转化与化归思想
第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．
方法一 特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．
例1 (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直
的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a
＝1(a >0)的离心率为12
，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9
B ．x 2＋y 2＝7
C ．x 2＋y 2＝5
D ．x 2＋y 2＝4
思路分析 求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点
答案 B
解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a
＝1(a >0)的离心率为12，所以1a ＋1＝12
，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23
＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，
所以两条切线的交点坐标为(2，3)，
又过A ，B 的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋(3)2＝7，
所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.
批注 根据题意每个椭圆的“蒙日圆”都是固定的，所以取特殊点，利用过特殊点的互相垂直的切线的交点也在蒙日圆上即可求半径，体现了特殊到一般的思想．
(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM
→等于( )
A ．20
B ．15
C ．36
D ．6
思路分析 假设ABCD 为矩形，建系→写出坐标→数量积运算
答案 C
解析 假设ABCD 为矩形，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,0)，M (12,6)，N (8,8)，
∴AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，
∴AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36.
规律方法 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．
对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．
方法二 命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．
例2 (1)(2022·济南模拟)若“∃x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x <0”为假命题，则k 的取值范围为
( )
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，2]
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，2)
思路分析 原命题为假命题→“∀x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x ≥0”为真命题→分离常数求解. 答案 A
解析 依题意知，命题“∃x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x <0”为假命题，
则“∀x ∈(0，π)，sin 2x －k sin x ≥0”为真命题，
所以2sin x cos x ≥k sin x ，则k ≤2cos x ，
解得k ≤－2，所以k 的取值范围为(－∞，－2]．
(2)已知在三棱锥P －ABC 中，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为( )
A ．40
B ．80
C ．160
D ．240
思路分析 求P －ABC 的体积→补成长方体→求长方体除P －ABC 之外的三棱锥体积 答案 C
解析 因为三棱锥P －ABC 的三组对边两两相等，所以可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC .
易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线．
不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，
则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，
y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8，z ＝10.
从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝
6×8×10－4×13×12
×6×8×10＝160. 规律方法 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元．
方法三 函数、方程、不等式之间的转化
函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．
例3 已知f (x )＝ln x －x 4＋34x
，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对∀x 1∈(0,2]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是__________．
思路分析 对∀x 1∈(0，2]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立→∃x 2∈[1，2]，f (x )min ≥g (x )→分离参数求范围.
答案 ⎣⎡⎭
⎫－18，＋∞ 解析 因为f (x )＝ln x －x 4＋34x
， 所以f ′(x )＝1x －14－34x 2 ＝－x 2＋4x －34x 2＝－(x －1)(x －3)4x 2
， 当0 当1 所以f (x )min ＝f (1)＝12 ， 即∃x ∈[1,2]，g (x )≤12 ， 即∃x ∈[1,2]，－x 2－2ax ＋4≤12 ， ∴a ≥⎝⎛⎭ ⎫－x 2＋74x min ， 函数φ(x )＝－x 2＋74x 在[1,2]上单调递减， ∴φ(x )∈⎣⎡⎦ ⎤－18，54， ∵a ≥－18 ， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭ ⎫－18，＋∞. 例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1). (1)求函数g (x )的极大值； (2)求证：1＋12＋13＋ (1) >ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g (x )的极值→ln x (1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴ g ′(x )＝1x －1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0 令g ′(x )<0，解得x >1. ∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2. (2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点， ∴g (x )≤g (1)＝－2， 即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时，等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2×32×43×...×n ＋1n ＝ln(n ＋1)． 即1＋12＋13＋ (1) >ln(n ＋1)(n ∈N *)． 规律方法 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 六大数学思想之四：转化与化归 1.什么是转化与化归？ 转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 2. 转化与化归的主要方式： 1、等价转化， 2、空间图形问题转化为平面图形问题， 3、局部与整体的相互转化， 4、特殊与一般的转化， 5、非等价转化， 6、换元、代换等转化方法的运用， 7、正与反的转化,8、数与形的转化， 9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、 11、实际问题与数学语言的转化等. 3.转化与化归思想的原则： (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决． 题型一正难则反的转化： Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 转化与化归思想 知识精要： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 导数应用中的化归与转化思想 在数学的知识和技能中，蕴含着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是数学知识和方法产生的根本源泉，对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志，它能指导我们有效地应用数学知识，探寻解题方向. 数学对象的内部或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，针对面临的数学问题，实施或转化问题的条件，或转化问题的结论或转化问题的内在结构，或转化问题的外部表现形式等行动策略去解决有关的数学问题，能促进问题的解决，可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程. 在应用导数解决问题的过程中，对于一时难以解决的问题，可运用转化与化归思想经过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题化归为一类已经能解决或者比较容易解决的问题.而导数综合问题 的主要类型有： （1）不等式的恒成立问题；（2）证明不等式问题；（3）方程的求解问题. 通常，应用化归与转化思想解决导数的综合问题时有一 个基本的解题思路，即：将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题；将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等. 为了完成上述转化，要把握两个关键：（1）针对问题的需要，合理地构造函数，找到问题转化的突破口；（2）通过“再构造、再求导”，实现问题的深度转化. 下面通过具体例题，对上述两个关键进行一些探究. 点评：一次函数、二次函数、指对数函数、幂函数、简单的分式根式函数、绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化、明确化. 问题二：如何再次构造新函数，实现“二次求导” 在求导的过程中，常常会发现导函数大于0或小于0时对应的自变量取值无法确定，这时可考虑再次构造新函数，从而实现“二次求导”. 评注：本题通过转化，使求解a的取值范围问题转化为求函数的值域问题，再利用函数的连续性，进而转化为函数的最值问题.在对本题解法的探究中，转化是关键，构造函数是途径，“二次求导”是方法和策略. 综上所述，通过构造函数再利用导数这一研究函数的有 第21讲 转化与化归思想 转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式． 应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等． 分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段． 1. 已知正实数x 、y 满足1x ＋1 y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 2.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈????0，1 2都成立，则实数a 的最小值为________． 3.函数y ＝x ＋2－x 的值域为________． 4.函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是________． 【例1】 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求PA →·PB → 的最小值． 【例2】 若不等式x 2＋px>4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围． 【例3】 在数列{a n } 中a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝????13 n ＋1(n ∈N * )． (1) 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ； (2) 若S 1, t (S 1＋S 2 ), 3(S 2＋S 3) 成等差数列，求实数t 的值． 【例4】 已知函数f(x)＝??? ?a －1 2x 2＋lnx(a ∈R )． (1) 当a ＝0时，求函数f(x)的单调递增区间； (2) 若∈[1,3]，使f(x)<(x ＋1)lnx 成立，求实数a 的取值范围； (3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y ＝2ax 下方，求实数a 的取值范围． 转化与划归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与划归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的相互转化、实际问题向数学问题的转化等。各种变换、具体解题方法都是转化的手段。 常见的策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等 一、转化与划归思想在三角函数中的应用 例1：已知R a ∈，求函数()()x a x a y cos sin --=的最小值。 例2：已知ABC ?中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，ABC ?的外接圆半径为2，且()()B b a C A sin sin sin 2222-=-? （1）求角C ; （2）求ABC ?的面积的最大值。 二、转化与划归思想在数列中的应用 例3：已知数列{}n a 的首项*11,123,53N n a a a a n n n ∈+== + （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：对任意的();,321111,0*2N n x x x a x n n ∈?? ? ??-+-+≥> （3）证明：1 2 21+>+???++n n a a a n 三、转化与划归思想在函数与导数中的应用 例4：已知函数()R x xe x f x ∈=-)( （1）求函数)(x f 的单调区间和极值； （2）已知函数)(x g y =的图像与函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，证明：当1>x 时，)()(x g x f >； （3）如果21x x ≠，且()()21x f x f =，证明：221>+x x 备选： 1、函数()π20sin 2cos 231sin )(≤≤---=x x x x x f 的值域是__________ 2、设函数,2)(2x x x f -=若0)()()1()1(≤+≤+++y f x f y f x f ，则点()y x P ,所形成的 化归与转化 一、化归与转化 其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。 二、典型例题 例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴 的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+ .求点M 的轨迹方程. [解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(14 2 2 >>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122 <<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－ 2x 1－x 2 设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0 浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、12 2=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下 第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式． 方法一 特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案． 例1 (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直 的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4 思路分析 求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，所以1a ＋1＝12 ，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23 ＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2， 所以两条切线的交点坐标为(2，3)， 又过A ，B 的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋(3)2＝7， 转化与化归思想 一、知点透析 解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题． 应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化策略有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等类型。 常用的方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径. （4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化. （5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. （6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题. （7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论. （8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题. （9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题 通过一般化的途径进行转化. （10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的. （11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题 的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法. （12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而把包含该问题 的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集 获得原问题的解决. 小试身手 1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） A.1 B.3 C.4 D.8 2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . 例题精讲 问题1：正与反的转化 若下列方程：03442=+-+a ax x ，0)1(22=+-+a x a x ，ax x 222-+=0中至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围. 第7讲化归与转化的思想在解题中的应用 一、知识整合 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二、例题分析 例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（） A. m>N B. m 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. 2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据. 3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. 4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： 1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. 2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. 3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径. 4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的. 5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数 转化与化归思想在初中数学中的应用 摘要：数学思想是指在现实生活中对各类数学理论形成的本质认知，体现了 数学学科中的总结性、广泛性和奠基性特点。研究数学中体现的思想和方法，有 助于提高课堂教学的效率，发展和改善学生的认知结构。数学思想和方法包括转 化与化归、数形结合、分类与讨论、函数与方程。数学问题的研究与求解过程， 是一种从未知到已知的变化过程，即通过联想和类比来分析数学问题，选择合适 的方式进行演化，最终确定比较合理且容易的解决方法。将转化与化归思想应用 到初中数学教学活动中，有利于学生掌握数学知识以及解题技巧。基于此，本篇 文章对转化与化归思想在初中数学中的应用进行研究，以供参考。 关键词：转化与化归思想；初中数学；应用分析 引言 数学基本思想对数学原理概念以及法则等都有着深刻的揭示，数学学习者必 须要具备一定的数学思想意识，才能在解题的过程中运用正确的、科学合理的解 答相关问题．因此，初中数学教师必须有意识地引导学生提高数学思想意识，并 积极寻求培养方法的有效途径，将转化与化归思想运用到实际解题教学中，促使 初中生提高数学综合能力。 一、转化思想的内涵 转化思想是一种基本的解题思想，也是一种效率很高的思维方式。在分析、 探究、解决相关数学问题时，解题者使用科学的方法转化问题从而提高解题效率，这就是转化思想的内涵。转化思想包括将复杂问题转化为简单问题，将未知难题 转化为熟悉的简单问题，将抽象数学问题转化为直观的数学问题，将求不等问题 转化为求等价关系问题，等等。归根结底，转化思想是一种解题者从运动变化发 展的角度，对问题之间的关联进行探究，从而实现对问题的变换、转化的数学思想。 转化与化归思想 化归与转化的思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，一般情况，总是将未解决的问题化归转化为已解决的问题. 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，也是在解决数学问题过程中无处不存在的的基本思想方法，各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.高考中十分重视对化归与转化思想的考查，要求考生熟悉化归与转化各种变换方法，并有意识地运用变换方法解决有关的数学问题. 化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决. 题例1 题例2 比较下图面积大小 题例3 回忆：我们在推导图形的面积或体积公式时用过哪些转化策略？ 题例1用分数表示各图中的涂色部分 （ ） （ ） 圆面积推导 题例4 把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是33.12cm，求阴影部分的面积． 练习一 1.1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90= 2.在一列数2，7，14，23，……中的第十个数为＿＿＿＿。 3.两数相除，商是4余数是8，被除数，除数，商和余数的和是415，则被除数是多少? 4.一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示 为。 5.小明卖出一批苹果得到一笔钱。如果小明多卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话， 则每个苹果的售价将比原售价少2元。如果小明少卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话，则每个苹果的售价将比原售价多4元。请问 a) 小明卖出几个苹果？ 转化与化归思想（第1课时）教案 【考情分析】 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学水平，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。 【知识交汇】 转化与化归思想方法，就是在研究和解决相关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题实行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论实行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：使用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：使用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径实行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而 浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用 作者：黄庆彬 来源：《新课程》2021年第12期 新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运 用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。 在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。以下便是其模式。 一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则 应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。（4）正难则反原则。若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。 二、高中数学中常见的转化与化归方法 共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。 三、高中数学中转化与化归思想主要的应用情形 主要有6种：（1）在三角函数和解三角形问题中，公式的“三用（顺用、逆用、变形用）”、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理和余弦定理实现边角关系的相互转化等。（2）函数问题中，把一个较难或较复杂的函数、方程、不等式转化为较简单、较容易的函数、方程、不等式。（3）在有平面向量与三角函数，又有平面几何、解析几何的交叉综合题目中，进行语言相互转化。（4）将一般的陌生的数列转化为常见的等差数列或等比数列求解。（5）将函数的单调性、极值（最值）、切线问题转化为其导函数f'（x）构成的方程、不等式问题来求解。（6）有关解析几何、立体几何的问题，常常用数形结合思想，通过数形转化来解决。 四、结合例题浅析高中数学中转化与化归思想的基本类型 1.特殊与一般的转化 转化与化归的思想 一、考点，热点分析： 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程， 是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还 是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。化归与 转化常遵循以下几个原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和 问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的 形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面 去探求，使问题获解。 二、典型例题： A．一般与特殊的转化 1．设等比数列｛a n｝的公比为 q，前 n 项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则 q=___________. 2．设三棱柱ABC—A1 B1C1的体积为 V， P、 Q分别是侧棱A A1、 CC1上的点，且PA=QC1，则四棱 锥—的体积为（用 V 表示） B PACQ B．正与反的转化： 3．已知对于函数 f ( x)x 2mx n(m R,n R,m 0) 至少存在 x0使 f ( x0 )0 成立， 为假命题，则1nm2 m2 的最小值为 C．变量与常量的转化 化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。 一、化归 化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。 例子1：求解一元二次方程的解 对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。 首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。 接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。 最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。 通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。 二、转化 转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。 例子2：求解无穷几何级数的和 对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。 首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。 接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。 然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。 通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。 三、化归与转化的结合应用 例子3：解决贝塞尔函数的微分方程 贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，在物理学和工程学中有广泛的应用。而解决贝塞尔函数的微分方程是一个常见的问题。六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
转化与化归思想
导数应用中的化归与转化思想
转化与化归思想
转化与划归思想
转化与化归
浅谈转换与化归思想(精)
转化与化归思想
高一数学思想精讲--转化与化归思想
高考复习资料：化归与转化的思想
转化与化归思想方法
转化与化归思想在初中数学中的应用
转化与化归思想(适合小学、初中)
转化与化归思想(第1课时)教案
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用
化归与转化的思想
化归与转化的数学思想解题举例