专题01 导数的应用-高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)
高考数学2017年全揭秘《高考母题题源》系列
【母题原题1】【2017江苏，理20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;
（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7
2
-，求的取值范围.
【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤
试题解析：解：（1）由3
2
()1f x x ax bx =+++，得22
2()323()33
a a f x x ax
b x b '=++=++-.
当3
a
x =-时，()f x '有极小值23a b -.
因为()f x '的极值点是()f x 的零点.
所以33()1032793a a a ab f -=-
+-+=，又0a >，故223
9a b a
=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231
(27a )039a b a
-
=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=
3a a b x ---，223=3
a a b
x -+-
列表如下
x
1(,)x -∞
1x
12(,)x x
2x
2(,)x +∞
()f x ' + 0 – 0 + ()f x
极大值
极小值
故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，
因此223
9a b a
=+，定义域为(3,)+∞.
（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223
x x a +=-，222
12469a b x x -+=.
从而3232
12111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++
2222
121122121212(32)(32)()()23333
x x x ax b x ax b a x x b x x =
++++++++++ 346420279
a a
b ab -=-+=
记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213
()=9h a a a -+，3a >. 因为223
()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7
(6)=2
h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.
因此a 的取值范围为(36]，.
【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点
【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 【母题原题2】【2016江苏，理19】已知函数()(0,0,1,1)x
x
f x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设1
2,2
a b ==
. ①求方程()f x =2的根；
②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若01,1a b <<＞
，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】
试题解析：（1）因为12,2
a b ==
，所以()22x x
f x -=+. ①方程()2f x =，即22
2x
x
-+=，亦即2(2)2210x x -?+=，
所以2
(21)0x
-=，于是21x
=，解得0x =.
②由条件知2222(2)2
2(22)2(())2x
x x x f x f x --=+=+-=-.
因为(2)()6f x mf x ≥-对于x ∈R 恒成立，且()0f x >，
所以2(())4
()
f x m f x +≤对于x ∈R 恒成立.
而2(())444
()2()4()()()
f x f x f x f x f x f x +=+≥?=，且
2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.
若00x >，同理可得，在0
2
x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln a
b
-
=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等
确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 【母题原题3】【2015江苏，理19】已知函数),()(2
3
R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；
（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2
3()23
,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.
【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；
当0a >时， ()f x 在2,3a ??-∞- ???，()0,+∞上单调递增，在2,03a ??- ???
上单调递减； 当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ??-+∞ ???上单调递增，在20,3a ?
?- ??
?上单调递减．
（2） 1.c = 【解析】
当0a =时，因为()2
30f x x '=>（0x ≠），所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；
当0a >时，()2,0,3a x ?
?∈-∞-+∞ ?
?
?时，()0f x '>，2,03a x ??
∈-
???
时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2,3a ??-∞-
???，()0,+∞上单调递增，在2,03a ??
- ???
上单调递减；
当0a <时，()2,0,3a x ??∈-∞-+∞ ???时，()0f x '>，20,3a x ?
?∈- ??
?时，()0f x '<，
所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ??-
+∞ ???上单调递增，在20,3a ?
?- ??
?上单调递减．
【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点
【名师点晴】1.求函数的单调区间的步骤：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数()y f x ''=，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 2.已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．
3.已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.
【命题意图】 导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力.
【命题规律】 含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，
基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等. 【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步：明确目标函数，利用导数分析目标函数性质 导函数()f x '的极值点是()f x 的零点,因此导函数是目标函数,对其求导,研究其极值点取法及取值条件.再根据极值点是()f x 的零点得等量关系,进而求出关于 的函数关系式，而极值取值条件实际为函数定义域,这一步导数的基本应用； 第二步：构造目标函数，利用导数证明目标函数性质 本题虽为不等式证明,实际为利用导数证明函数单调性进而确定最小值,这一步是导数的综合应用；
第三步：寻求目标函数,利用导数讨论目标函数性质 通过图像可知极值点关于拐点对称,因此先论证
12()()0f x f x +=,再转化到利用函数性质求解不等式27
32
a b ->-,即转化到第二步的内容,第三步是导数的灵活应用. 【方法总结】
1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏.
2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间.
3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.
4.含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论： (1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；
(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； (3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；
(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论. 5.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数)(x f 的定义域(定义域优先)； (2)求导函数()f x '；
(3)在函数)(x f 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．
(4)由()0f x '>（()0f x '<）的解集确定函数)(x f 的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
6．由函数)(x f 在(,)a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ (或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
7. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
8. 函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.
9. 导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 10. 函数的单调性问题与导数的关系
（1）函数的单调性与导数的关系：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()
f x 为增函数；若/
()0f x <，则()f x 为减函数.
（2）用导数函数求单调区间方法
求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；
(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题
先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.
（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集. 11.函数的极值与导数 （1）函数极值的概念
设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值=0()f x ；
设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值=0()f x .
注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取. （2）函数极值与导数的关系
当函数()y f x =在0x 处连续时，若在0x 附近的左侧/()0f x >，右侧/
()0f x <，那么0()f x 是极大值；若在0x 附近的左侧/()0f x <，右侧/
()0f x >，那么0()f x 是极小值.
注意：
①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3
y x =，导数为/2
3y x =，在0x =处导数为0，但
不是极 值点；
②极值点导数不定为0，如函数||y x =在0x =的左侧是减函数，右侧是增函数，在0x =处取极小值，但在0x =处的左导数0
(0)(0)lim x x x -
?→-+?--?=-1，有导数0(0)(0)
lim x x x
+?→+?-?=1，在
0x =处的导数不存在.
（3）函数的极值问题
①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右
增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；
②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；
③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围. 12.最值问题 （1）最值的概念
对函数()y f x =有函数值0()f x 使对定义域内任意，都有()f x 0()f x （()f x 0()f x ）则称0()f x 是函数()y f x =的最大（小）值.
注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.
②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值. （2）函数最问题
①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；
②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （ 是自变量，是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.
1.【2017徐州考前信息卷20】已知函数2()f x x ax =+，()ln g x x b =+，,a b ∈R ，且()f x 的最小值为('(1))f g ． （1）求的值；
（2）若不等式()()bf x xg x ≤对任意21
[,e ]e
x ∈恒成立，其中是自然对数的底数，求的取值范围；
（3）设曲线()y f x =与曲线()y g x =交于点000(,)(1)P x y x >，且两曲线在点P 处的切线分别为，．试判断，与轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．
此时无符合题意的值；………………………………………………………6分 ②若0b >，令'()0h x =，解得1x b
=． 列表如下：
1(0,)b
1b
1
(,)b
+∞ '()h x ()h x
↘
极小值
↗
由题意，可知222()(3)ln 0,e e e (e )(e 3)ln e 0,
h b h b ?=--?
??=--?
≤≤ 解得2
e 23e 1e 3b --≤≤． 故的取值范围为2e 2
[
,]3e 1e 3
--．……………………………………………8分
②当2αβ=时，由tan tan αβ>可得012
2
x +>
， 而22tan tan tan 21tan βαββ==-，即0
20
2
2211()x x x -=-， 整理得，320
00210x x x --+=．…………………………………………………13分 令32()21x x x x ?=--+，则2'()322x x x ?=--． 令'()0x ?=，解得17
x ±．列表如下：
17
(1,
)3+ 17
3
+ 17(,)3
++∞
'()x ? ()x ?
↘
极小值
↗
而(1)10?=-<，()02
8
?=-
<，(2)10?=>， 所以()x ?在3(,2)2
内有一个零点，也是(1,)+∞上的唯一零点．
所以存在唯一的012
)x +∈+∞满足题意．
综上所述，，与轴能围成2个等腰三角形．……………………………16分
2.【2017南通二模19】 已知函数1()e x f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．
（1）求函数()()y f x g x =在x 1处的切线方程；
（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中为常数， 求证：e λ>；
（3）若对任意的(]01x ∈，
，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．
（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．
记()()()ln e
x p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e x
x x p x x λ-'=． …… 4分 假设e λ≤．
①
若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，
上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分
②
若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．
令()0r x '=，解得0ln x λ=．
当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，
上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，
上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．
综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分 （3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0．
记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()
2
11e e e x x x
F x ax x a x x '-=-()=． ①
当1e a ≤时，因为211e
e x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥，
所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，
故原不等式恒成立． …… 12分 ②
法一：
当1e
a >时，由（2）知e e x x ≥，3
211e e a x F x a x x x -'-=()≤，
当()
1
3
e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数，
所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：
当1e
a >时，一方面1=1e 0F a '-<()． 另一方面，111e x a ?=<，()
()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．
所以01(1)x x ?∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．
综上，1e a ≤． …… 16分
3. 【2017泰州考前预测卷19】已知函数2
()2ln f x x x ax =+-，R a ∈． （1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；
（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．
所以4a ≤，即实数的取值范围是(,4]-∞． ………4分
（2）当a =e 时，2
()2ln f x x x x =+-e ，2222
()20x x f x x x x
-+'=+-=
>e e ， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又因为2
()2ln 2f =+-?e e e e e =，所以()2()()f x f x f
（3）2222()2x ax f x x a x x
-+'=+-=，(0,)x ∈+∞，令2
()22g x x ax =-+，
当4a >时，因为2
160a ?=->,所以2
()22g x x ax =-+一定有两个零点，
设为1212,()x x x x <，又因为121x x =，所以1201x x <<<，
则()f x 在区间1(0,)x 或2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， ………12分
因为2111()220g x x ax =-+=，所以22
111111()2ln 2ln 2f x x x ax x x =+-=--， 因为101x <<,所以22
1111()2ln 22ln120f x x x x =--<--<，
所以21()()0f x f x <<，
又()2ln ()f x x x x a =+-，则()2ln 0f a a =>，
所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点． ………16分 4. 【2017苏锡常镇二模19】已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（为正实数，且为常数）. （1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数的取值范围.
【解析】解：（1）()(1)ln f x x x ax a =+-+，1
()ln +x f x x a x
+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1
ln +1a x x
+恒成立. 令1
()ln +
1g x x
=+，则21()x g x -'=， ……2分 因此，min ()(1)2g x g ==，即02a <.
……6分
（2）当02a
<时，由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增. ……7分
又(1)0f =，当(0,1)x ∈，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. ……9分 故不等式(1)()0x f x -恒成立． ……10分
若2a >，ln (1)1
()x x a x f x x
+-+'=
，
设()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则2e 1a x -=>. …12分 当2(1,e )a x -∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，则()(1)20p x p a <=-<， 则()
()0p x f x x
'=
<，所以当2(1,e )a x -∈时，()f x 单调递减， ……14分 则当2(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，此时(1)()0x f x -<，矛盾. ……15分 因此，02a <. ……16分
5. 【2017南京二模19】已知函数f (x )＝e x
－ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ． ①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； ②若函数F (x )＝??
?f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m
的值域为R ，求实数m 的取值范围；
（2）若存在实数x 1，x 2∈，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2
－e ． 【解析】解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x
－e x －1．
……４分
由①可知当m＜0时，h(m)＝e m－2m－1＞h(0)＝0，故（*）不成立．
因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，
所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．………………… 6分
2°当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，
所以函数f (x)＝e x－e x－1在(－∞，m]上的值域为．………………… 9分
（2）f ′(x)＝e x－a．
若a≤0时，f ′(x)＞0，此时f(x)在R上单调递增．
由f(x1)＝f(x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，
所以a＞0，且f(x)在(－∞，ln a]单调递减，在，则由f (x1)＝f (x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，
同样不能有x1，x2∈，
故f (1)≤f (x1)＝f (x2)．…………………… 14分
又f (x)在(－∞，ln a]单调递减，且0≤x1＜ln a，所以f (x1)≤f (0)，
所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．
即???e －a －1≤0，e －a －1≤e 2
－2a －2，
解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2
－e ． …………………… 16分
6.【2017镇江一模20】已知函数x x x f ln )(=，)()(12
-=x x g λ（λ为常数）． （1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值； （2）若2
1
=
λ，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤； （3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式恒)()(x g x f ≤成立，求实数λ的取值范围．
（3）设函数()()2ln 1H x x x x λ=--，
从而对任意[)1x ∈+∞，
，不等式()0(1)H x H =恒成立. 又()ln 12H x x x λ'=+-， 当()ln 120H x x x λ'=+-，即
ln 1
2x x
λ+恒成立时， 函数()H x 单调递减. ……10分 设()ln 1x r x x +=
，则()2ln 0x
r x x
-'=，
所以()()max 11r x r ==，即1
122
λλ
?，符合题意； ……12分 当0λ时，()ln 120H x x x λ'=+-恒成立，此时函数()H x 单调递增.
于是，不等式()(1)0H x H =对任意[)1x ∈+∞，
恒成立，不符合题意； ……13分
于是当11,2x λ??
∈ ???
时，()0H x >成立，不符合题意； ……15分
综上所述，实数的取值范围为：1
2
λ. ……16分
7. 【2017扬州一模20】已知函数()()()f x g x h x =?，其中函数()x g x e =，2
()h x x ax a =++． （1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；
（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；
（3）当0a =时，对于给定的正整数，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =?-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e e e e ≈≈≈≈） 【解析】解：(1) ()x
g x e '=，故(1)g e '=，
所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex = ---------------------3分
（3）结论：当1k =时，函数()F x 无零点；当2k ≥时，函数()F x 有零点 ------------9分 理由如下：
①当1k =时，实际上可以证明：22ln 20x ex e x -->．
方法一：直接证明2()2ln 2x
F x ex e x =--的最小值大于0，可以借助虚零点处理．
212()(2)x F x x x e x +'=+-，显然可证212
()(2)x F x x x e x
+'=+-在()0,+∞上递增，
因为1112211212()2()20e e
F e e e e e e e e e +????'=+-=+-
，32154024F e ??'=-> ???，
所以存在011(,)2
x e ∈，使得()00F x '=，
所以当0(0,)x x ∈时，()F x 递减；当0(,)x x ∈+∞时，()F x 递增， 所以()()00min 012(ln 1)2F x F x x x ==--+，其中011
(,)2
x e ∈， 而()12(
ln 1)2x x x ?=--+递减，所以()132(ln 2)025x ????
>=-> ???
，
所以()min 0F x >，所以命题得证。 ---------------------14分
方法二：转化为证明3
2(ln 1)
x e x e x x +>，下面分别研究左右两个函数．
高考数学理试题分类汇编.doc
高考数学理试题分类汇编----立体几何 一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为 （A ）π3 2+31 （B ）π32+ 31 （C ）π62+31 （D ）π62 +1 【答案】C 3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1
该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 4、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 5、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为
（A ） （B ） （C ） 90 （ D ）81 【答案】B 6、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________． 7、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则 该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二．求值 8、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2 ，体积是 cm 3. 18+54+
【理科附加】专题03 不等式选讲-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(原卷版)
【理科附加】专题03 不等式选讲 【母题来源一】【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -． 【答案】1{|1}3 x x x <->或． 【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13 - ； 当0≤x ≤ 1 2 时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x > 1 2 时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3 x x x <->或． 【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 【母题来源二】【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求2 2 2 x y z ++的最小值． 【答案】2 2 2 x y z ++的最小值为4． 【解析】由柯西不等式，得2 2 2 2 2 2 2 ()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2 2 2 4x y z ++≥， 当且仅当 122x y z ==时，不等式取等号，此时244333 x y z ===，，， 所以2 2 2 x y z ++的最小值为4． 【母题来源三】【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤ 【答案】见解析
【解析】由柯西不等式可得22222 ()()()ac bd a b c d +≤++， 因为22224,16a b c d +=+=，所以2 ()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤． 【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22 212n a a a +++） （22212n b b b ++ +）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2 ，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1， 2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论． 【命题意图】 1．理解绝对值的几何意义，并能求解以下类型的不等式： ; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥. 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，并会应用： （1）22222 ()(+)()a b c d ac bd +≥+. （2）一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（ 22 2 12n a a a ++ +）（ 22 2 12n b b b +++） ≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．. 3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】 从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】 （一）解绝对值不等式的常用方法有： （1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|
高考数学导数的解题技巧
2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
(完整word版)2019年高考数学理科试卷全国一卷Word版和PDF版。
2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x | -x -6＜0}，则M∩U = A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3} 2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A B C D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5．函数()][ππ，的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7．已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π
2015高考数学专题复习：函数零点
2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______
2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角
2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值.
2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小.
4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.
6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.
2018年新课标Ⅰ卷高考数学理试题有答案【2020新】
2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC - u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径 分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则
(江苏专版)201X年高考数学 母题题源系列 专题12 直线与圆位置关系 理
专题12 直线与圆位置关系 【母题原题1】【2018江苏，理12】在平面直角坐标系中，A 为直线 上在第一象限内的点， ， 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 【母题原题2】【2017江苏，理13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上, 若20,PA PB ?≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]- 【考点】直线与圆，线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
【母题原题3】【2016江苏，理18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆 M :22 1214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4). (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤+【解析】
2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习(各种专题训练)Word版
2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法：
高考数学解题技巧大揭秘专题函数导数不等式的综合问题
专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立．
高考数学19个专题分章节大汇编
高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是
高考数学专题之排列组合综合练习
高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法
高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
2014年高考数学理科分类汇编专题03 导数与应用
1. 【2014江西高考理第8题】若1 2 ()2(),f x x f x dx =+? 则1 ()f x dx =?（ ） A. 1- B.13- C.1 3 D.1 2. 【2014江西高考理第14题】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 3. 【2014辽宁高考理第11题】当[2,1]x ∈-时，不等式32 430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9 [6,]8 -- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--
4. 【2014全国1高考理第11题】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞- 5. 【2014高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2 b y ax x =+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3-
6. 【2014高考广东卷理第10题】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 . 7. 【2014全国2高考理第8题】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 【2014全国2高考理第12题】设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足 ()2 22 00x f x m +
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)
2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ．
高考数学母题题源系列专题12证明面面垂直与计算异面直线所成角理(含解析)
证明面面垂直与计算异面直线所成角 【母题来源】2015新课标1理-18 【母题原题】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 3 3 【考点定位】本题考查空间垂直判定与性质、异面直线所成角的计算、空间想象能力、推理论证能力，是基础题.
【命题意图】本题考查线面垂直的判定、面面垂直的判定、异面直线所成角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力及利用空间向量处理立体几何问题的运算求解能力. 【方法、技巧、规律】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角；思路2：向量法，计算出两条异面直线的方向向量的夹角的余弦值，异面直线所成角的余弦值就是向量夹角余弦值的绝对值. 【探源、变式、扩展】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定
与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角，思路也有两种，几何法与坐标法，几何法运算量小，但辅助线不易做，坐标法思路明晰，但运算量大，容易出错. 【变式】【2015届浙江省东阳市5月模拟】如图，已知AB ⊥平面,//,BEC AB CD 4AB BC ==,BEC ?为等边三角形. （1）若平面ABE ⊥平面ADE ，求CD 长度； （2）求直线AB 与平面ADE 所成角的取值范围． 【答案】（1）2；（2）0, 4π?? ??? ．
高考数学专题之排列组合小题汇总
2018年11月14日高中数学作业 温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 124．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故 序号123456789101112选项 13141516171819202122232425
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：解析几何(含答案)
解析几何 1．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围为[0，π)． （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2 x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直 线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] （1）直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ （2）直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 2．直线的方程 （1）点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线． （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线． （3）两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标 轴的直线． （4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直 线和过原点的直线． （5）一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式． [问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 3．点到直线的距离及两平行直线间的距离 （1）点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2； （2）两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 4．两直线的平行与垂直 ①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2；l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1. ②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1 C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解 析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线． [问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 5．圆的方程 （1）圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. （2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为1 2D 2＋E 2－4F 的圆． [问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 6．直线、圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系 直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断： ①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0?相交；Δ<0?相离；Δ＝0?相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d