近世代数第四章环与域题解讲解

近世代数第四章-环与域题解讲解

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近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续

近世代数第四章 环与域题解讲解

第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．

1． 2．

3． 4． 5．

6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??

近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》 习题答案与解答

引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)

抽象代数 孟道骥版 习题解答 第四章

Chapter4 4.1 ? 1. G 4. G 4 Klein K4 . ? ?4 S4 . . (i)G 4 ? G 4 . (ii)G 4 ? ?a∈G,a2=e.? ?a,b∈G,(ab)2= e,, ab=(ab)?1=b?1a?1=ba, G Abel ? G～=K4. 2. G 6. G 6 S3 . G с 3 ? ? 2 ? с Abel ? a=b∈G, a=e,b=e, a,b 4 ? . G с 2 ? ? 3 ? |G| ? . G 2 a, 3 b. 1):a,b ? ab 6 ?? G= ab 6 . 2):a,b? ? G 6 . G k 3 ?j 2 ? 2k+j+1=6, (k,j)=(2,1) (1,3). k=2, G 3 {x,x?1,y,y?1}. xy? 3 ? xy 2 ? yx ? xy=yx, x,y 9 ? . (k,j)=(1,3). ? G S6 ? ?,? ?(b)= (1,2,3), ?(a)=σ. G 3 ? σ(1,2,3)σ?1= (σ(1),σ(2),σ(3)), {σ(1),σ(2),σ(3)}={1,2,3}. σ (1,2,3)? ? ? σ(1)=1,σ(2)=2,σ(3)=3,? σ(1)=1,σ(2)= 3,σ(3)=2. α= 456 σ(4)σ(5)σ(6) σ=(2,3)α, σ2=e, α2=e. σ,(1,2,3) ={(1,2,3),(1,3,2),e,(2,3)α,(1,2)α,(3,1)α} S3 64

65 G ～=S 3. 3. G r =st ?H G t . H ={g s |g ∈G }={h ∈G |h =e }. G = g 0 , {g s |g ∈G }={g s 0,g 2s 0,···,g ts 0},{h ∈G |h t =e }={g s 0,g 2s 0,···,g ts 0}, {g s 0,g 2s 0,···,g ts 0} G t ? G t . G ={g s |g ∈G }={h ∈G |h t =e } 4. G ?a,b ∈G.?[a,b ]=aba ?1b ?1 a,b . {aba ?1b ?1|a,b ∈G } ? G (1)? G . :1) α∈Aut G , α(G (1))=G (1);2) H G. G/H Abel ? H ?G (1). 1)α(G (1))=α( {aba ?1b ?1|a,b ∈G } )= {σ(a )σ(b )σ(a )?1σ(b )?1|a,b ∈G } =G (1).2)G/H Abel ?(G/H )(1)={e }?G (1)?H . 5. S G ? ? ?,ψ G H ? ?(x )=ψ(x ),?x ∈S. ?=ψ. ?a ∈G , G = S , a =y 1y 2···y n , y i ∈S y ?1i ∈S . ?(x )=ψ(x ),?x ∈S , ?(x ?1)=ψ(x ?1),?x ∈S ,? ?(y i )=ψ(y i ),?1≤i ≤n , ?(a )=ψ(a ), ?=ψ. 6. H G ? H =G . G = G ?H . H =G ?a ∈G , GH , aH ∩H =?, aH ?H , G ?H ?H ∪(G ?H )=G , G = G ?H . 7. G ? G с 2 . G k m ?m >1?? m k?(m ) ? ? . m ? ?(m ) ? ? . |G | ? с ?? ? 2 . 8. α∈S 3 ? . α= 1234567836548271 α= 1234567836548271 =(1358)(26).

近世代数第二章答案分解

近世代数第二章群论答案 §1.群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如 () 321110 --=-= --=-=() 321312 ()() --≠-- 321321 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G=,e a {},G的乘法由下表给出 首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ()(),, = ∈ x y z x y z x y z G 因为，由于ea ae a ==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有 ()aa a ea a == a aa ae a ==() 而(1)仍成立。 其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。 读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。 3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的

定义： IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 =ae a 对于G 的任何元a 都成立； V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 1=aa e - 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。 §2. 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。 解：令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 ()()()2 ==ab ab ab e 另一方面 ()()22====ab ba ab a aea a e 于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律，得 =ab ba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。 考察1a -。我们有 ()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数

近世代数第一章练习题

近世代数试题 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填 在题干的括号内。每小题3分，共15分) 1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域） φ:a→10a?a∈A 则φ是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x 3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.整数环Z中，可逆元的个数是( )。 A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个 5.剩余类加群Z18的子群有( )。 A.3个 B.6个 C.9个 D.12个 二、填空题(每空3分，共27分) 1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个. 2.n次对称群S n的阶是____________. 3.一个有限非可换群至少含有____________个元素. 4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个. 5.除环的理想共有____________个. 6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________. 8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元. 9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________. 三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分) 1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群. 2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？ 3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1(新)

近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

(完整版)《实变函数》考试说明解读

《实变函数》考试说明 近世代数是广播电视大学数学专业（本科）的一门重要的专业基础课，本期近世代数期末考试内容是教材《实变函数》的内容。试题有填空题、证明题，试题的难易程度和教材《实变函数》的习题相当。希望同学们在期末复习时，做好教材《实变函数》中的每章的习题。 第一章集合 一提要 第一节集合及其运算。 第二节映射及其基数。 第三节可列集 第四节不可列集 二教学要求 1）理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2）掌握集之间的交、差、余运算。 3）掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4）理解集列的收敛、单调集列的概念。 5）掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6）理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 7）理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质， 理解不存在最大基数的定理的意义。

第二章点集 一．提要 第一节聚点、内点、界点等概念 第二节开集、闭集、完备集。 第三节直线上的开集、闭集及完备集的构造。 第四节点集间的距离 第五节康托集及其性质 二．基本要求 1）明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。 2）理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3）理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4）理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5）理解康托集的构造、特性。 第三章勒贝格测度论 一．提要 第一节勒贝格外测度及其内测度。 第二节勒贝格可测集及其性质。 第三节勒贝格可测集的构造。

二．基本要求 1）理解测度的意义。 2）理解外测度的意义，掌握其有关性质。 3）理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 4）了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 第四章勒贝格可测函数 一．提要 第一节点集上和函数。 第二节勒贝格右测函数。 3）可测函数列的收敛性。 4）可测函数的构造。 二．基本要求 1）掌握可测函数的定义及等价定义。 2）掌握可测函数的有关性质。 3）理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。 4）掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。 5）掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。 6）理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。

近世代数1

第一章 §1.1集合 §1.2映射与变换 教学内容：集合，子集，集合相等的概念 集合关系及运算的定义和性质 映射，单射，满射，双射，逆映射的定义及例子 变换，置换等的定义及例子 映射的象及逆象的定义，映射的乘法 教学重点：集合的关系及运算，映射变换的定义，映射的乘法在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论不再重复，这里，只复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一个统一的规定。 1、用Z表示整集合，Z*表示非零整数集，用ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集等。 Z+ ，ψ+…R,C… 2、AB表示A是B的子集，A=B或AB AB表示A是B的真子集，即B中有不存在A的元素 AB表示A不是B的子集 AB表示A不是B的真子集 A=BAB且BA 3、如果集合A含有无穷多个元素，则记为=,如果A含有n个元素，则记为=n。（A的阶），有+=+ 4、称集合A-B={aaA, aB}为集合A与B的差集。易知有A-B=A 5、集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。=（=n） 映射是函数的推广，函数的定义中要求有两个数集，而映射中，是一般的集合 6、定义：设A,B是两个集合，如果有一个法则，他对于A中每个元素，在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应，则称为从A到B的映射。这种关系常表示为 ：AB 或：xy 或y=（x） xy 且称y为x在之下的像，称x为y在之下的原像或逆像。 由定义可知，映射必须满足三个条件： ①A中每个元素都有像，②A中元素的像是唯一的，③A中元素的像在B里。 例：P6例1-6

例1.不是映射，不满足①例2.不是映射，不满足②例3.不是映射，不满足③ 例4.是映射，不单不满例4.是映射，不单，满例6.是映射， 单不满 7、映射是函数概念的推广，是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。A中不同元 素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆 像，则称为A到B的一个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也不同，则称是从A到B的一个单射。如果既是满射又是单射，则称是从A到B的一个双射，或一一映射。 例：P7，例 4-8 例7，双射，例8，满射，不单。 8、设有映射：AB，A，B.用（）表示中所有元素在之下的像的全体组成的集合，称为在之下的像，（）B。用（）表示中所有元素在之下的逆像全体组成的集合，称为在之下的逆像，（）A。 易知：是满射（A）=B. 9、设：AB是双射，（思考，为什么？），则：BA 也是一个映射,且为双射（为什么？）， xy=(x) yx 称为的逆映射。 注意：双射才有逆映射。 定理：设A,B是两个有限集合，且=，是A到B的一个映射，则是单射是满射是双射 证明：略。 10、设б与都是A到B的映射，如果xA,都有б（x）=(x),则称б与相等，记作б= 11、设：AB б：C 则AC x(x) y(y)， x(x)（(x)） 是一个A到C的映射，记为，即：AC 并称为与的合成或乘积。 x（(x)） 12、集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，：AB 它是一个一一变换。 xx，

近世代数习题第二章

第二章 群论 近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52 题，最后提交时间为11月25日 1、设G 是整数集，则G 对运算 4++=b a b a 是否构成群？ 2、设G 是正整数集，则G 对运算 b a b a = 是否构成群？ 3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群. 4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元. 5、G 是整数集，则G 对运算 1=b a 是否构成群？ 6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =. 7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a = 也作成群. 8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限. 9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限. 10、设群G 中元素a 阶数是n ，则 m n e a m |?=. 11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 ) ,(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l. 12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数. 13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数. 14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2 ，则G 是交换群. 对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx. 或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba 15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n . 16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数. 17、设群G 中元素a 阶数是n ，则 )(|t s n a a t s -?=. 18、群G 的任意子群交仍是子群.

近世代数习题解答

近世代数习题解答 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a

c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? 解? d d c = , a c d = a b c a a b c b b c a c c a b

《近世代数》模拟试题2及答案

近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3

2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。

高等代数第四章整环里的因子分解

第四章整环里的因子分解 §1、素元、唯一分解 一、整除、单位、相伴元 定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。 定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。 单位元必是单位，反之不然。 例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元?b=±a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元?g（x）=cf（x）。

定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。 推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。 二、素元 定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。 定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0 ≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。 例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中，素元就是不可约多项式。 定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。 定理3整环I的一个非零元a有真因子?a=bc，b和c都不是单位。

推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。 三、唯一分解 定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元） （ii）若同时 a=q1q2…q s（q i是I的素元） 那么r=s 并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得 q i=εi p i (εi是 I的单位) 零元和单位都不能唯一分解。 例3 在整环I={}Z +, 3中： a∈ - b a b （1）ε是单位1 = ?。 ? ε = 1 ε2± （2）若4 α2=，则α是素元。 （3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）： ()()3 + - = - ? = 1 1 3 2 2 4-

近世代数习题解答张禾瑞二章

近世代数习题解答 第二章群论 1群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 证不是一个群，因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件 4,5'来作群的定义： 4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立 5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa e A_1 证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e 因为由4 G有元a能使a'a =e 1 1 1 ' 所以(a a)e = (a a)(a a ) 即a a = e (2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即 由ae = a 得ea = a 即ea = a 这样就得到群的第二定义. (3)证ax二b可解 取x = a 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到4,5'是不困难的. 2单位元，逆元，消去律 1. 若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群. 证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba . 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. _1 n —1 n n —1 —1 证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e 若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ ? a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的阶等于a °的阶 _4 _4 2 (2) a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾 (3) a b 贝U a「b' 斗

近世代数第一章基本概念自测练习答案

自测练习参考答案 一、判断题 1.(× ) 2. (√ ) 3.(× )解释:同时还要适合结合律 4. (√ ) 5. (√ ) 6. (√ ) 7.(× ): 二、选择题 1. （D ） 2. （D ） 3. （C ） 4. （B ）解释:和第9节课后习题1完全类似，但也是大家作业中出现问题最多的一道题。详细答案如下：（按解答题格式写） 解：首先，A 的一一变换有3!=6个，具体为 :,,?→→→1112233 :,,?→→→2122331 :,,?→→→3133221 :,,?→→→4122133 :,,?→→→5112332 :,,?→→→6132231 其次，如果是的自同构，则必保持运算即.A ??,,()()(),x y A x y x y ???∈= 也即（这是是自同构的必要条件） ().??=11.可见，只有和??15满足此条件. 说明和??15可能为的自同构.A 经验证，和的确是的自同构.A ??15 5. （C ） 三、简答题 1.105,84,63;42;21:1→→→→→Φ 105,84,63,42,01:2→→→→→Φ则1Φ，2Φ是X 到Y 的两个单射。

2. A a a a a a a ∈→Φ212121,},,min{),(:，就是一个A A ?到A 的一个满射。 3. 设Z 为整数集，2Z 为偶数集，x x 2:1→Φ， )1(2:2+→Φx x ，其中Z x ∈，则1Φ，2Φ就是Z 到2Z 的两个不同的映射。 4. (1) ()2,f x x x Z =?∈；（2）,2(),21k x k f x k x k =?=?=+? (3) ()1,f x x x Z =+?∈ 5. 解:1R 不是等价关系，因为1),(R c c ?，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性； 2R 是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性； 3R 不是等价关系，因为3),(R c a ?，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性； 4R 不是等价关系，因为4),(R b c ?，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．

近世代数习题解答(张禾瑞)四章

近世代数习题解答 第四章 整环里的因子分解 1 素元、唯一分解 1. 证明：0不是任何元的真因子。 证 当0≠a 时 若b a 0=则0=a 故矛盾 当0=a 时，有00ε= （ε 是单位） 就是说0是它自己的相伴元 2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n (2是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 证 １）I 的单位 总可以把m 表为 p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说 1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然 ２）I 的素元 依然是k p p m k ,(2=的限制同上） 我们要求 ⅰ）0≠p ⅱ）1±≠p ⅲ）p k 2只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数 故p m k 2=而p 是奇素数是 n m 2是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？ 证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12=ε 时， 事实上，若bi a +=ε是单位 则11-=εε 2'221εε= 即2'21εε= 但222b a +=ε是一正整数，同样2'ε也是正整数， 因此，只有12=ε 反之，若1222=+=b a ε，则0,1=±=b a 或1,0±==b a 这些显然均是单位

此外，再没有一对整数b a ,满足12 2=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。 （２）适合条件52=α的I 的元α一定是素元。 事实上，若52=α则0≠α 又由α)1(也不是单位 若2225,λβαβλα=== 则12=β或52=β ββ?=12是单位λαβλ?=?-12是α的相伴元 λλβ?=?=1522是单位βαλβ?=?-1是α的相伴元 不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。 （３）I 的元5不是素元。 若βα=5则2225λβ= 这样，2β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当1522=?=λβ由)1(λ是单位 此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52=β的情形 5,222=+=+=b a bi a ββ可能的情形是 ???==21 b a ???-=1b a ???=1b a ???-=-=21b a ???=1b a ???-==12b a ???=-=12b a ???-=1b a 显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52=β的β是素元，故知５是素元之积 （４）５的单一分解 )21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-= )21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-= i ±±,1均为单位 ２ 唯一分解环 １．证明本节的推论 证 本节的推论是； 一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ， n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。 用数学归纳法证 当2=n 时，由本节定理３知结论正确。 假定对1-n 个元素来说结论正确。