当前位置：搜档网 › 导数在三次函数研究中的应用

导数在三次函数研究中的应用

导数在三次函数中的应用

泉州现代中学陈永生

【摘要】导数是一个特殊函数，导数的概念、意义与运算；利用导数研究初等函数——图象特征（单调性、最值、函数零点、凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系），导数是分析和解决问题的有效工具。

【关键词】导数函数的切线单调性极值和最值。通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。特别地，当()f x 为三次函数时，通过求导得到的()f x 为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点00(,)P x y 处的切线的斜率0()k f x '=，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。根据这些特点，一般三次函数问题，往

往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

一、用导数求函数某点处的切线与过某点的切线

例1、（I ）求曲线32x x y -=在点)1,1(A 处的切线方程。（II ）求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程。

分析：（I ）由32x x y -=得232x y -='，1|1-='=x y ，所以曲线在点)1,1(A 处的切线方程为)1(1--=-x y ，即02=-+y x 。

（II ）设切点为)2,(3000x x x P -，又232x y -='，所以切线斜率为2

032|0

x y x x -='=，

则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(02

0300x x x x x y --=--．又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(102

00x x x x --=--，即01322

0=+-x x ，解得10=x 或2

10-

=x ；

当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ；当2

10-

=x 时，切点就是)8

7,2

1(-

P ，切线斜率为4

=x y ，

切线为0145=--y x ．

评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一。

二、用导数判断函数的单调性

一般地，若已知三次函数3

()(0)f x ax bx cx d a =+++>在(,)m -∞上是增函数，在

(,)m n 上是减函数，在(,)n +∞上是增函数,则二次方程()f x =0即2

320ax bx c ++=的两

个根为m ，n ；且当(,)(,)x m n ∈-∞+∞和时()0f x '>，当(,)x m n ∈时()0f x '<，反之亦然。

例1、求函数32()31f x x x =--的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x 的取值范围即可。解： 236y x x '=-由y′>0得2360y x x '=->，解得x ﹤0或x ﹥2。由y′<0 得2360y x x '=-<，解得0﹤x ＜2。

故所求单调增区间为(,0))-∞∞和(2,+，单调减区间为(0,2)。例2、已知32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围。解：函数f （x ）的导数：22()361f x ax x '=+-。当f'（x ）＜0（x ∈R ）时，由f （x ）是R 上减函数得，

3610ax x +-<（x ∈R ）?a ＜0且△=36+12a ＜0，?a ＜-3．

所以，当a ＜-3时，由f'（x ）＜0，知f （x ）（x ∈R ）是减函数；例3、已知3()f x ax x =+恰有三个单调区间,求a 的范围。解： 2

()31f x ax '=+，∵3

()f x ax x =+恰有三个单调区间, ∴方程()0f x '=必有两个不等根，

∴?＞0， 0120a ->∴a ＜0。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数()f x '；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<；（4）确定f(x)的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。三、用导数求函数的最值

例1、已知函数3

()39f x x x x a =-+++，若()f x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

解： 2

()369f x x x '=-++，令()0f x '<解得x<－1或x>3 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1）和（3，＋∞）。 2123-<-<<

}{min max ()(1)5,()max (2),(2)f x f a f x f f =-=-+=-

)

2()2(,

22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f

于是有2220a +=，解得2a =-．

故32()392f x x x x =-++-，因此f (－1)＝－7，即函数f (x)在区间[－2，2]上的最小值为－7。四、用导数求函数的相异实根的个数

例1、设a R ∈，讨论关于x 的方程3230x x a +-=的相异实根的个数。

,2063)()(212

=-==+='x x x x x f x f 的两根为导函数函数，

()(2)4,()(0)f x f a f x f a ∴-=-=函数的极大值是的极小值是，

令32

1()3f x x x =+，2()f x a =

（1）当04a a <>或时，函数()f x 与()g x 只有一个交点，即方程只有一个根．（2）当04a a ==或时，函数()f x 与()g x 只有两个交点，即方程只有两个根．（3）当04a <<时，函数()f x 与()g x 有三个交点，方程有三个根．例2、若方程330x x m --=有一个二重根，求m 的值。

解：令，3

12,3y x y x m ==+则问题转化为已知直线3

1y x =与曲线23y x m =+相切，求m 的值。

令切点为（x 0,y 0），则?????==3

3x y x ，解之???==1100y x 或???-=-=1100y x ，

∴m=2或－2。

评注：研究方程注意与函数之间的关系。五、利用导数解决实际生活中的优化问题

在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。

例1：某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销。经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约2

5t t -+ (百万元)(0≤t ≤3)。现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造。经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增

加的销售额约32

133

x x x -++ (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共

同产生的收益最大。(结果保留整数)

思路点拨：两种销售额去掉总投入，列出函数关系式，再求最值。

解：设用于技术改造的资金为x(0≤x≤3)(百万元)，则用于广告的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为

3221

()(3)(3)5(3)33

g x x x x x x ??=-+++--+--?? 3

143(03)3

x x x =-

++≤≤

对()g x 求导，得2()4g x x '=-+

令2()40g x x '=-+=，得x ＝2或x ＝－2(舍去)．

当0≤x<2时， ()0g x '>，即g(x)在[0,2)上单调递增，当2

∴当x ＝2时，g(x)max ＝g(2)＝25

。

故在300万元资金中，200万元用于技术改造，100万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益约为833万元。

评注：这是一道生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数。如果用过去的知识求其最值，往往没有一般方法，即使能求出，也涉及到较高的技巧。而运用导数知识求三次目标函数的最值就非常简单。对于生活中的优化问题，如果其目标函数是高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可运用导数求最值。

六、三次函数的对称中心

三次函数的对称中心高考涉及少，有些题如果用好了这个结论，用导数求三次函数的对称中心，会发现速度加快。因为三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的导函数是二次函数2

()32(0)f x ax bx c a '=++≠，二次函数是轴对称图形，根据导数的几何意义，说明三次函数的图象上关于某个点对称的两点处的导数值始终相等，说明这两点处切线的斜率相等。所以三次函数3

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠对称中心的横坐标是其导函数的极值点的横坐标3b

x a

。三次函数32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠是关于点对称，且对称中心

为点(,())33b b

f a a

--，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数

的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，

参考资料：

1、普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社）

2、高中数学教学参考

4导数研究三次函数的性质

4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<. （1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++?，试判断函数()F x 的极值点个数．

【课后作业】 1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为 2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围． 3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是 4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 31812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 5．设函数b x a ax x x f +-+-=223323 1)( (0