复旦大学《数学分析》课后答案

09复旦数学分析考研试题 一、 数学分析(90) 1. 计算(每个6分) （1） 设∑为：222 4(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑ ??=_______。 （2） 13 20 (1)(1)x dx x x ++?=_______。 （3） ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。 （4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠， '()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。 （填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k α π∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。 2. 证明（每个15分） （1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ?上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-= 证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上连续。 （2）21sin()n n n a a a n -=- 求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d ()()b d d b a c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+???? （4）()f x 定义在区间(,)a b 上，对任一(,)x a b ∈

0()()lim 0y f x y f y y →+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。 二、 常微分方程（30） 已知2 (,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*] （1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。（或者是0δ的值，具体不是很清楚） （只要明白首次积分的概念就能做的题目） （2）证明解对参数的连续性 （3）求系统[*]在0λ>，0δδ<时在李亚普诺夫意义下的稳定性。 三、 实变函数（30） 1. 叙述积分的法杜（Fatou ）引理。（10分） 2. （20分）{()}n f x 为定义在可测集上的可测函数列，{()}n f x 在勒贝格测度意义下收敛 于()f x 求证： （1）存在子列{()}k n f x 1()k k n n +<，满足 12k k mE <，1{:|()()|}2k k n k E x E f x f x =∈-≥ （2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x 。 （这个整个是一个定理，分成两步证明了。Rieze 引理）

统计学原理 (第五版 )》计算题解答 第三章 综合指标 1． 见教材 P404 2． 产量计划完成相对数 解得： 计划为上年的 % 105% 101.94% 103% 即计划规定比上年增长 1.94% 6． 见教材 P405 7． 见教 材 P405 8． 在相同的耕地自然条件下，乙村的单产均高于甲村，故乙村的生产经营管理工作做得好。但由于 甲村的平原地所占比重大，山地所占比重小，乙村则相反，由于权数的作用，使得甲村的总平均 单产高于乙村。 9． (%) 实际为上年的 % (%) 计划为上年的 % 1.85%完成 (%) 实际完成数 (%) (%) 计划完成数 (%) 90% 一季度产品单位成本未完成计划，实际单位成本比计划规定数高 2.22% 实际为上年的 % 105% 5． 计划完成程度指标 (%) 103% 计划为上年的 % 计划为上年的 % 3． 计划完成程度指标 110% 101.85% 108% 劳动生产率计划超额 4． 计划完成程度指 标 92% 102.22% m 675000 18 20 23 25 70 122.86% X 甲 X 乙 xf f 625000 2500 250（千克 / 亩）

平均计划完成程度 X x f 10． 见教材 P406 11． X G 3 0.9574 0.9222 0.963 94.74% 12． f 2 S m 1 M e X L 2 d L f m 600 256 275 2 25 133 275 8.25 283.3(千克/亩) 1 M 0 X L 1 d 0 L 1 2 133 84 275 25 (133 - 84) (133 -119) 275 19.45 294.5(千克 /亩 ) 103.9% f 600 300 22 275 300为中位数所在

欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的

《统计学原理(第五版)》习题计算题答案详解 第二章 统计调查与整理 1． 见教材P402 2． 见教材P402-403 3． 见教材P403-404 第三章 综合指标 1． 见教材P432 2． %86.12270 25 232018=+++= 产量计划完成相对数 3． 所以劳动生产率计划超额%完成。 4． %22.102% 90% 92(%)(%)(%)=== 计划完成数实际完成数计划完成程度指标 一季度产品单位成本，未完成计划，还差%完成计划。 5． %85.011100%8% 110% 1=?++==计划完成数实际完成数计划完成程度指标计划完成数；所以计划完成数实际完成数标因为，计划完成程度指%105%103= = 1.94%%94.101% 103% 105，比去年增长解得：计划完成数==()得出答案）将数值带入公式即可以计算公式， 上的方程，给大家一个很多同学都不理解也可以得出答案，鉴于（根据第三章天）。 个月零天（也即是个月零（月）也就是大约）（上年同季（月）产量达标季（月）产量超出计划完成产量 达标期完成月数计划期月数超计划提前完成时间达标期提前完成时间完成计划的时间万吨。根据公式：提前多出万吨，比计划数万吨产量之和为：季度至第五年第二季度方法二：从第四年第三PPT PPT 6868825.8316-32070 -7354-60--3707320181718=+=+=+==+++()天完成任务。个月零 年第四季度为止提前（天），所以截止第五）（根据题意可设方程：万吨完成任务。天达到五年第二季度提前万吨。根据题意，设第万吨达到原计划，还差万吨产量之和为：季度至第五年第一季度方法一：从第四年第二6866891 -91*20)181718(1916707016918171816=++++=+++x x x

第一章总论 一、单项选择题 1、威廉·配第是（ B ）的代表人物。 A、记述学派 B、政治算术学派 C、社会学派 D、数理统计学派 2、在1749年出版的《近代欧洲各国国势学论》中首先使用了“统计学”这个名词的是（ B ）。 A、约翰.格朗特 B、阿亨瓦尔 C、海门尔.康令 D、克尼斯 3、调查某一企业职工的健康状况，总体是（ B ）。 A、这个企业 B、这个企业的所有的职工 C、每个职工 D、所有的职工的健康状况 4、数量指标表现为（ C ）。 A、相对数 B、平均数 C、绝对数 D、变异数 5、名义级数据可以用来（ A ）。 A、分类 B、比较大小 C、加减运算 D、加减乘除四则运算。 6、间距级数据之间不可以（D）。 A、比较是否相等 B、比较大小 C、进行加减运算 D、进行乘除运算 7、2个大学生的身高分别为165厘米、172厘米，则165、172是（D）。 A、2个变量 B、2个标志 C、2个指标 D、2个数据 8、总体与总体单位的确定（A）。

A、与研究目的有关 B、与研究目的无关 C、与总体范围大小有关 D、与研究方法有关 9、通过有限数量的种子发芽试验结果来估计整批种子的发芽率，这 种统计方法是属于（A）。 A、推断统计学 B、描述统计学 C、数学 D、逻辑学 10、2010年11月1日，我国将举行第六次全国人口普查，在人口普查中，总体单位是（ A ） A.每一个人 B.每一个家庭 C.每一个地区 D.全国总人口 二、多项选择题 1、“统计”一词有三层含义（BCD ） A、统计设计 B、统计工作 C、统计资料 D、统计科学 E、统计图表 2、下面属于推断统计学研究内容的是（BCD ） A、数据收集 B、抽样调查 C、相关分析 D、假设检验 E、指数 3、下面指标属于质量指标的有（ABD） A、合格率 B、价格 C、产量 D、出勤率 E、星球个数 4、下面变量的答案属于比率级数据的有（BDE） A、温度 B、海拔高度 C、考试分数 D、日产量

第一章练习题参考答案 一.单项选择题 1．B；2．A；3．B；4．C；5．D；6．A；7．C；8．C；9．C；10．A；11．C；12．C。 二.多项选择题 1．ABDE；2．ACD；3．BCD；4．ACD；5．ACDE；6．ACE；7．AD；8．ABC；9．ACD；10．AD；11．BCDE；12．ABCDE；13．AC。 三.判断题 1．×；2．×；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．√；9．×；10．√。 第二章练习题参考答案 一.单项选择题 1．C；2．C；3．D；4．B；5．D；6．D；7．B；8．D；9．B；10．B；11．A；12．C；13．D。 二.多项选择题 1．CE；2．ACE；3．CE；4．BCD；5．ABCE；6．BC；7．BCD；8．ABD；9．ABD；10．ACDE；11．ABCE；12．ABE。 三.判断题 1．×；2．√；3．×；4．×；5．×；6．×；7．√；8．×；9．×；10．×。 第三章练习题参考答案 一.单项选择题 1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．B；7．B；8．B；9．D；10．B；11．A；12．B；13．D；14．A。 二.多项选择题 1．AB；2．AC；3．AB；4．ABC；5．AB；6．ABD；7．ABC；8．ACE；9．BD；10．ABDE。 三.判断题 1．√；2．×；3．×；4．×；5．√；6．×；7．√；8．√；9．×；10．×。 四.计算分析题 1

2 3．解：（1）编制组距式变量数列。 （2 直方图（略） 第四章练习题参考答案 一.单项选择题 1．C；2．D；3．B；4．D；5．C；6．A；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．D；13．A；14．D；15． 16．B；17．B；18．D；19．C；20．C；21．D；22．B；23．C；24．C；25．B。 二.多项选择题 1．ABC；2．DE；3．ABDE；4．ABCE；5．ABDE；6．CE；7．BCE；8．BDE；9．ACE；10．ACE；11．BDE。 三.计算分析题 2．解：2008年甲产品计划成本160×96%＝153.6 元 实际成本160×94%＝150.4元 单位产品成本计划完成程度＝150.4÷153.6＝97.9%

第一章总论 一、判断题 1．√ 2. √３.×4．√ 5。× 6。×７．× 8.× 二、单选题 1.Ｃ 2．B ３.D 4．B 5.C 6。Ｃ 7．Ｃ8.A 9。B 10.C １１.A 三、多选题 1。ABCD(题目中的“五个”应去掉） 2.ＡＢE 3。BDE 4。BE 5。AC 6.ＡC 第二章统计调查 一、判断题 1。× 2.×３.× 4。×５。√ ６。× 7．× 8.× 9。×10。√ 1１.× 12．× 13。× 14．√ 15。√ 二、单选题 1.B 2。C ３．Ｃ 4。Ｃ 5。C 6.D 7．D 8.C 9．D 10。D 11．D 12。C 13.A 14．C 15。A 16.B １7.Ａ 18.B 19．Ａ 20.D 三、多选题 1．ABCDＥ 2.ABE 3。ＢDE ４.ABCD 5.ABCDE 第三章统计整理 一、判断题 1.× 2。× 3．×４.√５。√ 6.√ 7.× 8.×9.×１０.× 1１．√ 1２.√ 二、单选题 1。B 2．B 3.B 4。A 5。Ａ 6。C 7。D ８．Ｃ9。B １０。Ｃ11。Ｄ12．B 1３。Ｂ 三、多选题 1.ADＥ 2.ＣＤE 3.ＡＢCD 4。CD 5.ＡCD 6．ABCＤ 7．CDＥ 8.BC ９.BCＥ

四、计算题 1．某班学生英语考试成绩频数分配表 ２.某生产车间工人日加工零件数频数分配表 第４章综合指标 一、判断题 1。√ 2. ×３。× 4. √ 5．√ 6．×7．×8。× 9。×１0. ×

11. × 12。 √ 1３. × 14． × 15。 × 三、单选题 1． B ２。 D 3. C ４。 D 5。 Ｃ 6。 D 7. C 8. Ｄ ９。 B １０。 Ａ 11． D 12. Ｂ 四、多项选择题 1。 AC Ｅ 2. ＡBC 3．BD ４． BCD 5。 BC Ｄ 6. AB Ｄ 7。 BCDE 8。 ACE 五、计算题 1。⑴ 企业 200８年 ２007年实际销售 额 2008年销售额为2007年的百分比(％) 计划 实际 完成计 划（％） 销售额 比重 (％） 销售额 比重（％） 甲 １2０0 30 １224 30.91 102 １１00 11１.27 乙 1 .91 102.6 ９0０ 114 丙 3．１８ ９5 164０ １0４。２７ 合计 ４ 00 ９9 ３6４0 1０8.79 ⑵ 略 2． ⑴ 计划完成程度= %108%100100 28 272726=?+++ ⑵ 设在第五年第二季度提前天X 完成，则： ()100919127759123=-?++X X （天）5.45=X 即提前两个季度(6个月）又45天半完成5年计划. 3。 产品单位成本计划完成程度= % 5%100% 9%100--=9５.79％ 计算结果表明,该产品单位成本计划超额4．21%完成. ４。 设计划规定产值X ，去年产值Y 则:Y X %105%103=

) 统计学原理第七版李洁明-课后选择判断题习题及答案 一、单项选择题 1.统计有三种含义，其基础是（）。 （1）统计学（2）统计活动（3）统计方法（4）统计资料 2.一个统计总体（）。 （1）只能有一个标志（2）只能有一个指标（3）可以有多个标志（4）可以有多个指标3.下列变量中，（）属于离散变量。 （1）一包谷物的重量（2）一个轴承的直径（3）在过去一个月中平均每个销售代表接触的期望客户数（4）一个地区接受失业补助的人数 < 4.某班学生数学考试成绩分别为65分、71分、80分和87分，这四个数字是（）。（1）指标（2）标志（3）变量（4）标志值 5.下列属于品质标志的是（）。 （1）员工年龄（2）员工性别（3）员工体重（4）员工工资 6.现要了解某机床企业的生产经营情况，该企业的产量和利润是（） （1）连续变量（2）离散变量（3）前者是连续变量，后者是离散变量 （4）前者是离散变量，后者是连续变量

7.劳动生产率是（） | （1）动态指标（2）质量指标（3）流量指标（4）强度指标 8.统计规律性主要是通过运用（）方法经整理、分析后得出的结论（1）统计分组法（2）大量观察法（3）综合指标法（4）统计推断法 9.（）是统计的基础功能。 （1）管理功能（2）咨询功能（3）信息功能（4）监督功能 10.（）是统计的根本准则，是统计的生命线。 （1）真实性（2）及时性（3）总体性（4）连续性 11.构成统计总体的必要条件是（） 《 （1）差异性（2）综合性（3）社会性（4）同质性 12.数理统计学的奠基人是（）。 （1）威廉·配第（2）阿亨瓦尔（3）凯特勒（4）恩格尔 13.统计研究的数量必须是（）。 （1）抽象的量（2）具体的量（3）连续不断的量（4）可直接相加的量14.最早使用统计学这一学术用语的是（） （1）政治算术学派（2）社会统计学派（3）国势学派（4）数理统计学派

数 学 分 析（I ） （周课时5加习题课时2）（共80课时） （1）集合与函数 （6课时） 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 （12课时） 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。 ????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 （10课时） 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 （14课时） 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续）（15课时） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 （8课时） 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似

作者 : 数学贝壳 致数学分析、高等代数、解析几何的新人们 各位2012级的新同学们： 从9月10号起你们就正式进入大学数学的学习了。一开始你们就遇到了数学专业的三座大山：数学分析、高等代数、解析几何。数学分析不仅是分析学的基础，也是后续许多课程包括常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数等等的基石。而高等代数，则是代数学的引路，之后的抽象代数，矩阵论，群论，数值代数都是它的衍生品，你看似简单的解析几何，高等几何是之后微分几何，微分流形，代数几何的先修课，著名的华裔数学家丘成桐先生也因为在微分流形的杰出贡献被授予数学界的诺贝尔奖——沃尔夫数学终身成就奖。 不知道大家在上了各门课的第一堂课后有什么样的感受？是一下子懵了，还是兴致勃勃？作为一个过来人，希望给大家一些经验，如何学好这些课，选择一些什么样的素材来补充自己。文章写的比较长，希望大家有耐心看完。我想会对你非常有帮助。 数学分析篇 一、一些还不错的教材 直接进入主题——好的教材是相当重要的。所以让我们从教材开始。 先说说国。应当来说国公认的比较好的数学分析教材一共有三套，这里只介绍两套。1.《数学分析》，华东师大学数学系，高等教育 这套教材也是北科大数学系一直使用的课本（不过听说自2011级开始理科实验班换成了《数学分析》，忠，高等教育，个人对这套教材保留意见）。这本教材堪称数学分析的经典，如果我没有记错第一版发行于1978年，已经有四十多年的历史，现在最新的是第四版。这么长时间，经久不衰是其品质最好的检验。就难度而言，这本教材应该算中上。第三版第四版就知识结构来说没有什么大的变动，小的变动可以看书的第四版的前言。但是，在课后题，例题上有了较大的更新，丰富了题目的数量与质量（一些题都是吉米多维奇《数学分析习题集》里的题目，另一些题是一些高校的考研试题）。所以要学好数学分析，先必须搞懂课本知识，把每个题目做会了，做出感觉来，这样算进入成功入门的第一步了。 2.《数学分析》，复旦大学纪修，高等教育 这本教材被总体上与华师大介绍的容一样，但是在顺序上有所不同。除此之外比较明显的一点，加强了向量函数的概念，介绍了梯度散度这些在华师大的书里选学的容。难度上来说两本书差不多。据说复旦大学数学系的同学就是用的这本书。

习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式； dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos ?=ω； （3）2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。 解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。 （2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。 （3）=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。 解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式，求d ω。 解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ， 则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则 032==ωωd d ， 从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数 的函数，，，试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω，使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。 解 由题意，可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′， 所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设（∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证 明

数学分析复旦大学第四版大一期末考试 一、填空题（每空1分，共9分） 1. 函数()f x = 的定义域为________________ 2.已知函数sin ,1 ()0,1 x x f x x ??=?-?? ==??-

复旦大学数学分析课后习题解陈纪修

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第一章 第1节 4．（1）{}32|≤<-x x ； （2）{}00|),(>>y x y x 且； （3）{}Q x x x ∈<<且10|； （4）? ????? ∈+=Z k k x x ,2|ππ. 7．（1）不正确。B x A x B A x ?????或者； （2）不正确。B x A x B A x ?????并且. 第2节 2．（1）]1,0[],[:→b a f .a b a x y x --=α （2）),()1,0(:+∞-∞→f ])21tan[(π-x x α 3．（1）)3(log 2-=x y a ，定义域：()() +∞-∞-,33,Y ，值域：),(+∞-∞； （2）x y 3arcsin =，定义域：(]0,∞-，值域：?? ? ??2,0π； （3）x y tan =，定义域：?? ? ?? +-∈2,2ππππk k Z k Y ，值域：[)+∞,0； （4）1 1+-=x x y ，定义域：()[)+∞-∞-,11,Y ，值域：[)()+∞,11,0Y . 5．（1）定义域：()ππ)12(,2+∈k k Z k Y ，值域：(]0,∞-； （2）定义域：??? ???+-∈22,22ππππk k Z k Y ，值域：[]1,0；

（3）定义域：[]1,4-，值域：?? ????25,0； （4）定义域：()()+∞∞-,00,Y ，值域：??? ????+∞,2233. 7．（1）9777212)(23-+-=x x x x f ； （2）1 412)(-+= x x x f 。 8．（1）2 1)(++=x x x f f ο； 3 22)(++=x x x f f f οο； 5 332)(++=x x x f f f f οοο。 9．2)()()(x f x f x f -+=2)()(x f x f --+，2)()(x f x f -+是偶函数，2)()(x f x f --是奇函数. 10．[](](] ???????∈+-∈-∈+-=4,3823,1252 31,034x x x x x x y 11．[](]???????∈-+-∈=2,1122 12,12122x x x x x y 12．[](](]?? ???∈-∈-∈=11,92.112118.13329,598 985,04.78)(x x x x x x x P 13．???-=为无理数 为有理数x x x x x f 1)(

一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分） 1．当 = 时，分式的值为零. 2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为． 3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数． 4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差 的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验 田是(填“甲”或“乙”)． 5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形． 6．计算． 7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是． 8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1， ?则AD=______． 9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴， 且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为． 二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分） 11．下列运算中，正确的是 A． B． C． D． 12．下列说法中，不正确的是 A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一 C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 13．能判定四边形是平行四边形的条件是 A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等 C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等 14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是 A．1 B．2 C．3 D．4

数学分析答案第四版 【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】 >第一部分实数理论 1 实数的完备性公理 一、实数的定义 在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理： 则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。 评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。 二、实数的连续性（完备性）公理 实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：确界原理： 单调有界定理： 区间套定理： 有限覆盖定理：（heine-borel） 聚点定理：(weierstrass) 致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy) 习题1 证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。 评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质 有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8 介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10

一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限 三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。 （p173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。 第二部分级数理论 1 数项级数 前言级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无 穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。 一、cauchy收敛准则 ?u n?1?n?u1?u2?? 几个概念部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件 ?u n?1?n收敛?un?0 评注此结论由un?sn?sn?1两边取极限即得证，也可由下面的cauchy收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分 能推出f(x)?0(x???)（参见反常积分） ???af(x)dx即使f(x)?0也不 cauchy收敛准则 ?u n?1?n收敛????0,?n,?n?n,?p,有 sn?p?sn?un?1?un?2???un?p?? 思考正面叙述级数发散的cauchy准则。 加括号对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。

习 题 1.1 ⒈ 证明由n 个元素组成的集合T a a a n ={}12，，， 有2个子集。 n ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设与A B 都是可列集，证明也是可列集。 A B ∪⒊ 指出下列表述中的错误： (1) {}； 0=? (2)； a ?{,,}a b c (3) {,； }a b ∈{,,}a b c (4) {,。 ,{,}}a b a b ={,}a b ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足x x ?+≤32 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于0并且小于1的有理数全体； (4) 方程的实数解全体。 0cot sin =x x ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B D A B A D ∩∪∩∪∩()()()=； (2) ()。 A B A B C C ∪∩=C ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) ≠> A B A C ∪∪=B C = ； (2) ≠> A B A C ∩∩=B C =。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) B A x ∩∈ ? A x ∈ 并且 B x ∈； (2) B A x ∪∈ ? A x ∈ 或者 B x ∈。 习 题 1.2 1. 设},,{γβα=S ,，问有多少种可能的映射?其中哪些是双射? T a b c ={,,}f ：S T →2. (1) 建立区间[,与[,之间的一一对应； ]a b ]01

(2) 建立区间(,与之间的一一对应。 )01(,?∞+∞)3. 将下列函数和构成复合函数，并指出定义域与值域： f g (1) , y f u ==()log a u u g x ==()x 2 3?; (2) , y f u ==()arcsin u u g x ==()x 3； (3) y f u ==()u 21?,u g x ==()sec x ； (4) y f u ==()u ,u g x ==()x x ?+1 1。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x =+arcsin 112; (2) 32 1 log (1)3a y x =?。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) （）； x y a sin log =1>a (2) y x =cos ； (3) y x =??432x ； (4) y x x =+241 。 6. 问下列函数和是否等同？ f g (1) f x ()=2log ()a x ，g x ()=2log a x ； (2) f x ()=22sec tan x x ?, g x ()=1； (3) f x ()=sin cos 22x x +,g x ()=1。 7. (1) 设,求； f x x x x ()+=?+?3235321f x () (2) 设131 31+?=???????x x x x f ,求。 f x ()8. 设f x ()=+1 1x ,求，,的函数表达式。 f f f f f f f f f 9. 证明：定义于(,上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。 )?∞+∞10. 写出折线ABCD 所表示的函数关系y f x =()的分段表示，其中A =(,)03， B =?(,)11，C =(,)32，。 D =(,)40

复旦大学数学分析1997 一、计算 1. ) 2 sin (2 1 lim x x x → 2. .,sin 501.122y x x y 求= 3. ?+x dx tan 1 4. ,)],cos(),cos([?+c ds y n y x n x 其中从为椭圆 12 2 22=+b y a x ,n 为它的外法线. 5. ??D dxdy y x 2ln ,D 是由y=x,y=1,x=2围成的三角形. 6. 计算由曲面a y x a y x a y x ±=-±=+=+,,2 2 2 围成的体积(0.70) (本题共40分,其中第1,2,3小题每小题5分,第4,5小题每小题8分,第6小题9分) 二、讨论下列级数的收敛性。 dx x x n n ∑?∞ =+1 01sin π dx n n n ∑ ∞ =8 ln 12sin π (本题共15分,其中第1小题7分, 第2小题8分,) 三、在平面直角坐标系oxy 中有一以y 轴为对称轴的抛物线，他与oxoy 两正半轴的交点分别为AB 。 当OB OA +为定值时，为使这段抛物线与两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转得到的立体体积最大，OB OA :应取何值。 （本题共15分） 四、设f 在[0，1]连续， f （1）=0，,...3,2,1,)()(==n x x f x g n n 证明{ n g }在[0，1]上一致收敛 （本题15分） 五、设f 在（0，∞）连续， ?=∞→x x dt t f x 0.0)(1lim 证明： 0)(lim =∞ →x f x （本题15分） 复旦大学数学分析1998 1．（每小题8分，共48分） （1） 求极限x x x x 1 )1ln(lim 1 0-+→。 （2） 通过代换?? ? ??-==)(212 2v u y uv x ，变换方程2 2 221)()( y x y z x z +=??+?? （3） 设,2 0π < ≤x 证明不等式.3tan sin 2x x x ≥+ （4） 求不定积分 ? +x e dx 1 （5） 求定积分 )(,)1 (ln 自然数n dx x n ? （6） 求积分 dx y x dy y y ? ? -++2 42 2 2 11 2.在椭圆4422=+y x 上求一点,使到直线1243=+y x 的距离为最短.(10分) 3.对级数 ∑∞ =-1 n nx ne 指出他的收敛范围,讨论它的一致收敛 性,并求和.(10分) 4.设L 是单位圆周: 122=+y x ,方向为逆时针.求积分: ?+++-L y x dy y x dx y x 224)4()( .(10分) 5. {{} ,2,1|),,(2 2 1V S z y x z y x V =<<+= 求积分 ,)(22zdxdy y x yzdzdx S ?? ++ 积分延外法线方向.(10分) 6.计算).,0(,)cos ln(sin )(20 222∞∈+= ? ααπ dx x d x I 要求说明计算方法的合理性.(12分) 复旦大学数学分析2000 1. 求极限: ?? ? ? ?+-+∞ →x x x x x 1ln lim 2 . 2. 计算积分: ? 1 2a r c t a n x d x x .

第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 ⒈ 半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm 的铜，试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/3cm 。） 解 球体积3 3 4r V π=，每只球镀铜所需要铜的质量为 12 .142 ≈?≈?=r r V m ρπρg 。 ⒉ 用定义证明，函数y x = 2 3 在它的整个定义域中，除了x =0 这一 点之外都是可微的。 证 当0x =时，32 x y ?=?是x ?的低阶无穷小，所以y x = 2 3 在0x =不可 微。当0x ≠时， (), y x x o x ?=== =+? 所以y x = 2 3 在0x ≠是可微的。

习 题 4.2 导数的意义和性质 1． 设'f x ()0存在，求下列各式的值： ⑴ lim ()() ???x f x x f x x →--0 00； ⑵ lim ()() x x f x f x x x →--0 00 ； ⑶ lim ()() h f x h f x h h →+--0 00。 解 (1))(') () ())((lim ) ()(lim 0000 000 x f x x f x x f x x f x x f x x -=?--?-+-=?-?-→?→?。 ⑵ )(') ())((lim ) ()(lim 00 0000 000 x f x x x f x x x f x x x f x f x x x x =---+=--→-→。 ⑶ h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→ ) ('2) ()(lim ) ()(lim 0000 000 x f h x f h x f h x f h x f h h =----+=→→。 2． ⑴ 用定义求抛物线y x x =+-2312的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点(,)--12处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(,)-21处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有(,)a b ，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？ 解 (1)因为 x x x x x x x x x x y ?++=?-+--?++?+= ??234) 132(1)(3)(22 2 ，所以 34lim )('0 +=??=→?x x y x f x 。 (2)由于1)1('-=-f ，切线方程为1[(1)](2)3y x x =-?--+-=--。 (3)由于 5)2('-=-f ，法线方程为17[(2)]15 5 x y x +=- --+= -。 (4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可