几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用

许生虎

（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）

摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说

明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。

关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法

1. 引言

在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。

构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。

2. 构造辅助函数的七中方法

“逆向思维法”

例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=21

21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()

θ

θθf f -

='.

证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()

()

θ

θθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='

=,

可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F

因为()()ξξf f =1 ,

而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =

所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()()

θ

θθf f -

='.

证毕

2.2 原函数法

在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ

(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积

分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.

例2: ()[]()

(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 ()()()ξξ

ξξf a

b f b a '?-=?∈?,,证明： 分析: ()()ξξ

ξf a

b f '?-=

()()x f a

x b x f x

'?-=??→?=ξ令

()()x

b a

x f x f -='?

()()c x b x f a ln ln ln +-=??→?-积分 ()()c x f x b a

=-?

可令 ()()()x f x b x F a

-=

证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a

-=

()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,, ()()()())0(0==-=a f a f a b a F a

Θ

()()()0=-=b f b b b F a

故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件 于是，()b a ,∈?ξ，使()0='ξF

()

()

()()()01='-+--ξξξξf b f b a a 即：

亦即： ()()ξξ

ξf a

b f '?-=

证毕 设置变量法

当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。即：将结论中的ξ或η看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。

例3：设函数()()x g x f ,在[]上连续，b a ,且()(),1==a g b g 在()b a ,内()()x g x f ,可导,

且()()()0,0≠'≠'+x f x g x g .试证明: ()?∈?,,,b a ηξ ()

()()()[]η

ξξξηξe g g e f f '+=''

分析:欲证等式 ()()()[]()η

ξηξξξe

f g g e f '='+'?

将ηξ和均看作变量,则上式写成

()

()

[

]

()()''=''ηξηξξe f g e f

辅助函数可取：x x e x x g e x ==)()()(ψ?

证明：),()(x g e x x ?=?令则由题设可知],[)(),(b a x g x f 在上满足柯西中值定

理，于是，使得),,(b a ∈?ξ

)]

()([)

()()()()(ξξξξ

g g e f a g e b g e a f b f a b '+'=-- 因为1)()(==b g a g 所以，

)1()]

()([)

()()(ξξξξg g e f e e a f b f a b '+'=

--

再令],[)(),(,)(b a x x f e x x 在则ψψ=上满足柯西中值定理，于是，使得),,(b a ∈?η

)2()

()()(ηηe f e e a f b f a b '=

--

由（1），（2）得

)]()([)(ξξξξ

g g e f '+'=ηηe

f )

(' y

e

g g e f f )]()([)()(ξξηξξ'+=''?

几何直观法

对于某些证明题可以先从结论的几何意义进行分析，作为符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。

例4 设函数)(x f 在),0[+∞内可导，.0)0()(='f x f 严格递增， 试证明：在

.0)()(),0(≥-'+∞x f x f x 内

分析：由严格递增)(x f '知，)(x f 是下凸函数. 由图1知：)()(),0[1x x f x ?≥+∞∈?有

即：

111()()()()f x f x f x x x '≥+-

(1)

即：切线总在曲线的下方（几何意义）.

由图2知：..122121k k l l k k >则的斜率和分别表示和由

即：

[)()()()()1020121020

0,,

f x f x f x f x x x x x x x --?<∈+∞≤

-- 证明：方法一：有分析及（1）知

取10,x x x ==时()()()()00f f x f x x '≥+- 即：

()()()00f x xf x f '-≤= ()().xf x f x '?≥

方法二：由（2）知，令00=x ，则(2)式变为

[)()

121

212121212

()(0)()(0)

0,00()()

()

f x f f x f x

x x x f x f x x x x x --≤

<∈+∞--?

≤<

再次引进辅助函数，

()()

,[0,)f x F x x x

=

∈+∞ 则)(x F 递增， .0)(≥'?x F 即：

()()

()()2

00xf x f x xf x f x x

'-'≥?-≥ 微分方程法

所谓“微分方程法”是指遇到诸如“求证存在),(b a ∈ξ，使得

)]([)(ξξ?ξf f ，='”之类的问题时，可先解微分方程),(y x y ?='，得其通解：c y x G =),(，则可构造辅助函数).,()(y x G x F =

例 5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且

,0)(≠x f ),,(b a x ∈,0)()(==b f a f 若

证明：对k x f x f b a R k ='∈?∈?)

()

(),,(,使

ξ.

分析：将结论中的ξ换成x ，得可分离变量的微分方程：

()

()

f x k f x '=， 即

.dy

kdx y

= 其通解为()kx f x ce =，即：e ()kx f x c -= 于是可是辅助函数为

()()kx F x f x e -=

则.0)()(),(],[)(==b F a F b a b a x F 内可导，且上连续，再在 由Rolle 定理知，至少存在一点),,(b a ∈ξ使得

()0F ξ'=

即：

()

.()

f k f ξξ'= 常数k 值法

此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题，构造出辅助函数)(x F 的具体步骤如下：

（1） 从结论中分离出常数部分，将它令为k ；

（2） 做恒等变化，是等式（或不等式）一端为a 及f(a)构成的代数式，

另一端为b 和f(b)构成的代数式；

（3） 分析端点a,b 的表达式是否为对称式或轮换式。若是将端点改为x ，

相应的函数值f(a)(或f(b))改为f(x)，则关于x,f(x)的表达式即为索求的辅助函数F(x).

例6： 内可导，上连续，在在设),(],[)(,0b a b a x f a b >>

使得证明：),,(b a ∈?ξ

[]()[]2()()()().af b bf a ab b a f f ξξξξ'-=--

分析：分离a,b 与ξ，则待证式

()()()()()

2

af b bf a f f ab b a ξξξξ

'-?-?=- 则上式的左端显然是关于a,b 的对称式.令其为k,得

2222()()()

()()()()af b bf a kab b a af b kab bf a ka b f b kb f a ka b a

-=-?-=---?=

于是，可令 kx x

x f x kx x f x F -=-=

)

()()(2 证明：作辅助函数 kx x

x f x F -=

)

()( （其中)()()(a b ab a bf b af k --=

） 由题设条件可知内可导，上连续，在在),(],[)(b a b a x F 并且

ka

a

a f k

b b b f a F b F ---=

-)

()()()( 0

)()()

()()()()()

()(=-----=---=

a b a b ab a bf b af a a f b b f k a b a a f b b f

可见,件，上满足罗尔中值定理条在],[)(b a x F 于是,0)(),,(='∈?ξξF b a 使得 即 2

)

()()()()(ξξξξf f a b ab a bf b af -'?=--. 亦即 )]()()[()]()([2ξξξξf f a b ab a bf b af -'-=-

弧弦差法

利用弧弦差来构造辅助函数，称为弧弦差构造函数法。微分中值定理的相关证明就采用种方法]2[，现以拉格朗日中值定理为例：(原定理叙述略) 题 7：内可导，上连续，在在),(],[)(b a b a x f 有向线段x NM 是的函数，设直线AB 的方程为).(x L y =

则 )()

()()()(a x a

b a f b f a f x L ---+

=

由于点N M ,的纵坐标分别为).(),(x L x f 有向线段MN 的重数

)()()(x L x f x -=? )()

()()()(a x a

b a f b f a f x f ----

-=

重合，与点处点及在N M b x a x ==

0)()(,0===b a MN ??也就是即

,0)(),,()(='∈?ξ?ξ?b a Rolle x 定理条件，故有满足则 于是就有拉格朗日中值定理的结论

),(,

)

()()(b a a

b a f b f f ∈--='ξξ

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]杨根学.待证结论构造辅助函数法[J].天水师院学报，2001，（5）：55-56 [3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]. 高等教育出版社，1986. [4]王德利.证题中引进辅助函数的几种方法[J].江汉大学学报，1995，（3）：56

[5]尹必华.运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法[J].自然科学报.2002：（6）29—31

Several Methods for Constructing the Auxiliary

Function and their Applications

Xu Shenghu

(Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070 )

Abstract: On the basis of studying and analyzing mathematical, some

methods about construction of auxiliary are proposed. By the property of the function ’s graph and mean-value theorem of

integrals, combined with the example, some methods for

constructing the auxiliary function and their application are

illustrated.

Key words: auxiliary function, arc-chord difference,original function method, differential equation method

构造辅助函数证明微分中值定理及应用

构造辅助函数证明微分中值定理及应用 摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。 关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理 Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications

Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing. Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem 目录 一：引言 (4) 二：数学分析中三个中值定理 (4) 三：五种方法构造辅助函数 (6) 1：几何直观法 (6)

2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页 3：原函数法 (8) 4：微分方程法 (10) 5：常数k值法 (13) 四：结论 (15) 参考文献 (15) 致谢 (16) 一:引言 微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命

定义构造函数的四种方法

定义类的构造函数 作者：lyb661 时间：20150613 定义类的构造函数有如下几种方法： 1、使用默认构造函数(类不另行定义构造函数)：能够创建一个类对象，但不能初始化类的各个成员。 2、显式定义带有参数的构造函数：在类方法中定义，使用多个参数初始化类的各个数据成员。 3、定义有默认值的构造函数：构造函数原型中为类的各个成员提供默认值。 4、使用构造函数初始化列表：这个构造函数初始化成员的方式显得更紧凑。 例如：有一个学生类。其中存储了学生的姓名、学号和分数。 class Student { private: std::string name; long number; double scores; public: Student(){}//1:default constructor Student(const std::string& na,long nu,double sc); Student(const std:;string& na="",long nu=0,double sc=0.0); Student(const std:;string& na="none",long nu=0,double sc=0.0):name(na),number(nu),scores(sc){} ……….. void display() const; //void set(std::string na,long nu,double sc); }; ......... Student::Student(const std::string& na,long nu,double sc) { name=na; number=nu; scores=sc; } void Student::display()const { std::cout<<"Name: "<

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，

使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

为什么要引入构造函数和析构函数汇总

1．为什么要引入构造函数和析构函数？ 对象的初始化是指对象数据成员的初始化，在使用对象前，一定要初始化。由于数据成员一般为私有的(private)，所以不能直接赋值。对对象初始化有以下两种方法：类中提供一个普通成员函数来初始化，但是会造成使用上的不便（使用对象前必须显式调用该函数）和不安全(未调用初始化函数就使用对象)。 当定义对象时，编译程序自动调用构造函数。 析构函数的功能是当对象被撤消时，释放该对象占用的内存空间。析构函数的作用与构造函数正好相反，一般情况下，析构函数执行构造函数的逆操作。在对象消亡时，系统将自动调用析构函数，执行一些在对象撤消前必须执行的清理任务。 2. 类的公有、私有和保护成员之间的区别是什么？ ①私有成员private: 私有成员是在类中被隐藏的部分，它往往是用来描述该类对象属性的一些数据成员，私有成员只能由本类的成员函数或某些特殊说明的函数（如第4章讲到的友员函数）访问，而类的外部根本就无法访问，实现了访问权限的有效控制，使数据得到有效的保护，有利于数据的隐藏，使内部数据不能被任意的访问和修改，也不会对该类以外的其余部分造成影响，使模块之间的相互作用被降低到最小。private成员若处于类声明中的第一部分，可省略关键字private。 ②公有成员public：公有成员对外是完全开放的，公有成员一般是成员函数，它提供了外部程序与类的接口功能，用户通过公有成员访问该类对象中的数据。 ③保护成员protected: 只能由该类的成员函数，友元，公有派生类成员函数访问的成员。保护成员与私有成员在一般情况下含义相同，它们的区别体现在类的继承中对产生的新类的影响不同，具体内容将在第5章中介绍。缺省访问控制（未指定private、protected、public访问权限）时，系统认为是私有private 成员。 3. 什么是拷贝构造函数，它何时被调用？

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

例析构造函数的基本方法

例析构造函数的基本方法 一、用作差法构造函数 求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 证明：设函数x x x f -+=)1ln()(，1111)(+-=-+= 'x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数，故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞，于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则， 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+- ≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 二、换元法构造函数 对任意的正整数n ，不等式3 211)11ln(n n n ->+ 都成立. 分析：从所证结构出发，只需令x n =1，则问题转化为：当0>x 时， 恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

构造函数法证明导数不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左面，令11 1)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方；

C++实验三 构造函数和析构函数题目+答案

实验三构造函数和析构函数 班级：B135A2 学号： 201322688 姓名：杨弘成绩： 一．实验目的 1．理解构造函数和析构函数作用； 2．掌握各种类型的构造函数和析构函数的使用； 3．掌握构造函数和析构函数的调用顺序。 二．使用的设备和仪器 计算机+Windows XP +Visual C++6.0 三．实验内容及要求 1．阅读程序，写出运行结果，然后上机运行，将机器运行结果与人工运行的结果进行比较，并对每一行输出做出分析。 （1） #include using namespace std; class MyClass { public: MyClass(); MyClass(int xx); MyClass(int xx,int yy); MyClass(MyClass &); void Display(); void Set(int, int); ~ MyClass(); private: int x,y; }; MyClass:: MyClass() { cout<<"执行无参构造函数：" ； x=0;y=0; cout<<"x="<

cout<<"执行一个参数构造函数：" ； x=xx;y=0; cout<<"x="<

构造辅助函数

构造辅助函数解题 一、 直接构造 1.实数k 为何值时，不等式x e kx ≥对x R ?∈恒成立？ 二、稍作变形 2. 设函数()1(01)ln f x x x x x =>≠且 (I)求()f x 的单调区间； (II)已知12a x x >对(0,1)x ?∈成立，求实数a 的取值范围. 三、适当放缩 3. 设函数1()ln(1)(1)n f x x x = +--.其中n N *∈.求证：对n N *?∈，当2x ≥时，有()1f x x ≤-. 四、化离散为连续 4.证明：对n N *?∈，不等式23 111ln(1)n n n +> -都成立.

五、二次构造 5.函数()2 2 ln (1)1x f x x x =+-+ (1)求()f x 的单调区间； (2)若不等式11n a e n +??+≤ ??? 对任意的n N *∈都成立，求a 的最大值. 六、构造双函数 6.证明：对0x ?>，都有12ln x x e ex > -成立. 七、注意繁简之分 7.设()ln f x x =. (1)求函数()()1g x f x x =+-的最大值； (2)已知0a b <<，求证：()()22 2()a b a f b f a a b --> +. 附2012年高考题分类： 一、数列与不等式 1.已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. (1)求a 的值； (2)若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；

(3)证明：12ln(21)2()21n i n n N i *=-+<∈∑ - 2. 设函数()1(0)x x f x ae b a ae =++> （Ⅰ）求()f x 在[)0,+∞内的最小值； （Ⅱ）设曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y= 32x ,求a,b 的值。 3. 设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈. （Ⅰ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12?? ??? 内存在唯一的零点； （Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12?? ???内的零点，判断数列23,,,n x x x 的增减性。 4.（I ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<，求()f x 的最小值； （II ）试用（I ）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （III ）请将（II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道 公式()1x x ααα-'=. 5.函数()223f x x x =--，定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点()(4,5),(,)n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点 的横坐标. (1)证明：123n n x x +≤<<； (2)求数列{}n x 的通项公式.

构造函数法解选填压轴题

微专题：构造函数法解选填压轴题 高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 几种导数的常见构造： 1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -= 若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -= 2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x = 4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e = 5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x x f x h = 一、构造函数法比较大小 例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大小关系是 ( ) .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >> 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+, 所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减. 因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D. 变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x + >， 若111(),2(2),ln (ln 2)222 a f b f c f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >> 例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ?∈，均有()()f x f x '>，则有

中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…

构造函数和析构函数

一、选择题 1、以下有关构造函数的叙述不正确的是（）。 A、构造函数名必须和类名一致 B、构造函数在定义对象时自动执行 C、构造函数无任何函数类型 D、在一个类构造函数有且仅有一个 2、以下有关析构函数的叙述不正确的是（）。 A、一个类只能定义一个析构函数 B、析构函数和构造函数一样可以有形参 C、析构函数不允许有返回值 D、析构函数名前必须冠有符号“~” 3、系统提供的默认拷贝构造函数中形参表和函数体分别为（）。 A、形参表为空，函数体为空 B、形参表为空，函数体不为空 C、形参表不为空，函数体为空 D、形参表不为空，函数体不为空 4、设A为test类的对象且赋有初值，则语句test B=A; 表示（）。 A、语法错 B、为对象A定义一个别名 C、调用复制构造函数，将对象A复制给对象B D、仅说明B和A属于同一类 5、若有如下类定义，则下列叙述正确的是（）。 class Time { int H,M,S; public: void Time(int h,int m,int s) { }; //A } //B A、A行有错误 B、B行有错误 C、A和B行都有错误 D、A和B行都没有错误 6、若有如下类定义，则下列叙述正确的是（）。 class S { int x; public: S ( ) {x=0;} S (int a) {x=++a;} void show( ) {cout<<”x=”<

zt4专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造

专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造 构造函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了. 在教学中，不失时机地加强对学生的构造性思维的训练，对培养学生的创新意识、创新能力大有裨益.同时构造性思维的形成是培养创造性思维能力的一种途径.它是在数学教学中用数、形结合，沟通问题条件与结论，构造出数学模型，从而达到解决问题目的的一种解题数学法.这种方法要求综合应用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件、结论、性质及特征，横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式、使问题思路清晰，解法巧妙.有一些数学问题在常规下束手无策，而构造法使问题得到别开生面、简洁而新颖的解法. 数学中的许多问题，往往可以通过构造辅助函数，利用间接方法得到解决.这一方法应用的广泛性，在于其灵活性. 例如，证明拉格朗日定理时，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理的函数转换成适合罗尔定理的函数的方法.在这里，辅助函数是使问题转化的桥梁. 构造辅助问题，并非是为了它本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决原来的问题.那个原来的问题才是我们要达到的目标，而辅助问题只是我们试图达到的手段，是原来问题转化的桥梁.针对所要解决的问题构造一个辅助问题，则原来问题的求解或证明，就转化为对一个函数的性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最大最小值、连续和微分积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了. 微分中值定理是沟通函数及导数之间的桥梁，是研究函数性质的有力工具.而各种辅助函数又往往有所不同，这些辅助函数之间有没有内在的联系呢？引入这些辅助函数有没有一般规律呢？为解答上面的问题，给出辅助函数的一般表达式： F（x）=f(x)— ()() f b f a b a - - x c + 此式可以作为证明拉格朗日中值定理所引用的辅助函数，其中c为任意常.容易验证,当f(x)满足拉格朗日中值定理的条件时，相应的F（x）满足罗尔定理的条件.由于它们都含有任意的常数c ，所以具有某种一般性，是辅助函数的最简单的一种形式.每给出一个c的具体的辅助函数，对应一个具体的证法.不难看出将F（x）与某些函数复合所得的函数，也可以作为辅助函数.

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法 及应用 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例 说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 “逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=210 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()() θ θθf f - ='.

证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将() () θ θθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到 ()[]()()θθθθ f f x xf x '?+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得 ()0='θF 即:()() θ θθf f - ='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积 分因子),为简便起见,可将积分常数取为零; (4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数. 例2: ()[]() (),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 ()()()ξξ ξξf a b f b a '?-=?∈?,,证明： 分析: ()()ξξ ξf a b f '?-=

类的构造函数和析构函数

C++面向对象编程入门：构造函数与析构函数 请注意，这一节内容是c++的重点，要特别注意！ 我们先说一下什么是构造函数。 上一个教程我们简单说了关于类的一些基本内容，对于类对象成员的初始化我们始终是建立成员函数然后手工调用该函数对成员进行赋值的，那么在c++中对于类来说有没有更方便的方式能够在对象创建的时候就自动初始化成员变量呢，这一点对操作保护成员是至关重要的，答案是肯定的。关于c++类成员的初始化，有专门的构造函数来进行自动操作而无需要手工调用，在正式讲解之前先看看c++对构造函数的一个基本定义。 1.C++规定，每个类必须有默认的构造函数，没有构造函数就不能创建对象。 2.若没有提供任何构造函数，那么c++提供自动提供一个默认的构造函数，该默认构造函数是一个没有参数的构造函数，它仅仅负责创建对象而不做任何赋值操作。 3.只要类中提供了任意一个构造函数，那么c++就不在自动提供默认构造函数。 4.类对象的定义和变量的定义类似，使用默认构造函数创建对象的时候，如果创建的是静态或者是全局对象，则对象的位模式全部为0，否则将会是随即的。 我们来看下面的代码： #include using namespace std; class Student { public: Student()//无参数构造函数 { number = 1; score = 100; } void show(); protected: int number; int score; }; void Student::show() { cout<

浅谈辅助函数的构造及其应用

浅谈辅助函数的构造及其应用 [摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性． [关键词] 中值定理；辅助函数；应用 一、 辅助函数方法的构造 利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法． 1“按图索骥”法 例1 证明21() >+n n y x n y x ? ? ? ??+2() 1,,0,0>≠>>n y x y x 证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f ()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当 y x y x ≠>>,0,0时，有 ()()?? ? ??+>+22y x f y f x f 即 () n n n y x y x ?? ? ??+>+221 2“逆向思维”法 例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ?=21 21，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()() 'f f θθθ =- ． 证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．

将()() 'f f θθθ =- 变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ '' f f x xf x +==可 考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F 因为()()dx x xf f ?=210 21，由积分中值定理可知，至少存在一点?? ? ???∈21,0ξ，使得 ()().1ξξf f = 而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()() θ θθf f =' 3“图象”法 例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及 10≤≤t ，有 证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中211 21 ,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有 ()21,x x x x f y ≤≤≥ 即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法 例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()3 101 01 01 061???? ??=????dt t f dz z f y f x f dy dx 证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()?=x dt t f x F 0