矩阵论课程论文

西安理工大学

研究生课程论文报告

课程名称：矩阵论

课程代号：

任课教师：

论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统

状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动

学号：

姓名：

成绩：

矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵

求解中的应用

摘 要

控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。

关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数.

1.问题提出

线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。

线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。

线性定常系统齐次状态方程为

()()t Ax t x

= ()1-1

其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ⨯系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。

设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即

)(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1

式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。

式()2-1代入方程()1-1得

()

+++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1

既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪

⎪⎬⎫=======-0!11103!

31

231302!21

12120

1b A Ab b b A Ab b b A Ab b Ab b k k k k k

()4-1 Ⅰ.当0=t 时，由式()2-1可得到

()00x b = ()5-1

将式()4-1和式()5-1代入式()2-1，得到齐次状态方程的解

()()

()0!1

22!21x t A t A At I t x k k k +++++= (

)6-1 上边右边括号内的级数是n n ⨯矩阵指数函数，记成At e ，即

+++++=k k k At t A t A At I e !1

22!21 (

)7-1 所以式()6-1可写成

()()0x e t x At = ()8-1

Ⅱ.如果初始时刻00≠t ，初始状态为()0t x ，则齐次状态方程的解为

()()()00x e t x t t A -= ()9-1

由上式可知，系统在状态空间的任一时刻t 的状态()t x ，可视为系统的初始状态()0t x 通过矩阵指数函数()0t t A e -的转移而得到的。因此，矩阵指数函数()0t t A e -又称为状态转移矩阵。

从上面的分析看，求状态方程的解()t x ，关键是求矩阵指数At e 。

2.问题求解

2.1 矩阵指数的基本性质

在介绍求矩阵指数At e 的方法之前，先介绍At e 的一些主要性质和几个特殊的指数函数：

（1）∑∞

==0!

k k

k At

k t A e ，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的

（2）At

At Ae e dt

d =

（3）()2121At At t t A e e e ⋅=+ （4）[]

At At

e e --=1

（5）若BA AB =，则()t B A Bt At e e e +=⋅； 若BA AB ≠，则()t B A Bt At e e e +≠⋅

（6）若P 为非奇异矩阵，A 通过非奇异变换成对角阵，即AP P A 1-∧

=,则有

11

--=P Pe e AP p At (7) 若A 为对角阵

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=n A λλλ0021

，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t t

t At n e e e e λλλ0021

2.2状态转移矩阵()t φ的几种计算方法

1.根据At

e 的定义直接计算

() +++++==n n n At t A t A At I e t !1

22!21φ

2.拉普拉斯变换法

对于线性定常系统的齐次状态方程

()()t Ax t x

= 两边求拉普拉斯变换，得

()()()s Ax x s sX =-0，

即()()()0x s X A sI =-， 有()()()01x A sI s X --=

因此，()()[]

()01

1x A sI L e t x At ---==

若初始时刻00=t ，初始状态为()0x ，则对上式进行拉普拉斯变换，得

()()[]1

1---==A sI L e t At L

φ 3.非奇异线性变换

（1）矩阵A 经线性变换化为对角线矩阵Λ求At

e

当矩阵A 的n 个特征值互异或者虽有重根但是仍有n 个独立的特征向量时，经过线性变换，将A 化为对角形矩阵Λ，即

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n PAP λλλ00 211 此时，系统的状态转移矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢

⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+Λ+Λ+=t t t

n n n n At n e e e t t t t t t t t t t I e λλλλλλλλλλλλλλλ0

00000000

2122!21

222

!21

2221!21122

21!2121

22!21

111111 由于P P A Λ=-1

所以矩阵A 的状态转移矩阵

()()

(

)

(

)

[

]

P

e P P t t I P P t P Pt P P P t P P Pt P P P t P P Pt P I e e t t Pt

P

At Λ----------Λ=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+===-122!

21122!

21

1

1122

1!21

1122

1!

21

11

φ

（2）矩阵A 经线性变换化为约当形矩阵J 求At

e

当矩阵A 的n 个特征值均相同，且为1λ时，经过线性变换，可化为约当形矩阵J

⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-1111

111λλλ00

J PAP 则()()t

n n Jt

e t t n t t n t

e 11!21

1!11121λ⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣

⎡

--=--0

所以，系统的状态转移矩阵为()P e P e t Jt At 1-==φ 4. 应用凯莱-哈密顿定理

首先介绍一下凯莱-哈密顿定理：n n ⨯矩阵A 满足自身的特征方程，即矩阵A 的特征多项式是A 的零化多项式。

()[]0det 012211=+++++=-=∆----a a a a A I n n n n n λλλλλλ

即012211-----a a a a n n n n n λλλλ ----= 根据凯莱-哈密顿定理，有

()0012211=+++++=∆----I a A a A a A a A A n n n n n

于是

I a A a A a A a A n n n n n 012211----- ----=

上式表明，n A 是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。 显然有A a A a A a A a A A A n n n n n n 0211211----- ---+=⋅=

则I a a A a a a A a a a A a a A n n n n n n n n n n 010*******-2121)()(---------++-++-+=

）（ 依次类推，可得2-1-,n n A A ，…均是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。 那么，At

e 就化成一个A 的最高幂次为1-n 的n 项幂级数的形式，即

()()()1

110!1

22!21--+++=+++++==n n n n n At A

t a A t a I t a t A t A At I e t

）（φ

(1)A 的特征值),,2,1(n i i =λ互异

应用凯莱-哈密顿定理，i λ和A 均是特征多项式的零根。因此，

()()()n i t a t a t a e n i

n i t i ,,2,11

110 =+++=--λλλ

那么，()()()⎥⎥

⎥

⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t a t a t a e e e n n n n n

n n t t t n 11012

12222

11211

11121

λλλλλλλλλλλλ

于是，()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡⎥

⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t t t n n n n n n n n e e e t a t a t a λλλλλλλλλλλλ

211

-12

12222

1

12

1

1

110111 (2)A 的特征值均相同

设A 的特征值为1λ，待定系数()t a i 的计算公式如下

()()()()()()()()()()()⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------t t t t n n t n n n n n n n n n e e t e t e t e t

n n n n t a t a t a t a t a 111111!112!212!211!111

-112

1

3

1211

21

2

1

131

1

1123101!

11321

0!22131

0011

1000

0λλλλλλλλλλλλλλλλ

(3)A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值

当A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数()t a i 可以根据()()21综合得出，然后求出状态转移矩阵()t φ。

3.举例计算

已知⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡=3-2-10A ，分别用上述四种方法求解状态转移矩阵()t φ。 解：

()1 定义法

根据定义计算

()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-+-+-=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++++==--------t t t

t t t t t k k k At e e e

e e e e e t t t t t t t t t t t t t t A t A At I e t 22223252273372367223322!1

22!212222313213210!2132101001

φ ()2 拉普拉斯变换法

[]()()⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡++

+-++

+-+-

++-+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---22112212211121122121332111s s s s s s s s s s s s s s A sI 那么，

()[]

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-+---=-=----------t t t t t t t t At e e e e e e e e A sI L

e 22221

1

2222 ()3 化矩阵为对角线标准型

由()()021-=++=λλλA I 得特征根2-1-21==λλ，

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡--=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-211-1-222-1-111111-21

AP P P adjP P P λλ 所以，

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢

⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-----------⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--t t t t t t t t t t t At

e e e e e e e e e e P Pe

e 222221

2001222211120

02111

()4 应用凯莱-哈密顿定理

已知特征根2-1-21==λλ，，两两相异，则有

()()()()(

)

()

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=+=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------------------t t t t t t t

t t

t t

t At t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e

e A

t a I t a e e e e e e e e e e e t a t a 2222221022221

1

211022223210

100122111221111121λλλλ

可见，四种算法的计算结果是一样的。

4.应用小结

本文在给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解时，用到的矩阵论知识主要有矩阵的特征多项式，特征值，特征向量，矩阵逆，矩阵乘法，幂级数等一些基础知识。其次，在给出求解状态转移矩阵的四种方法中，其中利用线性变换将矩阵A 化成对角线形，约当形；应用凯莱-哈密顿定理，再根据矩阵指数函数的性质对矩阵函数At e 进行求解，从而计算出状态转移矩阵()t φ。通过这些矩阵论知识的应用，使得复杂的线性定常系统状态转移矩阵的求解变得方便了许多，对解决本专业问题有很大的意义。

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即 11 121212221 2 0n n n n nn a a a a a a a a a λλλ------=--- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵 的特征多项式． 11 1212122 21 2 ()||n n A n n nn a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-= --- 111n n n n a a a λλλ--=++ ++ 显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值． 设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++ +; （ⅱ）12 n A λλλ=. 若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程 =0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都 是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-； 第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值； 第三步：对于 的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组： ()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数） ． 设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为 A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;

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重庆大学研究生矩阵论课程论文

“矩阵理论及其应用”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生 姓名：学号: 专业：机械设计及理论类别：学术 上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)

连续梁单元振动特性分析 摘要：由于运用振动的基础理论知识来研究生产实际中的运动构件的动力学问题会遇到许多困难，故对实际的机器或零件进行动力学分析时常采用离散的方法，把它们划分成许多形状简单的单元体以进行动力学分析，然后再组合成整体的机器或零件进行研究分析。本文采用矩阵相似变换以及Jordan标准型的相关知识，介绍了集中质量模型下连续梁单元的横向振动特性。在连续梁单元运动微分方程的基础上建立了动态刚度矩阵，该矩阵不仅能简化计算模型，而且还能获得较高精度的高阶固有频率。在给定力和位移边界条件下，得出了考虑转动惯量和剪切变形影响的空间连续梁单元的运动方程和动态传递方程。由此得出梁的横向振动特性。 关键词：连续梁单元，传递矩阵，横向振动 一、引言 20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，对于梁单元的振动特性分析也越来越重要。有限元法和边界元法是分析结构动态响应的常用方法. 但是, 对于中高频率响应的计算, 有限元需要将结构划分至很细的单元, 网格的大小也有约束. 对于频率很高的动态分析, 特征值计算会变得很困难。连续单元法在声学频率范围内得到了应用. 近年来, 有一些学者也作了这方面的研究[ 1, 2] . 对于简单的结构, 连续单元法能够得到它的精确解, 且不局限在低频阶段. 特征函数表示成可以描叙无穷多个模态的指数函数的组合, 它是通过定义位移-力关系的矩阵，矩阵相似变换以及Jordan标准型来求解. 本文推导了对于一维结构的连续单元法的一般格式,得出了考虑转动惯量和剪切变形影响的空间连续梁单元的运动方程和动态传递方程，而且所求的特征值是无限的得到了较好的结果。 二、预备知识 1.相似形理论 设A、B均为n阶方阵，若存在n级可逆矩阵C，使-1 C AC B ,称A与B相似,记A B 定理：n维线性空间V上的线性变换在不同的基下的矩阵表示是相似的；反过来，

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析方法及应用论文 矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。 首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。矩阵的元素可以是实数或复数。通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。 矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。 另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。特征向量是与特征值对应的非零向量。特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子： 1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。 2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。 3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。 4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。论文例子：《基于矩阵分析的状态空间控制系统设计方法研究》、《基于矩阵分析的线性二次型控制器设计技术研究》。 综上所述，矩阵分析方法是一种应用广泛且强大的数学工具。通过矩阵分析方法，我们可以研究和解决与矩阵相关的问题，并在多个领域中应用。相关的论文例子

矩阵论课程结业论文

浅谈矩阵论的发展 在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。直到18 世纪末至19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。 一、矩阵早期发展的社会与文化背景 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。 1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G .Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。 二 18世纪末19世纪初高斯和艾森斯坦等人的矩阵思想 2.1 二次理论研究中孕育的矩阵思想 从18 世纪末到19 世纪初，数学家们对矩阵的阵列形式是用二次型的形式来表示的，对矩阵理论的发展及思想的形成是渗透在二次型理论中的。1773 年[1]64，拉格朗日将齐次多项式的表达式 222rz qyz py ++通过线性代换⎩⎨⎧+=+=nx ms z Nx Ms y ，变换成()()222Nm Mn q pr Q PR --=-。1801年高斯出版《算术研究》，将欧拉，拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广。过程如下：一整数

矩阵论论文(机械传动)

“矩阵论”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师： 姓名：学号： 专业：机械工程类别：学硕 上课时间： 2014 年 9 月至 2014 年 12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名)

矩阵论在机械传动方面的应用 摘要：矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合于现代理论数学的抽象结构。而本文着重讨论矩阵在机械传动中的应用，根据滚动轴承几何学、运动学基本原理和Hertz弹性体接触理论，同时考虑径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响, 建立了角接触球轴承刚度矩阵的计算模型。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承- 转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件。 关键词：角接触球轴承刚度矩阵机械传动 一、引言 矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。它本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。经过多年来人们对矩阵的研究，现在已经有很多矩阵的计算方法运用到实际生活中，且一些方法对人们的工作学习有很大的帮助。而刚度矩阵是将一个受力物体划分为n个单元,各单元刚度矩阵集成为结构总刚度矩阵，实现了从单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵的过程。 在机械传动中，我们通常在分析某个零部件时，都要计算该零部件在实际工况中的刚度矩阵，为后续的动态分析提供较为准确的边界条件。而角接触球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，在机械传动中占据重要地位，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响，所以很有必要建立角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵。 二、矩阵论在机械传动方面的应用 1、问题描述 角接触球轴承是轴承－转子系统中广泛使用的一种支承，其刚度参数对转子的动态特性有重要影响。为提高轴承－转子系统的动态分析精度，建立了角接触球轴承刚度矩阵计算模型，模型考虑了径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵，为该型发动机轴承－转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件[1]。 以某型发动机支承轴承为例, 根据其实际工况,计算角接触球轴承的刚度矩

矩阵论课程论文~

研究生课程论文 西尔维斯特及其矩阵理论 课程名称矩阵论 姓名郭辉 学号1000203040 专业检测技术与自动化装置 任课教师刘强 开课时间2009.09——2010.01 教师评阅意见： 论文成绩评阅日期 课程论文提交时间：10年 3 月 4 日

西尔维斯特及其矩阵理论 摘要矩阵是伴随着其他理论的研究而产生的，众多数学家为其早期的发展做了大量的工作。在此基础上，西尔维斯特创用了矩阵一词，引进了与矩阵有关的一些基本概念，给出了矩阵的一些重要结论和著名定理，为矩阵理论的发展做出了重要贡献。 关键词矩阵的早期发展西尔维斯特矩阵名词矩阵理论 矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前一世纪，我国最重要的数学经典著作《九章算术》已能够相当成熟地运用矩阵形式解方程组，魏晋时期的数学家刘徽又在《九章算术注》中进一步完善，给出了完整的演算程序[1]。但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立独立完善的矩阵理论。从18世纪早期到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反[2]，因此在矩阵引进的时候它的许多基本性质就已经非常清楚了。行列式以及代数型的发展为矩阵理论进一步的发展提供了条件。在矩阵发展的早期，矩形阵列本身并没有引起单独的注意但是，19世纪数学家们在其他数学领域的研究工作导致了矩形阵列更加形式的计算，促进了矩阵理论的诞生。西尔维斯特在矩阵理论方面的贡献，不仅体现在对矩阵理论内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类等等，还有其更深刻的地方:一方面他的工作使得当时比较零散的矩阵知识趋于系统化、理论化，为凯莱创立矩阵理论提供了有利条件；另一方面，西尔维斯特的行列式和矩阵的思想，为代数不变量理论的创立奠定了重要基础。 1.矩阵的早期发展 矩阵的早期发展是伴随其他理论的研究而产生的。截至西尔维斯特和凯莱的时代，数学家们已经在矩阵领域做出了许多重要工作，但仍没有给出矩阵的确切定义，更没有将矩阵理论系统化。矩阵早期的一些重要概念及思想，是在矩阵理论本身产生之前从不同领域及思想的研究发展而来，并最终包含在矩阵理论之中。 1.1 二次型理论研究中孕育的矩阵思想 18世纪，二次型的系统研究即已开始，它源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。从18世纪末到19世纪初，数学家们是用二次型的形式来表示矩阵的阵列形式的，矩阵理论的发展及思想的形成渗透在二次型理论之中。1773年，法国数学家拉格朗日在讨论齐次多项式时引入了线性变换1801年高斯在《算术研究》中，系统地推广了瑞士数学家欧拉与拉格朗日的二次型理论，其中给出了两个线性变换的复合，该复合的新变换的系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。 1.2微分方程研究中孕育的矩阵思想[4] 18世纪，物理问题促进了微分方程的研究，使之成为一门独立的学科。到18世纪中期，微分方程的求解成为微分方程课题的主要研究目标。18世纪中叶，达朗贝尔在研究二阶微分方程组时引入了矩阵的特征值和特征向量。1815年，法国数学家柯西在研究微分方程问题时证明所有对角矩阵的特征向量(至少在不等的情况下)都是实的，从而得出矩阵可以通过正交变换而对角化的推论，并于1829—1830年间证明实对称矩阵的特征根是实数，这孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等基本的矩阵概念。1854年，约当指出:如果特征方程错误！未找到引用源。所有的根不同，线性变换下的矩阵可取对角阵，对角线的元素就是特征值，同时他研究了矩阵化为标准型的问题 1.3行列式计算中孕育的矩阵思想 矩阵和行列式作为工具，都是伴随线性方程组的求解而产生的。行列式的研究开始于

矩阵论课程论文1

浅析矩阵分解在计算分析中的应用 【摘要】矩阵作为一种重要的代数工具，其出现的历史可以追溯至公元前，然而矩阵真正成为一个独立的概念并被加以研究的历史开始于19世纪50年代。如今，矩阵理论的发展越来越迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。本文所剖析的矩阵分解，是矩阵理论的一个重要分支。它是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，一方面用来反映矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据。它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具，在广义逆矩阵问题和统计学方面也有重要应用。本文首先介绍了矩阵与矩阵分解的相关知识，随后阐述了应用矩阵分解解方程组的原理，以及利用矩阵范数判断方程组解的稳定性的方法，最后介绍了一种改进的斜量法。 关键词：矩阵分解计算分析解方程组稳定性斜量法 一、矩阵理论的介绍 在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。 1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。 1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。 1878年，德国数学家弗罗伯纽斯(Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个λ矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。 矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。 二、矩阵分解的概念与常用方法 矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分

矩阵论论文

研究生课程论文/研究报告 课程名称：矩阵论 任课教师： 论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日 学科： 学号： 姓名： 成绩：

矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状 态方程求解 摘要 我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s 域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。 关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解 一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数 如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R 、L 、C 分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程： ()()()()di t L Ri t uc t u t dt ++= 1 ()()i t dt uc t C =⎰ 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。 状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。 图1 将上式方程组改写成状态空间表达式为： ()11()()1 ()()00di t R i t dt L L u t L duc t uc t C dt --⎡⎤⎛⎫ ⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭ ⎣⎦① 如将电容上的电压uc 作为电路的输出量，则 []()()01()i t uc t uc t ⎡⎤ =⎢⎥ ⎣⎦ ②

反对称矩阵的性质及应用毕业论文

反对称矩阵的性质及应用毕业论文 目录 中文摘要： (1) 英文摘要 (1) 1.引言 (2) 2．反对称矩阵的基本性质 (2) 2.1反对称矩阵的定义 (2) 2.2反对称矩阵的基本性质及证明 (3) 2.3基本性质的应用举例 (6) 3.反对称矩阵秩的性质 (8) 3.1反对称矩阵的秩的性质及证明 (8) 3.2秩的性质的应用举例 (9) 4.反对称矩阵特征值的性质 (10) 4.1 反对称矩阵特征值的性质及证明 (10) 4.2特征值性质的应用举例 (10) 5.反对称矩阵在欧式空间线性变换上的应用举例 (11) 6.总结 (11) 参考文献 (12)

反对称矩阵的性质及应用 摘要：矩阵是高等数学中一个极其重要的概念并且有广泛的应用，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表 现为变换这些矩阵的过程.这就使矩阵成为线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，反对称矩阵有很多特殊性质，是研究线性空间和线性变换问题的 有利工具。本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性质，特征值的性质以及反对称矩阵在求矩 阵特征值及秩，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 关键词：反对称矩阵；性质；秩；特征值 Abstract:Matrix is a very important concepts in higher mathematics and its application is extensive, such as some important properties of linear equations is reflected in the nature of its coefficient matrix and augmented matrix, and the process of solution of equations is to the process of transform these matrices,which makes the matrix become a main object of study of linear algebra. as a special type of matrix, antisymmetric matrix has a lot of the special nature which makes it become a powerful tool in study problem of the linear space and linear transformation. The article mainly elaborates the definitions of antisymmetric matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of antisymmetric matrices, the properties of antisymmetric matrix rank, the properties of characteristic value,and the applications of antisymmetric matrix in the solution of matrix eigenvalue and rank of matrix, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords:Antisymmetric matrix; Nature; Rank; Characteristic value

毕业论文-矩阵特征值的求法研究

提供完整版的各专业毕业设计， 存档编号赣南师范学院学士学位论文矩阵特征值的求法研究 教学学院数学与计算机科学学院 届别 2015届 专业数学与应用数学 学号 110700064 姓名 指导教师 完成日期 2015年5月5日

作者声明 本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。 毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。 特此声明。 作者专业：数学与应用数学 作者学号：110700064 作者签名：古家琼 2015 年3 月12 日

矩阵特征值的求法研究 。。。。 Matrix eigenvalue in this study Gu Jiaqiong 2014年5月5日

摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值得一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常采用的是求解矩阵特征多项式根的方法。若矩阵的特征多项式的根存在，则这个根即为矩阵特征值；如果没有根，则该矩阵无特征值。而对于一些抽象矩阵，主要有左乘矩阵法。通过证明一个数为矩阵多项式根的方法及转置共轭法。在这三种方法的运用过程中，通过一些已证得的特殊矩阵特征值的相关结论，可以起到简化运算的效果。本文不仅给出了每一种方法与相关结论的证明，而且还通过大量的例题来说明这些方法的具体求解步骤。 关键词：矩阵；特征值；特征多项式 Abstract This article mainly discuss about the characteristic of matrix and matrix eigenvalue of religion worth some common methods of proof. For general matrix, we usually adopt is the method of solving matrix characteristic polynomial roots. If the characteristic polynomial of matrix exists, the root of the root is the characteristic value of matrix; If there is no root, the matrix eigenvalues. For some abstract matrix, basically have left by matrix method. By showing that a number of matrix polynomial root method and transposed conjugate method. In the process of the use of these three methods, through some has the special matrix eigenvalue related conclusions, can have the effect of simplified operation. This paper not only gives the proof of each method and the related conclusions, but also through a lot of examples to illustrate the concrete solving steps of these methods. Key words:Matrix; Characteristic value; Characteristic polynomial

浅谈逆矩阵的求法及其应用论文

本科生毕业论文（设计）册 论文（设计）题目：浅谈逆矩阵的求法及其应用

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 指导教师签名：日期： 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供

目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：日期：

学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月日

矩阵理论应用论文

高维随机矩阵理论在数组信号检测与估计中的应用 摘要 本文中，我们展示了高维随机矩阵理论在频谱中的要素、相关源的检测并解决了在大 数组中的估计问题。这些结果适用于样本空间的协方差矩阵R ̂中所感测的数据。可以看出，可以实现的检测样品尺寸大小小于传统方法所要求的。如果确定了预定的方向，可以通过给R ̂设置限制条件，包括从高维随机矩阵理论中提出的，可以得到更加准确的估计。一组理论用来解决可行性问题。讨论 了一些没有解决的问题。 问题声明 我们认为，当p 很大时，检测映射在数列p （q

矩阵理论论文

矩阵分解在信号和图像处理方面的应用 矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。 此方法近年来在数据降维和压缩,滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。在滤波器设计方面，VOZALIS等将SVD 用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。在另一些研究中SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。 SVD在神经网络中也获得了应用，如TEOH等利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。 SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用，如XIE等利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。 小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9]，这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。这种多分辨SVD的分解结果具有二阶消失矩特性，可以实现对信号中Lip指数a=0和a=l的奇异点位置的精确定位，这种定位不随分解层数的改变而发生任何偏移，远优于小波变换的奇异性检测效果，多分辨SVD 具有优良的消噪效果，其本质是基于正常信号和噪声的相关性不同，从而造成了它们的奇异值分布不同，结果使得噪声被分离到SVD细节中，而正常信号则保留