同济大学线性代数

同济大学线性代数

线性代数是一门重要的数学课程，它在工程计算、推理及数据分析等领域中都有广泛的应用。在继续深入学习高级数学和数学建模方面，线性代数也具有重要的作用。同济大学的线性代数课程也为学生们的深入学习提供了极大的便利。

同济大学的线性代数课程覆盖了线性方程组、向量空间、范数、行列式、矩阵论、线性变换及其应用、秩与基的概念等内容。通过研究这些内容，学生们可以了解线性方程组、向量空间、范数、行列式、矩阵论、线性变换及其应用、以及秩和基之间的联系与区别，从而加深对线性代数的理解。

同济大学的线性代数课程还让学生们通过实际例子学习线性代数，比如学习如何解决线性规划问题、如何求线性变换的最大最小值等。学生们还可以利用计算机软件解决复杂的线性代数问题，从而更好地掌握和运用线性代数知识。

此外，同济大学的线性代数课程强调实验教学，给学生们留出充足的实验时间，让学生们可以把线性代数知识灵活运用到实践中，从而加深对线性代数知识的理解及掌握。

在学习线性代数课程时，学生们还可以了解线性代数在其他领域的应用，比如在机器学习、大数据分析等领域，线性代数都发挥着重要的作用。机器学习涉及到很多数学模型，其中线性代数概念是重要的一环。此外，线性代数在大数据分析中的应用也很广泛，比如在图像处理中，学习线性代数可以帮助研究人员更好地提取图像中的细微

特征信息。

综上所述，可以肯定的是，同济大学的线性代数课程对学生来说是一次宝贵的机会，学生们可以在课程中深入学习和了解线性代数，从而更好地利用线性代数知识帮助他们解决诸多数学问题。

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解讲解学习

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

线性代数(同济大学第五版)行列式讲义例题

线性代数（同济大学第五版）行列式讲义例题线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题 第一章行列式 行列式就是研究线性方程组的一个有力工具,本章得出了行列式的定义、性质及其计 算方法. §1全排列及其逆序数 一、排序及其逆序数定义 对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序. 定义1由n个自然数1,2,?,n共同组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称作一个n元全排序,缩写为排序. 例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列. 定义2在一个排序里,如果某一个很大的数码排在在一个较小的数码前面,就说道这两个数码形成一个逆序（反序）,在一个排序里发生的逆序总数叫作这个排序的逆序数, 用?(i1,i2,?,in)则表示排序i1,i2,?,in的逆序数. 根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数： 设于一个n级排序i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)小的且位列it前 第1页面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个 数之和就是这个排序的逆序数．即为 n?(i1i2?in)?t1?t2tn??ti. i?1基准1排序排序45321的逆序数. 解因为4排在首位,故其逆序数为0； 比5大且位列5前面的数有0个,故其OMO序数为0；比3大且位列3前面的数有2个,故其OMO序数为2；比2大且位列2前面的数有3个,故其OMO序数为3；比1大且位列1前面的数有4个,故其OMO序数为4．可知所求排序的逆序数为 (45321)002349． 定义3逆序数为偶数的排序叫作偶排序,逆序数为奇数的排序叫作奇排序.

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)

同济版线性代数

同济版线性代数 同济版线性代数简介 线性代数是现代数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换 和矩阵等代数结构以及它们之间的关系。同济版线性代数是同济大学 出版社出版的一本经典教材，被广泛应用于各个高校的线性代数教学中。 1. 线性代数的基本概念 同济版线性代数从最基础的概念开始介绍，如向量的定义、线性组合、线性方程组、矩阵等。通过精心组织的内容，使学生逐步形成对线性 代数的整体认识。 2. 向量空间与线性变换 向量空间是线性代数中的重要概念，同济版线性代数对其进行了详细 讲解。包括向量空间的定义与性质，子空间的概念以及子空间的判定 方法。此外，线性变换也是线性代数的核心内容之一，同济版线性代 数着重介绍了线性变换的定义、性质和实例，帮助学生理解线性变换 的本质。 3. 矩阵与行列式 矩阵是线性代数中的重要工具，同济版线性代数对矩阵的定义和运算 进行了详细讲解。同时，行列式也是线性代数中重要的概念之一。同 济版线性代数对行列式的性质、求法以及与线性方程组的关系进行了 深入的讲解，帮助学生理解行列式在线性代数中的重要性。 4. 特征值与特征向量 特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，同济版线性代数对特征 值与特征向量的定义、性质、求法以及与矩阵的关系进行了详细的讲解。通过具体的例题和习题，帮助学生掌握计算特征值与特征向量的 方法。

5. 内积空间与正交变换 内积空间是线性代数中的一个重要概念，同济版线性代数对内积空间的定义、性质以及内积空间的一些特殊性质进行了详细介绍。同时，正交变换也是内积空间中的重要概念，同济版线性代数通过实例和习题，帮助学生理解和应用正交变换。 总结： 同济版线性代数全面系统地介绍了线性代数的基本概念、向量空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量以及内积空间与正交变换等内容。它不仅适用于大学的线性代数教学，也可以作为工科、理科等专业相关课程的参考书。同济版线性代数以其内容完整、深入浅出的特点，深受广大师生的喜爱。

同济大学线性代数第六版课后答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

同济大学第四版线性代数习题解答

线性代数答案解答 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1） 381141102 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1） =---3 811411 02 811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯ )1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11 c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

线性代数(同济大学第五版)向量讲义、例题

第三章 向量 §1 向量的概念及运算 一、n 维向量的概念 定义1：n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组称为n 维向量，其中),2,1(n i a i =称为n 维向量的第i 个分量。分量是实数的向量称为n 维实向量，分量是复数的向量称为n 维复向量。 n 维向量可写成一行，称为行向量；即),,,(21n T a a a =α. 也可写成一列，称为列向量，即⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=n a a a 21α. 用小写的黑体希腊字母 ,,,γβα来代表向量。 每一个分量都是0的向量称为n 维零向量。记为O ，即 )0,,0,0( =O 向量),,,(21n a a a --- 称为向量),,,(21n a a a ---= α的负向量， 记为-α。 在n 维向量中，两个向量),,,(21n a a a =α，),,,(21n b b b =β相等，是指它们的各个分量对应相等，即),2,1(n i b a i i ==这时，记为 βα=. 如干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量 组. 二、n 维向量的线性运算 定义2：设向量组),,,(21n a a a =α,),,,(21n b b b =β，则βα+= ),,,(2211n n b a b a b a +++ 称为向量βα,的和，记为βαγ+=. 加法满足下列运算规律： 1）交换律：αββα+=+ 2）结合律：γβαγβα++=++)()( 3）存在零向量O ，对一切向量α，使ααα=+=+O O 4）对第一向量α，存在-α，使O =-+)(αα 向量减法：)(βαβα-+=- 定义3：向量 ),,,(21n a a a =α与数k 的数量乘积为向量

线性代数(同济大学第五版)线性方程组讲义、例题

第四章 线性方程组 本章以矩阵的理论作为工具,研究线性方程组有解的条件及其解法. §1 线性方程组的几种表示 一、一般形式 n m ⨯的齐次线性方程组的一般形式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* （1） 二、向量形式 n m ⨯的齐次线性方程组的向量形式为 βααα=+++n n x x x 2211, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi i i i a a a 21α,⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=m b b b 21β. 三、矩阵形式 n m ⨯的齐次线性方程组的矩阵形式为 β=Ax 其中n m ⨯矩阵][ij a A =是方程组的系数矩阵,T n x x x x ],,,[21 =是 n 维未知数向量,特别地,当0=β时,0=Ax 称为齐次线性方程组,而当 0≠β时,β=Ax 称为非齐次线性方程组,并称0=Ax 为β=Ax 的导出 组. §2 齐次线性方程组的解 任何一个齐次线性方程组一定有解,因为当021====n x x x 就是它的一个解,通常称为零解或平凡解. 一、齐次线性方程组有非零解的充分（或必要）条件 (1) 0=Ax 有非零解的充分必要条件是A 的列向量组相性相关 (2) 若方程个数小于未知向量个数,则0=Ax 必有非零解. (3) 当n m =,即A 为方阵时,则0=Ax 有非零解的充分必有条件是 .0=A 二、齐次线性方程组解的性质 性质 1 如果 1ξ=x ,2ξ=x 是方程组0=Ax 的解,那么21ξξ+=x 也是方程组0=Ax 的解. 性质 2 如果是1ξ=x 方程组0=Ax 的解,k 为实数,那么也1ξk x =是

线性代数_同济大学(第五版)课件

幻灯片1 线性代数（第五版） 幻灯片2 ●在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组. ●但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未 知量的个数与方程的个数也不一定相等. 幻灯片3 ●我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形. ●在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具. 幻灯片4 ●行列式是线性代数的一种工具！ ●学习行列式主要就是要能计算行列式的值. 第一章行列式 ●内容提要 ●§1 二阶与三阶行列式 ●§2 全排列及其逆序数 ●§3 n 阶行列式的定义 ●§4 对换 ●§5 行列式的性质 ●§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 ●行列式的概念. ●（选学内容） ●行列式的性质及计算. ●——线性方程组的求解. 幻灯片5 §1 二阶与三阶行列式 ●我们从最简单的二元线性方程组出发，探 ●求其求解公式，并设法化简此公式. 幻灯片6 一、二元线性方程组与二阶行列式 ●二元线性方程组

●由消元法，得 ●当时，该方程组有唯一解 幻灯片7 ●二元线性方程组 ●请观察，此公式有何特点？ ●分母相同，由方程组的四个系数确定. ●分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得. ●求解公式为 幻灯片8 ●我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”. ●二元线性方程组 ●记号 ●数表 ●其求解公式为 ●表达式称为由该 ●数表所确定的二阶行列式，即

●其中，称为元素. ●i 为行标，表明元素位于第i 行； ●j 为列标，表明元素位于第j 列. ●原则：横行竖列 幻灯片9 ●二阶行列式的计算 ●——对角线法则 ●主对角线 ●副对角线 ●即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积幻灯片10 ●二元线性方程组 ●若令 ●(方程组的系数行列式) ●则上述二元线性方程组的解可表示为

线性代数(同济大学第五版)矩阵讲义、例题

第二章 矩阵 矩阵及其运算是线性代数的核心,是后续各章的基础,本章主要讨论矩阵的概念、矩阵运算、初等矩阵、逆矩阵与伴随矩阵以及矩阵方程. §1 矩阵的概念 定义1 由n m ⨯个数),,2,1;,2,1(n j m i a ij ==排成的m 行n 列的数表： ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列矩阵,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素. 矩阵可用大写字母 ,,B A 来表示,简记为n m A ⨯或n m ij a A ⨯=)(. 当n m =时, ()n a a a A 11211 =,则称A 称为m 阶方阵或m 阶矩 阵； 当1=m 时, ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=12111m a a a A ，则称A 称为行矩阵 当1=n 时,A 称为列矩阵。 定义2 设n m A ⨯中每个元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为：n m O ⨯ 或O . 定义3 矩阵n m ij a ⨯-)(称为矩阵n m ij a A ⨯=)(的负矩阵,记作A -. 定义4 如果n m ij a A ⨯=)(与m xn ij b B )(=,有ij ij b a = ),,2,1;,2,1(n j m i ==,那么称这两矩阵相等,记为B A =. 几个特殊矩阵 (1) 设方阵n n ij a A ⨯=)(中, ),,2,1,,(0n j i j i a ij =≠=,则称它为对角矩阵,记为：),,,(2211nn a a a diag ； 特别地,当12211====nn a a a 时, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=100010001 A 时,称A 为n 阶单位矩阵,记作n E 或E .

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)