六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
六大数学思想之四：转化与化归
1.什么是转化与化归？
转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
2. 转化与化归的主要方式：
1、等价转化，
2、空间图形问题转化为平面图形问题，
3、局部与整体的相互转化，
4、特殊与一般的转化，
5、非等价转化，
6、换元、代换等转化方法的运用，
7、正与反的转化,8、数与形的转化，
9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、
11、实际问题与数学语言的转化等.
3.转化与化归思想的原则：
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．
题型一正难则反的转化：
Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥3
2
}．
若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，
则⎩⎪⎨⎪⎧
m ∈U ，x 1
＋x 2
＝4m ≥0，⇒m ≥32
，
x 1x 2
＝2m ＋6≥0
所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．
Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不
为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－373，－5
解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①
g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，
即m ＋4≥2
x
－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，
所以m ＋4≥2
t
－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，
即m ≥－5；
由②得m ＋4≤2
x
－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，
则m ＋4≤23－9，即m ≤－37
3
.
所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－37
3
题型二 函数、方程、不等式之间的转化： 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简， 一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1 e f (x )－(x ＋1)． (e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值； (2)求证：1＋12＋13＋…＋1 n >ln(n ＋1)(n ∈N *)． (1)解 ∵g (x )＝1 e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1 x －1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0 ∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2. (2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点， ∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1 n (n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋1 3＋…＋ 1 n >ln(n ＋1)． Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1. (1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R 知f′(x)＝e x－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f(x)在x＝ln 2处取得极小值， 极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a. (2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln 2－1时， g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0， 所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)， 都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0. 即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1. 题型三主与次的转化： 合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母 看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。 Esp5：已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－23，1 解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0， ∴⎩⎨⎧ φ，φ － ， 即⎩⎨⎧ 3x 2 －x －2<0，3x 2 ＋x －8<0， 解得－2 3 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. Esp6： 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*) (*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0 对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1. 则⎩⎨⎧ g － ＝x 2 －x ＋2≥0，g ＝x 2＋x ≥0， 解得x ≥0或x ≤－1， 即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 题型四 以换元为手段的转化与化归： 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况． Esp7：是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2 x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π 2 ]上 的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，请说明理由． 解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －3 2 ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －3 2 ＝－(cos x －a 2)2 ＋a 24＋5 8a －1 2 . ∵0≤x ≤ π 2 ，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ， 则y ＝－(t －a 2)2 ＋a 24＋5 8a －1 2 ，0≤t ≤1. 当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2 ＋a 24＋5 8a －1 2 在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －3 2＝1， 解得a ＝ 20 13 <2(舍去)； 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时， 则t ＝a 2 时函数有最大值， y max ＝a 24 ＋5 8 a －12 ＝1， 解得a ＝3 2或a ＝－4(舍去)； 当a 2 <0，即a <0时， 函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋5 8a －1 2 在t ∈[0,1]上单调递减， ∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －1 2＝1， 解得a ＝ 12 5 >0(舍去)， 综上所述，存在实数a ＝32，使得函数在闭区间[0，π 2]上有最大值1. Esp8：若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－8] 解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝ ⎛ ⎭⎪⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝ ⎛ ⎭⎪⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8] 六大数学思想之四：转化与化归 1.什么是转化与化归？ 转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 2. 转化与化归的主要方式： 1、等价转化， 2、空间图形问题转化为平面图形问题， 3、局部与整体的相互转化， 4、特殊与一般的转化， 5、非等价转化， 6、换元、代换等转化方法的运用， 7、正与反的转化,8、数与形的转化， 9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、 11、实际问题与数学语言的转化等. 3.转化与化归思想的原则： (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决． 题型一正难则反的转化： Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决,总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题 之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来 解决. （2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解。 2。常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元"把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式)与空间形式（图形）关系，通过互相变 换获得转化途径。 （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。 （5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合 原问题。 随着国家经济的发展，科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课 标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在 数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转 化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化，把事情简单化，这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化 比比皆是，如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转 转化与化归的思想 转化就是数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归就是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化与化归的思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓所在，因为数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想都是转化思想的具体体现，各种变换的方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。 转化与化归的思想渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中，随着高考试题由知识立意向能力立意的转变，近几年的高考加强了对转化和化归思想的考查，主要体现在以下几个方面：1．等价转化，如 1999年高考试题第 19题，不等式求解的等价变形；2．立几问题平面化，每年高考立体几何题都展示了这种化归的思想方法；3．局部与整体的转化，如1999年高考第10题，用切割的方法化整为零计算多面体的体积，历年高考的分类讨论题也属整体与局部的转化；4．特殊与一般的转化，如选择题与填空题的特例法，数列中的猜想与证明；5．非等价转化，如反证法，分析法；6．换元、代换等变换方法。转化和化归的思想培养，会不断提高考生的思维水平和创新能力。 例题1．解不等式222x a -＞x ＋a .（a ＞0）. 分析：（1）利用解无理不等式的通法： )(x f >g (x ) ? ?? ???>≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 或???<≥0)(0)(x g x f . （2）利用数形结合法：令y 1=222x a -, y 2＝x 十a . 解法一：222x a -＞x ＋a . ??????+>-≥+≥-2 2222)(20 02a x x a a x x a 或? ??<+≥-00222a x x a ???? ????<<--≥≤≤-0322222x a a x a x a 或?????-<≤≤-a x a x a 2222?－a 32 转化与化归思想方法,就就是在研究与解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法、一般总就是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题, 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题、 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等、各种变换、具体解题方法都就是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容与解题过程中、 1、转化与化归的原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决、 (2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的 目的,或获得某种解题的启示与依据、 (3)直观化原则:将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决、 (4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解、 2、常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化就是解决问题的有 效策略,同时也就是成功的思维方式、常见的转化方法有: (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题、 (2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题、 (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径、 (4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的、 (5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题、 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要、化归与转化思想的实质就是揭示联系,实现转化、除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都就是通过转化为已知的问题实现的、从这个意义上讲,解决数学问题就就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助、化归与转化的思想就是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就就是一步步转化的过程、数学中的 化归与转化 一、化归与转化 其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。 二、典型例题 例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴 的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+ .求点M 的轨迹方程. [解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(14 2 2 >>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122 <<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－ 2x 1－x 2 设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0 数学总复习之数学思想第4讲《转化与化归》 一．转化与化归的原则: (1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则． 二．常见的转化方法：直接转化法，换元法，数形结合法，等价转化法，特殊化方法，构造法，坐标法，类比法，参数法，补集法． 探究一、高维与低维的转化 【例1】已知实数c b a ,,满足1,02 22=++=++c b a c b a ，则a 的最大值是______． . 探究二、正面与反面的转化 【例2】函数14)(2+-=ax x x f 在（0，1）内至少有一个零点，求a 的取值范围． 探究三、特殊与一般的转化 【例3】 已知?ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，且满足 ()OH m OA OB OC =++，则实数m = ． 探究四、抽象与具体的转化 【例4】等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10 = ． 探究五、数学语言（文字、符号、图形）的转化 【例5】记,max{,},x x y x y y x y ≥?=? 1．2 2202x y x y x x y R ?+=+已知，，满足，则的最大值为 （ ） A ．2-+ B ．2-- C ．2+ D ．2-2．设,x y R ∈且22326x y x +=，则22x y +的取值范围为 （ ） A ．[0,4] B ．[2,4] C ．[4,)+ D ．[2,6] 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=5 9S S （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 4．在D ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ?-，则A 的取值范围是 （ ） A ．(0，6π ] B ．[ 6π ，π) C ．(0，3π ] D ．[ 3π ，π) 5．对于函数()f x 定义域中任意的1212()x x x x ≠，，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=?；②1212()()()f x x f x f x ?=+； ③1212()()0f x f x x x ->-； ④1212()()22x x f x f x f ++??< ??? ． 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 ． 6．已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足：f (x ＋y )＝f (x )·f (y )， 且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有 (填序号)． ① f (x )＜－1；② －1＜f (x )＜0；③ f (x )＜1；④ 0＜f (x )＜1. 7．数列{}n a 是等差数列，且1[0,1]a ∈，2[1,2]a ∈，3[2,3]a ∈，求4a 的取值范围． . 数学四大思想:函数与方程、转化与化归、分类讨 论、数形结合 数学四大思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合; 函数与方程 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建 立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等, 要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函 数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。 数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合 数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合； 函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等， 要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应 第4讲 转化与化归思想 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2012·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29 ，则a 10＝________. 2．定义运算：(aD ○＋b )D ○×x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(aD ○＋b )D ○×x <0的解集为{x |1 转化与化归思想 一、知点透析 解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题． 应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化策略有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等类型。 常用的方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径. （4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化. （5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. （6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题. （7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论. （8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题. （9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题 通过一般化的途径进行转化. （10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的. （11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题 的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法. （12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而把包含该问题 的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集 获得原问题的解决. 小试身手 1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） A.1 B.3 C.4 D.8 2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . 例题精讲 问题1：正与反的转化 若下列方程：03442=+-+a ax x ，0)1(22=+-+a x a x ，ax x 222-+=0中至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围. 转化与化归的数学思想 一、转化与化归思想的含义 化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现． 化归思维模式：问题→新问题→解决新问题→解决原问题. 化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二、化归思想的解题途径 1、一般与特殊的转化 21(0)11,2.243 y ax a F P Q PF FQ p q p q A a B a C a D a =>+例 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交 于、两点，若线段、的长分别为、则 的值为（ ） 浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、12 2=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转化与化归思想 化归与转化的思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，一般情况，总是将未解决的问题化归转化为已解决的问题. 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，也是在解决数学问题过程中无处不存在的的基本思想方法，各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.高考中十分重视对化归与转化思想的考查，要求考生熟悉化归与转化各种变换方法，并有意识地运用变换方法解决有关的数学问题. 化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决. 题例1 题例2 比较下图面积大小 题例3 回忆：我们在推导图形的面积或体积公式时用过哪些转化策略？ 题例1用分数表示各图中的涂色部分 （ ） （ ） 圆面积推导 题例4 把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是33.12cm，求阴影部分的面积． 练习一 1.1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90= 2.在一列数2，7，14，23，……中的第十个数为＿＿＿＿。 3.两数相除，商是4余数是8，被除数，除数，商和余数的和是415，则被除数是多少? 4.一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示 为。 5.小明卖出一批苹果得到一笔钱。如果小明多卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话， 则每个苹果的售价将比原售价少2元。如果小明少卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话，则每个苹果的售价将比原售价多4元。请问 a) 小明卖出几个苹果？ 数学思想之转化与化归总结 在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。 首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。 其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。 几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。几何转化不仅能够帮 助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。 最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。 综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。通过等价转化、代数化简、几何转化和枚举化归等方法，我们可以将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，并利用已知的数学知识和规律来解决问题。转化与化归不仅能够帮助我们更好地理解和解决数学问题，还能够提高我们的思维能力和数学素养。因此，在学习和应用数学的过程中，我们应该积极运用转化与化归的思想方法。 高中数学6种数学思想 1.函数与方程思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。 而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。 2.数形结合思想 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。 解题类型： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 3.分类讨论思想 分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。 解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。 常见的类型： 类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论； 类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题； 类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论； 类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。 新高考数学大一轮复习专题： 第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式． 方法一 特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案． 例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若 椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2 ＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2 a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23 ＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)， 所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2， 所以两条切线的交点坐标为(2，3)， 又过A ，B 的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋ 32＝7， 所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7. (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C 等于( ) 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. 2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据. 3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. 4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： 1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. 2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. 3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径. 4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的. 5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数 四、转化与化归思想 转化与化归思想，就是在争辩和解决有关数学问题时接受某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将简单的问题通过变换转化为简洁的问题，将难解的问题通过变换转化为简洁求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 方法一 一般与特殊的转化问题 模型解法 一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点： ①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象． ②查找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，查找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，查找“一般元素”． ③转化为新问题，依据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题． ④得出结论，求解新问题，依据所得结论求解原问题，得出结论． 典例1 已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3 在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1,12] D.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－32，12 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1,1]，明显满足条件，故排解选项A ，B ； 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－9 2 x ， f ′(x )＝9 2x 2－92＝92 (x 2－1)， 当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0， 所以f (x )在[－1,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝32－9 2＝－3，满足条件， 故排解C. 综上，故选D. 答案 D 思维升华 常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的状况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊状况的争辩来推断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中供应的信息示意答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量． 跟踪演练1 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧ x －y ＋2≥0，y ＋2≥0， x ＋y ＋2≤0， 则 y ＋1 x －1 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15 B.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B 解析 可行域为如图所示的阴影部分，设z ＝ y ＋1x －1，由于点(－2，－1)在可行域内，所以z ＝－1＋1 －2－1 ＝0，排解C ，D ；又点A (0，－2)在可行域内，所以z ＝－2＋1 0－1 ＝1，排解A. 方法二 数与形的转化问题 模型解法 数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．破解此类题的关键点： ①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系． ②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简洁化并进行分析与求解． ③回归结论，回归原命题，得出正确结论． 典例2 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( ) 转化与化归思想——消元 转化与化归的思想 所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题。 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法。数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段。 化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。 解题方法指导 1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题： (1)明确化归对象，即对什么问题转化； 2)认清化归目标，即化归到何处去； (3)把握化归方法，即如何进行化归； 2．运用化归与转化的思想解题的途径： (1)借助函数进行转化； (2)借助方程（组）进行转化； (3)借助辅助命题进行转化； (4)借助等价变换进行转化； (5)借助特殊的数与式的结构进行转化； (6)借助几何特征进行转化。 消元 例 用加减法解方程组34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩ 分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 ①② 解：①×3,得9x+12y=48 ③ ②×2,得10x-12y=66 ④ ③＋④,得19x=114 x=6 把x=6代入①，得3×6+4y=16 4y=-2, y=-1 2 所以，这个方程组的解是 6 1 2 x y = ⎧ ⎪ ⎨ =-⎪⎩六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
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2022年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前数学思想领航 四、转化与化归思想 Word版含答案
初中数学转化与化归思想——消元