高中数学知识点易错点梳理
高中数学知识点易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特点即三性(确定,互异,无序); 集合
A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,那么x+y=
2． 研究集合,第一必须弄清代表元素,才能明白得集合的意义.
〔1〕〝集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2
+1,x ∈R},求M ∩N 〞；与〝集
合M={〔x,y 〕｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2
+1,x ∈R}求M ∩N 〞的区不.
〔2〕集合{}{}A B ==圆，直线，那么A B 中的元素个数是____个.你注意空集了吗？
〔3〕设()f x 的定义域A 是无限集，那么以下集合中必为无限集的有
①{|(),}y y f x x A =∈ ②{(,)|(),}x y y f x x A =∈
③{|()0,}x f x x A ≥∈ ④{|()2,}x f x x A =∈ ⑤{|
()}x y f x =
3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到〝极端〞情形：?=A 或
?=B ；求集合的子集B A ?时是否不记得A =?.
例如：()()012222
<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范
畴，你讨论了2a =的情形了吗？
4． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) , (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)； ,A B B B A A B B A B =??=??,
关于含有n 个元素的有限集合M , 其子集、真子集、非空子集、非空真
子集的个数依次为，n 2，1
2-n ，12-n .22-n
如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个？〔专门注意?〕
5． 解集合咨询题的差不多工具是韦恩图.
某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,咨询有多少种不同的选法？
6． 两集合之间的关系.},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==
7． 命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题. 〔1〕原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
〔2〕〝命题的否定〞与〝否命题〞的区不：____________________ 练习：
〔1〕命题〝异面直线,a b 不垂直，那么过a 的任一平面与b 都不垂直〞，求出该命题的否命题.
〔2〕命题〝2
,3x Q x ?∈=使成立〞，求该命题的否定.
〔3〕假设存在．．[1
3]a ∈，，使不等式2
(2)20ax a x +-->，求x 的取值范畴.
8、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯独性，映射与函数的关系如何？
例如：函数()x f y =与直线a x =的交点的个数有 个 9、函数的几个重要性质：
①假如函数()x f y =关于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f
〔2a-x 〕=f 〔x 〕，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③假设奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，那么()x f y =在区
间()0,∞-上也是递增函数．
④假设偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，那么()x f y =在区
间()0,∞-上是递减函数．
⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左
平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0( ()x f y =的图象沿x 轴向右平移 a 个单位得到的； 函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0( ⑥函数()y f x a =-+与函数()y f x b =+的图象关于直线2 a b x -=对称 例如：〔1〕函数()x f y =满足()()11f x f x +=-+那么关于直线 对称 〔2〕函数()1y f x =+与()1y f x =-+关于直线 对称 〔3〕函数2log 1y ax =-〔0a ≠〕的图象关于直线2x =对称，那么a= 〔4〕函数sin 3y x =的图象可由1cos3y x =-的图象按向量a = 〔a 最小〕平移得到. 10、求一个函数的解析式，你标注了该函数的定义域了吗？ 例如：〔1〕假设(sin )cos 2f x x =，那么()f x = 〔2〕假设3 311 ()f x x x x +=+ ，那么()f x = 11、求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？ 例如：〔1〕函数y= 2 )3lg()4(--x x x 的定义域是 ； 〔2〕函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 〔3〕函数(2)x f 的定义域是〔0,1],求2(lo g )f x 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域 12、你明白求函数值域的常用方法有哪些吗，含参的二次函数的值域、最值要记得讨论. 例如〔1〕函数()x f y =的值域是[b a ,]，那么函数()1y f x =-的值域是 〔2〕函数y x =-的值域是 〔3〕函数y x =+的值域是 〔4〕函数21 21 x x y -=+的值域是 13、 判定一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称．．．．．．．．．．．那个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 例如：〔1〕函数()2(0)f x x x =≥的奇偶性是 〔2〕函数()x f y =是R 上的奇函数，且0x >时，()12x f x =+，那 么()f x 的表达式为 14、依照定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可不忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法.在求函数的单调区间或求解不等式时，你明白函数的定义域要优先考虑吗？ 例如：〔1〕函数2 12 log (23)y x x =--的单调减区间为 〔2〕假设函数212 log (3)y x ax a =-+在区间[)2,+∞上是减函数，那 么实数a 的取值范畴是 〔3〕假设定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调增函数， 那么不等式()1f ()lg f x <的解集为 15、你明白钩型函数()0>+ =a x a x y 的单调区间吗？〔该函数在 (]a -∞-,和[ ) +∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(] a ,0上单调递减〕这但 是一个应用广泛的函数！ 例如：函数2 y = 的值域为 2y = 的值域为 16、幂函数与指数函数有何区不？ 例如：〔1〕假设幂函数()() () 2 23 2 33f x x α ααα--=-+是()0,+∞上的单调减 函数，那么α= 〔2〕假设关于x 的方程4210x x a a +++=有解，那么实数a 的取值范畴是 17、对数的换底公式及它的变形，你把握了吗？〔b b a b b a n a c c a n log log ,log log log == 〕你还记得对数恒等式吗？〔b a b a =log 〕 例如：〔1〕x 、y 、z ()0,∈+∞且346x y z ==，那么3x 、4y 、6z 的大小关系 可按从小到大的顺序排列为 〔2〕假设集合111log 2,23n A n n N ???? =- ≤≤-∈?????? ，那么A 的子集有 个 18、求解对数函数咨询题时，注意真数与底数的限制条件！ 例如：〔1〕方程1 22 log (2)x x -=+的解的个数是 〔2〕不等式(1)(1)log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是 19、〝实系数一元二次方程02 =++c bx ax 有实数解〞转化为〝042 ≥-=?ac b 〞，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，〝方程有解〞不能转化为042 ≥-=?ac b ．假设原题中没有指出是〝二次〞方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 函数( ) ()2 2 lg 111y a x a x ??=-+++?? 〔1〕假设函数的定义域为R ，求a 的 取值范畴是 〔2〕假设函数的值域为R ，求a 的取值范畴是 二．三角 1． 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公 式:_________________解题时本着〝三看〞的差不多原那么来进行:〝看角,看函数,看特点〞,差不多的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为 弦,用倍角公式将高次降次, 2． 在解三角咨询题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函 数在整个定义域内是 否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3． 在三角中，你明白1等于什么吗？ 〔2 2 1sin cos x x =+tan cot tan sin cos014 2 x x π π =?====这些统 称为1的代换) 常数 〝1”的种种代换有着广泛的应用．诱导公试：奇变偶不变，符号看象限 4． 在三角的恒等变形中，要专门注意角的各种变换．〔如 ,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβ α222 等〕 5． 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不 含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来〕 6． 你还记得三角化简的通性通法吗？〔切化弦、降幂公式、用三角公式转化 显现专门角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次〕；你还记得降幂公 式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2 x=(1-cos2x)/2 7． 你还记得某些专门角的三角函数值吗？会求吗？ 4 1 518sin ,42615cos 75sin ,4 2 675cos 15sin -=?+=?=?-= ?=? 练习： 〔1〕tan (0)b a a θ=≠是cos2sin 2a b a θθ+=的 条件. 解析： sin tan sin cos sin sin cos sin cos 1cos 2sin 2cos 2sin 222 b b a b a b a a a b a b a θθθθθθθθθθθθθ= ?=?=?=-?=?+= 反之，假设cos2sin 2a b a θθ+=成立，那么未必有tan ,b a θ=取 0,2 a π θ==- 即可，故为充分不必要条件 易错缘故：未考虑tan θ不存在的情形 〔2〕34 sin ,cos ,2525 θ θ==-那么θ角的终边在 解析：因为34sin ,cos ,2525θθ==-故2 θ 是第二象限角，即 22()2 2 k k k Z π θ πππ+< <+∈，故424()k k k Z ππθππ+<<+∈， 在第三或第四象限 以上的结果是错误的，正确的如下： 由34sin ,cos ,2525θ θ==-知322()42k k k Z πθπππ+<<+∈ 因此3424()2 k k k Z π πθππ+<<+∈，故在第四象限 易错缘故：角度的存在区间范畴过大 8． 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？ (lr S r l 2 1 ,= =扇形α) 9． 辅助角公式：()θ++= +x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象 限由a, b 的符号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起 着重要作用. 10. 三角函数〔正弦、余弦、正切〕图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x 值的集合吗？〔不忘了k ∈Z 〕 三角函数性质要记牢.函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质： 振幅|A|，周期T= ω π 2, 假设x=x 0为此函数的对称轴，那么x 0是使y 取到最 值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为 ， 当0,0>>A ω时函数的增区间为 ，减区间为 ；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论. 五点作图法：令?ω+x 依次为ππ ππ 2,2 3, ,2 求出x 与y ，依点()y x ,作图 练习： 如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处，〔1〕试确定在时刻 min t 时点P 距地面的高度； 〔2〕摩天轮转动的一圈内，有多长时刻点P 距地面超过70m ? 11.三角函数图像变换： 〔1〕将函数为()y f x = 的图像向右平移4 π 个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数cos 2y x =的图像，那么()f x = 〔2〕()2sin()2cos 6 f x x x π =+-的图像按向量m 平移得到()g x 的图像，假设()g x 是偶函数，求||m 最小的向量m 12.有关斜三角形的几个结论： 在Rt ABC ?中，2 2 2 ,,AC AD AB BC BD BA CD AD BD === 内切圆半径2 a b c r +-=〔S 为ABC ?的面积〕 在ABC ?中， ①sin()sin ,cos()cos ,A B C A B C +=+=- tan tan tan tan an tan A B C A t B C ++= sin cos ,cos sin 2222 A B C A B C ++== ②正弦定理 ③余弦定理 ④面积公式111 sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === ⑤内切圆半径2s r a b c =++ 13．在ABC ?中，判定以下命题的正误 〔1〕A B >的充要条件是cos2cos2A B < (2) tan tan tan 0A B C ++>,那么ABC ?是锐角三角形 〔3〕假设ABC ?是锐角三角形，那么cos sin A B < 三、数列 1．等差数列中的重要性质： 〔1〕假设q p n m +=+，那么q p n m a a a a +=+； 〔2〕仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S --数列； 〔3〕假设{n a }，{n b }是等差数列，,n n S T 分不为它们的前n 项和，那么 21 21 m m m m a S b T --=； 〔4〕在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其中一个思路是找出最后一正项〔负 项〕k a ，那么max(min)()n k S S = 练习： B ①在等差数列{n a }中，假设9418,240,30n n S S a -===，那么n = ②{n a }，{n b }差不多上等差数列，前n 项和分不为,n n S T ，且2132 n n S n T n -=+，那么 9 9 a b = ③假设{n a }的首项为14，前n 和为n S ，点1(,)n n a a +在直线20x y --=上，那n S 最大时，n = 2．等比数列中的重要性质： 〔1〕假设q p n m +=+，那么q p n m a a a a ?=?； 〔2〕k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列； 〔3〕假设{n a }是等差数列，那么{n a b }是等比数列，假设{n a }是等比数列且 0n a >，那么{log n a b }是等差数列； 〔4〕类比等差数列而得的有关结论 练习： ①假设{n a }是等比数列，4738512,124a a a a =-+=，公比q 为整数，那么 10a = ②数列{n x }满足 312 123135 21 n n x x x x x x x x n ==== ++++-，同时 128n x x x +++=，那么1x = ③等差数列{n a }满足 12212n n a a na b n +++=+++，那么{n b }也是等差数列，类 比等比数列{n A }满足 3．等差数列的通项，前n 项和公式的再认识： ①1(1)n a a n d An B =+-=+是关于n 的一次函数， ② 1() 2 n n n a a S n a += =中， ③2 n S An Bn =+ 等比数列呢？ 练习： 等比数列{n a }中，前n 项和1 23n n S r -=?+，那么r = 4．你明白 〝错位相减〞 求和吗？〔如：求1 {(21)33}n n --?-的前n 项和〕 你明白 〝裂项相消〞 求和吗？〔如：求1 { }(2) n n +的前n 项和〕 5．由递推关系求通项的常见方法： 练习： ①{n a }中，112,21n n a a a +==-，那么n a = ②{n a }中，1 112,22n n n a a a ++==+，那么n a = 〔注：关 系式中的2换成3呢〕 ③{n a }满足123,2a a ==且2121 2n n n a a a n n ++=-+ -，那么n a = ④{n a }满足11a =且2 12n n n a a a +=+，那么n a = ⑤{n a }满足12a =且1121 ()2 n n a a a a +=+++，那么n a = ， n s = 6．善于捕捉利用分项求和与放缩法使所得数列为等差等比数列再求和的机会 练习： ①正项数列{n a }中，111,21n n a a a +=<+，求证： 12 11 11 11112 n n a a a +++ >-+++ 分析：1111 11 2112(1)121 n n n n n n a a a a a a +++<+?+<+?> ++ 231211111111 ()()()111122222 n n n a a a +++>++++=-+++ ②{n a }中11 1,(2,)(1)! n a a n n N n +== ≥∈-，求证：1233n a a a a ++++< 分 析 ： 1 1111 (3) (1)!123(2)(1)(2)(1)21 n a n n n n n n n n = = <=-≥------- 12311111111133223 211 n a a a a n n n ++++≤++- +-++ -=-<--- 四、不等式 1、同向不等式能相减，相除吗？ 2、不等式的解集的规范书写格式是什么？〔一样要写成集合的表达式〕 3、分式不等式 ()() ()0≠>a a x g x f 的一样解题思路是什么？〔移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回〕 4、解指对不等式应该注意什么咨询题？〔指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.〕 5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一样是依照定义分类讨论) 6、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2 2?? ? ??+≤b a ab 等求函数的最值 时，你是否注意到a ，b + ∈R 〔或a ，b 非负〕，且〝等号成立〞时的条件，积 ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 7、) R b , (a , b a 2a b 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当 c b a ==时， 取等号〕； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222〔当且仅当c b a ==时，取 等号〕； 8、在解含有参数的不等式时，如何样进行讨论？〔专门是指数和对数的底 10<a 〕讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 9、解含参数的不等式的通法是〝定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨 论是关键．〞 10、关于不等式恒成立咨询题，常用的处理方式？〔转化为最值咨询题〕 五、向量 1．两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意b a λ=是向量平行的充分不必要条件.(定义及坐标表示) 2．向量能够解决有关夹角、距离、平行和垂直等咨询题，要记住以下公式：||2 =·，21 cos |||| a b a b x θ?= =+ 3．利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直咨询题能够不用讨论斜率不存在的情形，要注意： (1)0,( ,],0,,02 2 a b a b a b a b a b π π π?∈?=?<>= ?> ,[0,)2 a b π ?<>∈ 〔2〕0 4．向量的运算要和实数运算有区不：〔1〕如两边不能约去一个向量，即 a b a c ?=?推不出b c =，〔2〕向量的乘法不满足结合律，即 )()(?≠?， 〔3〕两向量不能相除. 5．你还记得向量差不多定理的几何意义吗？它的实质确实是平面内的任何向量都能够用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清晰吗？ 6．几个重要结论：〔1〕,OA OB 不共线，OP OA OB λμ=+，那么A ，P ，B 三点共线的充要条件是1λμ+=；〔2〕向量中点公式：假设C 是AB 的中点， 那么1 ()2 OC OA OB = +；〔3〕向量重心公式：在ABC 中，0OA OB OC ++=?O 是ABC 的重心. 例：设F 为抛物线2 4y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，假设 0FA FB FC ++=，那么||||||FA FB FC ++=__________. 7．向量等式OC OA OB λμ=+的常见变形方法：〔1〕两边同时平方；〔2〕两边同时乘以一个向量；〔3〕合并成两个新向量间的线性关系. 8．一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，关于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量. 例1．ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，求数量积,,OA OB OB OC OC OA . 例2．平面四边形ABCD 中，313,5,5,cos ,5 AB AD AC DAC ===∠= 12 cos 13 BAC ∠= ，设AC x AB y AD =+，求,x y 的值. 例3．如图，设点O 在ABC 内部，且有230OA OB OC ++=，那么 :AOC ABC S S = ____. 六、导数 1．导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形. 2．几个重要函数的导数： ①0' =C ,〔C 为常数〕 ②() ' 1(x x αααα-=为常数〕 ③' ()ln (0x x a a a a =>且1)a ≠ ④' 1 (log )(0ln a x a x a =>且1)a ≠ ⑤' ()x x e e = ⑥' 1(ln )x x = ⑦'(sin )cos x x = ⑧' (cos )sin x x =- 导数的四运算法那么 ①()()() ()()' ' 'f x g x f x g x ±=± ②()()' ' Cf x Cf x =????〔C 为常数〕 ③()()( ) ()()()()' ' 'f x g x f x g x f x g x ?=?+? ④()()()()()() () ()' ''2 (0)f x f x g x f x g x g x g x g x ???-?=≠???? 3． 利用导数能够证明或判定函数的单调性，注意当' ()0f x ≥或' ()0f x ≤， 带上等号. 例.20,a b =≠且关于x 的函数3211 ()32 f x x a x a bx = +?+?在R 上有极值，那么a 与b 的夹角的范畴为 4．0()0f x '=是函数f(x)在x 0处取得极值的必要非充分条件，f(x)在x 0处取得极值的充分必要条件是什么？ 5．求函数极值的方法： 〔1〕先找定义域，求导数()x f ' ； 〔2〕求方程()x f ' =0的根n x x x ,,,21 找出定义域的分界点； 〔3〕列表，依照单调性求出极值. ()f x 在0x 处的极值为A ，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值. 6． 利用导数求最值的步骤： 〔1〕求函数在给定区间上的极值； 〔2〕比较区间端点所对的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值. 7．含有参数的函数求最值的方法： 看导数为0的点与定义域之间的关系. 8．利用导数证明不等式()()f x g x >的步骤： 〔1〕作差()()()F x f x g x =-； 〔2〕判定函数()F x 在定义域上的单调性并求它的最小值； 〔3〕判定最小值0A ≥； 〔4〕结论：()0F x A >≥，那么()()f x g x >. 9．利用导数判定方程的解的情形. .函数()f x 在1x =处的导数为1，那么当0x →时(1)(1) 2f x f x +-趋近于 解析：由定义得当0x →时， '(1)(1)1(1)(1)11 (1)2222 f x f f x f f x x +-+?-=?=?=? 易错缘故：可不能利用导数的定义来解题. 例2.函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，其中,,a b c R ∈，当2 30a b -<时，() f x 在R 上的增减性是 解析：' 2 ()32f x x ax b =++，那么2 4(3)0a b ?=-<在R 上' ()0f x >，故是增函数. 易错缘故：不善于利用导函数的""?来判不单调性. 例3.假设函数3 '21()(1)53f x x f x x = --?++，那么'(1)f -= 解析：设32 1()53 f x x ax x =-++，那么'2()21f x x ax =-+.故 '(1)22f a -=+.由22a a =+知2a =-.有'(1)f -=-2. 易错缘故：可不能运用待定系数法解题. 例4.3 ()f x x x =-，那么当(0,2)x ∈时，()f x 的值域为 解析：'2 ()31f x x =-，令' ()03 f x x >?> ， ()f x ∴在区间2????上单调增，在区间????上单调减， ()f x ∴的值域为?? ???? . 易错缘故：求导之后判不单调区间时概念模糊. 七.概率: 1.古典概型和几何概型的区不. 例如:(1)任意取实数x ∈[1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为 (2)任意取整数x ∈[1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为 2．有关某个事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率，转化为假设干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率. 〔1〕假设A 、B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕； 〔2〕假设A 、B 对立，那么()1()P A P A =-. 3.概率题的解题步骤: (1)记事件 (2)交代总共结果数与A 事件中结果数(几何概率即D,d ) (3)运算 (4)作答 例如.1、在等腰直角三角形ABC 中， 〔1〕在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率； 〔2〕过顶点C 在ACB ∠内任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率. 2．在矩形ABCD 中，AB=5，AC=7，在矩形内任取一点P ，求0 90 APB ∠>的概率. 八、统计: 1.抽样方法要紧有简单随机抽样〔抽签法、随机数表法〕常常用于总体数目较少时，要紧特点是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，要紧特点是均衡分成假设干部分，每部分只取一个；分层抽样，要紧特点是分层按比例抽样，要紧使用于总体中有明显差异。它们的共同特点是每个个体被抽到的概率相等。 2.样本估量总体中:注意频率分布直方图的纵坐标常为频率/组距,小长方形的面积为其频率.总体特点数的估量: 121122......n n n x x x x x x x n ηηη+++= =+++〔i x 表示各组的组中值，i η表 示各组的频率〕 ()() () 2 2 2 1 2 2 ...n x x x x x x s n -+-++-= s = 3.线性回来方程: 步骤:(1)由散点图初步判定是否线性相关; (2)列表求值; (3)代入运算; (4)交代结论 4.回来分析: (1)相关系数 r 具有如下性质:1r ≤,同时r 越接近于1,越接近于0,线性相关程度越 (2)相关性检验步骤 ①提出统计假设0H ：变量,x y 不具有相关关系； ②运算出r 的值； ③与临界值0.05r 比较〔0.05r 依照95%的要求与n-2查表可得〕； ④作出统计推断：假如0.05r r >讲明 假如0.05r r <讲明 5.独立性检验 〔1〕2 χ= ，2 χ越大讲明X 与Y 〔2〕独立性检验的步骤 ①假设0H ②运算2χ ③与临界值比较 ④作出推断 九、立体几何: (1) 有关平行垂直的证明要紧利用线面关系的转化:线//线?线//面?面//面, 线⊥线?线⊥面?面⊥面,垂直常用向量来证. (2) 斜三棱柱的相邻侧面组成的三个二面角中有两个分不为300和700,那么 第三个二面角的大小为 . 解析:作斜三棱柱的直截面,那么第三个二面角的大小为800. 易错缘故:不明白作直截面. (2) 常见几个几何体的三视图,你都熟悉吗? 请依照以下几何体的三视图画出该几何体: ① ② ③ (3) 立体几何中的位置关系,你都搞清晰了吗? 1. 假设α?⊥⊥n m n l m l ,,,,那么α⊥l ( ) 2. 假设,,//α?n n m 那么α//m ( ) 3. 假设,,,αα?⊥⊥n m n m 那么α//n ( ) 4. 假设,,,βαβα⊥⊥⊥n m 那么n m ⊥ ( ) 5. 假设n m ,是异面直线,,//,,ββαm n m ??那么α//n ( ) 6. 通过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ( ) 7. 假设,,βα⊥⊥l l βα,是两个不同平面,那么βα// ( ) 8．过平面α外两点，有且仅有一个平面与α垂直〔 〕 9．假设l 上有两点到α距离相等，那么α//l 〔 〕 10．假设αββ?n m n m ,,//,//，那么βα//〔 〕 11．假设βαβα//,//,n m ⊥，那么n m ⊥〔 〕 12．假设,//,//,αβαm n m ⊥那么β⊥n 〔4〕这些公式，你记住了没有？ 1．, 2 1,ch s ch s =正棱锥侧直棱柱侧＝ 〔c ：底面周长，h ：高，,h ：斜高〕 ,,)(2 1 h c c s += 正棱台侧 〔c 与, c ：上下底面周长，,h ：斜高〕 2．rl s π2=圆柱侧 rl s π=圆锥侧 l r r s )(, +=π圆台侧 〔r ：底面半径， l ：母线长〕 3．sh V =柱体 sh V 31=锥体 )(3 1 ,,ss s s h V ++=台体 4．33 4 r V π= 球 24r S π=球 十、解析几何 1．设直线方程时，一样可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情形？〔例如：一条直线通过点?? ? ? ?- -23,3，且被圆2522=+y x 截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程.该题就要注意，不要 漏掉x+3=0这一解.〕 2．倾斜角的范畴： ；两直线夹角的范畴： ；两向量夹角的范畴： 〔1〕假设a R ∈，那么直线cos 10x y α+-=的倾斜角的取值范畴是 解析：cos 1y x α=-+，设倾斜角为θ，那么tan cos θα=-， 由cos 1α≤知1tan 1θ-≤≤，故30,,44ππ θπ???? ∈????? ???? . 易错缘故：①倾斜角明白得有误；②误以为倾斜角为3,44ππ?? ? ?? ?. 〔2〕直线l 过点〔-4，-1〕，横截距是纵截距的两倍，那么直线l 的方程是 解析：设直线方程为12y x a a +=， 直线l 过点〔-4，-1〕，有14 12a a --+=，故3a =-，那么直线l 的方程为 260x y ++=. 易错分析：错了！！！遗漏了直线过原点的情形，正确答案是1 4 y x =或 260x y ++=. 〔3〕过点P 〔1，1〕作直线l ，设l 与两坐标轴围成的三角形的面积为10，如 此的直线有 条. 解析：设直线方程为1(1)y k x -=-，那么在,x y 轴上的截距分不为 1 ,1k k k -- 111102k S k k -∴=?-=，k 有4解，故有4条. 易错缘故：距离与截距概念模糊. 3．直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一样式．以及各种形式的局限性.〔如点斜式不适用于斜率不存在的直线〕 4．对不重合的两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ???≠=?1 2211 22 121//C A C A B A B A l l ； 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0. 6．直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可设为 1x y a a +=，但不要不记得当 a=0时，直线y=kx 在两条坐标轴上的截距差不多上0，也是截距相等． 7． 两直线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 的距离公式d= 8．直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L 的方向向量为=〔x 0，y 0〕时，直线斜率k= ；当直线斜率为k 时，直线的方向向量m = 9．两直线分不过〔-2，3〕和〔3，-2〕，假设这两条直线分不绕者这两个点旋转且保持平行，那么这两条直线间的距离的取值范畴是 解析：这两条直线间的距离最大为d =( 错误缘故：未注意〝保持平行〞. 10．处理直线与圆的位置关系有两种方法：〔1〕点到直线的距离；〔2〕直线方程与圆的方程联立，判不式. 一样来讲，前者更简捷． 11．过直线y x =上的一点P 向圆C ：2 2 670x y x +-+=作切线，那么切线长的最小值为 解析：P 点在哪里切线长最小呢？ 设(,)P x y ，切点为A ，那么在Rt PAC ?中，2 2 2 PC AC PA -= 22235 (3)22()22 x x x ∴-+-=-+ ∴当P 在点33,22?? ??? 4切线长最小，为2. 易错缘故：找不到等量关系：2 2 2 PC AC PA -=. 12．处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系. 15．在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形同时要更多联想到圆的几何性质. 13．在求圆的方程及圆的切线方程时，不妨回忆一下其几何作图方法.专门是三角形的外接圆、内切圆的作法，两圆内外公切线的作法. 14．垂径定理的几种形式：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直平分弦的直线过圆心. 15．圆的切线的判定：①圆心到直线的距离等于圆的半径；②通过半径外端垂直于半径的直线；③直线与圆的方程联立0?=. 16．在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个定义常常结伴而用，有时对我们解题有专门大的关心，有关过焦点弦咨询题用第二定义可能更为方便.〔焦半径公式：椭圆：|PF 1|=———— ；|PF 2|=———— ；双曲线：|PF 1|=———— ；|PF 2|=———— 〔其中F 1为左焦点F 2为右焦点 〕；抛物线：|PF|=|x 0|+ 2 p 〕 17．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判不式0≥?的限制．〔求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性咨询题都在0>?下进行〕. 18．椭圆中，a ，b ，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为———— 双曲线中，a ，b ，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为———— 19．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 20．你明白吗？解析几何中解题关键确实是把题目中的几何条件代数化，专门是一些专门不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆通过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦咨询题等.圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决咨询题时专门方便.数形结合是解决解几咨询题的重要思想方法，要记得画图分析哟！ 21．你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区不的.求轨迹方程可不忘了寻求范畴呀! 〔1〕1F 是椭圆 22 1259 x y +=的一个焦点，M 在椭圆上，假设12MF =，N 是线段1MF 的中点，那么|ON|的长度是〔O 是原点〕 解析：考虑椭圆的定义，利用三角形的中位线，|ON|=4 易错缘故：找不到快速解题的思路，关于三角形的中位线应用不熟练. 〔2〕过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60? 的直线交椭圆于A 、B 两点，假设|FA|=2|FB|，那么椭圆离心率为 解析：作图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，可知E 为AC 的中点. 1cos6033AE DB AB BF e ? = = = ，故23e =. 易错缘故：应用定义解题不够熟练，构造三角形ABE 有困难. 〔3〕假设点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的一点， 且12121 0,tan 2 PF PF PF F ?=∠= ，那么椭圆离心率为 解析：120PF PF ?=? 12PF F ?为直角三角形. 又121 tan 2 PF F ∠=，那么122PF PF =，设12PF x =，那么125F F x = 故e = . 易错缘故：①12PF F ?为直角三角形；②121 tan 2 PF F ∠= 未用好. 〔4〕点1F 、2F 为椭圆2 214 x y +=的焦点，假设P 为椭圆上的点，当12PF F ?的面积为1时，12PF PF ?的值为 解析：猜想120PF PF ?=，然后验证现在 12PF F ?的面积为1，这种考虑抓住了填空题的专门性，假设设(2cos ,sin )P θθ，由点到直线的距离公式求 12PF F ?的高，同样能够完成解答. 易错缘故：找不到解题的捷径. 〔5〕椭圆2 2 1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m 的值为 解析：将椭圆方程转化为标准形式，注意焦点在y 轴，故1 4 m = 易错缘故：未考虑 1 1m >的条件. 附加题 ( 二项式定理,概率) 1.分类加法原理〔加法原理〕 12n N m m m =+++. 2.分步计数原理〔乘法原理〕 12n N m m m =???. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m n ≤)．注:规定 1!0=. 4.排列恒等式 〔1〕11m m n n A nA --=；〔2〕11n n n n n n nA A A ++=-；〔3〕1 1m m m n n n A A mA -+=+； (4) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-. 5.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N * ，m N ∈，且 m n ≤). 6.组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1 -m n C =m n C 1+；注:规定10 =n C . 7.组合恒等式 〔1〕11m m n n n C C m --=； 〔2〕∑=n r r n C 0 =n 2； 〔3〕 1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； (4)135 02412n n n n n n n C C C C C C -+++ =+++ = 8.排列数与组合数的关系：m m n n A m C =?！ . 9.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 例题：函数为实数并且是常数a x a x f ()( )(9+=) 〔1〔2解析〔 〔2〕10 ∴ 20当0=a 时，不成立 30当1- 4 ≥≥ x f a 时 另解法 34322)(a x x x a x x a x g ≥++ =+= 只需9 4,34331 3≥≥?a a 即 10.等可能性事件的概率()m P A n = . 11.互斥事件A ，B 分不发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 12.n 个互斥事件分不发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 求：(1)至多有2个人排队的概率； (2)至少有2人排队的概率． 解析:(1)设没有人排除为事件A ，1个人排队为事件B ，2个人排队为事件C ，那么P (A )=0.1, P (B )=0.16, P (C )=0.3，依题意A 、B 、C 彼此互斥，因此至多2个人排队的概率为: P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)设至少2个人排队为事件D ，那么D 为至多1个人排队，即D =A +B ，因此 P (D )=1-P (D )=1-P (A +B )=1-［P (A )+P (B )］=1-(0.1+0.16)=0.74. 13.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B). 14.n 个独立事件同时发生的概 率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 15.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=- 16.离散型随机变量的分布列的两个性质：〔1〕0(1,2, )i P i ≥=；〔2〕 121P P ++ =. 17.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++ ++ 18.数学期望的性质 〔1〕()()E a b aE b ξξ+=+.〔2〕假设ξ～(,)B n p ,那么E np ξ=. (3) 假设ξ服从几何分布,且1 ()(,)k P k g k p q p ξ-===，那么 1E p ξ= . 19.方差()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+ 例题.设b 和c 分不是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方 程2 0x bx c ++=实根的个数〔重根按一个计〕． 〔1〕求方程2 0x bx c ++=有实根的概率； 〔2〕求ξ的分布列和数学期望； 〔3〕求在先后两次显现的点数中有5的条件下，方程2 0x bx c ++=有实根 的概率． 解析: 〔1〕差不多事件总数为6636?=， 假设使方程有实根，那么240b c ?=-≥ ，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =；当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =；当5c =时，5,6b =；当6c =时，5,6b =, 目标事件个数为54332219,+++++= 因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为19 .36 (2) 由 题 意 知 ， 0,1,2 ξ=，那么17 (0)36 P ξ==， 21(1),3618P ξ== =17(2)36 P ξ==， 故ξ的分布列为 ξ的数学期望 17117 012 1.361836 E ξ=? +?+?= (3)记〝先后两次显现的点数中有5”为事件M ，〝方程20ax bx c ++= 有实根〞 为事件N ，那么11()36P M = ，7 ()36 P MN =， ()7 ()()11 P MN P N M P M = =. 例题：袋中装有3个白球和4个黑球，现从袋中任取3个球，设ξ为所取出的3个球中白球的个数． 〔I 〕求ξ的概率分布； 〔II 〕求E ξ． 解：〔I 〕ξ的可能取值为0，1，2，3. ∵P 〔ξ＝0〕＝3 437 C C ＝4 35； P 〔ξ＝1〕＝12 343 7C C C ＝18 35； P 〔ξ＝2〕＝21 343 7 C C C ＝12 35； P 〔ξ＝3〕＝30 343 7 C C C ＝1 35. ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P 17 36 118 1736 高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论 了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几 种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 高一数学知识点梳理最新五篇 高一数学知识点总结1 如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系? 平行或异面。 若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 无数条;平行。 如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相 交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么? 平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。 综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么 结论? 如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 高一数学知识点总结2 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的 元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当 于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如： A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法 叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的 元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 3.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭 的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。集合 自然语言常用数集的符号： (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记 作N;不包括0的自然数集合，记作N_ (2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数 集内也排除0的集，称负整数集，记作Z- (3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-) (5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-) (6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律 A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根 律集合 Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研 究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A 的元素个数记为card(A)。 高二数学易错知识点归纳五篇 高二这一年，是成绩分化的分水岭，成绩会形成两极分化：行则扶摇直上，不行则每况愈下。下面就是给大家带来的高二数学知识点，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点1 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R) ②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 2.不等式的证明方法 (1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号. (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法. (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等. 高二数学知识点2 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及 高中数学高考易错知识点归纳 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊 情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式。因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况。 忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件。如在双 曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|。如果不满足第一 个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是 双曲线的一支。 误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次 方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项 系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行或重合，也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系。在直线 与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其 特殊性。 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解 “分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质 特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基 本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理。 排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性 的是组合问题。 混淆项系数与二项式系数致误 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。 （1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 （3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。 二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句： 直到型 当型 注意：提示内容用双引号标明，并 与变量用分号隔开。 三，算法案例 1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数 ２１４６＝１８１３×１＋３３３ １８１３＝３３３×５＋１４８ ３３３＝１４８×２＋３７ １４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。 为最大公约数 2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 改写成 1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++++ 再由内及外逐层计算。 4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。 1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=104 2）例：将十进制数１０４化为三进制数 １０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位 ３４＝３×１１＋１ １１＝３×３＋２ ３＝３×１＋０ １＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止 １０４=(3)10212 第二章 统计 一，随机抽样 1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等 2，随机数表法的步骤： 1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。 3，系统抽样的步骤： 1）编号； 2）分段（若样本容量为n ，则分为n 段）；分段间隔N k n = ，若N n 不是整数，则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照 一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。 4，分层抽样的步骤： 1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简单随机抽样，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。 5，三种抽样方法的异同点 直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 § 高中数学易错知识点梳理 高中数学易错知识点梳理 集合与简单逻辑 第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此对于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种情况出现。在实际解题中，如果考生思 维不够缜密，就有可能忽视第三种情况，导致结果出错。尤其是在 解含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某个范围内取值时 所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊集合，考生因思 维定式遗忘集合导致结果出错或不全面是常见的错误，一定要倍加 当心。 第二、忽视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响最大，尤其是带有字 母参数的集合，实际上就隐含着对考生字母参数掌握程度的要求。 在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再一一具体解决。 在否定一个命题时，要记住“全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题”的规律。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，不是“a，b都是奇数”。 第四、充分必要条件颠倒两个条件A与B，若A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;若B=>A成立，则A是B的必 要条件，B是A的充分条件;若A<=>B，则AB互为充分必要条件。考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充分性与必要性，一定 要根据充要条件的概念作出准确的判断。 第五、逻辑联结词理解不准确 p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真); p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假); ┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。 函数与导数 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。 抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成 立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 人教版高中数学知识点（必修＋选修） 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子 集，它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧?高中数学知识点易错点梳理
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