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辅导讲义：二次函数的图像和性质

学生：朱立成科目：数学教师：谭前富

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

课题

中考总复习 : 二次函数的图像和性质

教学内容

a 的符号

开口方向顶点坐标对称轴性质

0a >

向上

()00， y 轴

0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随

x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <

向下

()00，

y 轴

0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．

a 的符号

开口方向顶点坐标对称轴性质

0a >

向上

()0c ， y 轴

0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a <

向下

()0c ，

y 轴

0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。 4. ()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】

平移|k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=a (x-h )2+k

y=a (x-h )2

y=ax 2+k

y=ax 2 2. 平移规律

方法一：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

a 的符号

开口方向顶点坐标对称轴性质

0a >

向上

()0h ， X=h

x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <

向下 ()0h ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．

a 的符号

开口方向顶点坐标对称轴性质

0a >

向上

()h k ， X=h

x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ，

X=h

x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ??

?，其中2424b ac b h k a a -=-=

，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口

方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a

a ??-- ???，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a

a ??-- ???，．

当2b

x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值

244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点

式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开

口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是

()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2b y ax bx c a

=--+-

； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯

上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac

AB x x a

-=-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；

③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x

轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：

十一、函数的应用

0?> 抛物线与x 轴有

两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

0?= 抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0?<

抛物线与x 轴无交点

二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.

y=2(x-4)2-3

y=2(x-4)2

y=2x 2

x 22

y=2x 2

y=x 2

y=-2x 2

y= -x 2

y= -x 22

y=2x 2-4

y=2x 2+2

y=2x 2

y=3(x+4)2

y=3(x-2)2

y=3x 2

y=-2(x+3)2

y=-2(x-3)2

y=-2x 2

【例题精讲】

二次函数图像和性质常考考点：

考点1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x 为自变量的二次函数2)2(2

--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是考点 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12

-+=bx kx y 的图像大致是（）

y y y y

1 1

0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D

考点3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3

x ，求这条抛物线的解析式。

考点4、确定a 、b 、c 的值．二次函数：y=ax 2

+bx+c （a,b,c 是常数，且a ≠0） a ＞0开口向上，a ＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=2b a -

，由图像确定2b

-的正负，由a 的符号确定出b 的符号．由x=0时,y=c ，知c 的符号取决于图像与y 轴的交点纵坐标，与y 轴交点在y 轴的正半轴时，c ＞0，

与y 轴交点在y 轴的负半轴时，c ＜0．确定了a 、b 、c 的符号，易确定abc 的符号．

考点5、确定a+b+c 的符号．x=1时，y=a+b+c ，由图像y 的值确定a+b+c 的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c 的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c ），由图像y 的值确定4a+2b+c 的符号．还有判断a －b+c 的符号（x=－1时，y=a －b+c ）等等．

考点6、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=2b

，根据对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x 值时，y 值相等，即当x=2b a -+m 或x=2b

-－m 时，y 值相等．中

考考查时，通常知道x=2b a -+m 时y 值的符号，让确定出x=2b

a -－m 时y 值的符号．

考点7、由对称轴x=2b a -的确定值判断a 与b 的关系．如：2b

-=1能判断出a =－0.5 b ．

考点8、顶点与最值．若x 可以取全体实数，开口向下时，y 在顶点处取得最大值，开口向上时，y

在顶点处取得最小值．

例1、已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（）．

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

考点9、图象与x 轴交点．∵b 2-4ac ＞0，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根；b 2-4ac ＜0，ax 2

+bx+c=0

无实根；b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；b 2

-4ac

＜0，抛物线与x 轴没有交点；b 2

-4ac=0，抛物线与x 轴只有一个交点．例2、二次函数2

21y x x =-+与x 轴的交点个数是（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

考点10、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误．如：在同一种坐标系中正确画出一次函数y ax b =+和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，关键是两个式子中的a 、b 值应相同．

例3、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（）．

考点11、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y 值随x 值的变化而变化情况．抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y 值随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y 值随x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而减小．例4、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )．

A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大

B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小

C. 存在一个负数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大

D. 存在一个正数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大

考点12、二次函数解析式的几种形式． (1)一般式：y ＝ax 2+bx+c (a,b,c 为常数，a ≠0).

(2)顶点式：y ＝a(x-h)2

+k(a,h,k 为常数，a ≠0). 抛物线的顶点坐标是

(h,k)，h ＝0时，抛物线y ＝ax 2

+k 的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线

O x y

A B C D

＝a(x-h)2

的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax 2

的顶点在原点. (3)两根式：y ＝

a(x-x 1)(x-x 2)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2

+bx+c ＝0（a ≠0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标时设成两根式．

例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．求该二次函数的解析式为．

考点13、x 1、x 2两交点间的距离。若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02

=++c bx ax 的两个根，故 a

x x a b x x =?-=+2

121, ()

()

a a ac

b a c

a b x x x x x x x x AB ?=

-=-??

? ??-=--=

-=44422

212

2121 考点14、韦达定理和跟的判别式在二次函数中的应用：

一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是二次函数

的函数值等于零

时的特殊情况。有些二次函数问题，可以利用一元二次方程根与系数的关系（即韦达定

理）来解答；一元二次方程根的分布，可以利用二次函数图象直观判定；二次函数的图象与x 轴交点、图象的位置，也可以用判别式判断。对于一元二次方程

和二次函数

，

（1）当△>0时，方程有两个不等实数根，函数图象与x 轴有两个不重合的交点

（

）、（

），并且1x 、2x 具有如下关系：a b x x -=+21、a

x x =21.这就是一元二

次方程的根与系数的关系，简称韦达定理。

（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根，函数图象与x 轴有唯一交点，即图象与x

轴相切。

（3）当△<0时，方程无实数解，函数图象与x 轴无交点，若a>0，则图象在x 轴上方，若a<0，则图象在x 轴下方。

例1. 已知抛物线

轴交于点A （α，0）和B （β，0），且

，求k 的值。

例2. 已知抛物线

与x 轴的两个交点在点（1，0）两旁，试判断关于

x 的方程

的根的情况。

例3. 设

，求证：方程有两个不等实数根，并且有一

根在a 与b 之间，另一根在b 与c 之间。

例4：已知二次函数y=x 2－(2m+4)x +m 2－4（x 为自变量）的图象与y 轴的交点在原点上方，与x 轴相交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，且A 、B 两点到原点的距离AO 、OB 满足3（OB －AO ）=2AO ·OB,求m 的值.

例5：

如图，直线y =21-

x ＋1与y 轴交于点A ，与双曲线k

y x

=在第一象限交于B(x 1,y 1)、C(x 2,y 2)两点，则y 1+y 2=________.

考点15、考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

例6：如图甲，抛物线42

y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b

=+与抛物线交于点B 、C .

（1）求点A 的坐标；

（2)当b =0时，如图乙，ABE ?与ACE ?的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b ，使得BOC ?是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.

考点16、二次函数的应用题。

例7：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价

与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．

（1）写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系式；（2）写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式；

（3）设定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/102

kg ，时间单位：天）

二次函数选择填空题提高训练

1、已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y=

上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=-abx 2

+（a+b ）x （）

A ．有最大值，最大值为92

B 、有最大值，最大值为92

C ．有最小值，最小值为92

D ．有最小值，最小值为9

2、已知y=x 2

+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x≤3时，y 在x=1时取得最

大值，则实数a 的取值范围是（）

A ．a≤-5

B ．a≥5

C ．a=3

D ．a≥3

4、如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（） A 、5 B 、

C 、3

D 、4 5、已知一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ＞0）的两个实数根x 1，x 2满足x 1+x 2=4和x 1?x 2=3，那么二次函

数ax 2

+bx+c （a ＞0）的图象有可能是（）

6、如图为抛物线y=ax 2

+bx+c 的图象，A 、B 、C 为

抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（） A ．a+b=-1 B ．a-b=-1 C ．b ＜2a D ．ac ＜0 7、已知二次函数5

+-=x x y ，当自变量x 取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取m-1、m+1时对应的函数值为y 1、y 2，则y 1、y 2必须满足（）

A ．y 1＞0、y 2＞0

B ．y 1＜0、y 2＜0

C ．y 1＜0、y 2＞0

D ．y 1＞0、y 2＜0

8、已知抛物线y=ax 2

-2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是____________

9、若关于x 的一元二次方程（x-2）（x-3）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1=2，x 2=3；②m ＞1

- ；③二次函数y=（x-x 1）（x-x 2）-m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的是___________________.

10、已知函数y=（k-3）x 2

+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是_______________

11、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是______________。

12、如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE，那么DE 长的最小值是_______________.

13、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是

14、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：①ac ，②a+b+c ，③4a －2b+c ，④2a+b ，⑤2a －b 中，其值大于0的有 15、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，有以下结论：①0a b c ++<；②

1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是

16、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，

，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：

①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的有．

17、若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为．

1.已知抛物线2

123y x =-

+，当15x ≤≤时，y 的最大值是（） A.2 B.23 C.53 D.7

2.二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，反比列函数a

y x

=与正比列函数y bx =在同一坐标系

内的大致图像是（）

3.抛物线2

y x x p =++（p ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是

（）

A ．（0,2-） B.（19,24-） C.（19

,24-）

D.（19

,24

--）

4.已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中： ①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）； ④（a +c ）2＜b 2；⑤a ＞1.其中正确的项是（） A ．①⑤ B ．①②⑤ C ．②⑤ D ．①③④

5.在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下此抛物线的解析式是（）

A ． y ＝3（x －3）2＋3

B ． y ＝3（x －3）2－3

C ． y ＝3（x ＋3）2＋3

D ． y ＝3（x ＋3）2－3 6.在直角坐标系中，将抛物线2

23y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式

是（）

A ．2

(1)2y x =-++ B ．2

(1)4y x =--+ C ．2

(1)2y x =--+ D ．2

(1)4y x =-++

7.作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1)1(22

-+=x y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是（）

A .2)3(22-+-=x y B.2)3(22++-=x y

C.2)1(22---=x y

D.2)1(22+--=x y

8.已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )

A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大

B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小

C. 存在一个负数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大

D. 存在一个正数x 0，使得当x x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，

并设M ＝|a ＋b ＋c |-|a －b ＋c |＋|2a ＋b |－|2a －b |，则( ) A.M ＞0 B.M ＝0 C.M ＜0 D.不能确定

第4题

O x

y O

A O

B O

P y

y x = 2y

B A

10. 抛物线()2

226y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为__________________.

11.如图，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =

，CO =BO ，AB =3，则这条抛物线的函数解析式是．

12.二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象同时满足下列条件：①不经过第二象限；②与坐标轴有且仅有两个交点．这样的二次函数解析式可以是 _________ _______

13.设抛物线2

2 (0)2

a y x ax a =++<的顶点为P ，与x 轴交于A 、B 两点，当△PAB 为等边三角形

时，a 的值为_____ _____.

14.（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ；

（2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝．

三．解答题

15.已知如图，抛物线开口向上，顶点P 的横坐标为-1，图像与x 轴的两个交点A 、B （A 在左边）间的距离为4，且∠APB=90°，求抛物线的解析式.

16.已知：二次函数为y =x 2－x +m ，（1）m 为何值时，顶点在x 轴上方，

（2）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．

17.已知,如图,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点

右侧),点H 、B 关于直线l :333

y x =+对称.

(1)求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上; (2)求二次函数解析式.

18.已知二次函数1)1(22+-++=m x m x y ．

(1) 随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．

(2) 如果直线1+=x y 经过二次函数1)1(22+-++=m x m x y 图象的顶点P ，求此时m 的值．

19.已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2

=--+-x m x m （m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；

（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2

=--+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

20、已知二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象经过点A （2，4），?其顶点横坐标为12，且(b a )2-2c

=13．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）抛物线与x 轴交于B ，C 两点，在x 轴上方的上，是否存在点P ，使得S △ABC =2S △PBC ，

如存在，?请求出所有满足条件的点P 的坐标；如不存在，请说明理由．

21. 如图，已知抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（20题图）

《二次函数图像和性质(交点式)》专题

《二次函数与坐标轴交点》专题 2014年（）月（）日班级：姓名大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。 1.直线42-=x y 与y 轴交于点，与x 轴交于点。我们知道：①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法那么：③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是：__________ ______________________ （2）反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02 =++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程（1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322 =+-x x 5.对比第3题各方程的解，你发现什么？一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2 ）

1. 二次函数232 +-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是； 3.二次函数642 +-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3． 4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为。 5.如图，一元二次方程32 =++c bx ax 的解为。 6. 已知抛物线922 +-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________． 7．已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________ （4）（5）

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个）教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论）教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用或例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。二次函数的概念如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数练习：

二次函数的性质与图像

第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；