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复旦《数学分析》答案第四章1、2节

第四章微分

习题 4.1 微分和导数

⒈ 半径为

1cm 的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm 的铜，试用求微

分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/3cm 。）解球体积3

π=，每只球镀铜所需要铜的质量为

.142

≈?≈?=r r V m ρπρg 。

⒉ 用定义证明，函数y x =

在它的整个定义域中，除了x =0

这一

点之外都是可微的。证当0x =时，32

y ?=?是x ?的低阶无穷小，所以y

x =

在0x =不可

微。当0x ≠时，

(),

y x x o x ?===

=+?

所以y

x =

在0x ≠是可微的。

习题 4.2 导数的意义和性质

1．设'f x ()0存在，求下列各式的值： ⑴ lim

()()

???x f x x f x x

→--0

00；

⑵ lim

()()

x x f x f x x x →--0

；

⑶

lim

()()

h f x h f x h h

→+--0

00。

解 (1))(')

()

())((lim

)

()(lim

0000

000

x f x x f x x f x

x f x x f x x -=?--?-+-=?-?-→?→?。

⑵ )(')

())((lim

)

()(lim 00

0000

000

x f x x x f x x x f x x x f x f x x x x =---+=--→-→。

⑶

h x f h x f h )

()(lim

000

--+→

)

('2)

()(lim

)

()(lim

0000

000

x f h

x f h x f h

x f h x f h h =----+=→→。

2． ⑴ 用定义求抛物线y x x =+-2312的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点(,)--12处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(,)-21处的法线方程；

⑷ 问该抛物线上是否有(,)a b ，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为

x x x

x x x x x x x

y ?++=?-+--?++?+=

??234)

132(1)(3)(22

，所以

34lim

)('0

+=??=→?x x

y x f x 。

(2)由于1)1('-=-f ，切线方程为1[(1)](2)3y x x =-?--+-=--。 (3)由于

5)2('-=-f ，法线方程为17[(2)]15

x y x +=-

--+=

-。

(4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可

知不存在x ，使得∞=)('x f ，所以这样的点(,)a b 不存在。 3．设)(x f 为),(+∞-∞上的可导函数，且在0=x 的某个邻域上成立

)(8)sin 1(3)sin 1(x x x f x f α+=--+，

其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小。求曲线)(x f y =在))

1(,1(f 处的切线方程。解记)sin 1(3)sin 1()(x f x f x F --+=，

可得0)1(2)(lim 0

=-=→f x F x ，即0)1(=f 。

由0

()8()

lim

x x F x x x x

α→→+==与

00()(1sin )(1)sin (1sin )(1)sin lim

lim 3lim 4'(1)sin sin x x x F x f x f x f x f x f x

x x x x →→→+---????

=?-?=???????

?，

得到2)1('=f 。于是曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为)1(2-=x y 。

4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反

射光必定经过它的另一个焦点。（见图4.2.5）

证设椭圆方程为

012

2>>=+

b a b

y a

x ，，焦点坐标为

),0,(b

a c c -=

±。假设),(00y x 为椭圆

上任意一点，当00=y 时结论显然成立。现设00≠y ，则过此点的切线

斜率为0

202

tan y a x b -

=θ

，),(00y x 与焦点)0,(c -连线的斜率为c

x y +=001tan θ，此连线与切线夹角的正切为θ

θθθtan tan 1tan tan 11+-=

。利用2

a c -=和

20=+

y a

x 代入计算，得到

22222

222

00000022

000

200

()1y b x x c a y a y b x cx b

a b cx b

k y b x a b x y a cy c x y a cy cy x c a y +

++++=

-++-

?+。

),(00y x 与另一焦点)0,(c 连线的斜率为c

x y -=

002tan θ，此连线与切线

夹角的正切为

00222222

222

0000

022

000

tan tan 1tan tan ()1b x y a y x c cx b a y b x cx b a b

y b x a b x y a cy c x y a cy cy x c a y θθθθ--

-----=

=+----

?-。

由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。 5．证明：双曲线xy

a =2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三

角形的面积恒为22

a 。

证假设),(00y x 为双曲线上任意一点，则2

y x =，过这一点的切线斜

率为0

'x y x a

y x

=，切线方程为

)(00

00x x x y y y --

=-，

易得切线与两坐标轴的交点为)2,0(0y 和)0,2(0x 。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为

000022)2)(2(2

y x x y S ===

。

6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。

⑴ y =|sin |x ；

⑵ y

=-1cos ；

⑶ y

x =-e ||；

⑷ y x =+|ln()|1.

解（1）对y =()|sin |

f x x =，当0=x 时，

1sin lim

0sin ||sin |lim

)0(00'

=??=?-?=+

→?+

→?+x x x

x f x x ， '

00|sin ||sin 0|

sin (0)lim

lim

1x x x x

f x

x -?→-

?→-

?--?===-??，

所以0=x 是不可导点。又由于函数y 是周期为π的函数，所有不可导点为)(Z k k x ∈=π，且1)(-='-πk f ，

1)(='+πk f 。

（2）y

=()f x =

x ==

，由（1）可知不可导点

为)(2Z k k x ∈=π

，且经计算得到

(2)2

f k π-'=-

，(2)2

f k π+'=

。

（3）||

()e

x y f x -=

=不可导点只有0=x ，且

lim

)0(0'-=?-=?-+

→?+

f x

x ，11

lim

)0(0'=?-=?-

→?-

f x

x 。

（4）()y f x =

=)1ln(+x 不可导点只有0=x ，且

00|ln(1)|ln 1ln(1)

(0)lim lim

1x x x x f x

+?→+

?→+

?+-?+===??， '00|ln(1)|ln 1

ln(1)

(0)lim

lim 1x x x x f x

x -?→-

?→-?+--?+===-??。 7．讨论下列函数在x

=0处的可导性：

⑴ ??

?=≠>=+;

0,0)0(,sin ||11x x a x y x

a ⑵ y x x ax

b x =>+≤??

?200,,,

;

⑶

y x x ax x x =>≤???e ,

;

002

⑷

y x x a

x =≠=??

???e ,,,

2000

解（1）10

||sin

1lim

lim

lim ||sgn()sin 0

a x x x x y x x x x

x +?→?→?→????==??= ????

?，所以函数

在0=x 可导。

（2）如果函数在0=x 可导，则必须在0=x 连续，由b

f f ==+)0()0(可得0=b 。当0=b 时，00lim

)0(2

=?-?=+

→?+

x f

x ，a

x a f x =?-?=-

→?-0lim

)0(0'

，

故当0==b a 时函数在0=x 可导，其他情况下函数在0=x 不可导。（3）由于

lim

)0(0'=?-?=?+

→?+

f x

x ，)

0(00lim

)0('

0'+-

→?-

≠=?-?=f x

x a f x ，

故函数在0=x 不可导。

（4）当0a ≥时函数在0=x 不连续，所以不可导；当0a <时，

0lim

lim

x x x y e x

??→?→?-==??，所以当0

8．设f x ()在x =0处可导，在什么情况下，|()|f x 在x =0

处也可导？

解当0)0(≠f 时，不妨设0)0(>f ，则在x =0的小邻域中有0)(>x f ，

故)(|)(|

x f x f =，所以|()|f x 在x =0处也可导。

f x f f x f x x x --=

--，

分别在x

处计算左、右极限，得到|()|f x 在x

处的左导数为

|'(0)|f -，右导数为|'(0)|f ，所以|()|f x 在x =0处也可导的充分必要条

件是'(0)0f =。

9．设f x ()在[,]a b 上连续，f a f b ()()=

=0，且0

)()(>'?'-+b f a f ，证明f x ()

在(,)a b 至少存在一个零点。

证由题设知)(a f +'和)(b f -'同号，不妨设两者都为正数。由于

()()

()()lim

lim

x a x a f x f a f x f a x a

x a

+→+

→+

-==>--，可知存在11()x a x b <<，0)(1>x f 。

同理由于'()()

()()lim

lim

x b x b f x f b f x f

10．设f x ()在有限区间(,)a b 内可导，

⑴ 若lim

()x a f x →+=∞，那么能否断定也有lim

()x a f x →+'=∞？ ⑵ 若lim

11．设函数)(x f 满足0)0(=f 。证明)(x f 在0=x 处可导的充分必要条件

是：存在在0=x 处连续的函数)(x g ，使得)()(x xg x f =，且此时成

0=x 处可导，且成立)0()0(g f ='。

()(x f x x x f x g ，则)()(x xg x f =，且

()(0)

lim ()lim

'(0)(0)x x f x f g x f g x

→→-===，即)(x g 在0=x 处连续。

复旦考研数学分析试题

09复旦数学分析考研试题一、数学分析(90) 1. 计算(每个6分) （1）设∑为：222 4(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑ ??=_______。（2） 13 20 (1)(1)x dx x x ++?=_______。（3） ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠， '()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。（填某个值或不一定存在或无法确定）（5） 1sin 2009k xk k α π∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。 2. 证明（每个15分）（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ?上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-= 证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上连续。（2）21sin()n n n a a a n -=- 求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d ()()b d d b a c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+???? （4）()f x 定义在区间(,)a b 上，对任一(,)x a b ∈

0()()lim 0y f x y f y y →+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。二、常微分方程（30）已知2 (,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了）和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*] （1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。（或者是0δ的值，具体不是很清楚）（只要明白首次积分的概念就能做的题目）（2）证明解对参数的连续性（3）求系统[*]在0λ>，0δδ<时在李亚普诺夫意义下的稳定性。三、实变函数（30） 1. 叙述积分的法杜（Fatou ）引理。（10分） 2. （20分）{()}n f x 为定义在可测集上的可测函数列，{()}n f x 在勒贝格测度意义下收敛于()f x 求证：（1）存在子列{()}k n f x 1()k k n n +<，满足 12k k mE <，1{:|()()|}2k k n k E x E f x f x =∈-≥ （2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x 。（这个整个是一个定理，分成两步证明了。Rieze 引理）

欧阳光中数学分析答案

欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的

数学分析上

数学分析（I ）（周课时5加习题课时2）（共80课时）（1）集合与函数（6课时）实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。（2）数列极限（12课时）数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。 ????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。（3）函数极限（10课时）函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。（4）函数的连续性（14课时）函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。（5）极限与连续性（续）（15课时）实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。（6）导数与微分（8课时）引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似

夏之舟致数学分析、高等代数、解析几何的新人们(数学分析篇)

作者 : 数学贝壳致数学分析、高等代数、解析几何的新人们各位2012级的新同学们：从9月10号起你们就正式进入大学数学的学习了。一开始你们就遇到了数学专业的三座大山：数学分析、高等代数、解析几何。数学分析不仅是分析学的基础，也是后续许多课程包括常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数等等的基石。而高等代数，则是代数学的引路，之后的抽象代数，矩阵论，群论，数值代数都是它的衍生品，你看似简单的解析几何，高等几何是之后微分几何，微分流形，代数几何的先修课，著名的华裔数学家丘成桐先生也因为在微分流形的杰出贡献被授予数学界的诺贝尔奖——沃尔夫数学终身成就奖。不知道大家在上了各门课的第一堂课后有什么样的感受？是一下子懵了，还是兴致勃勃？作为一个过来人，希望给大家一些经验，如何学好这些课，选择一些什么样的素材来补充自己。文章写的比较长，希望大家有耐心看完。我想会对你非常有帮助。数学分析篇一、一些还不错的教材直接进入主题——好的教材是相当重要的。所以让我们从教材开始。先说说国。应当来说国公认的比较好的数学分析教材一共有三套，这里只介绍两套。1.《数学分析》，华东师大学数学系，高等教育这套教材也是北科大数学系一直使用的课本（不过听说自2011级开始理科实验班换成了《数学分析》，忠，高等教育，个人对这套教材保留意见）。这本教材堪称数学分析的经典，如果我没有记错第一版发行于1978年，已经有四十多年的历史，现在最新的是第四版。这么长时间，经久不衰是其品质最好的检验。就难度而言，这本教材应该算中上。第三版第四版就知识结构来说没有什么大的变动，小的变动可以看书的第四版的前言。但是，在课后题，例题上有了较大的更新，丰富了题目的数量与质量（一些题都是吉米多维奇《数学分析习题集》里的题目，另一些题是一些高校的考研试题）。所以要学好数学分析，先必须搞懂课本知识，把每个题目做会了，做出感觉来，这样算进入成功入门的第一步了。 2.《数学分析》，复旦大学纪修，高等教育这本教材被总体上与华师大介绍的容一样，但是在顺序上有所不同。除此之外比较明显的一点，加强了向量函数的概念，介绍了梯度散度这些在华师大的书里选学的容。难度上来说两本书差不多。据说复旦大学数学系的同学就是用的这本书。

复旦版数学分析答案全解ex14-4

习题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分：（1）1-形式； dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos ?=ω；（3）2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。（2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。（3）=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式，求d ω。解设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ，则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则 032==ωωd d ，从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数的函数，，，试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω，使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。解由题意，可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′，所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设（∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证明

数学分析复旦大学第四版大一期末考试

数学分析复旦大学第四版大一期末考试一、填空题（每空1分，共9分） 1. 函数()f x = 的定义域为________________ 2.已知函数sin ,1 ()0,1 x x f x x ??=?-?? ==??-

复旦大学数学分析课后习题解陈纪修

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第一章第1节 4．（1）{}32|≤<-x x ；（2）{}00|),(>>y x y x 且；（3）{}Q x x x ∈<<且10|；（4）? ????? ∈+=Z k k x x ,2|ππ. 7．（1）不正确。B x A x B A x ?????或者；（2）不正确。B x A x B A x ?????并且. 第2节 2．（1）]1,0[],[:→b a f .a b a x y x --=α （2）),()1,0(:+∞-∞→f ])21tan[(π-x x α 3．（1）)3(log 2-=x y a ，定义域：()() +∞-∞-,33,Y ，值域：),(+∞-∞；（2）x y 3arcsin =，定义域：(]0,∞-，值域：?? ? ??2,0π；（3）x y tan =，定义域：?? ? ?? +-∈2,2ππππk k Z k Y ，值域：[)+∞,0；（4）1 1+-=x x y ，定义域：()[)+∞-∞-,11,Y ，值域：[)()+∞,11,0Y . 5．（1）定义域：()ππ)12(,2+∈k k Z k Y ，值域：(]0,∞-；（2）定义域：??? ???+-∈22,22ππππk k Z k Y ，值域：[]1,0；

（3）定义域：[]1,4-，值域：?? ????25,0；（4）定义域：()()+∞∞-,00,Y ，值域：??? ????+∞,2233. 7．（1）9777212)(23-+-=x x x x f ；（2）1 412)(-+= x x x f 。 8．（1）2 1)(++=x x x f f ο； 3 22)(++=x x x f f f οο； 5 332)(++=x x x f f f f οοο。 9．2)()()(x f x f x f -+=2)()(x f x f --+，2)()(x f x f -+是偶函数，2)()(x f x f --是奇函数. 10．[](](] ???????∈+-∈-∈+-=4,3823,1252 31,034x x x x x x y 11．[](]???????∈-+-∈=2,1122 12,12122x x x x x y 12．[](](]?? ???∈-∈-∈=11,92.112118.13329,598 985,04.78)(x x x x x x x P 13．???-=为无理数为有理数x x x x x f 1)(

复旦大学第三版数学分析答案

一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分） 1．当 = 时，分式的值为零. 2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为． 3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数． 4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是(填“甲”或“乙”)． 5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形． 6．计算． 7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是． 8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1， ?则AD=______． 9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴，且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为．二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分） 11．下列运算中，正确的是 A． B． C． D． 12．下列说法中，不正确的是 A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一 C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 13．能判定四边形是平行四边形的条件是 A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等 C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等 14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是 A．1 B．2 C．3 D．4

数学分析答案第四版

数学分析答案第四版【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】 >第一部分实数理论 1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。（1）域公理：（2）全序公理：则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（heine-borel）聚点定理：(weierstrass) 致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy) 习题1 证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8 介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10

一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（p173）习题7 证明上面三种定义的等价性。第二部分级数理论 1 数项级数前言级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。一、cauchy收敛准则 ?u n?1?n?u1?u2?? 几个概念部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？收敛的必要条件 ?u n?1?n收敛?un?0 评注此结论由un?sn?sn?1两边取极限即得证，也可由下面的cauchy收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分能推出f(x)?0(x???)（参见反常积分） ???af(x)dx即使f(x)?0也不 cauchy收敛准则 ?u n?1?n收敛????0,?n,?n?n,?p,有 sn?p?sn?un?1?un?2???un?p?? 思考正面叙述级数发散的cauchy准则。加括号对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。

数学分析习题集1复旦大学

习题 1.1 ⒈ 证明由n 个元素组成的集合T a a a n ={}12，，，有2个子集。 n ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设与A B 都是可列集，证明也是可列集。 A B ∪⒊ 指出下列表述中的错误： (1) {}； 0=? (2)； a ?{,,}a b c (3) {,； }a b ∈{,,}a b c (4) {,。 ,{,}}a b a b ={,}a b ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足x x ?+≤32 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于0并且小于1的有理数全体； (4) 方程的实数解全体。 0cot sin =x x ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B D A B A D ∩∪∩∪∩()()()=； (2) ()。 A B A B C C ∪∩=C ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) ≠> A B A C ∪∪=B C = ； (2) ≠> A B A C ∩∩=B C =。其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) B A x ∩∈ ? A x ∈ 并且 B x ∈； (2) B A x ∪∈ ? A x ∈ 或者 B x ∈。习题 1.2 1. 设},,{γβα=S ,，问有多少种可能的映射?其中哪些是双射? T a b c ={,,}f ：S T →2. (1) 建立区间[,与[,之间的一一对应； ]a b ]01

(2) 建立区间(,与之间的一一对应。 )01(,?∞+∞)3. 将下列函数和构成复合函数，并指出定义域与值域： f g (1) , y f u ==()log a u u g x ==()x 2 3?; (2) , y f u ==()arcsin u u g x ==()x 3； (3) y f u ==()u 21?,u g x ==()sec x ； (4) y f u ==()u ,u g x ==()x x ?+1 1。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x =+arcsin 112; (2) 32 1 log (1)3a y x =?。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) （）； x y a sin log =1>a (2) y x =cos ； (3) y x =??432x ； (4) y x x =+241 。 6. 问下列函数和是否等同？ f g (1) f x ()=2log ()a x ，g x ()=2log a x ； (2) f x ()=22sec tan x x ?, g x ()=1； (3) f x ()=sin cos 22x x +,g x ()=1。 7. (1) 设,求； f x x x x ()+=?+?3235321f x () (2) 设131 31+?=???????x x x x f ,求。 f x ()8. 设f x ()=+1 1x ,求，,的函数表达式。 f f f f f f f f f 9. 证明：定义于(,上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。 )?∞+∞10. 写出折线ABCD 所表示的函数关系y f x =()的分段表示，其中A =(,)03， B =?(,)11，C =(,)32，。 D =(,)40

复旦大学97980001年数学分析考研试题

复旦大学数学分析1997 一、计算 1. ) 2 sin (2 1 lim x x x → 2. .,sin 501.122y x x y 求= 3. ?+x dx tan 1 4. ,)],cos(),cos([?+c ds y n y x n x 其中从为椭圆 12 2 22=+b y a x ,n 为它的外法线. 5. ??D dxdy y x 2ln ,D 是由y=x,y=1,x=2围成的三角形. 6. 计算由曲面a y x a y x a y x ±=-±=+=+,,2 2 2 围成的体积(0.70) (本题共40分,其中第1,2,3小题每小题5分,第4,5小题每小题8分,第6小题9分) 二、讨论下列级数的收敛性。 dx x x n n ∑?∞ =+1 01sin π dx n n n ∑ ∞ =8 ln 12sin π (本题共15分,其中第1小题7分, 第2小题8分,) 三、在平面直角坐标系oxy 中有一以y 轴为对称轴的抛物线，他与oxoy 两正半轴的交点分别为AB 。当OB OA +为定值时，为使这段抛物线与两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转得到的立体体积最大，OB OA :应取何值。（本题共15分）四、设f 在[0，1]连续， f （1）=0，,...3,2,1,)()(==n x x f x g n n 证明{ n g }在[0，1]上一致收敛（本题15分）五、设f 在（0，∞）连续， ?=∞→x x dt t f x 0.0)(1lim 证明： 0)(lim =∞ →x f x （本题15分）复旦大学数学分析1998 1．（每小题8分，共48分）（1）求极限x x x x 1 )1ln(lim 1 0-+→。（2）通过代换?? ? ??-==)(212 2v u y uv x ，变换方程2 2 221)()( y x y z x z +=??+?? （3）设,2 0π < ≤x 证明不等式.3tan sin 2x x x ≥+ （4）求不定积分 ? +x e dx 1 （5）求定积分 )(,)1 (ln 自然数n dx x n ? （6）求积分 dx y x dy y y ? ? -++2 42 2 2 11 2.在椭圆4422=+y x 上求一点,使到直线1243=+y x 的距离为最短.(10分) 3.对级数 ∑∞ =-1 n nx ne 指出他的收敛范围,讨论它的一致收敛性,并求和.(10分) 4.设L 是单位圆周: 122=+y x ,方向为逆时针.求积分: ?+++-L y x dy y x dx y x 224)4()( .(10分) 5. {{} ,2,1|),,(2 2 1V S z y x z y x V =<<+= 求积分 ,)(22zdxdy y x yzdzdx S ?? ++ 积分延外法线方向.(10分) 6.计算).,0(,)cos ln(sin )(20 222∞∈+= ? ααπ dx x d x I 要求说明计算方法的合理性.(12分) 复旦大学数学分析2000 1. 求极限: ?? ? ? ?+-+∞ →x x x x x 1ln lim 2 . 2. 计算积分: ? 1 2a r c t a n x d x x .