初中奥数讲义_整体的方法附答案

整体的方法

我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．

解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．

整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．

例题求解 【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式

y

x z y x 3200020002000+++的值为 ．(安庆市竞赛题)

思路点拨 原式=y x z y x 3)(2000+++，视x+3 y 与x+y+z 为两个整体，对方程组进行整体改造． 【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=，

22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则△ABC 是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a 、b 、c 的关系，不妨从整体叠加入手．

【例3】 已知2

19941+=x ，求多项式20023)199419974(--x x 的值． 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得199412=-x ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．

【例4】如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2 =∠A 6 ，∠A 3 =∠A 7 ，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．

(山东省竞赛题)

思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．

【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?

思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．

注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．

从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．

学历训练

1．如果012=-+x x ，则3223++x x = ．

( “希望杯”邀请赛试题)

2．已知2311

222

--=-x x ，那么)1()1111(2x x x x x +-÷+--= ． (2001年武汉市中考题)

3．已知x 是实数，且满足

222322=--+x x x x ，那么x x 22+的值是 ． (河南省竞赛题)

4．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE 且AB=DE ，BC ∥EF 且BC=EF ，AF ∥CD 且AF=CD ，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=3，则该六边形ABCDEF 的面积是 ．

5．已知251

-=a ，251

+=b ，则722++b a 的值为( )

A ．3 D ．4 C ． 5 D ．6 (2003年杭州市中考题)

6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )

A ．20元

B ．25元

C ．30元

D ．35元

(江苏省竞赛题)

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399

试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：

六年级奥数讲义应用题

第五讲 应用题 1. (2002年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题一试第5题) 某同学在家看一本足球杂志，第一天看了全书的1 6 ，第二天看了24页，第三天看的页数是前两天看的总数的150%。这是还剩下全书的 1 4 没有看，全书共有多少页？ 【分析】 前三天看了全书的 3 4，把前两天看的看作一个整体，为1份，那么第三天看的为1.5份，所以前两天看的占全书的31341 1.510?=+。全书共有：3124180106?? ÷-= ??? （页） 2. (2005~2006学年度一零一计算机综合素质培训学校第一学期期末测试Ⅰ第3题) 有三堆数量相同的棋子，第一堆的黑子与第二堆的白子一样多，第三堆的黑子占全部的黑子1 3 ， 所有的白子占总数的几分之几？ 【分析】 可以采用假设法。根据题意，可假设三堆棋子数目具体为：第一堆一枚黑子一枚白子，第二堆 一枚黑子一枚白子，第三堆一枚黑子一枚白子。很明显可以看出，白子占总数的二分之一。 3. (2003年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷第6题) 六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和歌唱小组，有的同学还同时参加了两个小 组。若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的5 1 ，是参加歌唱小组的9 2 ，这个班只．参加体育小组与只． 参加歌唱小组的人数之比是多少？ 【分析】 抓不变性，利用参加两个小组的人数是不变的来解题。首先，12 510 =，所以设两个小组都参加 的人数为2份，那么参加体育小组的为10份，参加歌唱小组的为9份。只参加体育小组的占8份，只参加歌唱小组的占7份，它们之比为8:7 4. (2004年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷Ⅰ卷第3题) 真题模考

小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案

第16讲巧妙求和 一、知识要点 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式 一?知识要点 1 ?乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。 2. 基本公式 完全平方公式：（a 士b）2=a2士2ab+b2 平方差公式：（a+b）（a—b）=a2—b2 立方和（差）公式：（a 士b）（a2」ab+b2）=a3士b3 3?公式的推广 （1）多项式平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 （2）二项式定理：（a 士b）3=a3± 3a2b+3ab2士b3 （a士b）4=a4士4a3b+6a2b2士4ab3+b4 （a 士b）5=a5士5a4 b+10a3b2士10a2b3+ 5ab4士b5 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 4 ?公式的变形及其逆运算 由(a+b) 2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2—2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b) 5 ?由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 (a+b) (a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4 (a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数（a+b）（a2n—1—a2n—2b+a2n —3b2—…+ ab2n—2—b2n —1）=a2n—b2n （a+b）（a2n—a2n —1b+a2n—2b2-…-ab2n —1+b2n）=a2n+1+b2n+1 类似地： （a—b）（a n—1+a n—2b+a n—3b2+…+ ab n—2+b n—1）=a n—b n 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n— b n能被a—b整除， a2n+1 +b2n+1能被a+b 整除, a2n—b2n能被a+b及a—b整除。 二?例题精选 例1 .已知x、y满足x2+y2+ 5 =2x+y,求代数式一~的值。 4 x + y 例2 ?整数x,y满足不等式x2+y2+1 < 2x+2y,求x+y的值。 例3 .同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整 甲商场：？第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

小学奥数之巧妙求和

五年级思维提升 今天的成绩是以往勤奋的表现，而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。坚持就是胜利，毅力对最后的成功有决定意义。 巧妙求和 一、某些问题可以转化为若干个数的和。在解决这些问题时，同样要先判断是否是求等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、经典例题解析 例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读60页，正好读完。这本书共有多少页？ 解： 答： 想一想：如果把“第11天读60页，正好读完”，改成最后一天读60页，正好读完。该怎样解答？ 解：

习题：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？解： 答： 例2 把30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试多少次？ 解： 答： 习题：有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，都能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 解： 答： 例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈（一圈套一圈）做游戏。已知内圈24人，最外圈52人。如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？ 解：（1）

（2） 答： 习题：小明练习写毛笔字。第一天写4个大字，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写34个，共写589个大字。小明每天比前一天多写几个大字？ 解：（1） （2） 答：

课后跟踪习题 一、填空： 1、若干个数排成一列，称为。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为，最后一项称为。数列中的数的个数称为。 2、从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 。后项与前项的差称为。 3、学习等差数列求和三个常用的公式。 1）求等差数列的和= 2）项数= 3）末项= 二、解答题 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。求这个等差数列有多少项？ 解： 答： 2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项？ 解：

人教版初中数学讲义

人教版初中数学讲义 第一章有理数 一、正数和负数 1、正数、负数：大于零的数叫做正数，小于零的数叫做负数。应用：生产收入，海拔高低，气温的冷热，方位的指向，比赛的胜负，比例的增长等等。 二、有理数 1、概念：整数和分数统称为有理数。 ??正整数??正整数?正数???整数正分数?零??????负整数 2、分类?零或????负整数??正分数?负数?分数????负分数??负分数?? 注：分数和小数可以互化，所以小数可以归为分数类。 3、“0”表示的意义： （1）0既不是正数也不是负数（2）0是整数（3）0不是表示没有，有时表示一种趋于正负的状态（4）0是最小的自然数，即是最小的非负整数（5）0不能作为分母（6）0等相反数是0（7）0的绝对值是0（8）0没有倒数（9）0乘以任何数都为0（10）0除以任何不为0的数都为0. 4、数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 5、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。与原点距离相等的两个数互为相反数。互为相反数的两个数相加得0（a，b互为相反数，则a+b=0） 6、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| |a|=??a(a≥0) ?-a(a<0) 两个负数，绝对值大的反而小。 三、有理数的加减法 1、有理数的加法： （1）加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. 一个数同0相加，仍得这个数。 （2）运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 2、有理数的减法： 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+（-b）） 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。 四、有理数的乘除法 1、有理数的乘法：

初中奥数讲义_动态几何问题透视附答案

【例题求解】 【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是． (黄冈市中考题) 思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和． 【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( ) A．在平分AB的某直线上移动 B．在垂直AB的某直线上移动 ⌒ C．在AmB上移动 D．保持固定不移动 (荆州市中考题) 思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．

【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A →B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题： (1)当x=3时，y的值是多少? (2)就下列各种情形： ①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式． (3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系． (吉林省中考题) 思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算． 注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与

小学四年级奥数讲解：巧妙求和

小学四年级奥数讲解：巧妙求和 一、知识要点 某些问题，能够转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同 样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用 等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考 虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利 解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这 本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”能 够知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列 数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.所以能够很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多 做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读 的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有 多少页？

3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多 学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打 开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试 29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至 多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都 配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一 次手。那么共握了多少次手？ 【思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第 三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手， 这样，他们握手的次数和为： 50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）. 练习3：

六年级奥数讲义

第一讲立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面 分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面， 那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3 就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重 合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张 展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长 方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面， 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。 【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面 爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?

初中数学竞赛辅导讲义全

专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：

四年级奥数巧妙求和(一)

巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 练习: 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习: 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习: 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) （3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。（1）一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求他的第11项。。（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。（3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，求他的第110项。

六年级奥数专题培优讲义列方程解应用题及解析

六年级奥数专题培优讲义 列方程解应用题及解析 知识点梳理: 对于应用问题，解答方法往往不唯一， 列方程解应用题便是其中的一种方法。 这种解法 的优越性是比较符合人们的习惯。准确地找出题目中的等量关系，恰当地设出未知数后列出 方程是解题的关键。特另惺对于比较复杂的应用题，挖掘出题目中比较“隐蔽”的等量关系用 于用于设未知数或列方程，就更为重要。 典型例题精选: 【例11 ★有两根绳子，第一根长 56 cm,第二根长36 cm 。同时点燃后，平均每分钟都烧掉 2 cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的 【解析1设点燃x 分钟 【例21 ★★设有六位数l abcde ,乘以3后，变为abcdel,求这个六位数. 【解析1设：五位数 abcde =x ，则 1abcde =i00000+x , abcdel =io x +i 3(100000+x )= 10 x +1, x =42857,六位数为 142857 1 【例31 ★某班43名同学，其中3名男生和女生的 丄参加书法比赛，剩下的男生比女生少 5 5人，则这个班男、女生个多少人? 【解析1设女生有 x 人，男生有（43-x ）人 1 43-x- 3= （1-一 ） x -5 , x =25, 43-x =18 5 【例41 ★★小方与朋友约好下午 4: 30分在咖啡厅见面，两人在早上 & 00分同时将自己 的表对准，小方下午 4: 30准时到达咖啡厅，他的朋友没有来，原来朋友的手表比准确的 时间每小时慢4分钟，朋友按照自己手表的 4: 30到达。问小方需要等候多少时间? 【解析1设需等候 x 分钟, 56 3 510= （510+x ） , X =36^ 60 7 【例51 ★同学们参加野炊，一摸同学到负责后勤的老师处领碗，老师问他领多少，他说领 55个。又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。问这名同 学给多少人领碗?3倍? 56-2 x =3(36-2 x ) x =13

趣味奥数之巧妙求和

趣味奥数之巧妙求和 一、这一个标题 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有

多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【答案】1.（39-1）÷2+1=20项 2.（101-2）÷3+1=34项 3.（1001-11）÷5+1=199项 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【答案】1.末项是21 2.1+（30-1）×3=88 3.2+（100-1）×4=398 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…

六年级奥数讲义下

六年级奥数讲义下：巧求面积习题

直角三角形ABC的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC、BC为边向形外分别作正方形ACDE 与BCFG，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T.问：图中阴影部分(△ANE、△NPD与梯形BTFG)的总面积等于多少? 从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是______平方厘米。 下图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA 的中点，计算图中红色八边形的面积。

求面积答案： 至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示. 【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MO F的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN 面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.

如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大。 如图，已知边长为5的额正方形ABCD和边长为的正方形CEFG共顶点C，正方形CEFG绕点C旋转60°，连接BE、DG，则ΔBCE的面积与ΔCDG的面积比是_____. 1、有10张扑克牌，点数分别为1，2，3，…，9，10。从中任意取出若干张牌，为了使其中必有几张牌的点数之和等于15，问最少要取多少张牌? 2、在三角形ABC中，点E是BC边上的中点，点F是中线AE上的点，其中AE＝3AF，并且延长BF与AC相交于D，如下图所示。若三角形ABC的面积为48，请问三角形AFD的面积为多少？

四年级奥数巧妙求和

四年级奥数专题 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 这一周学习“等差数列求和”。需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+ （项数—1）x公差 项数公式：项数=（末项—首项）十公差+ 1 求和公式：总和=（首项+末项）X项数十2 例1 ：有一个数列：4, 10, 16, 22,…，52,这个数列共有多少项？ 分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52- 4）十6+仁9,即这个数列共有9项。 练习一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2,有一个等差数列：2, 5, 8, 11,…，101，这个等差数列共有多少项? 3,已知等差数列11, 16, 21, 26,…，1001，这个等差数列共有多少项?

例2:有一等差数列：3, 7, 11, 15,……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差X(项数—1)”进行计算。 第100 项=3+4 X( 100—1) =399 练习 1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少？ 2,求1, 4, 7, 10……这个等差数列的第30项 3,求等差数列2, 6, 10, 14……的第100项 例3:有这样一个数列：1, 2, 3, 4,…，99, 100o请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1, 2, 3, 4,…，99, 100与列100, 99,…，3, 2, 1相加，则得到 (1+100) + (2+99) + (3+98) +…+ (99+2) + (100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100= (1+100)X 100*2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)X项数* 2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习三 计算下面各题。 (1) 1+2+3+…+49+50 (2) 6+7+8+…+74+75 (3) 100+99+98+…+61+60 例4:求等差数列2, 4, 6,…，48, 50的和

六年级奥数培优简便运算一讲义

简便运算（一） 一、知识要点 根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 二、精讲精练 【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37） 练习1：计算下面各题。 1、6.73－178 2+（3.27－179 1） 2、95 7－（3.8+951）－51 1 3、14.15－（87 7－2017 6）－2.125

【例题2】计算21333387×79+790×416666 练习2：计算下面各题： 1、 3.5×41 1+125％+211÷54 2、975×0.25+43 9×76－9.75 3、52 9×425+4.25÷601 【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3

练习3：计算： 1、 45×2.08+1.5×37.6 2、 52×11.1+2.6×778 3、 48×1.08+1.2×56.8 【例题4】计算：53 3×5225＋37.9×5 2 6 练习4： 计算下面各题： 1、6.8×16.8＋19.3×3.2

2、138137 139 ＋137×1381 3、4.4×57.8＋45.3×5.6 【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5 练习5： 1、53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5 2、235×12.1＋+235×42.2－135×54.3 三、课后作业 1、137 13－（414+137 3）－0.75

2、 0.9999×0.7+0.1111×2.7 3、 72×2.09－1.8×73.6 3．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5

初一数学基础知识讲义

第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数 三、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 例1．若多项式( ) x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关， 求()[] m m m m +---45222 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。 例3．当代数式532 ++x x 的值为7时,求代数式2932 -+x x 的值. 例4． 已知012 =-+a a ，求200722 3 ++a a 的值.

六年级奥数讲义数论

第三讲 数论 1、某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是 【分析】可推知这个数为52。52被22除的余数是522228 ÷=???。 2、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列， 那么第二个分数是。 【分析】69333711 =???所以最大的为：3721 31133 ? = ? ，第二个分数为： 11 63 。 3、在200至300之间，有三个连续自然数，其中。最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的 能被7整除，那么，这样的三个连续自然数是。 【分析】运用中国剩余定理，可求出满足条件的三个连续自然数为：264265266。 4、先任意指定7个整数，然后将它们按任意顺序填入27 ?方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。最后，将所有同一列的两个数之和相乘。那么，积是数。(填奇或偶)。 【分析】运用假设法，带入1,2,3,4,5,6,7这7个整数计算。可得知积应为偶数。 5、将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘 积等于52605，那么，这两个三位数的和等于。 【分析】526053357167105501 =????=?，所以这两个三位数的和等于105501606 +=。 真题模考

6、 1A ，A 除以11余5，除以9余7 ，除以13余3，这个数最小是（ ） 【分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：1303。 7、 一位现在一百多岁的老寿星，公元2x 时的年龄为x 岁，则此老寿星2001年多少岁？ 【分析】 2441936=，老寿星出生于：1936441892-=，所以2001年为：20011892109-=岁。 8、 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然 数为_______，这三个连续自然数为_______。 【分析】 221314365+= 所以这两个连续自然数为13、14，222101112365++=，所以这三个连续自然 数为10、11、12。 9、 已知,m n 都是自然数，且2n =126m ，则n 的最小值为_______________。 【分析】 1262337=??? 所以244223377=?????，n 最小值为44。 10、 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这3种物品每样均平分给每 个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？ 【分析】 118a b ÷=，67a b ÷=，33a b ÷=， 利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出17a = 所以学校有17个班。 【例1】 在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是 【分析】 ()()23574689459+++?+++=。 【例2】 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数。第一组三个数之积是48，第二组三个数之积是45， 第三组三个数之和最大是 。 【分析】 48246=??，45159=??，所以第三组之和最大为：37818++=。 考点拓展

六年级奥数基础班讲义

一.知识要点： 1. 圆柱的侧面展开图： 2. 圆柱的表面积和体积： 3. 圆锥的侧面展开图： 4. 圆锥的体积：二典型例题： 例1. 看下图填出有关圆柱或圆锥的名称 例3. 压路机的滚筒是一个圆柱，它的底面直径是1米，长是2米，每滚动一周能压多大面积的路面？如果它每分钟转动20圈，那么这台压路机每分钟压过的路面有多少平 方米？ 练习：把4个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是（）平方分米，也可能是（）平方分米。 例4:用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳长10厘米。（1）扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？ （2）在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积至少 是多少平方厘米？\ 例5: —段圆柱形木料的横截面面积是36平方厘米，长是15厘米，用它加工一个最大的圆锥，加工成的圆锥的体积是多少立方厘米？ 六年级奥数基础班讲义家长签字: 第二讲圆柱与圆锥 例2.

练习：（1）一个长方体的长，宽，高分别是16厘米，12厘米，8厘米，若把它切削成一个尽可能大的圆锥，那么应削去多少立方厘米？ （2）把一个长7厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸造成一个圆锥形零件，这个零件的底面积是35平方厘米，高是多少厘米？ 例6:小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验： （1）在一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米； （2）将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6厘米。 如果玻璃的厚度忽略不计，那么这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？（结果保留整数） 练习：（1）把一个底面直径为8厘米，高为21厘米的圆锥放在一个盛有水的底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中，当把这个圆锥取出来后，杯里的水面高度会下降多少厘米/ （2）把一个圆锥形零件从一个圆柱的容器中取出后，水面下降3厘米，圆柱形容器的底面直径是20厘米，圆锥形零件的高是12厘米，它的底面积是多少平方厘米？ （3）在一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃水槽中放入一个高4厘米的金属圆柱后，槽中的水面比原来升高1.5厘米，这个金属圆柱的底面积是多少平方厘米？ 例7?学校有一堆圆锥形的沙，底面周长是 6.28米，高1.2米，准备挖一个长6米，宽3米, 深0.5米的跳坑，那么这堆沙够用吗? 练习：（1 ）如图是一个圆柱，如果把它的高截短3厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米, 那么它的体积将减少多少立方厘米? 2米，那么1分钟流 练习：（2）在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒 过的水有多少立方米?