥?? （C ）//或a b a a b ααα⊥????⊥? （D ）////a a b b αα? ????

直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案

直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．

?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l， m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给 出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m ⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a

2.2.2平面与平面平行的判定同步练习

《平面与平面平行的判定》同步练习 一、选择题；班级姓名 1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( ) ①l?α,m?α,且l∥β,m∥β；②l?α,m?α,且l∥m；③l∥α,m∥β,且l∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个 2．已知：命题：P：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q：α∥β，则下面成立的是（） A P?Q ，P?Q B P?Q，P?Q C P?Q， D P?Q，P?Q 3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（） ①α，β分别过两条平行直线；②a，b为异面直线，α过a平行b，β过b平行a； A ① B ② C ①② D 无 4．下列命题中为真命题的是（） A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行 C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行． 5．下列命题中正确的是( ) ①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行 A ①② B ②③ C ③④ D ②③④ 二、填空题； 6．下列命题中正确的是（填序号）； ①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

C M B A 1 B 1 C 1 A ③平行于同一直线的两个平面一定相互平行； ④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ； 7． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ； 8． 如右图,点P 是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在 平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化. 三、解答题； 9. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，?=∠90BCA ，棱 21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点 求证：平面A 1NC ∥平面BMC 1 10．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，P 为AC 上一点，且AP ： PC=2：1，求证：（1） BD ∥面CMN ；（2）平面MNP//平面BCD. C D A M N P

线面、面面关系的判定与性质

线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 1﹒线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线 面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒

（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为]90,0[0 . （2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算. 注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题 例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0 90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义） 变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0 90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点， 证明：DAB PC 平面⊥. （判定定理、定义、等腰三角形的高） C B A P C D A P B P A B α

《平面与平面垂直的性质》教学设计

《平面与平面垂直的性质》教学设计 一、教材分析： 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 二、学情分析： 1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。 2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。 三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标: （1）知识与技能目标： ①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念. （2）过程与方法目标： ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。 ③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （3）情感、态度与价值观目标： 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 四、教学重点与难点： （1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。 （2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。 五、教学设计思路： 1、复习导入： （1）线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. （2）面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 2、探究发现： （1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！ 设计说明： 感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质 1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分不是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面 A 邻边不等的平行四边形； B 菱形但不是正方形（） C 邻边不等的矩形 D 正方形 2. a、b、c为三条不重合的直线，γ α, β ,为三个不重合的平面，现给出六个命题： （1）a∥c, b∥c ?a∥b (2)a∥γ, b ∥γ?a∥b （3）α∥c, β∥c ?α∥β(4) α∥γ, β∥γ?α∥β (5) a∥c , α∥c ?a∥α(6) a∥γ, α∥γ?a∥α 其中正确的命题是 3. a、b表示直线，γ α, β , （1）α α若 γ β γ = ?∥b，则α∥β ? ,b a= , （2）a⊥,αb⊥β且a∥b，则α∥β （3）a⊥,αa⊥γ，b⊥β，b⊥γ，则α∥β （第4题） （4）a与β α,相交且所成的角相等，则α∥β

4．如图，直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截，已知 AB=2，BC=3，EF=4，则DF= 。 5.已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA=SB=SC ， SG 为ABC ?上的高，D 、E 、F 分不是AC 、BC 、SC 的中点，试判定SG 与平面DEF 的位置关系，并证明。 6.P 是ABC ?所在平面外一点，1A 、1B 、1C 分不是PBC ?、PCA ?、PAB ?的重心 求证：平面 111C B A ∥平面ABC （2）求1 11C B A S ?：ABC S ?

两个平面平行的判定和性质（)25.9B - 1.设有不同的直线，a 、b 和不同的平面γβα,,， 给出下列三个命题，其中正确的个数是 （1）a ∥α，b ∥α则a ∥b （2）若a ∥α，a ∥β则α∥β （3）若α⊥γ，β⊥γ则α∥β A. 0 B. 1 C. 2 D .3 2. βα,是两个平面，l 、m 是两条直线，那么α∥β的一个充分而不必要的条件是 l m l 且,,αα??∥β，m ∥β B. l m l 且,,βα??∥m C. l ⊥α,m ⊥β且 l ∥m D . l ∥α，m ∥β，且 l ∥m 3.，且βα,的距离为d ，α?a ，则在β面内 （ ） A.有且只有一条直线与a 的距离为d B.所有直线与a 的距离都等于d C.有许多条直线与a 的距离等于d D.所有直线与a 距离都不等于d 4. 已知AB 、CD 是夹在两平行平面βα,之间的两条线段，AB ⊥CD ，AB=2，AB 与平面α成300角，则线段CD 的取值范畴是 （ ）

直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质汇总

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【教学目标】 知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念； （2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣． 例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1 1 垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】

过 程 行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直． 解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义， 可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD . 图9-43 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 10 *运用知识 强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9?43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答 了解 知识 掌握 情况 14 *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9?44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂 直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面 上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直． 质疑 引导 分析 思考 带领 学生 分析 17 *动脑思考 探索新知 【新知识】 从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 讲解 说明 理解 带领 学生 分析 图9?44