高等数学 第二章 一元函数微分学及其应用

第二章一元函数微分学及其应用

教学要求

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数。

4．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

5．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理和柯西中值定理，并能利用定理求方程的根、证明不等式。

6．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

7．会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

8．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

教学重点

利用各种公式和法则求函数的导数、洛必达法则的应用、函数的单调性、极值和凹凸性的判定。

教学难点

隐函数的求导、由参数方程所确定的函数的导数、利用中值定理证明问题、泰勒公式的求法、进一步理解函数在区间上的性态。

教学内容

第一节一元函数的导数与微分

一、导数的概念

1.导数的定义；

2.左右导数；

3.可导与连续的关系；

4.求导举例；

5.导数的几何意义。

二、求导法则和基本求导公式

1.导数的运算法则；

2.反函数的求导法则；

3.基本求导公式；

4.复合函数求导法则；

5.隐函数和由参数方程确定的函数的导数；

6.高阶导数。

三函数的微分

1.微分的概念；

2.可导与可微的关系；

3.微分基本公式和运算法则；

4.微分在近似计算中的应用。

第二节导数的应用

一、微分中值定理

1.罗尔定理；

2.拉格朗日中值定理；

3.柯西中值定理；

4.泰勒公式。

二、洛必达法则

1.0

型和

∞

∞

型的极限；2.00

001∞

?∞∞-∞∞

，，，，型的极限。

三、函数的单调性、极值与最值

1. 函数的单调性；

2.函数的；

3.函数的最大和最小值。

四、曲线的凹凸性与拐点以及函数图象的描绘

1.曲线凹凸性及曲线拐点；

2.函数图象的描绘。

五、导数在工程技术中的简单应用。

一元函数微分学典型例题

一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα

● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→

一元函数微分学教案

第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左

第二章 一元函数微分学

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 000 ()() ()lim x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + ++→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - --→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-

一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0'x f x f ， 则在),0(+∞内有（ ） （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ） （A ）必要条件。 (B) 充分条件。 （C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。 答B 4．设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是

)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x

高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)

第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型

数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。

一元函数微分学综合练习题

第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤

自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.

第五章一元函数积分学 5.1 原函数和不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。 例：，sinx是cosx的原函数。 Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。 原函数存在定理：

如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。 简言之：连续函数一定有原函数。 问题：（1）原函数是否唯一？ （2）若不唯一它们之间有什么联系？ 例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx （C为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。 （2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数） 证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x） =f（x）=f（x）=0 ∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数） 不定积分的定义： 函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。 ,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。

例：求。 【答疑编号11050101】 解： 例：求。 【答疑编号11050102】 解： 积分曲线 例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。

【答疑编号11050103】 解：设曲线方程为y=f（x）, 根据题意知 即f（x）是2x的一个原函数。 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为y =x2+1。 函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。 不定积分的性质

高数2016寒假训练试卷一(一元函数微积分学与微分方程)答案

淮安现代教育2016年“专转本”高等数学寒假训练试卷一参考答案(一元函数微积分学与微分方程) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、（ B ） 2、（ B ） 3、（ C ） 4、（ A ） 5、（ C ） 6、（ D ） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、2ln 2 8、-2 9、-2 10、2 2sin x x dx - 11、1266 (cos sin )22 x y e C x C x =+ 12、 2π （注：原题须修改为 ( ) 2 2 201322arctan 4-+-? dx x x x ） 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：2 03 arcsin lim ln(1)tan(121) x x tdt x x →---? 解：原式2 03arcsin lim 41()(2) 2 x x tdt x x →'=-?-? 223300arcsin 211lim lim 8422x x x x x x x x →→??'=== 14、设函数)(x y y =由参数方程2 arctan ln(1) x t y t =??=+?确定，求2 2,dx y d dx dy 解：22 211124t dy dt t dx dt t dy t dx ++' == = 2 22 21 122(1)8t d y t dx +'==+ 15、求曲线1y y xe -=在点()0,1处的切线方程 解：方程两边对x 求导得: 0, 51y y y y e y e xe y y xe ''''--?==- 切线斜率01 x y k y e ==' == ， 则切线方程为:1y e x -=?，即:108ex y '-+= 16、设x y x =，求dy dx 解： ln 2x x x y x e '== ，()ln 1ln ln 18x x x dy e x x x x dx x ??'=+?=+ ?? ? 17、求微分方程()2 2210x dy xy x dx +-+=的通解 解：原方程可化为：2221 2x y y x x -'+ = ， 所以 通解22 2 216dx dx x x x y e e dx C x -??-??'=+ ???? ()222118-'=-+=-+ C x x x C x x 18、计算不定积分2 cos x xdx ? 解：2cos x xdx ?2222 (sin )sin sin ()sin 2sin 4x d x x x xd x x x x xdx '==-=-??? 22 sin 2(cos )sin 2(cos cos )x x xd x x x x x xdx =+=+-?? 2 sin 2cos 2sin 8x x x x x C '=+-+ 19、计算定积分 52 31 dx x +-? 解：令1x t -= ，则2 1,22x t dx tdt '=+= 5 222 121123 5 52(1)2[3l n (3)] 26l n 8 334 31''==-=-+=-+++-??? dx tdt dt t t t t x 20、利用函数的单调性证明不等式: 当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++> 证明：令()(1)ln(1)arctan 2f x x x x '=++- ，()2 22 11ln(1)ln(1)4111x x f x x x x x x +''=++-=+++++ 当0>x 时，()0f x '>，于是()f x 在()0,+∞内单调递增，且()f x ∞在[0,+)内连续， 所以()()00>=f x f ，因而有(1)(1)arctan 8x ln x x '++> 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 21、证明：方程4 410x x -+=有且仅有一个小于1的正实根 证明：(1)存在性：令4 ()41f x x x =-+，则()f x 在[0，1]上连续2' ()()010,120f f =>=-<，由零点定理知，()()0,10f ?∈=ξξ使 即方程4 410x x -+=有小于1的正实根5ξ' (2)唯一性：4 ()41f x x x =-+ ，()33 0,1()44=410x f x x x '∈=--当时，()<7' ()f x ∴在[0，1]上单调减少,故()0f x =在[0，1]上最多有一个实根

一元函数积分知识点完整版

一元函数积分知识点完整版

牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知?+=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 一．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在 ]1,0[上连续，A dx x f =?20)cos (π，则 ==?π 20)cos (dx x f I _______。 二．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑?=∞→--+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑?=∞→---+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5：

求∑=∞→+=n i n i n n i n w 12tan lim 三．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 四．考察分项积分方法 讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。 问题6： 求下列不定积分： dx x x ?++2cos 1cos 12 五．考察定积分的分段积分方法 讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。 问题7： 计算以下定积分： {}?-+22cos ,5.0min )1(ππdx x x 六．考察不定积分的分段积分方法 讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。 问题8：

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）

高数一元函数积分学习题及答案

第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F

《高等数学》(上)一元函数微分学复习题

《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：

基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法

第二章 解析函数

第二章 解析函数 §1 复变函数 一 、复变函数的概念 1． 定义：设D 为复平面上的点集，对?点D z ∈，按某种法则， 总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。 其中，称W 为像；Z 为原像。 若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。 2、复变函数与实变函数的关系 设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(， 即有????=?=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用 两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。 例：xy i y x Z W 2)(2 2 2 +-==???=-=?xy v y x u 22 2。 ??? ????+-=+=?+-+=+-===22 2 22222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w 3．关于映射的慨念 复变函数在几何上又称为映射（或变换）。这种函数关系要用两个平面来表示。 函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到 w 平面上的一个点集*G 。 例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .

第2章解析函数

第2章 解析函数 2．1 单项选择题 2-1 函数)(z f w =在0z 点可导是可微的（ ）。 （A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 2-2 复变函数)(z f w =在0z 点可导是连续的（ ）。 （A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件，也非必要条件 2-3 设),,(),()(y x iv y x u z f +=则在),(00y x 点，v u ,均可微是)(z f 在0 00iy x z +=点可微的（ ）。 （A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非必要条件，也非充分条件 2-4 )(z f 在000iy x z +=点可导的充分必要条件是（ ）。 （A ） 在),(00y x 点v u ,可导，且满足C-R 条件，既x v y u y v x u ??- =????= ??,在),(00y x 成立 （B ） ）点的一个邻域内可导在（00,)(y x z f （C ） 条件可微，且满足 ）点在（R C v u y x -,,00 （D ） 条件满足具有连续的偏导数，且）点在（R C v u y x -,,00 2-5 设那么（）。,2)(2 ix xy z f -= （A ）处处可微)(z f （ B ）处处不可导)(z f （C ）仅在原点可导 )(z f （D ）轴上可导仅在x z f )( 2-6 则 若,)( xy,y)(x, v ,0 x ,00 x ),(2 22 22 20iv u z f y y y x xy y x u o +===?????=+≠++=函数)(z f （ ）。 （A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点处处可导 （D ）处处可微 2-7 若 ). )((,)(z f z z f 则=

高等数学讲义-- 一元函数微分学

24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-

《高等数学》(上)一元函数积分学复习题(1)

《高等数学》（上）“一元函数积分学”复习题 1.求不定积分?dx x x 3cos sin . 2.求不定积分?+dx x x x 2)ln (ln 1. 3.求不定积分?-dx x x 2 2 1)(arcsin . 4..求不定积分?xdx 3sin . 5.求不定积分?+dx x 211 . 6.求不定积分?-dx x x 21. 7.求不定积分?-dx x x 92. 8.求不定积分?xdx x ln 2 9.求定积分? π20sin dx x . 10.求定积分?-+123)511(1dx x . 11.定积分?++4 01 22dx x x . 12.求定积分?--1145dx x x . 13.求定积分?+4 094dx e x . 14.求定积分?-121 221dx x x . 15.求定积分 ?21cos π xdx x . 16.求定积分?e xdx x 1ln . 17.若C e dx e x f x x +-=?--1 1 )(，则)(x f 等于多少？ 18.求?''dx x f x )(. 19.已知)(x f 的一个原函数为x 2ln ，求?'dx x f x )(. 20.设函数? =x x dt t f x F ln 1)()(，求)(x F '. 21.设函数? +=32411)(x x dt t x F ，求)(x F '. 22.计算极限x dt e x x x t x --?→002sin lim . 23.当k 为何值时，反常积分dx x x k ?+∞ 2) (ln 1收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？ 24.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成图形的面积. 25.求由曲线2,32x y x y =+=所围成图形的面积.

高数——一元函数积分学

一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义 函数)(x f 的全体原函数称为函数)(x f 的不定积分，记作 ?dx x f )(，并称? 微积分 号，函数)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。因此 ?+=C x F dx x f )()(， 其中)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。 基本积分公式（要求熟练记忆） （1）? =C dx 0 （2）)1(1 11 -≠++=+? a C x a dx x a a . （3） C x dx x +=?ln 1 . （4）C a a dx a x x += ?ln 1 )1,0(≠>a a （5）C e dx e x x +=?

（6）? +-=C x xdx cos sin （7）? +=C x xdx sin cos （8）C x dx x +=?tan cos 1 2. （9）C x dx x +-=?cot sin 1 2. （10） C x dx x +=-? arcsin 112 . （11） C x dx x +=+?arctan 11 2. 正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如C x a dx x a a ++=? +1 1 1理解为下面的结构式： 式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如： 正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。 2直接积分法 直接积分法是指用代数或三角恒等变形，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。 3换元积分法 换元积分法就是对不定积分 ?dx x f )(作适当的变量代换： 令)(u x ?=，或令)(x u ?=，把被积表达式变换成对新变量u 的函数，而对u 积分时是可利用基本积分公式的类型。这就 是换元积分法。 换元积分法的依据就是基本积分公式中的x 可以换成任意连续可导函数时，公式依然成立。例如：如： C x u x du x u +=+?)(arctan )()(11 2. 当用任意连续可导函数来替换)(x u 时，公式仍然成立，如)sin(x u =，x u ln =， x u sin =，)ln(sin x u =，等等，公式均成立： ()111. 1 d c αααα+=+≠-+? 341sin sin sin . 4x d x x c =+?