数形互助
数和形是数学研究的基本对象,是数学产生和发展的两块基石,在数学发展的过程中,数和形常常结合在一起,在方法上互相渗透,在内容上互相联系.
以数助形,即恰当地引参或设元,把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示,利用图形的性质,寻找几何图形元素之间的关系,通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题.
用形辅数,即把一个代数问题转化为一个图形,问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,借助图形的直观性辅助解题,在代数的学习中,我们广泛地使用了用形辅数的方法,如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等.
例题求解
【例1】 若a 、b 均为正数,且22b a +,242b a +,224b a +是一个三角形的三
条边的长,那么这个三角形的面积等于 . ( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 直接用三角形面积公式求面积较为复杂,利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ,n 的直角三角形斜边长),构造图形求面积.
注 古埃及,在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学.“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”,我国宋元时期巳将某些几何问题代数化,把图形之间的几何关系,表示成代数式之间的代数关系.
17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标,用“数”研究“形”,为18、19世纪数学的空前发展作了准备.
【例2】 如图,在△ABD 中,C 为AD 上一点,AB=CD=1,∠ABC=90°,∠CBD=30°,则AC=( )
A .1
B .32
C .2
D .3 (武汉市选拔赛试题)
思路点拨 过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ,设AC=x ,BE=y ,运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组,通过解方程组求AC 的值.
【例3】 如图,E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,CE=1,CF=3
4,直线FC 交AB 的延长线于G ,过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ,HN ⊥AD ,垂足分别为M ,N ,设HM=x ,矩形AMHN 的面
积为y .
(1)用x 的代数式表示y ;
(2)当x 为何值时,矩形AMHN 的面积最大,最大面积是多少?
(2001年南京市中考题)
思路点拔 对于(1)S 矩形AMHN =HM ×AM ,AM=AB+BM ,只需把BM 用x 的代数式表示即可,对于(2),把关于x 的代数式通过配方变形可获解.注意相似三角形基本图形的运用.
【例4】已知正数 a 、b 、c 和x 、y 、z 满足k z c y b x a =+=+=+,求证:2k cx bz ay <++. 思路点拨 相等的量赋予它的几何意义,易想到等边三角形、正方形,从构造边长为k 的正方形入手. 注 对于一个几何问题,能否通过代数运算解块,关键在于几何问题中数量关系能否方便地表示成适应代数适算的表达式:一个几何问题,能否通过列方程的手段解决,在于问题本身是否存在着构成方程的等量关系,在寻找等量关系的过程中,常用到勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识与方法.
美国数学家斯蒂思说:“如果一个特定的问题可以转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法.”图形能直观、形象地表示数量关系,能帮助分析、理顺复杂的数量关系.用形辅数目前常见的方式是:
(1)利用等量构造等边三角形、正方形;
(2)利用根式的几何意义构造直角三角形、矩形.
【例5】 如图,在矩形ABCD 中,AB=12厘米,BC=6厘米.点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移
动.如果P 、Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6),那么:
(1)当t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC 的面积,提出一个与计算结果有关的结论;
(3)当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似? (2002年山西省中考题)
思路点拨 (1)把相关线段用t 的代数式表示,利用勾股定理建立t 的方程,(2)注意动态变化过程中某些量的不变性,从而提出相关问题,(3)借助三角形相似的判定方法,探求质点运动的时间,其中蕴含着分类讨论的思想方法.
学力训练
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类: 1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法: 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格); 第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围; 第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用. 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把1~8的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,3年级,第6题 【解析】 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-1.数阵图
8 7 6 5 43 2 1 【答案】 8 7 6 5 43 2 1 【例 2】 将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数 字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填? (1) 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如下图(2).由条件得出以下四个算式: (2)h g f e d c b a a+b+c=14(1) c+d+e=14 (2) e+f+g=14 (3) a+h+g=14 (4)由(1)+(3),得:a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h )-(d+h )=28, d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同样可得b+f=8, 又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8. 又1要出现在顶点上,d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性,不妨设b=2,f=6,d=3,h=5. a ,c ,e ,g 可取到1,4,7,8 若a=1,则c=14-(1+2)=11,不在1, 4,7,8中,不行.
初中数学奥数题和答案 一、选择题(每题1分,共10分) 1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么() A.a,b都是0 B.a,b之一是0 C.a,b互为相反数 D.a,b互为倒数 答案:C 解析:令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此a、b互为相反数。 2.下面的说法中准确的是() A.单项式与单项式的和是单项式 B.单项式与单项式的和是多项式 C.多项式与多项式的和是多项式 D.整式与整式的和是整式 答案:D 解析:x2,x3都是单项式.两个单项式x3,x2之和为x3+x2是 多项式,排除A。两个单项式x2,2x2之和为3x2是单项式,排除B。 两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式,排除C,所以选D。 3.下面说法中不准确的是() A.有最小的自然数
B.没有最小的正有理数 C.没有的负整数 D.没有的非负数 答案:C 解析:的负整数是-1,故C错误。 4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么() A.a,b同号 B.a,b异号 C.a>0 D.b>0 答案:D 5.大于-π并且不是自然数的整数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 答案:C 解析:在数轴上容易看出:在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2, -1,0共4个.选C。 6.有四种说法:
甲.正数的平方不一定大于它本身; 乙.正数的立方不一定大于它本身; 丙.负数的平方不一定大于它本身; 丁.负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中,不准确的说法的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案:B 解析:负数的平方是正数,所以一定大于它本身,故丙错误。 7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是() A.a大于-a B.a小于-a C.a大于-a或a小于-a D.a不一定大于-a 答案:D 解析:令a=0,马上能够排除A、B、C,应选D。 8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,能够在原方程的两边() A.乘以同一个数
第五讲 应用题 1. (2002年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题一试第5题) 某同学在家看一本足球杂志,第一天看了全书的1 6 ,第二天看了24页,第三天看的页数是前两天看的总数的150%。这是还剩下全书的 1 4 没有看,全书共有多少页? 【分析】 前三天看了全书的 3 4,把前两天看的看作一个整体,为1份,那么第三天看的为1.5份,所以前两天看的占全书的31341 1.510?=+。全书共有:3124180106?? ÷-= ??? (页) 2. (2005~2006学年度一零一计算机综合素质培训学校第一学期期末测试Ⅰ第3题) 有三堆数量相同的棋子,第一堆的黑子与第二堆的白子一样多,第三堆的黑子占全部的黑子1 3 , 所有的白子占总数的几分之几? 【分析】 可以采用假设法。根据题意,可假设三堆棋子数目具体为:第一堆一枚黑子一枚白子,第二堆 一枚黑子一枚白子,第三堆一枚黑子一枚白子。很明显可以看出,白子占总数的二分之一。 3. (2003年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷第6题) 六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和歌唱小组,有的同学还同时参加了两个小 组。若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的5 1 ,是参加歌唱小组的9 2 ,这个班只.参加体育小组与只. 参加歌唱小组的人数之比是多少? 【分析】 抓不变性,利用参加两个小组的人数是不变的来解题。首先,12 510 =,所以设两个小组都参加 的人数为2份,那么参加体育小组的为10份,参加歌唱小组的为9份。只参加体育小组的占8份,只参加歌唱小组的占7份,它们之比为8:7 4. (2004年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷Ⅰ卷第3题) 真题模考
简 单 数阵图 一、辐射型数阵图 从一个中心出发,向外作若干条射线,在每条射线上安放同样多个数,使其和是一个不变的数。突破关键:确定中心数,多算的次数,公共的和。先求重叠数。 数总和+中心数×重复次数=公共的和×线数 重叠部分=线总和-数总和 / 线总和 = 公共的和×线数 数和:指所有要填的数字加起来的和 中心数:指中间那数字,即重复计算那数字(重叠数) 重复次数:中心数多算的次数,一般比线数少1 公共的和:指每条直线上几个数的和 线数:指算公共和的线条数 例 1、 把1-5 这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数与竖列三数之和都等于9。 例2、把1~5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。 分析与解:中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以: 总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9, 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 分析与解:与例1不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以,必须先求出这个“和”。根据例1的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例 3、 把1~5 这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等 例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。 分析与解:例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道, (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2, 每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5。 若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为8。 若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为9。 若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为10。 分析与解:与例1类似,知道每条边上的三数之和,但不知道重叠数。因为有3条边,所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。 重叠数=[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。 剩下的六个数中,两两之和等于9的有2,7; 3,6;4,5。可得右上图的填法。 例5、将 10~20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上三个数字之和都相等。 总结:辐射型数阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线条数”-1,即m-1。对于辐射型数 阵图,有已知各数之和+重叠数×重叠次数 =直线上各数之和×直线条数。 (1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之 和)÷重叠次数。(如例1、例4) (2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已 知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。 如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知 道,则要从重叠数的可能取值分析,如例3。 分析与解:与例2类似,中间○内的15是重 叠数,并且重叠了四次,所以每条边上的三个 数字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。 剩下的十个数中,两两之和等于(45-15=)30的 有10,20;11,19;12,18;13,17;14,16。 于是得到右上图的填法。
初一奥数复习题 2.设a,b,c为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,求代数式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值. 3.若m<0,n>0,|m|<|n|,且|x+m|+|x-n|=m+n,求x的取值范围.4.设(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,试求a0+a2+a4+a6的值. 5.已知方程组 有解,求k的值. 6.解方程2|x+1|+|x-3|=6. 7.解方程组 8.解不等式||x+3|-|x-1||>2. 9.比较下面两个数的大小: 10.x,y,z均是非负实数,且满足:
x+3y+2z=3,3x+3y+z=4, 求u=3x-2y+4z的最大值与最小值. 11.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式. 12.如图1-88所示.小柱住在甲村,奶奶住在乙村,星期日小柱去看望奶奶,先在北山坡打一捆草,又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问:小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短? 13.如图1-89所示.AOB是一条直线,OC,OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线,∠COD=55°.求∠DOE的补角. 14.如图1-90所示.BE平分∠ABC,∠CBF=∠CFB=55°,∠EDF=70°.求证:BC ∥AE.
15.如图1-91所示.在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,∠CDG=∠BEF.求证:∠AGD=∠ACB. 16.如图1-92所示.在△ABC中,∠B=∠C,BD⊥AC于D.求 17.如图1-93所示.在△ABC中,E为AC的中点,D在BC上,且BD∶DC=1∶2,AD与BE交于F.求△BDF与四边形FDCE的面积之比. 18.如图1-94所示.四边形ABCD两组对边延长相交于K及L,对角线AC∥KL,BD 延长线交KL于F.求证:KF=FL. 19.任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999?说明理由. 20.设有一张8行、8列的方格纸,随便把其中32个方格涂上黑色,剩下的32个方格涂上白色.下面对涂了色的方格纸施行“操作”,每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色.问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸? 21.如果正整数p和p+2都是大于3的素数,求证:6|(p+1).
第十七周数阵图 数阵的特点:每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字,要求填入指定的图中,使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是: 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”,列出关系式,找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后,对照“和相等”的条件,用尝试的方法,求出其他各数。有时,因数字存在不同的组合方法,答案往往不是唯一的。 【铜牌例题】 将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的 9个方格中,使每行、每列及对角线之和相等, 小明已经填了5个数,请将其余4个数填入。 【答案】 【解析】 先根据最左边一列求出幻和,然后根据这个和和给出的数字逐步推算。 3+8+7=18; 第二行中间的数是:18-8-4=6; 第三行中间的数是:18-7-9=2; 第一行第一个数是:18-4-9=5; 第一行中间的数是:18-3-5=10; 【举一反三1】 (第十届走美杯初赛)小华需要构造一个3×3的乘积魔方,使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等;现在他已经填入了2,3,6三个数,那当小华的乘积魔方构造完毕后,x等于______。 【银牌例题】
(第十四届中环杯初赛真题)将0~9填入下图圆圈中,每个数字只能使用一次, 使得,每条线段上的数字和都是13。 【答案】 【解析】 如右图,a-h被算了3次,x被算了4次,y被算了2 次 则10×13=3×(0+1+2+……+9)+x-y→y-x=5 由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6 所以c+d=a+h=b+x=7→f=6 所以,a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7 所以e,g,y分别为1、8、9 又y-x=5,所以y=8或9
小学数学升初中奥数题 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地? 2. 有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天? 3. 某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元;由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元;由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少? 4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套? 6. 有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7:5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池? 7. 小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间? 8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车. 9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米? 10. 今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱? 小学数学应用题综合训练(02) 11. 师徒二人共同加工170个零件,师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个,那么徒弟一共加工了几个零件? 12. 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟,但在两地中点停了5分钟,才继续驶往乙地;而小轿车出发后中途没有停,直接驶往乙地,最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的. 13. 一部书稿,甲单独打字要14小时完成,,乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小
【导语】今天为大家整理了一篇有关初中数学知识点总结:奥数30条知识点总结的相关内容,以供大家阅读。 28大奥数知识点回顾: 1.和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系 公式①(和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2.年龄问题的三个基本特征: ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3.归一问题的基本特点: 问题中有一个不变的量,一般是那个"单一量",题目一般用"照这样的速度"......等词语来表示。 关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量; 4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系 5.鸡兔同笼问题 基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路: ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
把8,9,10,11,12,14,16这7个数分别填入图中的圆圈中,使得每条直线上4个数的和都等于46. 把1,2,4,5,6,8,10这7个数分别填入图中的圆圈中,使得每条直线上4个数的和都等于20. 数阵图进阶 第九讲 第4级下·提高班·学生版
第4级下·提高班·学生版 把2,3,4,5,6,7,8这七个数分别填入图中的圆圈中,使两个正方形中四个数之和都等于19. 将5,9,13,14,17,21,25这7个数分别填入图中的圆圈中,使得每条直线上3个数的和都等于44.
第4级下·提高班·学生版 将5,6,9,11,14,15这6个数分别填入图中的圆圈里,使两个大圆上4个数的和都等于40. 把1,5,9,10,16,21这6个数分别填入图中的○里,使每一个大圆上的四个数之和都等于36.
第4级下·提高班·学生版 1. 把5,6,7,8,9这5个数分别填在下图的 内,使横行、竖列3个数的和都等于( )中的 数. 把1,3,4,5,6,8,11,15这8个数分别填入图中的圆圈里,使得每个大圆上5个数的和都等于33.
第4级下·提高班·学生版 2. 把3,5,7,9,11,13,15这7个数分别填入图中的圆圈内,使每条直线上的3个数的和都等于 27. 3. 把2,4,6,8,10,12,14,16,18这9个数分别填入下图的圆圈中,使得每条直线上的3个数 的和都等于24.
4.把2,3,4,5,6,7,8这七个数分别填入图中的圆圈内,使两个正方形中四个数之和都等于21. 5.把1,2,4,5,6,11这6个数分别填入图中的○里,使每个圆圈上的四个数之和都等于22. 第4级下·提高班·学生版