初中数学竞赛辅导(圆)

初中数学竞赛辅导（圆）

北京十二中数学竞赛培训教程(圆)

指导教师:田祥彪

平面几何基础知识教程,圆,

一、几个重要定义

外心,三角形三边中垂线恰好交于一点,此点称为外心

内心,三角形三内角平分线恰好交于一点,此点称为内心

垂心,三角形三边上的高所在直线恰好交于一点,此点称为垂心凸四边形,四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形,有一双对边相交的四边形叫做折四边形,如下图,

,折四边形,

二、圆内重要定理,

1, 四点共圆

定义,若四边形ABCD的四点同时共于一圆上,则称A,B,C,D四点共圆基本性质,若凸四边形ABCD是圆内接四边形,则其对角互补证明,略

判定方法,

1,定义法,若存在一点O使OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆 2,定理1,若凸

四边形ABCD的对角互补,则此凸四边形ABCD有一外接圆证明,略

特别地,当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时,此四边形有一外接圆

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，,，ADBACB3,视角定理,若折四边形ABCD中,,则A,B,C,D四点共圆

证明,如上图,连CD,AB,设AC与BD交于点P

，,，ADBACB因为,所以

ΔCPB?ΔDPA

PCPB所以有,PDPA

再注意到，,，CPDBPA

因此ΔCPDBPA?Δ

因此，,，PCDPBA

由此，，，,，，，，，,BCDBADBCAPCDBAD

，，，，，,BDAPBABAD180,ΔABD的内角和,

因此A,B,C,D四点共圆

，,，ADBACB特别地,当=90时,四边形ABCD有一外接圆 2,圆幂定理,

圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。

PAPBPCPD,,,相交弦定理,P是圆内任一点,过P作圆的两弦AB,CD,则

证明,

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连ACBDCABCDB,,则，,，,等弧对等圆周角,

而,，,，APCDPB对顶角相等,

因此ΔAPC?ΔDPB PAPC即,因此,,,,PAPBPCPDPDPB

,切,割线定理,P是圆外任意一点,过P任作圆的两割,切,线PAB,PCD,则PAPBPCPD,,,

证明方法与相交弦定理完全一样,可仿前。

特别地,当C,D两点重合成为一点C’时,割线PCD变成为切线PC’

2PAPBPCPDPC,,,,'而由割线定理,,此时割线定理成为切割线定理

22PCPAPBPA'',,,而当B,A两点亦重合为一点A’时,由切割线定理因此有

PC’=PA’,此时切割线定理成为切线长定理

现考虑割线与切线同时存在的情况,即切割线定理的情况,

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如图,PCD是圆的割线,PE是圆的切线设圆心为O,连PO,OE,则由切割线定理有, 2PCPDPE,,而注意到黄色Δ是RTΔ,由勾股定理有,

222PEPOOE,,,结合切割线定理,我们得到

222PCPDPEPOOE,,,,,这个结果表明,如果圆心O与P是确定的,那么 PC与PD之

积也是唯一确定的。

以上是P在圆外的讨论

现在再重新考虑P在圆内的情形,如下图,PCD是圆内的现,PAB是以P为中点的

弦

2PAPBPAPD,,,(因为P是弦AB中点)=PC则由相交弦定理有连OP,OA,由垂径定理,ΔOPA是RTΔ由勾股定理有

222PAOAOP,,,结合相交弦定理,便得到

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222PAPBPAPDOAOP,,,,,(因为P是弦AB中点)=PC

这个结果同样表明,当O与P是固定的时候PC与PD之积是定值以上是P在圆内的讨论

当P在圆上时,过P任作一弦交圆于A,即弦AP,,此时

22POOA,,0也是定值

综上,我们可以把相交弦定理,切割线定理,割线定理,切线长定理统一起来,得

到圆幂定理。

圆幂定理,P是圆O所在平面上任意一点,可以在圆内,圆上,圆外,,过点P任作

一直线交圆O于A,B两点,A,B两点可以重合,也可以之一和P重合,,圆O半径为r 22PAPBPOr,,,||则我们有,

22POr,,0由上面我们可以看到,当P点在圆内的时候,,此时圆幂定理为相交弦

定理

22POr,,0当P在圆上的时候,

22POr,,0当P在圆外的时候,此时圆幂定理为切割线定理,割线定理,或切线长定理

以下有很重要的概念和定理,根轴

先来定义幂的概念,从一点A作一圆周上的任一割线,从A起到和圆周相交为止的两线段之积,称为点对于这圆周的幂

对于已知两圆有等幂的点的轨迹,是一条垂直于连心线的直线。根轴的定义,两圆等幂点的轨迹是一条直线,这条直线称为两圆的根轴性质1 若两圆相交,其根轴就是公共弦所在直线

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由于两圆交点对于两圆的幂都是0,所以它们位于根轴上,而根轴是直线,所以根轴是两交点的连线

性质2 若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线,即性质1的极限情况, 性质3 若三圆两两不同心,则其两两的根轴交于一点,或互相平行所交的这点称为根心

证明,若三圆心共线,则两两圆的根轴均垂直于连心线,因此此时两两的根轴互相平行

若三圆心不共线,则必成一三角形,因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。如图,设CD与EF交于点O,连AO交圆分O2圆O3于B’,B’’,则OAOBOEOFOCODOAOB,,,,,,,'''其中前两式是点O对圆O2的幂,后二式是点O对圆O3的幂,中间是圆O对圆O1的幂进行转化

由此B’与B’’重合,事实上它们就是点B,圆O2与圆O3的非A的交点,,由此两两的根轴共点

圆幂定理是对于圆适用的定理,今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补

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充,

圆内接四边形判定方法

4,相交弦定理逆定理,如果四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,且满足

PAPCPBPD,,,,则四边形ABCD有一外接圆

5,切割线定理逆定理,如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P

PAPCPBPD,,,且满足,则四边形ABCD有一外接圆这样我们就补充了两种判定方法

例,射影定理,,RTΔABC中,BC是斜边,AD是斜边上的高则

2(1)ADBDCD,,

2(2)ABBDBC,, 2(3)ACCDBC,,

证明,

如图，延长至ADA'，使AD=DA'，连A'B,A'C

则ΔABC,，，，,ΔA'BC,因此BACBAC'180

因此，，，四点共圆ABCA'

,1, 由相交弦定理有:

2ADDAADBDCD,,,,'

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指导教师:田祥彪 ,2,,3, (2)(3)同理,现证(3)

作RTΔADB的外接圆,则RTΔADB的外接圆圆心为E其中E是AB的中点则EAAC,,因此AC是圆ABD的切线由切割线定理有

2CA,,CDCB

例2,垂心

ΔABC中,三边所在的高的所在的直线交于一点证明,

设BE与CF交于H,连AH延长交BC于D

即证ADBC,

因为，,，,BECBFCBF90,因此,,E,C四点共圆同理A,F,H,E四点共圆

所以，,,，,，,,，,，BHDAHFBHFAEFEHC180180 ,,，,，,，180BAC

因此,,,四点共HDEC圆

由此，,HDC90

3,Miquel定理

之前1,2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来,圆共点的情况

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又如何,

从最简单的开始了解,在本文之后讨论圆共点问题中,甚至其他类型的问

题,Miquel定理都给予莫大的便利,我们将要不止一次地用到它。先看一个事实,

如图,ΔABC中,AD,BE,CF分别是三边上的高,则分别以AEF,BDF,CDE作圆

这三个圆共于一点,而且可以通过观察,这个点就是垂心刚好是AD,BE,CF的交点

在介绍Miquel定理之后,我们将会给这题与垂心一个阐释

Miquel定理,ΔABC中,X,Y,Z分别是直线AB,BC,AC上的点,则 AXZBXYCYZO,,共于一点

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指导教师:田祥彪这样的点O称为X,Y,Z对于ΔABC的Miquel点证明,

如图,设AXZBXYOOYOZ与交于,连OX,,

即问题转化为证OZYC,,,四点共圆

因为AX,,O,Z与B,X,Y,O为两组四点圆

则，,,，,,,，,，AZOAXOBXOBYOOYC180180

即，，，,OZCOYC180

因此,,,四点共OZYC圆

事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法在发掘Miquel定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法注意这个证明只在X,Y,Z在AB,BC,AC边上时可以当在直线AB,BC,AC上时需要改一下,这里略去了。现在回到之前关于垂心的问题。为什么D,E,F关于ΔABC的Miquel点就是ΔABC

的垂心

证明,

如图,,,是ADBECFABCΔ的三条高,垂心为H,则

AEFH,,,

BDFH,,,

CDEH,,,

共三组四点共圆由此可见AEFBDFCDEH,,共于一点

而H就是垂心

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指导教师:田祥彪有了Miquel定理,我们可以对垂心有一个新的看法HDBDFCDE是与的根轴

对HEHF,同理

而，,，,ADBADC90

因此BDF与CDE的连心线平行于BC,中位线定理,

因此HD垂直于BC

HE,HF同理

因此垂心可以被认为是这三圆的根轴的交点,根轴性质3,用同样的方法可以对内心,外心以同样的解释,

由此可见,共点圆与三角形的特殊点有很大的关系,上述3种只是最简单的最容易发现的

提起外心就会联想到外接圆,这里不得不提一个常用定理,正弦定理正弦定理,ΔABC中,外接圆半径R,则

BCACAB,,,2R sinsinsinABC

证明,

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作直径AOD,连BD

则，,，,，ABDADBACB90,

因此在RtABDΔ中其余同理 ABAB,,,ADR2sinsin，ADBC

想到三角函数里面的函数名,那么自然会想到余弦定理余弦定理, ΔABC中AB=c,AC=b,BC=a

222abcbcA,，,2cos

222bacacB,，,2cos

222cbaabC,，,2cos

证明,

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作BC边上的高AD

CDACCbC,,,coscos

BDBCCDabC,,,,cos

2222因此ABBDACCD,,,

2222即c,,,,(cos)(cos)abCbbC

2222222 cabCabCbbC,,，,,cos2coscos

222即cababC,，,2cos

其余同理

接着便就是著名的费马点,它也与共点圆有关系费马点,即ΔABC内一点,使其到三顶点距离之和最小的点当ΔABC任一内角都<120时,费马点存在于内部,当Δ有一内角>=120时费马

点与此角顶点重合

设ΔABC中任一内角均<120,则费马点F可以通过如下方法作出来, 分别以AB,AC,BC向外作正Δ,连接对着的顶点,则得事实上,点F是这3个正Δ的外接圆所共的点

而FA+FB+FC其实就是顶点到对着的正Δ顶点的连线的长而且之后将会有一种方法计算FA+FB+FC的长度

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而这将会在之后进行讨论

4,Simson定理

Simson定理是常用而且著名的定理,多用于证明点共线,其逆定理也成立Simson定理,P是ΔABC外接圆上一点,过点P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF 则D,E,F是共线的三点

直线DEF称为点P关于ΔABC的Simson线

引理,完全四边形的Miquel定理,,四条直线两两交于A,B,C,D,E,F六点

ABFBCECDFDAE，，，则共点

先从ΔABFECDBCECDFDAE对,,三点运用密克定理,则,,共点

ΔDAEBCFABFBCECDF对,,三点运用密克定理,则,,共点因此,,,共点ABFBCECDFDAE

其中所共的点叫做完全四边形的Miquel点

证明,这里运用Miquel定理作为证明

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指导教师:田祥彪设PDBCPEABDECAF垂直,垂直,延长交于

则问题等价于证明垂直PFAC

连PF

四边形是完全四AFCDBE边形

所以由完全四边形的定理,引理,Miquel

ABCBDEAEFCDF,,,共点

注意到，,，PEBPDB

所以,,D,E四点共PB圆

所以与交于点和BABCBDEP

因此完全四边形FACDBE的点非MiquelP则B

而A,E,B是同一直线上三点

因此A,E,F,B不可能共圆

因此P是完全四边形FACDBE的点Miquel由此P,E,F,A四点共圆

则，PFA=90

今逆定理证略

从这个证明我们看到Miquel定理的威力不仅在于圆共点,而且对于共点圆也同样

适用

在有了Simson定理之后,我们可以运用Simson定理来给予完全四边形的Miquel

定理一个新的证明,即前面的引理,

证明,

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设BCECDFC与非的一个交点为M,过M作MP垂直BE,MQ垂直EC,其余同理。因为M在上,由定理,是共BCESimsonPQR线的三点

同理对ΔCDF运用Simson定理,有QRS也是共线的三点

因此P,Q,R,S四点共线

而注意到,,是点MPQSADE对Δ三边的垂直且共线

欲Simson定理逆定理,得A,M,D,E四点共圆

同理A,B,F,M四点共圆

因此,,,共点于BCECDFADEABFM

由这个证明,我们可以知道完全四边形的Miquel定理和Simson定理是等价的能够运用Simson定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明,反之亦然这样,Simson定理便与密克定理产生了莫大的关联

PABC‘,PBAC‘,直线例.如图,P为ΔABC外接圆上一点,作交圆周于A’,作交

AABBCC’‘’圆周于B’,C’同理。求证,

证明,设PA’交BC于D,PB’交AC于E,F同理,则由Simson定理知,DEF三点共线

由图形看来,题断三条互相平行的线均与Simson线平行,因此可以试证连PB ，,，,，,，EDBFDBPBAPAA‘而注意到P,B,D,F四点共圆,因此

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因此AA’与Simson线平行。其余同理

事实上,Simson定理可以作推广,成为Carnot定理

Carnot定理,通过ΔABC外接圆上的一点P,引与三边BC,CA,AB分别成同向

，,，,，PDBPECPFB等角,即,的直线PD,PE,PF与三边或其所在直线的交点分别

为D,E,F则D,E,F是共线的三点

可以仿照前面的证明

，,DEF180(这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质,再证) 证明留

给读者,作为习题

5,Ptolemy定理

本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理,而Ptolemy定理是一

个十分重要的定理,及其也有重要的推广

ABCDADBCACBD,，,,,Ptolemy定理,若四边形ABCD是圆内接四边形,则证明,

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如图,设ABCD外接圆半径为R,连ACDABC,过点作Δ各边的垂线分交于于ABCACBBCA',,’于‘,则由Simson定理,A'B'C'是共线的三点因此CBBACA''''''，,

初中数学竞赛教程

七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

初中数学竞赛定理大全

欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式：

塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。

2018年黄冈市初中数学竞赛试题

2018年黄冈市初中数学竞赛试题 一、填空:(30分) 1.已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3,则x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(-ab)2002的值等于________. 2.已知正数a 、b ，有下列命题： （1）若a=1,b=1,≤1;(2)若a=12,b=52,≤32;(3)若a=2,b=3,≤52 ;(4)若a=1,b=5,则- ≤3.根据以上几个命题所提供的信息,请猜想:若a=6,b=7,≤________. 3. 已知k=a b c a b c a b c c b a +--+-++==,2+9=6n,则关于自变量x 的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第_______象限. 4.如图1,∠AOB=450,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则ΔPOR 的周长的最小值为__________. 5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额与他的工 作年数的算术平方根成正比例.如果他工作a 年,他的退休金比原有 的多p 元;如果他工作b 年(b ≠a),他的退休金比原有的多q 元.那么他 每年的退休金是(以a 、b 、p 、q 表示)____________元. 6.已知在ΔABC 中,∠A 、∠B 是锐角，且sinA= 315 ,tanB=2,AB=29cm, 则ΔABC 的面积等于______cm 2. 二、解答题: 7.(10分)观察:1×2×3×4+1=52, 2×3×4×5+1=112, 3×4×5×6+1=192。 ┉┉┉ （1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； （2）根据（1），计算2000×2001×2002×2003+1的结果（用一个最简式子表示）。 8.(10分)如图2,已知Rt ΔABC 中,∠C=900,沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形,使点C 落在AB 边上的一点D.要使点D 恰为AB 的中点,问在图中还需添加什么条件?

2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．

初中数学竞赛常用公式

初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020

初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理：三角形两边的和大于第三边 16 推论：三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18 推论1：直角三角形的两个锐角互余 19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

初中数学竞赛圆历届考题

初中数学竞赛《圆》历届考题 1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一 点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB 的值. 解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠， 所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5 分） ∴AD AP AP AB =， 所以223AD AD AB AP =?=， ∴AD AP 3=， …………………………（10 分） 所以 3==AD AP PD PB . …………………………（15分） 2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 答：C 解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1 ＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60° 3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则 QA QC 的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+ 答：D ． 解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ． 即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=m m r 2 2-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2 B 1 C 1 （第3题图）

新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.

-初中数学竞赛知识点

初中数学竞赛知识点归纳 一、数的整除（一） 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。 如1001100－2＝98（能被7整除） 又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除 如1001100－1＝99（能11整除） 又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除） 二、倍数.约数 1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作： A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。 三、质数.合数 1正整数的一种分类：

全国初中数学竞赛《圆》历届真题

点，使得 ∠ADP = ∠ACB ，求 的值. 所以 PB = = 3 . …………………………（15 分） 点 I 关于边 BC ，CA ，AB 的对称点。若点 B 在△A1B1C1 的外C 接 （ 初中数学竞赛《圆》历届考题 1（04） ．D 是△ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一 PB PD 解：连结 AP ，则 ∠APB = ∠ACB = ∠ADP ， 所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5 分） ∴ AB AP = AP AD ， 所以 AP 2 = AB ? AD = 3 A D 2 ， ∴ AP = 3 A D ， …………………………（10 分） AP PD AD 2、 （05）已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1，B1，C1 分别是 B A 1 圆上，则∠ABC 等于（ ） 1 I D A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° A C 答：C 解：因为 IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 B 1 点 I 同时是△A1B1C1 的外接圆的圆心，设 IA1 与 BC 的交点为 D ，则 IB ＝IA1 ＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60° 3． 06） 正方形 ABCD 内接于⊙O ，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP ，交 AC 于点 Q ．若 QP=QO ， 则 QC QA 的值为（ ） D C （A ） 2 3 - 1 （B ） 2 3 （C ） 3 + 2 （D ） 3 + 2 O 答：D ． Q 解：如图，设⊙O 的半径为 r ，QO=m ，则 QP=m ，QC=r ＋m ， A B QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得 QA ·QC=QP ·QD ． P （第 3 题图）

初中数学竞赛——圆3.与圆有关的比例线段

初二数学超前班八年级 第3讲与圆有关的比例线段 知识总结归纳 一．相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O ⊙内一点P，则PA PB PC PD ?=?． 二．相交弦定理的推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 三．切割线定理 如图，在O ⊙中，AB是O ⊙的切线，AD是O ⊙的割线，则2 AB AC AD =? 四．割线定理 如图，在O ⊙中，PB PD 、是O ⊙的割线，则PA PB PC PD ?=? A O ? D C B A P

初二数学超前班 八年级 2 思维的发掘 能力的飞跃 典型例题 一. 相交弦定理 【例1】 如图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = _______cm ． 【例2】 如图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =， 1.54AM BM ==，，求OC 的长． 【例3】 如图，O ⊙中半径OC 与弦AB 相交于点P ，351AP BP CP ===，，，则O ⊙的半径为_______； 如果另一条弦CD 平分AB ，C 到AB 中点的距离为2，则CD =_______． 【例4】 如图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么（ ）． A ．2OP PA P B =? B ．2P C PA PB =? C ．2PA PB PC =? D ．2PB PA PC =? O ? B P C A D

浙江省义乌市初中数学竞赛试题(含答案)

2006年义乌市初中数学竞赛试题 班级_________姓名_________成绩_________ 一、选择题（6×6=36分） 1.已知0221≠+=+b a b a ，则b a 的值为（ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定 2.已知1 22432+--=--+x B x A x x x ，其中A ，B 为常数，则4A-B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 3.在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） （A ）12 （B ）12或13 （C ）14 （D ）14或15 4.已知一次函数k kx y -= ，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过（ ） （A ）第一、二、三象限 （B ）第一、二、四象限 （C ） 第一、三、四象限 （D ）第二、三、四象限 5. 5.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，F 为△ABC 外的点。连DF 交AC 于E 点，连FC 。现有三个断言： （1）DE=FE ；（2）AE=CE ；（3）FC ∥AB. 以其中的两个断言为条件，其余一个断言为 结论，如此可作出三个命题，这些命题中正确命 题的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 中点，BE ⊥BD 交CA 的延长线于E ，下列结论 中正确的是（ ） （A ）△BED ∽△BCA （B ）△BEA ∽△BCD （C ）△ABE ∽△BCE （D ）△BEC ∽△DBC 二、填空题（5×8=40分） 7.设-1≤x ≤2，则 22 12++--x x x 的最大值与最小值之差为 . 8.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对. 9.方程210 712122=+++-+x x x x 的解为 .

初中数学竞赛试题大全

B C M （第2题图） 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 （本卷满分120分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分． 1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A ．4 1 B ．31 C ．2 1 D ．1 2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D. 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x 的值等于（ ） A ．9 5 B ．59 C ．52011- D ．9 2011 - 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜 线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形 （带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B. 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ， c 是△ABC 的三边长，二次函数2 2 (2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值 b 5 8 -，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D 6 照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2 据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3 数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ．5种 B ．6种 C ．10种 D ．12种 （1） （第6题图）

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第19讲转9讲转化灵活的圆中角60

第十九讲 转化灵活的圆中角 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化． 根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来． 熟悉以下基本图形、基本结论． 注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨． 【例题求解】 【例1】 如图，直线AB 与⊙O 相交于A ，B 再点，点O 在AB 上，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝40°，点E 是直线AB 上一个动点(与点O 不重合)，直线EC 交⊙O 于另一点D ，则使DE=DO 的点正共有 个． 思路点拨 在直线AB 上使DE=DO 的动点E 与⊙O 有怎样的位置关系? 分点E 在AB 上(E 在⊙O 内)、在BA 或AB 的延长线上(E 点在⊙O 外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E 点位置、存在的个数． 注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法． 【例2】 如图，已知△ABC 为等腰直角三形，D 为斜边BC 的中点，经过点A 、D 的⊙O 与边AB 、AC 、BC 分别相交于点E 、F 、M ，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF ＝AB ；③BC BA EF ED ；④2BM 2=BF ×BA ；⑤四边形AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．

2007 年新知杯上海市初中数学竞赛

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.

初中数学竞赛圆

2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则 QA QC 的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+ 5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ， AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等， 则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）． （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 10．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心， DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB 的值为 ． 8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 。 9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1， 以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为 （第3题图） C 1 （第8题） C E I A D B

（ ）。 A 、2a B 、1 C 、2 D 、a 1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点， 使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB 的值. 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作 PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求 证：PE ·AC=CE ·KB ． 6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点 （第4题） C

天津市初中数学竞赛赛试题

2013天津市初中数学竞赛赛试题 所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）： 1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是 （ ）. A 、a b c <≤ B 、b a c <≤ C 、b c a <≤ D 、c a b <≤ 2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若 ⊿ABC 的外接圆半径为6， 111 AD BE CF ++ 的值是（ ）. A 、1 B 、12 C 、13 D 、16 3、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）. A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面 积等于56 ，则 m n m n +-的值为（ ）. A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22 二、填空题（每小题7分，满分35分）： 6、若11111101112 19 a = ++++，则a 的整数部分为 . 7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为10 7 x < ，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .

初中数学竞赛活动方案

初中数学竞赛活动方案 【篇一：初中数学竞赛方案】 2014年11月九年级数学竞赛通知 为增强我校九年级学生的数学学习兴趣，培养学生竞争意识，也为 了履行本学期初的教务工作计划，九年级数学组特定于11月19日 下午第二节课举行一次数学竞赛，具体竞赛方案如下： 一、竞赛组织教师： 九年级全体数学教师 二、参赛人员： 九年级各数学教师或班主任以从班上抽选或组织学生自愿报名的形 式每班至少抽取5名学生参加竞赛。 三、奖项设置： 年级组设置一等奖3名，二等奖6名，三等奖9名，组织奖每班一 名 四、竞赛时间：2014年11月19日（星期三）下午第二节课。 五、考场安排： 九年级组考场设置在提优教室和提高教室，实行单人单桌考试制度；监考教师务必从严监考，杜绝舞弊现象。改卷教师务必做到公正、 公平。 六、11月20日下午7点前各评卷教师将竞赛试卷交于教务处，请 教务处的同志 安排发奖事项。 城头初级中学九年级数学组 2014年9月20日 九年级数学竞赛简报 --------记城头初中九年级数学兴趣小组数学竞赛通过兴趣小组的学习，提高同学们的学习兴趣，让更多的学生能有机会进行再学习， 通过各种活动，让学生真正体会数学来源于生活。使参加兴趣小组 的同学通过学习，把他们的学习意识变被动为主动。在兴趣小组中，拓展数学的知识，让更多同学在数学知识的学习过程中丰富其他各 科的功底，使他们的知识面得到很大的拓展。 九年级数学组定于11月19日下午第二节进行的数学竞赛，成绩已 经出结果，根据从高分到低分的排序，评出一等奖3名，二等奖6名，三等奖9名，组织奖每班一名。 数学竞赛获奖名单

一等奖 陈一澜姜筱雨李善武 二等奖 何岩王迪妮赵灵王保贵张舒琪于姝丽 三等奖 王乐杨颜榕顾袁良邵嘉琪邓美琪赵丹王晨王端军周雅萱 2014年11月25日 【篇二：初中数学竞赛方案】 云贵中学2011-2012学年度第一学期期中 数学知识竞赛方案 一、活动目的： 为开拓学生视野，促进同学们自主扩大学习范围，并在其提高自身 文化素养的同时发掘其多方面才华，使其个人能力得到全面提高， 从而全面提高学生的学习积极性。特开展本次数学知识竞赛活动。 本次竞赛旨在全心全意为同学服务，重在进一步丰富云贵中学校园 文化活动！ 二、活动时间：2011年11月24日（星期四）下午3：45分--- 5:15分三、活动地点：云贵中学物理实验室、生物实验室、多媒体 教室。 四、活动形式：以个人为单位（包括初一、初二、初三学生），采 取分级笔试竞赛方式。五、活动内容： （一）本次竞赛试卷由数学组教师自行出，但是上本级的教师不能 出本级试卷（即上七年级的教师不能出七年级的竞赛试卷、上八年 级的教师不能出八年级的竞赛试卷、上九年级的教师不能出九年级 的竞赛试卷）。按照这个原则，特分工如下： 出题教师必须在11月20日前将竞赛样卷交到教导主任胡彬老师处。越期未交的，本级竞赛取消，按规定对出题教师作出处罚。 （二）本次竞赛共分为三个组：即“七年级组”、“八年级组”、“九年 级组”，具体安徘如下： 1、七年级组： 参赛人数：七（1）、七（2）每班5人，七（3）--七(7)每班3人，共计25人。竞赛地点：生物实验室 2、八年级组： 参赛人数：八（1）、八（2）班每班5人，八（3）、八（4）每班 3人，共计16人。

37-初中数学竞赛中常用重要定理

初中数学竞赛辅导 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

试题：2000年上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)

2000年上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（每小题7分，共70分） 1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG= 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3， C 、 D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和． 3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH= 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程211134 x y xy ++=的整数解（x ，y ）= 9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则BM BA =

=，则y的最大值为 10、设x、y y 二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论． 13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。

奥数-2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答

A F P E C B 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。 【答案】4，132 - 2、在三角形ABC 中，2 2 b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4 3 2 2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。 【答案】 25 5 6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610 x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。 【答案】2772 7、在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】 13 32 k << 8、方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9、如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。 【答案】21°