高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）

高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例

详解）

所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解。

一、转化与化归思想的原则

(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。

(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体。

(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。

(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决。

二、转化与化归思想常用到的方法

(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。

(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。

(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。

(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。

(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。

(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证。

(10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U 及补集∁UA 使原问题得以解决。

三、典型试题解析

1、特殊与一般的转化

归纳拓展本题求a n时采用了特殊化的方法，这是归纳——猜想——证明的归纳推理。当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略。

数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题。

2、正难则反的转化与化归

归纳拓展本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x轴相交”着手，求出a的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了。一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考虑，在概率计算中有较多这样的问题。

3、抽象问题与具体问题的转化

4、函数、不等式、方程之间的转化

归纳拓展本题的求解涉及两类题型和求解的方法：

(1)求参数的范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题求解。

(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f(t)，而函数又在此区间有零点，则结合图形分析，可得f(t)≥0(或f(t)≤0)。

化归思想在数学中的应用

目录

摘要 化归方法是数学解决问题的一般方法，是被广泛使用着的一种用来研究数学问题，解决数学问题的重要方法，是中学数学的基本思想方法之一。化归方法包括三个要素：化归对象，化归目标和化归途径；化归要遵循简单化原则，熟悉化原则，具体化原则，和谐化低层次化原则，标准形式化原则等；

1.化归方法的界定、意义及遵循原则 数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。任何数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想是教材体系的灵魂，是数学设计的指导，是数学教学的统帅，是解题思路的指南。化归在数学中是一个非常基本的思想方法，有着十分广泛的应用。不仅许多重要的思想方法都属于“化归”的范畴，而且许多重要的数学思想和研究策略也可用化归的思想来概括。 1.1化归方法的界定 回顾我们处理数学问题的过程与经验，会发现我们常常是将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比较熟悉的问题来解决因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法；也常将一个复杂的问题转化结为一个或几个简单的问题来解决等等。他们的科学概括就是数学上解决问题的一般思想方法——化归。 化归即转化归结的意思，把有待解决、未解决的问题，通过转化迁移，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决，这就是“化归”。化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或以有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答。其中问题B常被称作化归或方向，转化的手段被称为化归途经或化归策略。可见，化归包含三个基本要素： （1）化归对象，即把什么东西进行化归； （2）化归目标，即化归到何处去； （3）化归途经，即如何进行化归。 化归方法有着坚实的客观基础，是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件下的“相互转化”的能动反映。它着眼于揭示联系，实现转化，通过“矛盾转化”解决问题。 1.2化归方法的意义 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。这也是辩证唯物主义的基本观点。 匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却

浅析化归思想在数学中的应用

浅析化归思想在数学中的应用 许多学生在学习数学的过程中往往存在不少困难，再加上一些教师习惯于采取题海战术，既增加了学生负担，又花费了大量时间，效果却很不理想.若能在教学中渗透与强调几种常见的数学思想，帮助学生掌握一些重要的解题方法与策略，将会取得事半功倍的效果。本文将对通过几个例子对这一思想做简要探讨。 所谓”划归思想”就是把我们所遇到的”陌生”问题转化为比较”熟悉”的问题，比较抽象的问题转化为比较直观的问题，比较复杂的、高维的问题转化为比较简单的低维的问题等。常用的划归策略有以下几类： 一、般与特殊的转化 从一般与特殊的关系出发，有两种化归途径。一是将一般问题特殊化；二是把所给问题作为特殊形式，将特殊问题一般化。 例：是否存在a，b，c，使An= an2+bn+c，且满足A1=1，3Sn=（n+2）An对一切自然 数n都成立（其中Sn=A1+A2+∧+An），试证明你的结论. 分析：因为a，b，c均为未知，要判断它是否使An=an2+bn+c，且满足A1=1，3Sn=（n+2）An对一切自然数n

都成立，很难入手，但考虑到A1已给出，我们可以先求出其在特殊情况下a，b，c的值，再推广到一般情形讨论.根据这一思路，由于3Sn=（n+2）An（其中Sn=A1+A2+∧+An），可以求出A2和A3（3（A1+A2）=（2+2）A2，3（A1+A2+A3）=（3+2）A3，得A2=3，A3=6） 这样可以得到一个关于a，b，c的方程组，由这个方程组解出的a，b，c的值就是n=1，2，3时的值（a=1/2，b=1/2，c=0），然后再用数学归纳法证明它是否对一切自然数均成立，问题变的容易多了. 二、模型化 在解应用题时，经常把实际问题抽象为数学问题，构造适当的数学模型，使应用性问题得以解决.。 例：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规则：本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1/5，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上年增加1/4. （1）n年内（本年度为第一年）总投入为An万元，旅游业总收入为Bn万元，写出An，Bn的表达式； （2）至少经过多少年，旅游业总收入才能超过总投入？ 分析：由于每年投入将比上年减少1/5，故逐年投入

2019高考数学转化与化归思想典型运用

2019高考数学转化与化归思想典型运用 所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。 转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图： 转化具有多向性、层次性和重复性的特点。为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。 转化思想方法包含三个基本要素： 1、把什么东西转化，即转化的对象； 2、转化到何处去，即转化的目标； 3、如何进行转化，即转化的方法。 转化思想方法应遵循以下五条原则： 1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。 2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。 4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。 转化思想的典例剖析 1. 数与形的转化 例1.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 分析: 动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点, 横坐标相同，那么 MN 就是纵坐标之差，即sin cos MN x x =-求最值。 论、

高考复习资料：化归与转化的思想

第7讲化归与转化的思想在解题中的应用 一、知识整合 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二、例题分析 例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（） A. m>N B. m

高中数学-化归与转化思想

一、 考点回顾 化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有： 1、等与不等的相互转化 等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。 2、正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。 3、特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。 4、整体与局部的相互转化 整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。 5、高维与低维的相互转化 事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。 6、数与形的相互转化 通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。 7、函数与方程的转化 二、 经典例题剖析 例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决； （Ⅱ）要证当1x >时，恒有2 ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2 ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时 ()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。 本资料分享自千人教师QQ 群323031380 期待你的加入与分享

2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第4讲转化与化归思想(含答案)

新高考数学大一轮复习专题： 第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式． 方法一 特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案． 例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若 椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2 ＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2 a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23 ＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)， 所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2， 所以两条切线的交点坐标为(2，3)， 又过A ，B 的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋ 32＝7， 所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7. (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C 等于( )

化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。 一、化归 化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。 例子1：求解一元二次方程的解 对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。 首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。 接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。 最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。 通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。

二、转化 转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。 例子2：求解无穷几何级数的和 对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。 首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。 接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。 然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。 通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。 三、化归与转化的结合应用 例子3：解决贝塞尔函数的微分方程 贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，在物理学和工程学中有广泛的应用。而解决贝塞尔函数的微分方程是一个常见的问题。

浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用

浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用 作者：黄庆彬 来源：《新课程》2021年第12期

新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运

用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。 在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。以下便是其模式。 一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则 应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。（4）正难则反原则。若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。 二、高中数学中常见的转化与化归方法 共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。 三、高中数学中转化与化归思想主要的应用情形 主要有6种：（1）在三角函数和解三角形问题中，公式的“三用（顺用、逆用、变形用）”、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理和余弦定理实现边角关系的相互转化等。（2）函数问题中，把一个较难或较复杂的函数、方程、不等式转化为较简单、较容易的函数、方程、不等式。（3）在有平面向量与三角函数，又有平面几何、解析几何的交叉综合题目中，进行语言相互转化。（4）将一般的陌生的数列转化为常见的等差数列或等比数列求解。（5）将函数的单调性、极值（最值）、切线问题转化为其导函数f'（x）构成的方程、不等式问题来求解。（6）有关解析几何、立体几何的问题，常常用数形结合思想，通过数形转化来解决。 四、结合例题浅析高中数学中转化与化归思想的基本类型 1.特殊与一般的转化

浅析高中数学教学中运用化归思想的案例

浅析高中数学教学中运用化归思想的案例 化归思想在高中数学教学中具有重要的地位，它不仅是数学知识体系中的一个重要组 成部分，而且也是高中数学教学中的一种重要教学方法。接下来，笔者将从三个方面分析 高中数学教学中运用化归思想的案例。 一、初步引入化归思想 在初中数学学习过程中，学生已经接触了化简、分离变量和相似三个概念和方法，并 学会了运用这些方法解决一些简单的问题。例如，已知两个矩形的周长相等，求它们各自 的面积。对于这类问题，学生可以使用相似的方法求解。但是在高中数学学习过程中，面 对更加复杂的问题，相似方法就显得有限。因此，我们需要引入化归思想解决更加复杂的 问题。 例如，在高中数学学习中，遇到如下的问题：已知正整数a，b，c乘积为n，求正整 数x，y，z，使得a=x^2y，b=xy^2，c=xyz，其中x，y，z均为正整数，且xyz^2为n的因数。遇到这种问题，学生可以使用化归思想，将问题转化成求数x，y，z，使得xyz=n。 二、进阶运用化归思想 在高中数学学习中，化归思想的运用不仅仅是将问题转化成相对简单的问题，还需要 能够深入利用化归思想解决更加复杂的问题。例如，在数列学习中，要求证明一组数列的 极限为0，需要使用化归思想。 对于一个数列{x_n}，当n趋近于无穷大时，如果它的极限为0，我们需要证明的是对于任何ε>0，都存在N(m)∈N，当n>N(m)时，有|x_n-0|<ε成立。在证明中，我们需要依次考虑每一层ε的取值范围，将其化归为|x_n-0|<ε<1/n中，然后再将它归结为∃ε'>0，使得当n>N(ε')时，有|x_n-0|<ε'成立，最后再求出ε'和N(ε')，从而证明其极限为0。 三、拓展化归思想的应用 在高中数学学习中，化归思想也可以用于拓展更多领域的应用。例如，在微积分学习中，化归思想可以用于解决求实函数的导数问题。对于一个实函数f(x)，我们可以将其分成两部分，即一个函数u和一个函数v，然后将f(x)表示为f(x)=u(x)v(x)，再对f(x)求导，即可得到f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。这样，我们就可以将求实函数的导数问题化 归成求函数u和v的导数的问题，从而更加方便求解。 总之，化归思想在高中数学学习中有着广泛的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握 数学知识，解决更加复杂的问题。因此，在高中数学教学过程中，化归思想的教学应该得 到足够的重视，以提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

转化与化归思想在数学解题中的应用

转化与化归思想在数学解题中的应用 转化与化归思想，是将一个问题由难化易，由繁化简的过程。是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。转化与化归思想作为重要的数学思想之一，是中学数学中最重要的解题意识，在数学教学活动中充分注意这种意识的培养，可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 在初中数学学习过程中化归思想存在解决问题的各个方面，是在数学学习过程中快速解决问题的有效途径。 一、数与形的转化 数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化。化归思想在初中数学学习中的应用就是教会学生能够以动态的视角去学习相关的知识，能够发现知识之间的相关性，从而使得在初中数学中学习的知识都能够很好的融入到学生的知识体系中。例如讲三角形、特殊四边形等形的问题时可以转化为数量关系来处理，就数论形；如图1两个正方形并列摆放，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问题：只允许剪两刀，使裁剪后的图形能拼成一个大正方形。这个问题很多学生看到后都进行了动手操作，这里画一条线，那里剪一下，试了很多次也不能找到正确答案。实际上，我们只需把形转化为数，利用数的角度很容易就能理解明白，且迅速解决。解决办法如图2.

浅谈化归方法在数学解题中的应用

浅谈化归方法在数学解题中的应用 化归方法是解决数学问题的常用方法之一。化归方法就是把未知问题化归为已知问题、把复杂问题化归为简单问题、把非常规问题化归为常规问题，从而使问题获得解决的方法。学生有了化归的思想，就能在更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力。下面从以下几个方面来谈谈化归方法在数学解题中的应用。 一、化未知为已知 已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知。这种看法上的转变，往往可以帮助我们找到解题的方向。 二、化繁为简 有些数学问题情况复杂，使用常规解法无处下手，对这些问题，可视情况对问题进行转化。 例：求f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值。 分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把（x+80°）转化为[（x+20°）+60°]，则非常容易求解。 解：f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）=3sin（x+20°）+sin[（x+20°）+60°] = sin（x+20°+?渍） ∴f（x）max= 三、化一般为特殊 “一般”与“特殊”两者之间可以互相转化，一般性寓于特殊性中，特殊性不能代替一般性。但我们可以从问题的特殊情况入手，探索研究问题的一般性。 例：已知PA、PB是圆O的切线，∠APB=60°，AP=5 ，C为弦AB上的任意一点，过点C作射线OH，使PH⊥OH于H，求OC·OH的值。 分析：C为AB上任意一点，为探求OC·OH的值，我们可以特殊化处理，即取AB的中点C′，此时H与P重合，连接OA，AC′为直角三角形斜边上的高，由射影定理OC′·OP=OA2（⊙O的半径OA可求），当C在弦AB的一般位置时，只证OC·OH=OC′·OP。 由割线定理可知，只证C、C′、P、H四点共圆即可。因为∠CC′P=∠CHP=90°，

转化思想在数学学习中的应用

转化思想在数学学习中的应用 转化思想在数学学习中的应用 转化思想在数学学习中的应用 转化也称化归，它是指将未知的，陌生的，复杂的问题通过事物之间的内在联系转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般、特殊转化，等价转化，复杂、简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。 在小学阶段，转化思想在几何方面用到的比较多，比如面积部分，或体积部分，下面我们分别探讨一下，在这几个方面的应用。 一、1、 面积方面：多边形的面积 我们知道长方形的面积是探讨其他图形面积的基础，长方形的面积=长×宽

在学习平行四边形面积时我们就是想法把平行四边形转化为长方形来解决，如何转化，观察下面图形，看平行四边形与长方形的内在联系 我们看到，长方形的邻边互相垂直，而平行四边形的邻边则不一定，所以我们可以猜想是否可以沿着平行四边形的某条高把平行四边形剪开，再重新组合一下。如下图： 这时，我们看到平行四边形就转化为了长方形，长方形的长就是原来平行四边形的底变来的，宽则是由原来平行四边形的高变来的，所以原平行四边形的面积=长方形的面积=底×高。 再看三角形如图： 我们对比三角形与平行四边形的形状，我们不难想到，如果把两个形状完全一样的三角形反向拼接在一起，就构成了一个平行四边形。如下图 所以不难看出三角形的面积=平行四边形面积的一半=底×高÷2 再如梯形 从其形状，不难看出，把对角连一下，一个梯形就转变成了两个三角形，如下图。 所以梯形面积=两个三角形的面积和=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。

浅谈“化归与转化思想”在高中数学解题中的应用

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/2b19363608.html, 浅谈“化归与转化思想”在高中数学解题中的应用 作者：詹依婷 来源：《文理导航》2017年第02期 【摘要】在高中数学的学习过程中，总会出现各种各样的数学问题，掌握解题方法从而高效的解题是数学学习的目标，但是数学习题是无止境的。因此我们高中生只有把握精准的数学解题方法才能够解决不同的多样的数学问题。在高中数学的学习阶段，我们必须掌握化归转化思想，例如数形结合、等价代换等，熟练运用化归思想解题是高中阶段数学学习的良好途径。 【关键词】高中数学；解题；转化与化归 化归和转化思想是高中阶段数学解题的精髓思想。在我们的高中学习中，数学课程具有起点较高、难度较大、课容量较大以及课时较紧张的特点，因此若是不能很好地掌握并运用化归思想及转化思想，很可能出现跟不上教师的课堂进度的状况，因此我们要更加注重数学思想方法的学习，以便提升自身的数学水平和解题能力。 1.转化思想的解题运用 转化思想在高中的数学中有着十分重要的地位。所谓转化，就是把问题元素从一种形式转移到另一种形式的过程，可以是图文转化，也可以是向符号的转化，我们在高中数学的解题过程中会十分频繁的用到转化方法。例如，在三角函数问题中，我们可以把一些复杂的陌生的函数关系转化为更加简单地熟悉的三角函数。例如，若直线3a+4b+z=0与圆的参数方程， x=cosα+1，y=sinα-2没有交点，则直线方程中实数z的取值范围是多少？一般的思想需要通过大量的计算，并且在计算过程中还很容易出现失误，但是如果运用代入的思想，可以将一个方程带入另一个方程，从而得到3cosα+4sinα=-z+5，并且题目中又有已知条件，两个曲线并没有交点，通过计算可以得到4sinα+3cosα的绝对值≤5，因此通过解不等式很容易可以算出z的取值为大于10或小于0。除了这样的简单带入思想之外，还要注意有关三角函数的转化公式， 例如诱导公式、两角和差公式、倍角公式、半角公式，和差化积公式、积化和差公式。 2.化归思想的解题运用 高中数学中运用化归思想，可以将处于静态关系的两个数学量通过构造函数等方法转变为两个拥有动态关系的数学量，在运用函数的特性来解决问题，这样的方式在高中数学的解题思路中经常会用到。例如，在学习指数函数对数函数时常常会遇到比大小的问题，比较以1/2为底3的对数和以1/2为底1/5的对数。这虽然是一道比较基础的练习题，但在解题过程中也运

例说化归与转化思想在解决不等式问题中的应用

例说化归与转化思想在解决不等式问题中的应用 金华市第六中学浙江金华 321000 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，往往需要变换，将原问题转化为一个对自己较熟悉的新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.本文就不等式问题谈谈这种思想方法的应用，以供参考. 一、利用“等价变换”思想，解不等式 解不等式实际上是等价变换,也就是说，要求每一次变形所得到的不等式与变形前的不等式是等价的,因此，解不等式通常运用这种化归与转化思想。比如：解分式不等式等价转化为整式不等式、解含绝对值不等式转化为不含绝对值不等式、解高次不等式向低次不等式转化，等等. 例 1.解不等式|x-1|-|x-2|＜0. 本题也可以利用不等式的乘方性质可直接转化为不含绝对值的不等式，原不等式即|x-1|＜|x-2|,两边平方等价于(x-1)2＜(x-2)2，整理即得当然，利用绝对值的几何意义，即|x-1|表示在数轴上到表示实数1的点的距离小于到表示实数2的点的距离，这样的实数在数轴上表示的点在实数对应的点的左侧，可直接得 二、利用“函数方程”思想，变换不等式问题为函数方程问题 不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、相互制约.在解决不等式问题时，函数与方程思想是一种重要方法，同时利用数形结合，以达到“以数辅形，以形助数”目的，从而使问题迎刃而解. 例2设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，且，求实数a的取值范围[1]。 三、利用“反客为主”思想，解决含参不等式问题 例3.若不等式2x-1＞m(x2-1)对|m|≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围. 解析形式上看这个问题是含参数m的x的不等式问题，直接令（fx）=mx2-2x+(1-m)难以解决.若将其化为含参数x的m的一次不等式（x2-1）m（-2x-1）＜0，再令（fm）=（x2-1）m（-2x-1），这是因为（fm）是关于m的一次函数或常数函数，（fm）在[-2，2]上的最大值必在

浅谈转化思想在数学中的应用

浅谈转化思想在数学中的应用 数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是指导我们探索问题、研究问题和解决问题的尚方宝剑，它常常隐含于数学知识的发生、发展过程中。“转化思想”在数学中的应用之广，作用之大，无法用语言形容。那在数学中什么是转化思想呢？通俗地讲就是把我们不会的问题转化为我们会的问题，从而达到解决问题的的目的。在我们的实际做题过程中，经常会遵守一些转化的基本原则，下面就以几个常用原则举例说明转化思想在数学中的作用。 1、熟悉化原则 熟悉化就是把所遇到的“陌生”的问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。 例1、已，求的值。 分析：对于初一的学生来说无法直接解出关于的二元二次方程，但是若从完全平方公式着手，已知条件可以转化，又因为偶次幂具有非负性，即，所以得到，进而得出，最终问题得以解决。 2、正做难反做简单原则 在解决某些较为复杂的问题时，我们从正面考虑很困难或没有思路，但如果反过来考虑的话，问题就迎刃而解了。 例2、四边形ABCD中，AB=DC,BC=AD,E,F是AC上的两点，且AE=CF,求证：DE=BF. 分析：这个问题若有已知向后推理比较困难，但用变换方法寻找证明方法比较容易。要证DE=BF，只要证即可，要证只需证明，根据条件不难证明。这样问题就解决了。 3、简单化原则 简单化原则就是八比较复杂的问题简单化，从而使问题得以解决。 例3、因式分解 分析：该题大部分学生会利用完全平方公式进行分解，但此题有更为简单的做法，把看作整体，题目可转化为就简单多了。 对于数学中的“转化思想”还有很多，不在一一列举。事实上，“转化思想”是数学思想方法中最基本、也是最重要的一种方法，是数学方法的灵魂和精髓，理解并掌握了这种方法，许许多多的数学问题都能迎刃而解。因此，在平常的教学中，我们应着重探索和研究这一方面的问题，教师若能在平时教学中合理展示“转化思想”在数学中的广泛应用，即可以让学生明晰数学知识之间的脉络和联系，同时还可以帮助学生迅速找到探究问题的正确思路和解决问题的最简单、最容易的方法；并注重引导学生在预习、学习、练习和复习中灵活运用“转化思想”，有利于提高学生分析问题、研究问题解决问题的能力。让“转化思想”在数学教学和数学学习生活中发挥更好、更大的作用，为我们的学习和教学服务。

专题(二)逻辑推理——转化与化归在一元二次不等式中的应用-2021年高考数学核心素养系列专题

核心素养系列（二） 逻辑推理——转化与化归在一元二次不等式中的应用 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想． 类型一 “三个二次”的相互转化 【典例1】(2020·河南郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1,0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________． 【素养指导】由f (x )>0的解集→f (x )＝0的根→韦达定理求b ，c ； 由f(x )＋t ≤4恒成立→分离参数→求g (x )＝2x 2－4x －2的值域→利用最小值列式求解 【答案】4 (－∞，－2] 【解析】由不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根， 即2=,232 b c ⎧⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,6,b c =⎧⎨=⎩所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6. 所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1,0]． 令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1,0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1,0]上单调递减， 则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2. 【素养解读】本题的解法充分体现了转化与化归思想，不等式的解集转化为一元二次方程的根，可求出b ，c 的值，不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 【素养专练】1.(2020·日照调研)关于x 的不等式220x px +-<的解集为(),1q ，则p q += _____________. 【答案】-1 【解析】由题意，方程2 20x px +-=有一个根为1，得1p =，则不等式为220x x +-<，其解集为()2,1-，得2q =-，1p q +=-，所以答案为-1. 2.(2020·青岛高三模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )

浅谈化归方法在数学解题中的运用

浅谈化归方法在数学解题中的运用 所谓化归方法，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，把这个问题变形，使之归结为另一个熟知的、较容易解决的或者已经能解决的问题，通过对它的解决，求得原问题的解决。化归方法在小学数学教材中应用非常广泛，是根本且典型的数学思想，是学生解决问题的有效方法之一。学会化归方法，对学生解决问题能力的形成和开展有着十分重要的作用。现谈谈化归方法在数学解题中的运用。 一、把“未知”化归为“已知” 列方程解应用题是将应用题中要求的未知量用某个字母代替，把题中的问题（即未知量）暂时与条件同样对待，从而把“未知”化归为所谓的“已知”，然后再根据题设所反映的等量关系，列方程解答。 例如：一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析：如果设高是x厘米，就是把题中的问题暂时与已知条件同样对待，把“未知”化归为“已知”。根据题意可知这道题的相等关系式是： 底×高÷2=三角形的面积。 解：设三角形的高是x厘米，那么有： 25x÷2=100 x=8 答：这个三角形的高是8厘米。 二、把一种运算化归为另一种运算

在分数除法运算中，我们通常把分数除法运算化归为分数乘法运算来完成。 例如：÷=×=。 分析：对于异分母分数加、减法的运算，我们可以先通分，转化为同分母分数加、减法的运算，进而化归为整数（分子）的加、减运算来实现。 例如：+=+==。 三、把数的一种形式化归为另一种形式 在分数、小数四那么混合运算中，可以把分数化为小数，通过小数的运算来完成分数的运算，反之也可以。这是利用数的两种形式的化归来实现问题的解决。 例如：2+8.56 或： 2+8.56 =2.75+8.56.125 =2+86 =11.256.125 =2+86 =5.125 =5 四、把一种图形化归为另一种或几种图形 这种化归方法通常应用于求组合图形面积或体积的问题。组合图形的构造有两种情况：一种是由几个根本图形组合而成；另一种是由一个根本图形割出一个图形而成。所以求组合图形的面积或体积时，通过化归，把它分割、添补或再组合，使其成为一个或几个简单图形，再求其面积或体积，最后利用求它们的和或差来求得原题的解。 例如：求以以下图中阴影局部的面积。（单位：厘米）

探究化归与转化思想在高中数学中的应用

探究化归与转化思想在高中数学中的应用

探究化归与转化思想在高中数学中的应用 厦门五显中学陈秋枫在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化，归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之一一化归和转化的思想方法。 数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是山未知到已知，由难到易，由繁到简。 世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题” “我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”,他认为解题的过程就是“转化”,的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。 由于转化具有多向性，层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，乂可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，乂能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。 在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。 下面谈谈化归与转化思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型。 1、正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用 补集思想从而使正面得以解决。 例1、已知函数f(x) = 4x2-ax +∖在(0, 1)内至少有一个零点，试求实数"的取值范围。 分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易 处理。 解：(法一)当函数/(x) = 4x2-^ + l在Ql)内没有零点时 O4Λ∙2-磁+ 1 = 0在(0, 1)内没有实数根，即在(0, 1)内，

高三数学理第三轮复习转化与化归思想

高三数学理第三轮复习：转化与化归思想 ¤专题剖析：化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转 化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正. 应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化. [典型例题] 例1、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则 MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 例2、若数列{}n a 满足111n n d a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列。已 知数列1n x ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1 220200x x x ++=…+，则516x x += 。 例3、一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为

例4 、已知平面向量a =(3–1), b =( 23, 21) （1）证明a ⊥b ; （2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k=f(t); （3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f(t)–m=0的解的情况 [自我演练] 1、如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合．若