1 完美的正方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,换句话说:正方形是各边都相等的矩形,正方形是各角都相等的菱形,正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的一切性质.
矩形、菱形,正方形都是特殊的四边形,它们的概念交错,关系复杂,性质有许多相似之处,一些判定和性质定理又是可逆的,所以在学习中注重概念的理解,着眼于概念间的区别与联系.
连正方形的对角线,能得到特殊三角形、全等三角形,由于正方形常常与直角三角形联系在一起,所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质,具有代数风格,体现数形结合思想.熟悉以下基本图形,基本结论:
例题求解
【例1】 如图,若四边形ABCD 是正方形,△CDE 是等边三角形,则∠EA B 的度数为 .(北京市竞赛题)
思路点拨 图中还有等腰三角形,利用等腰三角形性质计算.
注 可以证明,在所有用长相等的四边形中,正方形的面积最大.
我们熟悉的“七巧板”,那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块,用它可以拼出许多巧妙的图形,“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶.
【例2】 如图,在正方形ABCD 中,O 是对角线AC 、BD 的交点,过O 作OC ⊥OF ,分别交AB 、BC 于E 、F ,若AE=4,CF=3,则EF 的长为( )
A .7
B .5
C .4
D .3
(江苏省泰州市中考题)
初中数学奥数题和答案 一、选择题(每题1分,共10分) 1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么() A.a,b都是0 B.a,b之一是0 C.a,b互为相反数 D.a,b互为倒数 答案:C 解析:令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此a、b互为相反数。 2.下面的说法中准确的是() A.单项式与单项式的和是单项式 B.单项式与单项式的和是多项式 C.多项式与多项式的和是多项式 D.整式与整式的和是整式 答案:D 解析:x2,x3都是单项式.两个单项式x3,x2之和为x3+x2是 多项式,排除A。两个单项式x2,2x2之和为3x2是单项式,排除B。 两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式,排除C,所以选D。 3.下面说法中不准确的是() A.有最小的自然数
B.没有最小的正有理数 C.没有的负整数 D.没有的非负数 答案:C 解析:的负整数是-1,故C错误。 4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么() A.a,b同号 B.a,b异号 C.a>0 D.b>0 答案:D 5.大于-π并且不是自然数的整数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 答案:C 解析:在数轴上容易看出:在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2, -1,0共4个.选C。 6.有四种说法:
甲.正数的平方不一定大于它本身; 乙.正数的立方不一定大于它本身; 丙.负数的平方不一定大于它本身; 丁.负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中,不准确的说法的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案:B 解析:负数的平方是正数,所以一定大于它本身,故丙错误。 7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是() A.a大于-a B.a小于-a C.a大于-a或a小于-a D.a不一定大于-a 答案:D 解析:令a=0,马上能够排除A、B、C,应选D。 8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,能够在原方程的两边() A.乘以同一个数
初一奥数复习题 2.设a,b,c为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,求代数式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值. 3.若m<0,n>0,|m|<|n|,且|x+m|+|x-n|=m+n,求x的取值范围.4.设(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,试求a0+a2+a4+a6的值. 5.已知方程组 有解,求k的值. 6.解方程2|x+1|+|x-3|=6. 7.解方程组 8.解不等式||x+3|-|x-1||>2. 9.比较下面两个数的大小: 10.x,y,z均是非负实数,且满足:
x+3y+2z=3,3x+3y+z=4, 求u=3x-2y+4z的最大值与最小值. 11.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式. 12.如图1-88所示.小柱住在甲村,奶奶住在乙村,星期日小柱去看望奶奶,先在北山坡打一捆草,又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问:小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短? 13.如图1-89所示.AOB是一条直线,OC,OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线,∠COD=55°.求∠DOE的补角. 14.如图1-90所示.BE平分∠ABC,∠CBF=∠CFB=55°,∠EDF=70°.求证:BC ∥AE.
15.如图1-91所示.在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,∠CDG=∠BEF.求证:∠AGD=∠ACB. 16.如图1-92所示.在△ABC中,∠B=∠C,BD⊥AC于D.求 17.如图1-93所示.在△ABC中,E为AC的中点,D在BC上,且BD∶DC=1∶2,AD与BE交于F.求△BDF与四边形FDCE的面积之比. 18.如图1-94所示.四边形ABCD两组对边延长相交于K及L,对角线AC∥KL,BD 延长线交KL于F.求证:KF=FL. 19.任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999?说明理由. 20.设有一张8行、8列的方格纸,随便把其中32个方格涂上黑色,剩下的32个方格涂上白色.下面对涂了色的方格纸施行“操作”,每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色.问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸? 21.如果正整数p和p+2都是大于3的素数,求证:6|(p+1).
完全平方公式与平方差公式 一?知识要点 1 ?乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。 2. 基本公式 完全平方公式:(a 士b)2=a2士2ab+b2 平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2 立方和(差)公式:(a 士b)(a2」ab+b2)=a3士b3 3?公式的推广 (1)多项式平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 (2)二项式定理:(a 士b)3=a3± 3a2b+3ab2士b3 (a士b)4=a4士4a3b+6a2b2士4ab3+b4 (a 士b)5=a5士5a4 b+10a3b2士10a2b3+ 5ab4士b5 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 4 ?公式的变形及其逆运算 由(a+b) 2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2—2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b) 5 ?由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 (a+b) (a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4 (a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n—1—a2n—2b+a2n —3b2—…+ ab2n—2—b2n —1)=a2n—b2n (a+b)(a2n—a2n —1b+a2n—2b2-…-ab2n —1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地: (a—b)(a n—1+a n—2b+a n—3b2+…+ ab n—2+b n—1)=a n—b n 由公式的推广③可知:当n为正整数时 a n— b n能被a—b整除, a2n+1 +b2n+1能被a+b 整除, a2n—b2n能被a+b及a—b整除。 二?例题精选 例1 .已知x、y满足x2+y2+ 5 =2x+y,求代数式一~的值。 4 x + y 例2 ?整数x,y满足不等式x2+y2+1 < 2x+2y,求x+y的值。 例3 .同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整 甲商场:?第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;
人教版初中数学讲义 第一章有理数 一、正数和负数 1、正数、负数:大于零的数叫做正数,小于零的数叫做负数。应用:生产收入,海拔高低,气温的冷热,方位的指向,比赛的胜负,比例的增长等等。 二、有理数 1、概念:整数和分数统称为有理数。 ??正整数??正整数?正数???整数正分数?零??????负整数 2、分类?零或????负整数??正分数?负数?分数????负分数??负分数?? 注:分数和小数可以互化,所以小数可以归为分数类。 3、“0”表示的意义: (1)0既不是正数也不是负数(2)0是整数(3)0不是表示没有,有时表示一种趋于正负的状态(4)0是最小的自然数,即是最小的非负整数(5)0不能作为分母(6)0等相反数是0(7)0的绝对值是0(8)0没有倒数(9)0乘以任何数都为0(10)0除以任何不为0的数都为0. 4、数轴:通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。数轴的三要素:原点,正方向,单位长度。 数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数。 5、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。与原点距离相等的两个数互为相反数。互为相反数的两个数相加得0(a,b互为相反数,则a+b=0) 6、绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a| |a|=??a(a≥0) ?-a(a<0) 两个负数,绝对值大的反而小。 三、有理数的加减法 1、有理数的加法: (1)加法法则: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. 一个数同0相加,仍得这个数。 (2)运算律:加法交换律:a+b=b+a;加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 2、有理数的减法: 减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)) 引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算。 四、有理数的乘除法 1、有理数的乘法:
小学数学升初中奥数题 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地? 2. 有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天? 3. 某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元;由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元;由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少? 4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套? 6. 有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7:5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池? 7. 小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间? 8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车. 9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米? 10. 今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱? 小学数学应用题综合训练(02) 11. 师徒二人共同加工170个零件,师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个,那么徒弟一共加工了几个零件? 12. 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟,但在两地中点停了5分钟,才继续驶往乙地;而小轿车出发后中途没有停,直接驶往乙地,最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的. 13. 一部书稿,甲单独打字要14小时完成,,乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小
【导语】今天为大家整理了一篇有关初中数学知识点总结:奥数30条知识点总结的相关内容,以供大家阅读。 28大奥数知识点回顾: 1.和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系 公式①(和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2.年龄问题的三个基本特征: ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3.归一问题的基本特点: 问题中有一个不变的量,一般是那个"单一量",题目一般用"照这样的速度"......等词语来表示。 关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量; 4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系 5.鸡兔同笼问题 基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路: ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
【例题求解】 【例1】如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到A″B″C″的位置,设BC=1,AC=3,则顶点A运动到点A″的位置时,点A经过的路线与直线l所围成的面积是. (黄冈市中考题) 思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtΔABC的两次转动,顶点A所经过的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120°和90°,半径分别为2和3,但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和. 【例2】如图,在⊙O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AA′⊥AB,BB′⊥AB,且AA′=AP,BB′=BP,连结A′B′,当点P从点A移到点B时,A′B′的中点的位置( ) A.在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动 ⌒ C.在AmB上移动 D.保持固定不移动 (荆州市中考题) 思路点拨画图、操作、实验,从中发现规律.
【例3】如图,菱形OABC的长为4厘米,∠AOC=60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿O→A →B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米,请你回答下列问题: (1)当x=3时,y的值是多少? (2)就下列各种情形: ①0≤x≤2;②2≤x≤4;③4≤x≤6;④6≤x≤8.求y与x之间的函数关系式. (3)在给出的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系. (吉林省中考题) 思路点拨本例是一个动态几何问题,又是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分别讨论、画图、计算. 注:动与静是对立的,又是统:一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与