转化与化归
化归与转化
一、化归与转化
其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。 二、典型例题
例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴
的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+
.求点M 的轨迹方程.
[解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(14
2
2
>>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122
<<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－
2x
1－x 2
设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0 4x 0 y 0 ,得切线AB 的方程为: y=－ 4x 0y 0 (x －x 0)+y 0。于是得A(1x 0，0)和B(0，4y 0)，设M(x ，y)，由O M O A O B =+ 得：x=1 x 0 ，y=4y 0，所以x x 10=，y y 40=，代入142 02 0=+y x 得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2)。 [点评] 此题表面上为解析几何的试题，看似与函数无关，因此很容易想到用解析法确定椭圆切线方程的方法，这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上，联想到函数切线的几何意义以后，将问题转化到函数的导数，问题得到了大大简化。 例2．若正方形ABCD 的一条边在直线y=2x-17上,另外两个顶点在抛物线y=x 2上,则该正方形面积的最小值为_______________ [解析] 我们可以采用解析几何中的常规方法去处理,利用弦长公式与点到直线距离公式去求解。如果考虑到正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质,则不妨可以从复数角度去处理问题。 不妨设点A,B 在抛物线y=x 2上,C,D 在直线y=2x-17上 令z A =x 1+x 12i,z B =x 2+x 22i,则A B A D z z =i=-(x 22-x 12)+(x 2-x 1)i 从而z D =z A +AD z =(x 12-x 22+x 1)+(x 12-x 1+x 2)i ∵D 在直线y=2x-17上 ∴x 12-x 1+x 2=2x 12-x 22+x 1-17 ① 又∵AB//CD ∴k AB =k CD 则x 1+x 2=2 ② 联立①②解得 ⎩⎨ ⎧-==1x 3 x 21或⎩⎨⎧-==7x 9x 2 1 ∴S 正方形=|AB|2=(x 1-x 2)2+(x 12-x 22)2=5(x 1-x 2)2=80或1280 ∴S min =80 [点评] 正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质的相关性是我们产生联想的基础，而对知识之间联系的熟悉程度是我们能顺利化归的保证。 例3．某厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系 （ ） A. m>N B. m C.m=N D.无法确定[解析] 每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。 11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数 函数，其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a i ≥b i 则12S ＞12T ，即m ＞N 。 [点评] 把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是我们所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。 例4．已知函数f (x )=ln(l+x ) - ax . （1）若函数f (x )在（0，+∞）上是单调递减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当 n ∈N +时，证明：（1+21）（1+221）…（1+n 2 1 ） 011 ≤-+a x 在（0，+∞）上恒成立 .故a ≥1. （2）证明：构造函数g (x )=ln （1+x ）-x , 由（1） 知g (x )在（0，+∞）上是单调递减函数 . 又x >0，所以g (x )=ln(1+x )-x 由此得ln （1+ 21）+ln(1+221)+…+ln （1+n 2 1） <=<-=+++12112121212n n lne .故)2 1 1()211)(211(2n +++ 得到大大简化。 例5．若不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立，试求实数x 的取值范围。[解 析] 243x px x p +>+- ∴2(1)430 x p x x -+-+>恒成立。 令()g p =2(1)43x p x x -+-+，则要使它对04p ≤≤均有()0g p >，只要有 (0)0 (4)0g g >⎧⎨ >⎩ 3x ∴>或1x <-。[点评] 在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。 四、在中学数学中，应用化归与转化思想方法解题应注意三个点 （一）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性 化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法三个要素。而设计目标是问题的关键，设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律 问题（即问题的规范化）。因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。 例6．已知α,β∈(0, 2π),且sin β=sin αcos(α+β)(α+β≠2 π ),当tan β取最大值,求tan(α+β)的值 [解析]我们不妨将解题目标分解为(1)用α表示tan β,(2)求tan α的值,(3)求tan(α+β)的值 ∵sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin αcos(α+β) ∴sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β) 即 tan(α+β)=2tan α(产生切函数) ∴tan α+tan β=2tan α(1-tan αtan β) 即tan β= α + α=α +α tan 1 tan 21tan 21tan 2 ≤ 2 21= 42(此时tan α=2 2)(实现目标2) 而此时tan(α+β)=2tan α=2(实现目标3) [点评] 解题犹如打仗，需要冲破道道难关，而盯住目标，求什么就解什么，有助于最终形成解题思维链。 （二）注意转化的等价性，保证逻辑上的正确 化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。 例7．已知f(x)=ax 2 -c ，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。 [解析] 本题典型错误是从-4≤a-c ≤-1，-1≤4a-c ≤5中解出a ，c 的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c 的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。 其实从条件和结论相互化归的角度看，可以用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。 设f(3)=mf(1)+nf(2) ∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c ∴ ⎩⎨⎧=+=+1n m 9n 4m ∴ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=-=38 n 3 5m ∴ f(3)=)2(f 38)1(f 35+- ∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴ 35≤)1(f 35≤320,38-≤)2(f 38≤3 40 ∴ -1≤f(3)≤20 [点评] 1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a ，c ，即a=31[f(2)-f(1)]，c=31 [f(2)-4f(1)]，然后 代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。2、本题还可用线性规划知识求解。 （三）注意转化的多样性，设计合理的转化方案 在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。 例8．设 是边长为1的正方形 所在平面上的动点，求 在什么位置时， 取得最小值。 [解析] 这是较复杂的几何问题，先考虑用解析法把问题转化 为代数问题。 如图所示，建立直角坐标系，设 ， 则 求的最小值仍较复杂，再考虑用复数法把问题转化为复数模的问题。 设 则 上式当且仅当 时取等号， 因此， 当且仅当 为正方形 的中心时， 小值 。 取最 六、变式训练 1．使关于x 的不等式x 63x -+-≥k 有解的实数k 的最大值是__________ 2．已知,0,0,,,<+->∈c b a a R c b a 求证：042 >-ac b 3．已知抛物线y 2=2x ． （Ⅰ）设A （ 0,3 2 ），求曲线上距A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； （Ⅱ）设A （a ，0）（a ∈R ），求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式． 4．已知关于x 的不等式 22 ) 1(>--x x a 的解集为A ，且A ∉3． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若a=1时，求集合A ． 5．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边 （1）若ABC ∆面积,60,2,2 3 ︒=== ∆A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状． 6．已知数列{}n a 是首项为11 4a =，公比14q =的等比数列，设1423log n n b a +=()n *∈N ， 数列{}n c 满足n n n c a b =⋅. （Ⅰ）求证：数列 {}n b 成等差数列； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若2114 n c m m ≤ +-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． [答案与提示] 1．简析:考虑到(3x -)2+(x 6-)2=3,可设x=3+3sin 2θ,θ∈[0, 2 π] ∴x 63x -+-=3(cos θ+sin θ)=6sin(θ+ 4 π )≤6,即k max =6 2．（提示：构造二次函数c bx ax x f ++=2)(，然后利用判别式） 3．（Ⅰ） ∴≥++=+-=+-=,0,3 1 )3 1(2)3 2()3 2 (||2 2 2 22 x x x x y x PA 当x=0时，|PA|2取最小值 94，∴|PA|的最小值为3 2 ，此时P （0，0）． （Ⅱ）|PA|2=（x-a ）2+y 2=（x-a ）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0），求|PA|2的最小值转化为 求二次函数在x≥0时的最小值． 当a-1＜0⇒a ＜1时，当x=0时，|PA|2最小值为a 2，∴|PA|的最小值是|a|（此时P （0，0））； 当a-1≥0⇒a≥1时，当x=a-1时，|PA|2最小值为2a-1， ∴|PA|的最小值是12-a （此时P （a-1，22-±a ））． ⎩⎨⎧≥-=∴1 121||a a a a d 4．解：（1）∵A ∉3，∴当3=x 时，有 2)1(--x x a ≤2，即2 32-a ≤2． ∴a ≤1．即a 的取值范围是{}1|≤a a ．（2）2 5．解：（1）23sin 21==∆A bc S ABC ，2360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b 由余弦定理得：360cos 21221cos 22 2222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， 所以3= a （2）由余弦定理得：2222 222c b a ac b c a c a =+⇒-+⋅ =，所以︒=∠90C 在ABC Rt ∆中，c a A =sin ，所以a c a c b =⋅=所以ABC ∆是等腰直角三角形 6．解：（Ⅰ）由题意知，1()4 n n a = （n N *∈ ） ∵14 3log 2n n b a =-，113log 21b a =-= ∴1 11111 14 4 4 4 3log 3log 3log 3log 3n n n n n n a b b a a q a +++-=-=== ∴数列{}n b 是首项11b =，公差3d =的等差数列， 其通项为32n b n =-（n N *∈ ）． （Ⅱ）∵1(32)()4 n n c n =-⋅,（n N *∈ ） ∴2311111114()7()(35)()(32)()44444 n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ , 于是14n S =2341111111()4()7()(35)()(32)()44444 n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 两式相减得 231131111113()()()()(32) ()4444444n n n n S n -+ ⎡⎤=+++++--⨯⎢⎥⎣⎦ 231111111113()()()()(32)()2444444n n n n -+⎡⎤=-++++++--⨯⎢⎥⎣⎦ 111(32)()24n n +=-+⨯. ∴121281()334 n n n S ++=- ⨯ （n N *∈ ） （Ⅲ）∵1111(31)()(32)()44n n n n c c n n ++-=+⋅--⋅ 119(1)()4 n n +=-⋅， （n N *∈ ） ∴当1n =时，2114 c c ==当2n ≥时，1n n c c +<，即n c c c c >---->>432 ∴当1n =时，n c 取最大值是14又2114 n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立 ∴211144 m m +-≥即2450m m +-≥得1m ≥或5m ≤-。 六大数学思想之四：转化与化归 1.什么是转化与化归？ 转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 2. 转化与化归的主要方式： 1、等价转化， 2、空间图形问题转化为平面图形问题， 3、局部与整体的相互转化， 4、特殊与一般的转化， 5、非等价转化， 6、换元、代换等转化方法的运用， 7、正与反的转化,8、数与形的转化， 9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、 11、实际问题与数学语言的转化等. 3.转化与化归思想的原则： (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决． 题型一正难则反的转化： Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 转化与化归思想 知识精要： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 一、知识整合 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二、例题分析 例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（） A. m>N B. m 第21讲 转化与化归思想 转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式． 应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等． 分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段． 1. 已知正实数x 、y 满足1x ＋1 y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 2.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈????0，1 2都成立，则实数a 的最小值为________． 3.函数y ＝x ＋2－x 的值域为________． 4.函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是________． 【例1】 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求PA →·PB → 的最小值． 【例2】 若不等式x 2＋px>4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围． 【例3】 在数列{a n } 中a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝????13 n ＋1(n ∈N * )． (1) 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ； (2) 若S 1, t (S 1＋S 2 ), 3(S 2＋S 3) 成等差数列，求实数t 的值． 【例4】 已知函数f(x)＝??? ?a －1 2x 2＋lnx(a ∈R )． (1) 当a ＝0时，求函数f(x)的单调递增区间； (2) 若∈[1,3]，使f(x)<(x ＋1)lnx 成立，求实数a 的取值范围； (3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y ＝2ax 下方，求实数a 的取值范围． 化归与转化 一、化归与转化 其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。 二、典型例题 例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴 的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+ .求点M 的轨迹方程. [解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(14 2 2 >>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122 <<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－ 2x 1－x 2 设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0 转化与化归思想 转化与化归思想 转化与化归思想是中学数学中四种重要的数学思想之一，它是在处理问题时，把那些待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题，是一种把未知问题转化为熟知可解问题的一种重要的思想方法。 高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分。 常见的转化方法： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。 （3）数形结合法：研究原问题中的数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换，获得转化途径。 （4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化。 （5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。 （7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，确定转化途径。 （8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。 （9）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化。 （10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的。（11）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果类比集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全 转化与化归思想方法的运用 在高中数学的学习中，我们常常会遇到这样一类问题，直接解决较为困难，但若把问题加以转化，就能使问题的解答过程变得较为简单。这类问题的解决方法就是转化与化归的思想方法。 转化与化归不只是一种重要的解题方法，更是一种基本的思维策略。数学中的转化与化归思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。转化与化归的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在转化思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们转化的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，通过不断的转化，把复杂、不规范、不熟悉的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。实现这种转化的方法是多种多样的，例如我们熟悉的配方法，待定系数法，整体代入法等等。 而就不同的功能，转化与化归方法的运用于又可以分为几种不同的类型 一．由特殊到一般 一般成立则特殊也成立，由特殊可以得到一般的普遍规律，这是一种基本的化归思想的体现，在平时解题过程中经常运用，普遍涉及。一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。 例1：若),sin ,(cos 11θθ=OA )sin ,(cos 22θθ=OB ，满足0=⋅OB OA ，OAB ∆的面积OAB S ∆等于多少？ 解：可取21,θθ的某些特殊值代人求解。由条件0=⋅OB OA 可得0)cos(21=-θθ。利用特殊值，如设0,221==θπ θ代 入，则)0,1(),2,0(B A ，故面积为1。 例2：已知函数)10()(≠>+=a a a a a x f x x 且,求)10099()1002()1001(f f f +++ 的值. 解：直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系 .:=-+)1()(x f x f a a a x x +a a a x x ++--11=a a a x x +a a a a x ++ =a a a x x +x a a a ++=1=++a a a a x x 于是)100 99()1002()1001(f f f +++ =)10050()10051()100 49()10098()1002()10099()1001(f f f f f f f +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + 第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式． 方法一 特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案． 例1 (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直 的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4 思路分析 求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，所以1a ＋1＝12 ，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23 ＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2， 所以两条切线的交点坐标为(2，3)， 又过A ，B 的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋(3)2＝7， 化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。 一、化归 化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。 例子1：求解一元二次方程的解 对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。 首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。 接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。 最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。 通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。 二、转化 转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。 例子2：求解无穷几何级数的和 对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。 首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。 接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。 然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。 通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。 三、化归与转化的结合应用 例子3：解决贝塞尔函数的微分方程 贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，在物理学和工程学中有广泛的应用。而解决贝塞尔函数的微分方程是一个常见的问题。 转化与化归思想 转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。 转化与化归的基本类型：（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则。（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其它的变量看作常量。（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接的反应函数或方程中变量之间的关系。（4）数学各分支之间的转化，如利用向量法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等。（5）相等与不等之间的转化。（6）实际问题与数学模型的转化。 [例1]对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）； ②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去。 现定义f（x）= （1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn4，x3=f（x2）x1且1xn（n∈N*） 综上所述，x1∈（1，2） 由x1=f（x0），得x0∈（1，2）。 [例2]设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图像分别交于点M，N，则MN的最小值为（） A. （1+ln3） B. ln3 C. （1-ln3） D.ln3-1 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. 2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据. 3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. 4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： 1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. 2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. 3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径. 4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的. 5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数 转化与化归思想 化归与转化的思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，一般情况，总是将未解决的问题化归转化为已解决的问题. 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，也是在解决数学问题过程中无处不存在的的基本思想方法，各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.高考中十分重视对化归与转化思想的考查，要求考生熟悉化归与转化各种变换方法，并有意识地运用变换方法解决有关的数学问题. 化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决. 题例1 题例2 比较下图面积大小 题例3 回忆：我们在推导图形的面积或体积公式时用过哪些转化策略？ 题例1用分数表示各图中的涂色部分 （ ） （ ） 圆面积推导 题例4 把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是33.12cm，求阴影部分的面积． 练习一 1.1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90= 2.在一列数2，7，14，23，……中的第十个数为＿＿＿＿。 3.两数相除，商是4余数是8，被除数，除数，商和余数的和是415，则被除数是多少? 4.一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示 为。 5.小明卖出一批苹果得到一笔钱。如果小明多卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话， 则每个苹果的售价将比原售价少2元。如果小明少卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话，则每个苹果的售价将比原售价多4元。请问 a) 小明卖出几个苹果？ 转化与化归的思想 一、考点，热点分析： 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程， 是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还 是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。化归与 转化常遵循以下几个原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和 问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的 形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面 去探求，使问题获解。 二、典型例题： A．一般与特殊的转化 1．设等比数列｛a n｝的公比为 q，前 n 项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则 q=___________. 2．设三棱柱ABC—A1 B1C1的体积为 V， P、 Q分别是侧棱A A1、 CC1上的点，且PA=QC1，则四棱 锥—的体积为（用 V 表示） B PACQ B．正与反的转化： 3．已知对于函数 f ( x)x 2mx n(m R,n R,m 0) 至少存在 x0使 f ( x0 )0 成立， 为假命题，则1nm2 m2 的最小值为 C．变量与常量的转化 再谈转化与化归思想方法 高考压轴题或者说有一定难度的的题，解决此类题的主要策略是化归化归不断地化归。今天我们就再来谈谈转化与化归的思想方法。 转化与化归思想概述 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法． 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心． 2．常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．常见的转化方法有： (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形) 关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的． (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题． (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题． (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决． (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则. 热点分类突破 热点一特殊与一般的转化 浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化 归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相 关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有 透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的 互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模 块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数 与 x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知： a 1 b 2 b 1 a 2 1 ，求证：a2b21。 [ 分析 ]这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到： 1a2、 1b2、a2b21这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [ 解答 ] 由题意a 1 、 b 1，则可设 a sin， b cos， 0 a 1 b 2 b 1 a 21即为 sin1cos2cos 1 sin 21 化简得 sin sin cos cos1 所以 a sin0 ， b cos0 则 a2b2sin 2cos21 [ 小结 ]本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比 较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知 识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下 例说化归与转化的若干原则 江苏省苏州市木渎第二中学 母建军 215101 在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，须将陌生问题通过化归与转化，归结为一个比较熟悉或比较简单或已经解决的问题来解决。这就是所谓的化归与转化的思想方法。化归与转化的思想方法是多种多样的，但目标是一致的：将问题变得简单、容易、熟悉，达到解决问题有利境地，通向问题解决之路。若要实施好某种化归与转化，使得这种化归与转化是行之有效的，就必须遵循相应的原则，而不能随心所欲，盲目进行。一般说来，化归与转化应遵循以下若干基本原则： 一、 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决。 例1.两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？ 分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”。然而我们对以下两题很熟悉：①以正方形的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个？②如果两条异面直线称为“一对”的话，任一三棱锥中有多少对异面直线？故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应。由于①的答案是481258C -=个；②的答案是3对，故本题答案为58×3=174对。 评注：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。 二、 简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。这里的简单，有时还指问题的处理方式或解决方案上的简单。 例 2.实数、x y 满足1,1x y ≥≥且2222（log )(log )log ()log ()a a a a x y ax ay +=+.当1a >时，求log ()a xy 的取值范围. 分析：题中所涉及的log 、log a a x y 都可以看成复杂的变量，所以设log ,log a a u x v y ==（其中0,0u v ≥≥），则原题转化为：已知0,0u v ≥≥且222(1)(1)2u v -+-=，求u v +的取值范围. 此时，u v +中仍然含有两个变量，所以再设 12cos ,u θ=+12sin ,v θ=+（其中263π πθ-≤≤）.因此2()4 u v πθ+=++，又11 12412π π πθ≤+≤，故122u v ≤+≤+，所以l o g ()a xy 的取值范围是 [1+. 评注：通过第一次转化，将复杂的两个变量变简单，第二次转化将两个变量转化为一个变量，这样，问题就变的简单了. 三、 和谐化原则 通过化归问题的条件或结论，使其表现形式更加和谐和统一，或者转化命题，使其推演 例3图 数学高考永恒的话题 ————转化与化归思想方法的应用 转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的。等价转化要求转化过程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后所得结果为原题的结果；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。非等价转化不要求转化过程具有充要性。应用转化、化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化形式有：繁与简的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化、主与次的转化、正与反的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、函数与方程的转化、三角与圆锥曲线的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。本文就转化的方式及转化中应注意的问题举例分析如下。 一、转化的方式 1、繁与简的转化 有些问题的条件、结论比较复杂，或者一般解题方法过于笨拙，此时，可对条件、结论进行变形，化归为简单形式，对常规解法进行反思，寻找简捷解法。 例1、化简 22222sin sin 2cos cos cos2cos2θϕθϕθϕ+-。 [解析] 原式=2222222sin sin 2cos cos (2cos 1)(2cos 1)θϕθϕθϕ+--- =2 2 2 2 2 2 2sin sin 2cos cos 2cos 2cos 1θθθθθθ-++- =222222sin sin 2cos (1cos )2cos 1θθθθθ+-+- =2 2222sin (sin cos )2cos 1θθθθ++-=222sin 2cos 1θθ+-=1. [评析] 本题中出现的角的形式多，故应先变角。化简三角函数的基本方法：统一角、统一名， 通过观察“角”，“名”，“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。 2、一般与特殊的转化 当某问题一时无法找到解决的突破口时，可将问题特殊化，再回到一般情形进行研究。 例2、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos α=______。 [解析]不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，则与相交于同一顶点的三个相互垂 直的平面所成角相等，即为体对角线与该正方体侧面所成角，故cos 3α= =。 3、数与形的转化 数与形的转化是一种极其重要的转化。数与形是数学研究的两类基本对象， 由于坐标系的建立，使形与数互相联系，互相渗透，互相转化。根据题设 条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学图形来解决问题，这种 方法称数形结合法。 例3、已知实数,x y 满足方程2 2 (3)4x y -+=，试求y x 的取值范围。 转化与化归的思想方法(1) -------应用篇 “转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法. 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 一、转化与化归的几种情况 １. 概念和载体之间的相互转化 依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化. 【例１】函数极限的值为（）. 解：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查学生对导数定义的正确理解，因 而转化为求函数y=ln在x=x0处的导数，故选Ｃ. 2. 特殊和一般之间的转化 【例２】数列｛a n｝中，a1=，a n+a n+1（a1+a2+…+a n）= . 解：通过求猜想从而达到解决问题的目的.也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和， 原式 2010高考数学考点预测： 转化与化归的思想方法 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 1. 转化运算． 例 1.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则 MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 分析: 动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点, 横坐标相同，那么MN 就是纵坐标之差，即sin cos MN x x =-求最值。 解: sin cos 4MN x x x π⎛ ⎫=-= - ⎪⎝ ⎭ 评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。 例2．（2008湖北卷，理14）已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若 246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= . 分析：题目中的已知条件很容易求得24681a a a a a ++++，而所求的为 212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅可以转化为等差数列{}x a 的前10项之和，根据公差， 可以把前10项之和转化为用246810a a a a a ++++表示出来，从而求得。 解：由() 2x f x =和246810()4f a a a a a ++++=知2468102a a a a a ++++=，六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
转化与化归思想
化归与转化思想
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转化与化归
转化与化归思想
转化与化归思想方法的运用
转化与化归思想
化归与转化的数学思想解题举例
转化与化归思想
转化与化归思想方法
转化与化归思想(适合小学、初中)
化归与转化的思想
再谈转化与化归思想方法
转换与化归思想
例说化归与转化的若干原则
转化与化归思想方法的应用
转化与化归的思想方法(1)---应用篇
转化与化归的思想方法