矩阵论论文

西安理工大学

研究生课程论文

课程名称：矩阵论

任课教师：XXX

论文/研究报告题目：线性变换在

电路方程中的应用

完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx

学号：XXXXXXX

姓名：XXX

成绩：

线性变换在电路方程中的应用

摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。

关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换

引言

在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d

q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、

前进 - 后退 F

B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的

相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变

压器的分析中得到了应用，但只是针对具体问题对其方法的具体应用，没有明确提出变压器变换的概念。这些文献对坐标变换和变压器变换都缺乏在数学层面上予以统一论述。这种特殊和具体的阐述，不便于将之作普遍化和一般化的理解，也就妨碍了对它的推广和发展。不论是坐标变换，还是变压器变换，都可看作是电路方程矩阵系数的线性变换。既然是矩阵线性变换，就必然能够根据矩阵理论对其进行阐释，并找到它们的共同点和不同点，从而在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，为提出电路方程线性变换的新类型提供思路。本文的工作就在于此。

1．线性变换基础知识

概念：线性空间V到自身的一种映射就是V的一个变换。

定义 1.11如果线性空间V上的一个变换T具有性质Tx

k

ly

T+

+

=

kx

(Ty

(

)

l

)

(

)

其中 x,y∈V, k,l∈K ，则称T为V上的一个线性变换或线性算子. 上式所表示的性质实为变换T对向量的线性运算是封闭的。因为只要在式1.11中分别取k=L=1和L=0，便得到T（x+y）=Tx+Ty和T（kx）=k（Tx）。因此，有的作者将此二式作为线性变换的定义。

定义1.12 设T是线性空间V的线性变换，V中所有向量的象形成的集合，称为T的值域，用R（T）表示，即

R（T）={Tx/x V

∈}

V中所有被T变为零向量的原象构成的集合，称为T的核，用N（T）表示，即

N （T ）={x/Tx=0，x V ∈}

定理1.8 线性空间V 的线性变换T 的值域和核都是V 的线性子空间。 定义1.13 象子空间的维数dimR （T ）称为T 的秩，核子空间的维数称为T 的亏（或零度）。

2. 电路方程线性变换的基本理论

对于线性电路，其电路方程一般可表示为

y = Ax （1）

其中，向量y ∈1n F ⨯， 向量 x ∈1n F ⨯，x 、y 表示电压、电流或磁链等电量；矩阵A ∈n n F ⨯， F 为实数或复数域 。因为电路为线性，所以矩阵A 中各元素与 x 、y 无关，它们可以是常数、时间函数和微分算子。 设电路方程式（1）的线性变换关系为

y′=y P y （2）

x = x P x′（3）

其中 ，y′∈1m F ⨯，x′∈1m F ⨯，y P ∈n m F ⨯，X P ∈m n F ⨯。

由 式（ 1 ）~（ 3） 可得：

x′=A ′y ′(4)

A ′=y P A X P (5)

其中，A ′m m F ⨯∈。

式（ 4）就是用新变量 y′和 x′表示的电路方程。

关于 Px 和Py 的关系有下面 2 种情形 。

情形 1 ： 如 果-1y P 存在，且满足式（ 6），则 式（ 7）（ 8）（ 9）

成立 。

P=-1y P（6）

X

H

x'（-1y P）H y （7）

x y=H

y′= Py y

x′= Py x （8）

P y′

y =-1

y

P x′（9）

x = -1

y

情形 2：如果满足式（ 10），则式（ 11 ）成立。

P=H y P（10）

X

H

x'y′（11）

x y=H

如果-1y P存在，则

y′= Py y

x′= ()-1H y P x （12）

y=-1

P y′

y

P x′（13）

x=H

y

由式（7）~（9）可以看出，如果 Px=-1

P，变换前后功率未必守恒，

y

但新、旧变量的变换矩阵相同；由式（11 ~（13）可以看出，如果Px =-1

P（不论-1y P是否存在），变换前后功率守恒，但新、旧变量的

y

变换矩阵未必相同（甚至可能因为-1

P不存在而写不出表达式）。

y

显然，如果-1

P =H y P，则上述2种情况的数学表示是相同的，即

y

变换前后功率守恒新、旧变量的变换矩阵相同。在实数域，这种变换就是正交变换；在复数域，这种变换就是酉变换。正交变换或酉变换意味着新旧变量之间的变换是可逆的。

在坐标变换中，Py和Px的关系取上述情形1，即式（6）；在变压器变换中，Py和Px的关系取上述情形2，即式（10）。

同时需要注意的是，对于实际问题，一般A是可逆的，但A′ 可能不可逆。

3. 坐标变换举例

进行坐标变换的目的就是简化计算和分析过程，具体体现在对式（1 ）求解的简化。即通过坐标变换，使得矩阵A的阶数减小、解耦（对角化）以及各元素与时间无关。一般而言，使矩阵 A对角化是对式（1）最主要的简化。要对矩阵 A对角化，就是求矩阵A和一个对角阵的相似变换，即

-1

P AP= Λ (19)

其中，相似变换矩阵 P n n F⨯

∈；Λ 为对角阵。如果Λ=diag（λ1，λ2，…，λn），λ1、λ2、…、λn 是A的n个特征值，则P的第i个列向量是 A的属λi的特征向量，P的i个列向量是线性无关的，且P不唯一。

在三相异步电机中，定子三相电流在定子绕组中形成磁链时的电感矩阵为

对 Lss 对角化的本质是对下式矩阵对角化：

容易知道，A 的3个特征值为λ1 =λ2 =3／2，λ3 =0。对应这3个特征值的3组特征向量的相似变换矩阵可以分别如式（21 ）（22）

（23）所示： P1 =⨯32)

()()(()⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--21120sin -120cos 21

120-sin -120

cos 21sin cos

θθθθθθ （21） ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111131P 222αααα （22） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1e e 1e e 1e e 31P j 2j -j j -2j -j 3γγγγγγ

αααα （23）

容易验证：H 3-13H 2-12T 1-11P P P P P P ===、、。把式（20）

（21 ）（22）分别代入式（19）都可得：Λ =diag （λ1，λ2，λ3）=diag （3／2，3／2，0） （24）

式（21 ）的正交变换矩阵P1是电机学中有关任意速度旋转坐标系dq0 到三相坐标系abc 的变换矩阵，P1- 1则是三相坐标系 abc 到任意速度旋转坐标系dq0的变换矩阵。式（21 ）中，θ为d 轴超前a 轴的角度。

式（22）的酉变换矩阵 2P 是瞬时值复数分量 120坐标系到三相坐标

系 abc 的变换矩阵，-12P 是三相坐标系 abc 到瞬时值复数分量 120

坐标系的变换矩阵。式（22）中，α=

j120e 。

式 （ 23）的酉变换矩阵 3P 是前进 - 后 退坐 标系FB0 到三相坐标

系abc的变换矩阵，-1

P是三相坐标系abc到前进-后退坐标系FB0 的

3

变换矩阵。式（23）中，α=

j120

e，γ 为 F 轴超前a轴的角度。

从上面的例子可以看出，在交流电机等电路分析中，常用的三相静止abc 坐标系、任意速度旋转两相dq0坐标系、瞬时值复数分量120 坐标系、前进 -后退 FB0坐标系之间的变换本质上都是求取式（1 ）矩阵Λ的对角相似矩阵，即得到式（19），从而式（4）变为x′=Λy′（25）

这样，变换后的新变量x′和y′实现了解耦，从而简化了方程及其分析过程。这就是电路分析中坐标变换的根本目的。对于相数大于3的多相电路系统，也可以用上述矩阵相似变换的方法求出其多相坐标变换矩阵。

从上面的分析可以看出，矩阵A可对角化是使式（4）简化的重要原因，但并不是所有的 A 都可对角化。例如，只有A完全对称或循环对称时，才可使用式（22）的变换矩阵P使A对角化。当 x、y 为时间相量时，式（22）变换矩阵就是对称分量法的变换矩阵，即对称分量法的有效是有条件的。当 A不是完全对称或循环对称时，并不能用对称分量法使分析问题简化（即变换后各序间存在耦合，各序分量不是相互独立的）。由此可以得出一个重要结论：被广泛使用的坐标变换并不能使所有情形下的式（1）变得简单（解耦）。此时，要么通过寻求新的变换简化式（1），要么不加变换地直接求解式（1 ）。

值得特别指出的是，由于P不唯一，所以可根据特定要求选取 P，这样做就有可能发现用于实际问题求解的新的变换。

4.变压器变换举例

在电路分析中，特别是在含有复杂绕组变压器的电路分析中，某些电压和电流变量之间的关系式（式 （1 ））容易列写，而同时这些电压和电流变量却不是问题所关心的 。 这个时候就需要用变压器变换把所关心的电压、电流变量用这些变量表示出来，从而得到所关心的电压、电流变量之间的关系式。下面举例说明 。

图 1 为 Scott 变压器的接线原理图。

由图容易写出绕组电流和电压之间的关系式为

（26）

其中A 为绕组耦合导纳矩阵。

但在对 Scott 变压器及其电路的分析中，关心的是节点电压和节点电流，即

[]T D C B A U U U U U U β

α='x ,[]T D C B A I I I I I I y βα=',所以需要找出'x 和'y 之间的关系式。

由图 1 可得：

由式（26）~（29）可得：

式（30）就是 x′和y′之间的关系式。当给定有关约束条件时，就可用式（30）对 Scott 变压器及其电路进行分析计算。特别地，对于实际的 Scott 变压器，其实没有外接端子D，即可认为

I=0。

D 需要注意的是，式（28）的P不可逆。由于原变量y不是问题所关心的，因此没必要通过新变量y′的逆变换求出原变量y，所以P 是否可逆在这里没有要求。

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矩阵论课程论文

西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：

矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ⨯系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有

矩阵论论文(机械传动)

“矩阵论”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师： 姓名：学号： 专业：机械工程类别：学硕 上课时间： 2014 年 9 月至 2014 年 12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名)

矩阵论在机械传动方面的应用 摘要：矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合于现代理论数学的抽象结构。而本文着重讨论矩阵在机械传动中的应用，根据滚动轴承几何学、运动学基本原理和Hertz弹性体接触理论，同时考虑径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响, 建立了角接触球轴承刚度矩阵的计算模型。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承- 转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件。 关键词：角接触球轴承刚度矩阵机械传动 一、引言 矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。它本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。经过多年来人们对矩阵的研究，现在已经有很多矩阵的计算方法运用到实际生活中，且一些方法对人们的工作学习有很大的帮助。而刚度矩阵是将一个受力物体划分为n个单元,各单元刚度矩阵集成为结构总刚度矩阵，实现了从单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵的过程。 在机械传动中，我们通常在分析某个零部件时，都要计算该零部件在实际工况中的刚度矩阵，为后续的动态分析提供较为准确的边界条件。而角接触球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，在机械传动中占据重要地位，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响，所以很有必要建立角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵。 二、矩阵论在机械传动方面的应用 1、问题描述 角接触球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响。为提高轴承－转子系统的动态分析精度，建立了角接触球轴承刚度矩阵计算模型，模型考虑了径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承－转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件[1]。 以某型发动机支承轴承为例, 根据其实际工况,计算角接触球轴承的刚度矩

浅谈矩阵的秩及其应用的开题报告

鞍山师范学院 本科毕业生毕业论文开题 报告 题目：浅谈矩阵的秩及其应用 系别：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 年级: 13级2班 姓名：杨笑 导师:张立新

（一）选题意义 1. 理论意义： 高等代数作为数学专业基础课程之一，矩阵理论又是它主要的内容，其中矩阵的秩特别重要，它是反映矩阵固有性质的一个重要概念.不管是数学专业还是非数学专业，掌握矩阵的秩的定义以及简单性质，有助于我们解决一些基本的矩阵的秩的相关问题。通过本篇论文，可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解,及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。 2. 现实意义： 矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始末，是矩阵的一个重要的本质属性，在解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，以及在解析几何中，判断空间两直线位置关系等领域都有广泛的应用。 (二）论文综述 1、国内外研究现状及分析： 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.最初，矩阵概念的产生是作用于解线性方程组，英国数学家凯莱在矩阵论的研究中作出了巨大贡献，定义了矩阵的秩、初等因子、矩阵初等变换等概念，并且讨论了矩阵初等变换的一些重要性质，同时，弗罗伯纽斯的贡献也不是不可磨灭的,在凯莱的基础上，引进了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。矩阵本身所具

有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。 矩阵的应用也是相当广泛的，不仅仅是在数学领域，在物理、力学、科技等方面也发挥了不可忽视的作用，目前,虽然很多数学家在矩阵的秩的研究中做出了很多贡献,但是，矩阵的秩作为矩阵的一个重要性质，在高等代数、几何空间、数学分析等方面都有密切关系，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用。在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系.在控制论中,矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。此外,矩阵的秩也可用来判定向量组的线性相关性、两个向量组之间的等价、求向量组的极大无关组、向量组的线性表示、求齐次线性方程组的基础解系、求解非齐次线性方程组等等。分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面,都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要是在证明和计算等方面。如研究用分块矩阵解决行列式和方程组等问题,研究用分块矩阵解循环分块矩阵方程问题，研究用分块矩阵求逆矩阵问题.但在分块矩阵的推广方面很少有研究,难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中,使之能够成为我们学习和研究便利的工具。所以矩阵依然有着很大的研究价值。

毕业论文-矩阵特征值的求法研究

提供完整版的各专业毕业设计， 存档编号赣南师范学院学士学位论文矩阵特征值的求法研究 教学学院数学与计算机科学学院 届别 2015届 专业数学与应用数学 学号 110700064 姓名 指导教师 完成日期 2015年5月5日

作者声明 本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。 毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。 特此声明。 作者专业：数学与应用数学 作者学号：110700064 作者签名：古家琼 2015 年3 月12 日

矩阵特征值的求法研究 。。。。 Matrix eigenvalue in this study Gu Jiaqiong 2014年5月5日

摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值得一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常采用的是求解矩阵特征多项式根的方法。若矩阵的特征多项式的根存在，则这个根即为矩阵特征值；如果没有根，则该矩阵无特征值。而对于一些抽象矩阵，主要有左乘矩阵法。通过证明一个数为矩阵多项式根的方法及转置共轭法。在这三种方法的运用过程中，通过一些已证得的特殊矩阵特征值的相关结论，可以起到简化运算的效果。本文不仅给出了每一种方法与相关结论的证明，而且还通过大量的例题来说明这些方法的具体求解步骤。 关键词：矩阵；特征值；特征多项式 Abstract This article mainly discuss about the characteristic of matrix and matrix eigenvalue of religion worth some common methods of proof. For general matrix, we usually adopt is the method of solving matrix characteristic polynomial roots. If the characteristic polynomial of matrix exists, the root of the root is the characteristic value of matrix; If there is no root, the matrix eigenvalues. For some abstract matrix, basically have left by matrix method. By showing that a number of matrix polynomial root method and transposed conjugate method. In the process of the use of these three methods, through some has the special matrix eigenvalue related conclusions, can have the effect of simplified operation. This paper not only gives the proof of each method and the related conclusions, but also through a lot of examples to illustrate the concrete solving steps of these methods. Key words:Matrix; Characteristic value; Characteristic polynomial

矩阵开题报告范文

矩阵开题报告范文 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的

约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵 理论的基础，近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用 （二）、Householder变换及应用 1、Householder变换与Householder矩阵 2、Householder变换的保范性 3、Householder变换算法 4、Householder变换在参数估计中的应用

矩阵论在机械工程中的应用

西安理工大学 研究生课程论文/研究报告 课程名称：矩阵论 任课教师：XXX 论文/研究报告题目: 矩阵论在机械工程中的应用 完成日期：2013 年10 月22 日 学科：矩阵轮 学号： 姓名：袁XX 成绩：

矩阵论在机械工程中的应用 摘要：矩阵论在机械工程中无论是在设计、制造、运行、试验、测试过程中都有广泛应用。矩阵论使得机械工程的许多计算变得简便。 关键词：矩阵论；机械设计；机械制造、机、电、液复合系统；数控机床；机器人； 引言：机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测璧等过程巾,经常要处理许多变量和变量之间的关系,这些变量间常存在着线性关系,而某些非线性关系的问题,在一定条件下也可以用线性关系近似表示,因而许多问题就涉及求解线性方程组。例如描述液压或机械系统运动微分方程组的求解,各种机械部件强度设计或应力求解,汽轮机、柴油机气缸等部件用有限元素法求解温度场等等.又例如,从一组测量数据 y x i i ,,(i=0,1,2…)去求出表示变量y 与二函数关系的近似公式x a a a n n x x f y +++==....)(10解的问题,可归结为求解以多项式系数 a a a a n ......,,210为未知量的线性方程组;再如,用有限元素法求构件应力分布,就要建立并 求解以节点位移为未知量的线性方程组,这类方程组中也常有几百个未知量,构成大型线性方程组;另外在推导一复杂控制系统的数学模型时,由于其输入和输出的数量可达数百个,使描述系统运动的微分方程组非常复杂综上所述,如果我们利用“矩阵运算”来表达这些大型线性方程组,可以具有符号简单、运算简易、分析方便、求解迅速等优点,因而它已得到了广泛 的应用.本文拟对矩阵论在机械工程中的应用作一简要介。【1】 矩阵论在机械设计过程中的应用 在机械设计过程中矩阵的应用，十分广泛。在机械结构的校核阶段需要对机械结构的强度、刚度、柔度进行设计、校核计算，在运用弹性力学，理论力学等复杂力学知识进行校验时存在许多变量之间的关系，用普通数学方程来表示会显得十分冗杂，并且求解过程也不是很方便，往往通过矩阵来表示他们之间的关系，通过矩阵来求解未知变量。例如：摩擦接触在工程中很普遍,如齿轮传动、摩擦传动等。摩擦的影响给原本就很复杂的接触分析带来了巨大困难,所以,摩擦接触行为的分析,被认为是固体力学中最具挑战性的问题之一，国内外许多学者致力于摩擦接触问题的研究，有人采用增量解法，理论阐述严谨，算例解答合理，具有一定的权威性,许多学者都引用它的算例和分析结果，不足之处是占内存大,迭代求解过程繁琐，计算量大。这也是摩擦接触分析面临的普遍困难，在一定程度上限制了它的工程应用。有人提出三维弹性接触分析的边界元柔度矩阵法来解决这个问题，这种方法计算也是矩阵在机械工程中应用的一大体现，矩阵的应用大大减少了边界元处理的数据量、建模简便、求解精度高而且由于柔度矩阵的使用使得在用计算机进行运算时占用内存少，迭代速度明显提升 【2】。在机械动力学设计过程中，由于要计算各点在每一时刻的位姿，必须引入矩阵来描述各个构建的位姿、速度、加速度。虽然可以通过各种仿真软件来进行仿真，但其内部计算都是通过一系列的矩阵运算、变换来完成的。例如：凸轮一连杆组合机构是纺织、轻工等多种工作机械中应用非常广泛的一种组合机构。它除可以保持原来凸轮机构和连杆机构的基本功能外,还能在运动学、动力学和传动性能等方面获得优良的性能,它能分别或同时准确地实现

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析方法及应用论文 矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。 首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。矩阵的元素可以是实数或复数。通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。 矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。 另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。特征向量是与特征值对应的非零向量。特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子： 1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。 2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。 3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。 4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。论文例子：《基于矩阵分析的状态空间控制系统设计方法研究》、《基于矩阵分析的线性二次型控制器设计技术研究》。 综上所述，矩阵分析方法是一种应用广泛且强大的数学工具。通过矩阵分析方法，我们可以研究和解决与矩阵相关的问题，并在多个领域中应用。相关的论文例子

浅谈逆矩阵的求法及其应用论文

本科生毕业论文（设计）册 论文（设计）题目：浅谈逆矩阵的求法及其应用

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 指导教师签名：日期： 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供

目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：日期：

学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月日

矩阵论论文

研究生课程论文/研究报告 课程名称：矩阵论 任课教师： 论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日 学科： 学号： 姓名： 成绩：

矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状 态方程求解 摘要 我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s 域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。 关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解 一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数 如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R 、L 、C 分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程： ()()()()di t L Ri t uc t u t dt ++= 1 ()()i t dt uc t C =⎰ 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。 状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。 图1 将上式方程组改写成状态空间表达式为： ()11()()1 ()()00di t R i t dt L L u t L duc t uc t C dt --⎡⎤⎛⎫ ⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭ ⎣⎦① 如将电容上的电压uc 作为电路的输出量，则 []()()01()i t uc t uc t ⎡⎤ =⎢⎥ ⎣⎦ ②

矩阵论课程结业论文

浅谈矩阵论的发展 在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。直到18 世纪末至19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。 一、矩阵早期发展的社会与文化背景 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。 1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G .Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。 二 18世纪末19世纪初高斯和艾森斯坦等人的矩阵思想 2.1 二次理论研究中孕育的矩阵思想 从18 世纪末到19 世纪初，数学家们对矩阵的阵列形式是用二次型的形式来表示的，对矩阵理论的发展及思想的形成是渗透在二次型理论中的。1773 年[1]64，拉格朗日将齐次多项式的表达式 222rz qyz py ++通过线性代换⎩⎨⎧+=+=nx ms z Nx Ms y ，变换成()()222Nm Mn q pr Q PR --=-。1801年高斯出版《算术研究》，将欧拉，拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广。过程如下：一整数

矩阵论的应用

广义逆在多元分析中的应用 刘雯雯信通院学号：B098035 摘要：多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关系，在一元统计中，用相关系数来描述随机变量之间的关系，Hotelling[1]和张尧庭教授[2]先后定义了度量两个随机向量相关程度的数量指标，并称之为广义相关系数。这一章主要利用Moore-Penrose广义逆矩阵来引人了随机向量之间的相关系数—广义相关系数，并探讨了随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。 关键词：特征值广义相关系数典型相关系数正交阵可逆矩阵 1.引言 矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵. 在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家 C.约当是"高斯—约当"消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1 858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要". 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dya ds))的和.后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上