高考数学母题题源系列专题12证明面面垂直与计算异面直线所成角理(含解析)
证明面面垂直与计算异面直线所成角
【母题来源】2015新课标1理-18
【母题原题】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3 3
【考点定位】本题考查空间垂直判定与性质、异面直线所成角的计算、空间想象能力、推理论证能力，是基础题.
【命题意图】本题考查线面垂直的判定、面面垂直的判定、异面直线所成角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力及利用空间向量处理立体几何问题的运算求解能力.
【方法、技巧、规律】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角；思路2：向量法，计算出两条异面直线的方向向量的夹角的余弦值，异面直线所成角的余弦值就是向量夹角余弦值的绝对值.
【探源、变式、扩展】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定
与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角，思路也有两种，几何法与坐标法，几何法运算量小，但辅助线不易做，坐标法思路明晰，但运算量大，容易出错. 【变式】【2015届浙江省东阳市5月模拟】如图，已知AB ⊥平面,//,BEC AB CD 4AB BC ==,BEC ?为等边三角形.
（1）若平面ABE ⊥平面ADE ，求CD 长度； （2）求直线AB 与平面ADE 所成角的取值范围． 【答案】（1）2；（2）0,
4π??
???
．
1. 【2015届江苏省宿迁市一摸】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=o ，1AB AC ==，13AA =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且111
3
C F C C =，1BE BB λ=，01λ<<．
（1）当1
3
λ=
时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当直线1AA 与平面AEF 所成角的正弦值为229
时，求λ的值． 【答案】（1）60o （2）1
2
λ=
． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
2. 【2015届贵州省贵阳市上学期期末监测】如图，已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，
BC AD //，CD AD ⊥，且AC AB ⊥，2===PA AC AB ，E 是BC 的中点
.
（1）求异面直线AE 与PC 所成角；
（2）求二面角A PC D --的平面角的余弦值. 【答案】（1）ο
60；（2）
3
3
.
3cos ,3||||AB n AB n AB n ?<>==-?u u u r r
u u u r r u u u
r r ，即二面角A PC D --的平面角的余弦值为33
.
3. 【2015届湖南省益阳市高三四月调研考试理科数学试卷】
（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE．
（Ⅰ）证明：平面DFC⊥平面1D EC；
（Ⅱ）求二面角A DF C
--的平面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
1
2 -．
4. 【2015届海南省高三5月模拟】如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．
（1）求证：AB DE
⊥；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（3）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBD？若存在，求出EF
EA
；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
3
3
；（3）
1
3
EF
EA
=
5. 【2015届江西省鹰潭市第一次模拟】在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的
中点，AC BC =1=，90ACB ∠=?，22AE CD ==．
（1）证明DF ⊥平面ABE ；
（2）求二面角A BD E --的余弦值的大小． 【答案】（1）证明如下；（2）
3
1
；
6. 【2015届天津市南开区一模】如图，在四棱锥P-ABCD 中， 四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，PC ⊥底面ABCD ，AB=2AD=2CD=4，PC=2a ，E 是PB 的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P-AC-E 的余弦值为
3
6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
3
2
．
7. 【2015届江西省吉安市一中第二次阶段考试】 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，
AD=DE=2AB ，且F 是CD 的中点。
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45°.
8. 【2015届陕西西北工业大学附中下学期四模】如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=?，2,6AB AC ==， 点D 在线段1BB 上，且11
3
BD BB =，1
1AC AC E =I ．
（Ⅰ）求证：直线DE 与平面ABC 不平行；
（Ⅱ）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若7
cos 7
θ=
，求1AA 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面1ADC I 平面ABC l =，求直线l 与DE 所成的角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）163AA =；（Ⅲ）
8
2
5 【解析】依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AA h =，则
9. 【2015届吉林省长春市质量监测三】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 中点．
（1）求证：直线//AF 平面PEC ；
（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）
42
14
．
10. 【2015届广东省深圳市第二次调研考试】如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．
（1）证明：OB OA =；
（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ； （3）若5PA OC =，6OP OC =
，求二面角B OA P --的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
5
【理科附加】专题03 不等式选讲-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(原卷版)
【理科附加】专题03 不等式选讲 【母题来源一】【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -． 【答案】1{|1}3 x x x <->或． 【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13 - ； 当0≤x ≤ 1 2 时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x > 1 2 时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3 x x x <->或． 【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 【母题来源二】【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求2 2 2 x y z ++的最小值． 【答案】2 2 2 x y z ++的最小值为4． 【解析】由柯西不等式，得2 2 2 2 2 2 2 ()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2 2 2 4x y z ++≥， 当且仅当 122x y z ==时，不等式取等号，此时244333 x y z ===，，， 所以2 2 2 x y z ++的最小值为4． 【母题来源三】【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤ 【答案】见解析
【解析】由柯西不等式可得22222 ()()()ac bd a b c d +≤++， 因为22224,16a b c d +=+=，所以2 ()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤． 【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22 212n a a a +++） （22212n b b b ++ +）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2 ，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1， 2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论． 【命题意图】 1．理解绝对值的几何意义，并能求解以下类型的不等式： ; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥. 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，并会应用： （1）22222 ()(+)()a b c d ac bd +≥+. （2）一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（ 22 2 12n a a a ++ +）（ 22 2 12n b b b +++） ≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．. 3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】 从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】 （一）解绝对值不等式的常用方法有： （1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|
(江苏专版)201X年高考数学 母题题源系列 专题12 直线与圆位置关系 理
专题12 直线与圆位置关系 【母题原题1】【2018江苏，理12】在平面直角坐标系中，A 为直线 上在第一象限内的点， ， 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 【母题原题2】【2017江苏，理13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上, 若20,PA PB ?≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]- 【考点】直线与圆，线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
【母题原题3】【2016江苏，理18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆 M :22 1214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4). (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤+【解析】
高考数学母题题源系列专题12证明面面垂直与计算异面直线所成角理(含解析)
证明面面垂直与计算异面直线所成角 【母题来源】2015新课标1理-18 【母题原题】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 3 3 【考点定位】本题考查空间垂直判定与性质、异面直线所成角的计算、空间想象能力、推理论证能力，是基础题.
【命题意图】本题考查线面垂直的判定、面面垂直的判定、异面直线所成角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力及利用空间向量处理立体几何问题的运算求解能力. 【方法、技巧、规律】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角；思路2：向量法，计算出两条异面直线的方向向量的夹角的余弦值，异面直线所成角的余弦值就是向量夹角余弦值的绝对值. 【探源、变式、扩展】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定
与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角，思路也有两种，几何法与坐标法，几何法运算量小，但辅助线不易做，坐标法思路明晰，但运算量大，容易出错. 【变式】【2015届浙江省东阳市5月模拟】如图，已知AB ⊥平面,//,BEC AB CD 4AB BC ==,BEC ?为等边三角形. （1）若平面ABE ⊥平面ADE ，求CD 长度； （2）求直线AB 与平面ADE 所成角的取值范围． 【答案】（1）2；（2）0, 4π?? ??? ．
专题01 导数的应用-高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)
高考数学2017年全揭秘《高考母题题源》系列 【母题原题1】【2017江苏，理20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >; （3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7 2 -，求的取值范围. 【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤ 试题解析：解：（1）由3 2 ()1f x x ax bx =+++，得22 2()323()33 a a f x x ax b x b '=++=++-. 当3 a x =-时，()f x '有极小值23a b -. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点. 所以33()1032793a a a ab f -=- +-+=，又0a >，故223 9a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231 (27a )039a b a - =-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值； 3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213= 3a a b x ---，223=3 a a b x -+-
列表如下 x 1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x 极大值 极小值 故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >， 因此223 9a b a =+，定义域为(3,)+∞. （3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223 x x a +=-，222 12469a b x x -+=. 从而3232 12111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++ 2222 121122121212(32)(32)()()23333 x x x ax b x ax b a x x b x x = ++++++++++ 346420279 a a b ab -=-+= 记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
2018年高考英语母题题源系列08 阅读理解(调查报告)
2018年高考英语母题题源系列08 阅读理解（调查报告）SYS201805310701 一、阅读理解 详细信息 1. 难度：中等 【四川省凉山州高中毕业班第二次诊断】 B We’ve reached a strange–some would say unusual–point. While fighting world hunger continues to be the matter of vital importance according to a recent report from the World Health Organization, more people now die from being overweight, or say, from being extremely fat, than from being underweight. It’s the good life that’s more likely to kill us these days. Worse still, nearly 18 million children under the age of five around the world are estimated to be overweight. What’s going on? We really don’t have many excuses for our weight problems. The dangers of the problem have been drilled into us by public–health campaigns since 2001 and the message is getting through-up to a point. In the 1970s, Finland, for example, had the highest rate of heart disease in the world and being overweight was its main cause. Not any more. A public–health campaign has greatly reduced the number of heart disease deaths by 80 percent over the past three decades. Maybe that explains why the percentage of people in Finland taking diet pills doubled between 2001 and 2005, and doctors even offer surgery of removing fat inside and change the shape of the body. That has become a sort of fashion. No wonder it ranks as the world’s most body –conscious country. We know what we should be doing to lose weight—but actually doing it is another matter. By far the most popular excuse is not taking enough exercise. More than half of us admit we lack willpower. Others blame good food. They say: it’s just too inviting and it makes them overeat. Still others lay the blame on the Americans, complaining that pounds have piled on thanks to eating too much American–style fast food. Some also blame their parents—their genes. But unfortunately, the parents are wronged because they’re normal in shape, or rather slim. It’s a similar story around the world, although people are relatively unlikely to have tried to lose weight. Parents are eager to see their kids shape up. Do as I say—not as I do. 1.What’s the “strange” point mentioned in the first sentence? A. The good life is a greater risk than the bad life.