高中数学思想----转化与化归思想
转化与化归思想
[思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．
体验高考
1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C
解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公
差d ＝a 10－a 5
10－5
＝1，
∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.
2．(2016·课标全国丙)已知4
213
5
3
2,4,25,a b c ===则( ) A ．b D ．c 答案 A 解析 因为4243 5 5 2,42,a b ===由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b 24213, 333 24,255a c ====由函数23 y x =在(0，＋∞)上为增函数知a A. 3．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c . (1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝6 5 bc ，求tan B . (1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝6 5bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝4 5. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋3 5sin B . 故tan B ＝sin B cos B ＝4. 高考必会题型 题型一 正难则反的转化 例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥3 2 }． 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1 ＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2 ＝2m ＋6≥0 所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}． 点评 本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”． 变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭ ⎫－37 3，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0， 即m ＋4≥2 x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2 t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5； 由②得m ＋4≤2 x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－37 3 . 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－37 3 题型二 函数、方程、不等式之间的转化 例2 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1 e f (x )－(x ＋1)． (e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值； (2)求证：1＋12＋13＋…＋1 n >ln(n ＋1)(n ∈N *)． (1)解 ∵g (x )＝1 e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1 x －1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0 ∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2. (2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点， ∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1 n (n ∈N *)时， 则1 n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1 n >ln ⎝⎛⎭ ⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1 n >ln(n ＋1)． 点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 变式训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 ↘ 2－2ln 2＋2a 单调递增 ↗ 故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值， 极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a . (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时， g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 题型三 主与次的转化 例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭ ⎫－2 3，1 解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0， 即⎩ ⎪⎨⎪⎧ 3x 2－x －2<0， 3x 2＋x －8<0， 解得－2 3 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－2 3，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 点评 主与次的转化法 合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题． 变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*) (*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0 对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1. 则⎩ ⎪⎨⎪⎧ g (－1)＝x 2－x ＋2≥0， g (1)＝x 2＋x ≥0， 解得x ≥0或x ≤－1， 即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 题型四 以换元为手段的转化与化归 例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π 2]上的最大值是1？ 若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，请说明理由． 解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －3 2 ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －3 2 ＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋58a －1 2 . ∵0≤x ≤π 2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ， 则y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －1 2 ，0≤t ≤1. 当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －1 2在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －3 2＝1， 解得a ＝20 13<2(舍去)； 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时， 则t ＝a 2时函数有最大值， y max ＝a 24＋58a －1 2＝1， 解得a ＝3 2或a ＝－4(舍去)； 当a 2 <0，即a <0时， 函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －1 2 在t ∈[0,1]上单调递减， ∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －1 2 ＝1， 解得a ＝12 5 >0(舍去)， 综上所述，存在实数a ＝32，使得函数在闭区间[0，π 2]上有最大值1. 点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况． 本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t 的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －1 2，0≤t ≤1的最值问 题，然后分类讨论解决问题． 变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－8] 解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4 t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭ ⎫t ＋4 t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 高考题型精练 1．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，51 8] B ．(－∞，3] C ．[51 8，＋∞) D ．[3，＋∞) 答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3， 由于f (x )在区间[1,4]上单调递减， 则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32(x ＋1 x )在[1,4]上恒成立， 因为y ＝32(x ＋1 x )在[1,4]上单调递增， 所以t ≥32(4＋14)＝51 8， 故选C. 2．已知函数f (x )＝|log 1 2 x |，若m A ．[23，＋∞) B ．(23，＋∞) C ．[4，＋∞) D ．(4，＋∞) 答案 D 解析 ∵f (x )＝|log 1 2x |，若m ∴log 12m ＝－log 12n ， ∴mn ＝1，∴0 ∴m ＋3n ＝m ＋3 m 在m ∈(0,1)上单调递减， 当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4. 3．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1 q 等于( ) A ．2a B.12a C ．4a D.4a 答案 C 解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F (0，1 4a )， 取过焦点F 的直线垂直于y 轴， 则|PF |＝|QF |＝1 2a ， 所以1p ＋1 q ＝4a . 4．已知函数f (x )＝(e 2x ＋ 1＋1)(ax ＋3a －1)，若存在x ∈(0，＋∞)，使得不等式f (x )<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，e ＋2 3(e ＋1)) B ．(0，2 e ＋1) C ．(－∞，e ＋2 3(e ＋1)) D ．(－∞，1 e ＋1) 答案 C 解析 因为x ∈(0，＋∞)，所以2x ＋1>1， 则e 2x ＋ 1＋1>e ＋1， 要使f (x )<1，则ax ＋3a －1<1 e ＋1 ， 可转化为：存在x ∈(0，＋∞)使得a x ＋3成立． 设g (x )＝e ＋2e ＋1·1 x ＋3， 则a ， 所以g (x ) 3(e ＋1)， 选C. 5．已知f (x )＝3 3x ＋3，则f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________. 答案 2 016 解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋3 31－x ＋3 ＝33x ＋3＋3x 3＋3x ＝3x ＋33x ＋3 ＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1， ∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016. 6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围是________． 答案 (－3，3 2 ) 解析 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0 ⇒⎩⎨⎧ p ≤－1 2或p ≥1， p ≤－3或p ≥3 2 ⇒p ≤－3或p ≥3 2 ， 取补集为－3 2，即为满足条件的p 的取值范围． 故实数p 的取值范围为(－3，3 2 )． 7．对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围是________________． 答案 ( 7－12，3＋1 2 ) 解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m <0恒成立， 即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1<0恒成立． 设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1， 则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[－2,2])． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (－2)<0， g (2)<0， 即⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0， 解得 7－12 2 ， 即实数x 的取值范围为( 7－12，3＋1 2 )． 8．(2016·天津模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P ，Q 在正视图中所示位置：点P 为所在线段的中点，点Q 为顶点，则在几何体侧面上，从P 点到Q 点的最短路径的长为________． 答案 a 1＋π2 解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示． 则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a 1＋π2. 所以P ，Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2. 9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3， 则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3， 则由一次函数的单调性， 可得⎩ ⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0， 解得x <2或x >4. 即x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n >0. (1)证明f (x )在[－1,1]上是增函数； (2)解不等式f (x 2－1)＋f (3－3x )<0； (3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)任取－1≤x 1 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2 (x 1－x 2)． ∵－1≤x 1 ∴x 1＋(－x 2)≠0， 由已知f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2 >0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x )在[－1,1]上是增函数． (2)因为f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， 且在[－1,1]上是增函数， 不等式化为f (x 2－1) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<3x －3，－1≤x 2－1≤1， －1≤3x －3≤1， 解得x ∈(1，43 ]． (3)由(1)知，f (x )在[－1,1]上是增函数， 所以f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝1， 要使f (x )≤t 2－2at ＋1对∀x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立， 只要t 2－2at ＋1≥1⇒t 2－2at ≥0， 设g (a )＝t 2－2at ，对∀a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)＝t 2＋2t ≥0，g (1)＝t 2－2t ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ t ≥0或t ≤－2，t ≥2或t ≤0， 所以t ≥2或t ≤－2或t ＝0. 11．已知函数f (x )＝2|x －1|－a ，g (x )＝－|2x ＋m |，a ，m ∈R ，若关于x 的不等式g (x )≥－1的整数解有且仅有一解－2. (1)求整数m 的值； (2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12 g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围． 解 (1)由g (x )≥－1， 即－|2x ＋m |≥－1，|2x ＋m |≤1， 得－m －12≤x ≤－m ＋12 . ∵不等式的整数解为－2， ∴－m －12≤－2≤－m ＋12 ， 解得3≤m ≤5. 又∵不等式仅有一个整数解－2， ∴m ＝4. (2)函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12 g (x )的上方， 故f (x )－12 g (x )>0对任意x ∈R 恒成立， ∴a <2|x －1|＋|x ＋2|对任意x ∈R 恒成立． 设h (x )＝2|x －1|＋|x ＋2|， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－2，4－x ，－2 3x ，x >1， 则h(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数， ∴当x＝1时，h(x)取得最小值3， 故a<3， ∴实数a的取值范围是(－∞，3)．-- 转化与化归的思想 转化就是数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归就是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化与化归的思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓所在，因为数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想都是转化思想的具体体现，各种变换的方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。 转化与化归的思想渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中，随着高考试题由知识立意向能力立意的转变，近几年的高考加强了对转化和化归思想的考查，主要体现在以下几个方面：1．等价转化，如 1999年高考试题第 19题，不等式求解的等价变形；2．立几问题平面化，每年高考立体几何题都展示了这种化归的思想方法；3．局部与整体的转化，如1999年高考第10题，用切割的方法化整为零计算多面体的体积，历年高考的分类讨论题也属整体与局部的转化；4．特殊与一般的转化，如选择题与填空题的特例法，数列中的猜想与证明；5．非等价转化，如反证法，分析法；6．换元、代换等变换方法。转化和化归的思想培养，会不断提高考生的思维水平和创新能力。 例题1．解不等式222x a -＞x ＋a .（a ＞0）. 分析：（1）利用解无理不等式的通法： )(x f >g (x ) ? ?? ???>≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 或???<≥0)(0)(x g x f . （2）利用数形结合法：令y 1=222x a -, y 2＝x 十a . 解法一：222x a -＞x ＋a . ??????+>-≥+≥-2 2222)(20 02a x x a a x x a 或? ??<+≥-00222a x x a ???? ????<<--≥≤≤-0322222x a a x a x a 或?????-<≤≤-a x a x a 2222?－a 32 高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例 详解） 所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解。 一、转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 (2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。 (3)具体原则：化归方向应由抽象到具体。 (4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。 (5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决。 二、转化与化归思想常用到的方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。 (2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。 (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。 (4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。 (5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。 (6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。 (7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。 (8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。 (9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证。 (10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U 及补集∁UA 使原问题得以解决。 三、典型试题解析 1、特殊与一般的转化 归纳拓展本题求a n时采用了特殊化的方法，这是归纳——猜想——证明的归纳推理。当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略。 数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题。 2、正难则反的转化与化归 归纳拓展本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x轴相交”着手，求出a的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了。一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考虑，在概率计算中有较多这样的问题。 3、抽象问题与具体问题的转化 高中数学中转化与化归思想方法 江苏省宿豫中学 陆新江 转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 一、转化与化归的主要方式： 1、等价转化， 2、空间图形问题转化为平面图形问题， 3、局部与整体的相互转化， 4、特殊与一般的转化， 5、非等价转化， 6、换元、代换等转化方法的运用， 7、正与反的转化, 8、数与形的转化， 9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等. 我们可以通过以下例题来观察： 例1.已知ABC ?中,若2C A = ,求证：2 b c a -< 分析：已知条件是角的关系，而结论是边的关系，所以应设法将角的关系转化成边的关系，所以使用正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 进行等价转化。 解：由2C A =即2C A =, 故()3B A C A ππ=-+=- 所以sin sin(3)sin3B A A π=-= 故1sin sin sin 2C A B --=1sin 2sin sin 32 A A A -- =21sin (2cos 1)2 A A --<0 即1sin sin sin 2 C A B -< 由正弦定理得：2 b c a -< 本题是等价转化问题，转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过 高中数学基本数学思想 1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内 可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化,即要求转化过程 中的前因后果应是充分必要的,这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归 的过程.因此,化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可 概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决. 但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证 2.逻辑划分思想(即分类与整合思想):是当数学对象的本质属性在局部上有不同 点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分 标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分 各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求. 在解题教学中常用的划 分标准有:按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范 围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不 同情况划分等.需说明的是: 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或 数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑,而避免分类求解.运用 分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证 3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想):就是用运动和变化的观 点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函 数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想. 4. 数形结合思想:将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性 质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系, 使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系 和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本 数学思想. 5. 整体思想:处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优 解题途径的重要的数学思想.它是控制论,信息论,系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中,为了便于掌握和运用整体思想,可将这一思想概 括为:记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的 条件用上?),想着目标(向着目标步步推理,必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系,抓变化,或化归;或数形转换,寻求解答.一般来说,整体范围看得越大,解法可能越好. 在整体思想指导下,解题技巧只需记住已知,想着目标, 步步正确推理就够了. 中学数学中还有一些数学思想,如： 集合的思想; 补集思想; 高考冲刺转化与化归的思想 编稿：孙永钊审稿：张林娟 【高考展望】 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法” 转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 高考对本讲的考查为： （1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。 （2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 （4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识升华】 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止. 1．转化与化归应遵循的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决. （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解. 2．转化与化归的基本类型 （1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则. （2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量. 一、 考点回顾 化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有： 1、等与不等的相互转化 等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。 2、正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。 3、特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。 4、整体与局部的相互转化 整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。 5、高维与低维的相互转化 事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。 6、数与形的相互转化 通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。 7、函数与方程的转化 二、 经典例题剖析 例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决； （Ⅱ）要证当1x >时，恒有2 ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2 ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时 ()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。 本资料分享自千人教师QQ 群323031380 期待你的加入与分享 新高考数学大一轮复习专题： 第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式． 方法一 特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案． 例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若 椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2 ＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2 a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23 ＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)， 所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2， 所以两条切线的交点坐标为(2，3)， 又过A ，B 的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋ 32＝7， 所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7. (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C 等于( ) 转化与化归思想在高中数学教学中的应用 摘要：转化与化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能、化归的实质、化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内 容出发，着重归纳了用化归思想方法、原则及解题的技巧，力求比较全面地体现 化归思想在中学数学解题中的作用和地位。 关键词：转化与化归；思想；原则；途径；方法 在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问 题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换 转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问 题通过变换转化为已解决的问题。 转化与化归思想是高中数学的重要思想，通过转化，使所要解决的问题由难 变易或变为已经解决的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另一数学分支中 的问题，以有利于解决的一种数学思想。 化归思想常常以变换题目的结构形式、变更问题、从反面探究结论等方式出现，转化与化归应遵循以下基本原则：熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的 问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；简单化原则：将复杂的 问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题目的；和谐化 原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的 形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思 维规律；直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；正难则 反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反机去 探求，使问题获解。 常用的化归思想如：数与形相互转化思想、函数与方程思想、正难则反思想、一般与特殊的转化、等与不等的转化等。下面，笔者就以上转化与化归思想加以 举例说明： 一、数与形相互转化思想 数与形相互转化思想，也称数形结合思想，是利用几何中的有关性质来解决 代数有关问题，也可以借数量关系来研究几何性质。如题： 二、函数与方程思想 函数与方程思想，函数是方程与不等式的中介，它们既有区别又有联系，函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程式、不等式的问题需要函数的帮助，解答此类问题有时需要构造函数，通过探究函数的单调性和最值来解决问题。如题： 三、正与反的想互转化 正与反的想互转化，既正难则反思想，当问题在正面入手难度较大时，不妨 考虑它的反面，然后通过求补集的方法解决原问题。这种“正难则反”的思想是一 种重要的解题策略，灵活运用该思想，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得 巧解，例如： 以平行六面体ABCD-ABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为？ 高中数学中的转化与化归思想 作者：杜胜英 来源：《金色年华·下半月》2011年第05期 某些数学问题，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将问题转化为一个新问题（相对来说较为熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的。这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”。转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，数学解题实质就是转化问题，每一个数学问题无不是在不断的转化中获得解决的。 应用转化与化归思想解题的原则应是由难向易、由生向熟、由繁向简，尽量是等价转化。转化与化归思想有以下几种常见形式：陌生问题向熟悉问题的转化，数与形的转化，正面向反面的转化，空间向平面的转化，特殊与一般的转化，多元向一元的转化，命题之间的转化，函数与方程的转化等。 一、陌生向熟悉的转化 例1．求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大及最小值。 点评：本题从研究结论的数量特征入手，得一般性结论f(a)+f(1-a)=1，体现了从特殊到一般的解题思路。 六、命题之间的转化 例9:四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为（B） （A）96 （B）48（C）24 （D）0 点评：结合四棱锥的图形，将实际问题转化为去找不共点的棱的组合（4对异面直线组合的方法数）是解决此题的关键。 以上简单介绍了转化与化归思想的几种常见形式。由于其多样性及其比较灵活，我们要恰当合理地设计好转化的途径和方法，避免直接拿来，另一方面转化分等价转化和非等价转化两种，为了使转化具有等价性，在不等价转化时，应附加限制条件，以保证其等价性，或对所得结论进行必要的验证。 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文 新课程高中数学转化与化归思想的教学策略 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，是历年高考的重点.其中转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决离不开转化与化归.数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上方法都是转化与化归思想的具体体现. 转化与化归就是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决.下面以具体的例子谈谈怎样在教学中培养高中学生的转化与化归思想： 一、正与反、一般与特殊的转化 当面临的数学问题从正面入手求解难度较大时，可以考虑从反面入手解决；一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性来解决. 例1 试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分. 分析^p “不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线y=x2上存在两点关于直线y=m（x-3）对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集即为原问题的解. 三、数与形的转化 通过数与形的转化，可以利用对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直观地反映函数或方程中的变量之间的关系，有时还能由几何图形提示解决问题的途径. 例3 当a为何值时，方程lg2xlg（x+a）=2有唯一解？两解？无解？ 分析^p 将原方程等价转化，化为2x=x+ax>0且 x≠12， 在同一坐标系内作出y=2xx>0，x≠12及y=x+a的图像，则方程解的个数等于直线y=x+a与抛物线弧y=2xx>0， x≠12交点的个数，且求得当a=12时，直线y=x+a与抛物线弧y=2xx>0，x≠12切于点12，1，由图可知，原方程：当 a≥12时，无解；当a≤0时，有唯一解；当0 转化与化归思想 转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。 转化与化归的基本类型：（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则。（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其它的变量看作常量。（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接的反应函数或方程中变量之间的关系。（4）数学各分支之间的转化，如利用向量法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等。（5）相等与不等之间的转化。（6）实际问题与数学模型的转化。 [例1]对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）； ②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去。 现定义f（x）= （1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn4，x3=f（x2）x1且1xn（n∈N*） 综上所述，x1∈（1，2） 由x1=f（x0），得x0∈（1，2）。 [例2]设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图像分别交于点M，N，则MN的最小值为（） A. （1+ln3） B. ln3 C. （1-ln3） D.ln3-1 我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归. 转化与化归思想,指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想。利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题.数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，几乎所有问题的解决都离不开转化与化归。 在其他的数学思想中明显体现了转化与化归的思想,比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化. 一、常见的转化与化归的形式 常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等。 二、常见的转化策略 常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化、数学语言之间的转化等。 三、常见的实现转化与化归的方法: 1.直接转化法：把原问题直接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题. 2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。 3。数形结合法，即数与形的转化。将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. 例如在函数与图象的联系中可以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决 4。特殊化方法:即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。 5。补集法，即正与反的相互转化. 当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨, 使问题获解. 6.等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条件，达到化归 的目的. 7。加强命题法：原命题难以得证，将原命题结论加强，变成一个原命题的充分条件. 例如证明x〉1，那么如果能证明出x>4，就必然会得到x〉1了， 高中数学教学中化归与转化思想的渗透 安化县实验高中吴亮 高中数学的教学思想主要有函数与方程思想，分类讨论思想，数形结合思想及化归与转化思想。所谓化归与转化思想是指在解决数学问题的过程中，把复杂化为简单，把一般化为特殊，把未知化为已知，把抽象化为具体等等。数学思想是数学之灵魂，而化归与转化思想为数学思想的核心。 高考试题十分重视对数学思想的考查，因此在教学中教学中我们不能单靠题海战术盲目操练，这样难以获得理想成绩，面要在使学生熟练、扎实掌握基础知识的基础上，引导学生对数学思想进行梳理总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地灵活地运用于所要解决的问题中。要用数学思想武装学生头脑，使其达到数学学习的更高境界。 本文就教学中的化归与转化思想有效渗透的问题谈谈几点看法。 一、使学生善于解读已知条件隐含的信息，顺藤摸瓜，顺利实现转化。 高中数学习题特别是高考试题中，解题所需要的信息，通常隐含于所给的已知条件中，它们是化归与转化思想解题所需的“食粮”。因此，经将潜伏于已知条件中的信息找出，这种能力基于熟练的基础知识与基本技能，贯穿学生整个数学学习中。 例1若数列}{n a 的前n 项和可表示为a S n n +=2，则}{n a 是否为等比数列，若可能求出a 的值，若不可能，请说明理由。 信 息解读：⎩⎨⎧≥=--+=-=+==⇒+=---) 2(2222211111n a a S S a a S a a S n n n n n n n n 而要使1a 满足12-=n n a ，必有12211-=⇒=+-a a 此时)(21+-∈=N n a n n 于是问题转化为考察 n n a a 1+是否为常数。事实上， 22211==-++n n n n a a 故当1-=a 时，数列}{n a 成等比数列，首项为1，公比为2. 例2.已知3,0,0++=>>b a ab b a 求ab 的最小值。 信息解读：0,0>>b a 及b a + ab b a 2≥+⇒323+≥++=⇒ab b a ab 032)(2≥--⇒ab ab 3≥⇒ab 或1-≤ab （舍去）9≥⇒ab 当且仅当b a =即3==b a 时等式成立故ab 的最小值为9 本题通过信息的解读，将问题转化为关于ab 的不等式求解 二、使学生认识到转化与化归常在，善于识别化归与转化题型。 数学中的转化比比皆是，高中数学常用的转化主要有变量之间的转化、高维与低维的转化、特殊与一般的转化、局部与整体的转化等。学生去发现，去总结、归纳。 例3.对于满足40≤≤m 的m ，不等式342-+>+m x mx x 恒成立， 高考数学化归与转化思想及方法讲解 化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略. 化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题. 下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法. 1.用构造法实现化归与转化 例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ） 0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y . 新课标高考下的转化与化归思想 解?Q数学问题时，对那些直接求解较为困难的数学问题，我们可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择恰当的数学方法进行转化，将原问题归结到一个已经解决或较容易解决的新问题中去，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法就是“转化与化归思想”。转化与化归思想是高中数学的核心思想方法，在高中数学教学中应该从整体上把握好转化与化归的思想方法的教学。 一、转化与化归思想在新课标高考中的体现 （一）数与形的转化 数与形的转化指利用几何性质研究代数问题或借助数量关系的讨论研究几何性质，从而为解题提供方便。 例1（2017年课标III）若，满足约束条件，则的最小值为__________。 【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示。 目标函数化为，当直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，故目标函数在点处取得最小值 . 【评析】本题考查了简单的线性规划知识；考查了数与形的转化。 （二）正与反的转化 正与反的转化指当遇到的数学问题从正面入手难度较大或 分类较多时，可先求它的反面，再取补集，也指直接证明较难时用反证法证明。 例2已知函数在上无单调性，求k的取值范围。 【解析】函数图象的对称轴是，当，即时，在上有单调性，故在上无单调性的k的取值范围是。 【评析】本题考查了二次函数的单调性，从正面求较繁琐，转为先求反面，再取补集较易。 （三）一般与特殊的转化 一般与特殊的转化指一般性难解决的问题可从特殊情况入 手寻找解题思路；特殊问题难入手的也可先研究一般情况，再向特殊转化。 例3（2014年课标II）已知偶函数在上单调递减，，若，则的取值范围是__________。 【解析】举特例图象向右平移1个单位得图象 故使的的取值范围是 【评析】本题考查了函数的性质，举特例函数分析较简单，运用一般与特殊的转化. （四）相等与不等之间的转化 相等与不等之间的转化指在某些情况下，利用相等与不等相互转化，把问题化难为易。 例4（2013年课标II）△ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求 转化与化归的思想 「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题． 常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等． 热点题型探究 热点1 特殊与一般的转化 例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1 q 等于( ) A ．2a B ．1 2a C ．4a D ．4a 答案 C 解析 抛物线y ＝ax 2 (a >0)的标准方程为x 2 ＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1 q ＝4a . (2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →， DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6 答案 C 解析 解法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点， 且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →， AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－ 14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13 转化、与化归思想方法〔邓石鹏〕 一、等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识X 围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规X 、复杂的问题转化为熟悉、规X 甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正〔如无理方程化有理方程要求验根〕，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。例如不等式的放缩。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 二、转化的主要方式： 1、等价转化 .2、空间图形问题转化为平面图形问题. 3、局部与整体的相互转化. 4、特殊与一般的转化. 5、非等价转化. 6、换元、代换等转化方法的运用. 7、正与反的转化, 8、数与形的转化、 9、相等与不等的转化, 10、常量与变量的转化、 11、实际问题与数学语言的转化等。 三、典例分析： 问题1 函数与方程的转化 例1 二次函数f 〔x 〕=ax 2+2x －2a －1，其中x =2sin θ〔0<θ≤6 7π 〕．假设二次方程f 〔x 〕=0恰有两个不相等的实根x 1和x 2，某某数a 的取值X 围． [分析]注意0<θ≤ 6 7π ，那么－1≤2sin θ≤2，即－1≤x ≤2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组． [解]由以上分析，问题转化为二次方程ax 2+2x －2a －1=0．在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由y =f 〔x 〕的图象〔如图1所示〕，得等价不等式组： Δ=4+4a 〔2a +1〕>0， －1 转化与化归思想 [思想方法解读]转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性. 转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决. 常考题型精析 题型一正难则反的转化 例1已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围. 点评 本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根.分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”. 变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函 数，则实数m 的取值范围是__________. 题型二 函数、方程、不等式之间的转化 例2 已知函数f (x )＝13 x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (0f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围. 点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助， 第3讲分类讨论思想、转化与化归思想 一、分类讨论思想 分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解.解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出. 思想方法诠释 1.分类讨论的思想含义 分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 2.分类讨论的原则 (1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论. 3.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论. 思想分类应用 应用一由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论 【例1】(1)(2020安徽合肥二模,文10)记F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,若C上存在点M满足=0,则实数m的取值范围是() A.∪[2,+∞) B.∪[2,+∞) C.∪(1,2] D.∪(1,2] (2)设等比数列{a n}的公比为q,前n项和S n>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围 是. 思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. 2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等. 【对点训练1】(1)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件高中数学 转化与化归的思想
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