初中奥数讲义_相似三角形的性质

1 相似三角形的性质

一、相似三角形的性质（略）

二、典型例题

1．如图，过正方形ABCD 的顶点C 作任意一条直线与AB 、AD 的延长线分别交于点E 、F ． 求证：AE+AF ≥4AB ．

F

E D C

B A

2．如图，等边△ABC 的边长为a ，D 是BC 边上的一点，且BD ∶DC=2∶3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处．

（1）设折痕为MN ，求

AM AN

； （2）如果BD n DC m ，求AM AN ． N

M

D

C B A

3．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，P 是AC 的中点，连结BP 并延长交AC 于E ． 若AC ∶AB=k ．求AE ∶EC ．

P

E

D C

B A

相似三角形全讲义(教师版)

相似三角形全讲义(教师版)

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相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

11、相似三角形的性质及其应用

11 1 1 1 1 1111111 1 11旋转变换型 将EAD 绕点A 旋转 BD AC 向下平 移DE 对称交 换型 交换AD 与AE A E D D E D D E D E D E C B A A B C A B C C B A C B(E)A C B C B A B C D E D A 老师姓名 学生姓名 教材版本 北师大版 学科名称 年级 上课时间 课题名称 相似三角形的性质及其应用 教学目标 及重难点 教 学 过 程 知识点回顾： 一、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边 ⑵相似三角形对应高线的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于 3、判定：⑴两角 的两三角形相似 ⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似 ⑶三组对应边的比 的两三角形相似 【提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在“方格”三角形中】 4、直角三角形射影定理： 5、相似的常见基本图形： 【经典例题】 例1、如图，DE ∥BC ，S ΔDOE ∶S ΔCOB =4∶9，求AD ∶BD. 例2、在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得 D A B C

到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； 例3、如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3. (1)如图(1)，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长. (2)如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长. (3)如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长. (4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，请写出正方形的边长. 相似三角形的应用： 知识点1:利用阳光下的影子 例1、某同学的身高为1.66米，测得他在地面上的影长为2.49米，如果这时测得操场上旗杆的 影长为42.3，那么该旗杆的高度是多少米? 知识点2：利用标杆 例2、某小组的同学利用标杆测量某旗杆的高度,将一条5米高的标杆竖在某一位置,有一名同学

九年级数学上册相似三角形的判定-讲义

编号：76854125658544289374459234 学校：麻阳市青水河镇刚强学校* 教师：国敏* 班级：云云伍班* 学科：数学 专题：相似三角形的判定 重难点易错点解析 判断三角形是否相似，要注意思维的完整性． 题一 题面：如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对． 金题精讲 题一 题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，想一想， (1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA； (2)求证：CD2=AD·AD； (3)求证：AC·BC=AB·CD． 三角形相似

题二 题面：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD=BE·EC． 圆周角定理、相似三角形 满分冲刺 题一 题面：如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB=2AD．如图乙所示，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少? 相似多边形、二次函数 题二 题面：已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC．试求AF与FB的比．

利用平行线构造相似三角形 题三 题面：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值． 图13－2 相似三角形的判定

讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案：6对． 金题精讲 题一 答案：利用三角形相似证明． 题二 答案：提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ． 满分冲刺 题一 答案：25= x 时，S 的最大值为252． 题二 答案：12 AF FB =． 题三 答案：如图13－3． 图13－3 ∵AB ⊥BC ，PB ⊥BF ， ∴∠ABP =∠CBF ．

相似三角形的性质及应用练习题

相似三角形的性质及应用练习卷 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为3,则它们的周长比为 ； ２、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且 4 3 =''B A AB ,△ABC 的周长为12cm,则△A ′ B ′ C ′的周长为 ; 3、如图１,在△A ＢC 中,中线BE 、C D 相交于点G,则BC DE = ;S △GE Ｄ：S △ＧB Ｃ ＝ ； 4、如图2,在△ＡＢＣ中， ∠B=∠AED,ＡB=5,AD=3,ＣE=6，则AE= ; 5、如图3,△ＡＢC 中，M 是AB 的中点,N 在BC 上，BC=2AB,∠BM Ｎ=∠Ｃ,则△ ∽△ ，相似比为 ， NC BN = ; 6、如图4,在梯形ＡBCD 中，ＡD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE ＝4:9,则 S △A ＢD ：S △A ＢC ＝ ； 7、如图5,在△ABC 中，BC=12c ｍ,点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点,则DE+FG+B Ｃ= ； 8、两个相似三角形的周长分别为5ｃm 和1６cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ； 9、两个三角形的面积之比为２：3，则它们对应角平分线的比为 ,对应边的高的比为 ;对应边的中线的比 周长的比 １０、已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、３、4,另一个三角形最长边长为12,则ｘ、 ｙ的值为 ； 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 １2、在△ABC 中，BC=15cm,CA=45c ｍ，AB ＝６3c ｍ，另一个和它相似的三角形的最短边是5ｃm ， 则最长边是( ) A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B M N 图3 A B C D E 图4 A B D F 图5 G E

相似三角形的性质与判定讲义)

相似三角形的性质与判 定讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

相似三角形的性质与判定讲义 【知识点拨】 一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． (3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽ C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。 【例题精讲】： E D C B A

初三相似三角形讲义

初三相似三角形讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置， 这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△ A / B / C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比 例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b= c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

初三相似三角形的判定培优同步讲义

初三相似三角形的判定培优同步讲义 学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 (一)相似三角形的概念 对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 1、相似三角形是相似多边形中的一种; 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; 3、相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; 4、母子型:已知∠ACB=90°,AB ⊥CD ,则△CBD ∽△ABC ∽△ACD . 5、斜交型: 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反 A 共 角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”)b5E2RGbCAP 6、垂直型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂 直型”) 考点 1:三角形相似判定方法的运用 例 1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点 D ,则图中相似三角形共有( ) A .1 对 B .2 对 C .3 对 D .4 对 p1EanqFDPw 例 2、如图,下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( ) A .∠ABD=∠ACB B .∠ADB=∠ABCDXDiTa9E3d C .AB 2 =AD?AC D .= 典例分析 A B C D A B C D E 12 A

A B B C C D D E E 124 1 2 E C B D A B C D E A E
( )
A D C B 例 3、已知:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E 是 BC 的中点,连接 AE、 AC.RTCrpUDGiT (1)点 F 是 DC 上一点,连接 EF,交 AC 于点 O(如图 1),求证:△AOE∽△COF; (2)若点 F 是 DC 的中点,连接 BD,交 AE 与点 G(如图 2),求证:四边形 EFDG 是菱形. 例 4、如图,在△ABC 中,AB=AC=1,BC=,在 AC 边上截取 AD=BC,连接 BD. (1)通过计算,判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数. 考点 2:网格图中相似三角形的判定 例 1、下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是() A.B.C.D. 实战演练 课堂狙击 1、下列命题中,是真命题的为() A.锐角三角形都相似

相似三角形详细讲义

知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

初中数学 相似三角形的性质及应用练习卷

第2页 共2页 相似三角形的性质及应用练习卷 班级 姓名 座号 评分 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为3，则它们的周长比为 ； 2、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且 4 3 =''B A AB ， △ABC 的周长为12cm ，则△A ′B ′C ′的周长为 ； 3、如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE = ；S △GED ：S △GBC = ； 4、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ； 5、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ，相似比为 ， NC BN = ； 6、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 7、两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ； 8、如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ； 9、两个三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的比为 ，对应边的高的比为 ； 10、已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个边长分别为x 、y 、12，则x 、y 的 值分别为 ； 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 12、在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ， 则最长边是（ ） A 、18cm B 、21cm C 、24cm D 、19.5cm 13、如图，在△ABC 中，高BD 、C E 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 14、已知，在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若BC=5，CD=3，则AD 的长为（ ） A 、2.25 B 、2.5 C 、2.75 D 、3 15、如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上， 其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上，则PA ：PQ 等于（ ） A 、1：3 B 、1：2 C 、1：3 D 、2：3 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B C M N 图3 A B C D E 图4 A B C D F 图5 G E A E B C D O A P B C D Q R

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性（讲义） 知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图 结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例： 一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求 解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．

精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使 点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．

3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴 交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1． （1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）． （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．

(完整版)初三数学相似三角形的判定

【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例1. 如图，△ABC中，∠A= 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB 于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？

九上学生相似三角形讲义

第1讲 相似图形与成比例线段 【学习目标】 1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。 2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。 【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。 【学习难点】成比例线段概念。 【学习过程】 知识点一：比例线段 定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中 两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比 ，如果 a c b d = ，那么就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 例：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 判断这四条线段是否成比例？ 解： 练习一： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC 、CD DE 、AC BE 、AC CD （2）试指出图中成比例线段 2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cm 、0.8cm 、12mm 判断这四条线段是否成比例？ 3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是 2 4、已知A 、B 两地的实际距离是250m 若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是___________ 5、已知线段a= 12、 b =2+、c=2-a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>，则 y =__________ 6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ） A a=3 b=6 c=2 d=4 d= C a=4 b=6 c=5 d=10 D 知识点二：比例线段的性质 比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b = （2） 合比性质：如果 a c b d =，那么a b c d b d ±±=

相似三角形性质及其应用练习题

相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。 考查重点与常见题型 1． 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2． 考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8， 则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3． 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。 预习练习 1． 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（ ） 2． 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3． 有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个 三角形的周长为----------，面积是------------- 4． 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ， 则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5． 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在 斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ） （A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） （A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值 是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8

(完整版)相似三角形最全讲义(教师版)

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

451相似三角形性质及其应用教学设计

4.5.1 相似三角形性质及其应用 课型：新授课 备课人： 教材分析： 《相似三角形的性质及其应用》在初中几何中《相似三角形》的这章重点内容之一。而 且这是学生学完相似三角形定义及其判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性， 以完成 对相似三角形的全面研究。相似三角形的性质也是全等三角形性质的拓展， 也是研究相似多 边形的基础。这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这一节课无论在知识上，还 是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。 教学目标 1、 掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、 会运用上述两个性质解决简单的几何问题。 3、 了解三角形重心和的概念和重心分每一条中线成 1:2的两条线段的性质。 4、 思想方法：类比思想和转化思想 重点：相似三角形性质的基本性质 ：对应角相等，对应边成比例的应用。 难点：例2证明需要添加辅助线，是本节教学难点。 学情分析： 学生已经学习过相似三角形的定义： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三 角形；已经掌握相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；还掌握 了判定相似三角形的方法： 1、预备定理； 2、两个角对应相等的两个三角形相似； 3、两边 对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 4、三边对应成比例的两个三角形相似。相似 三角形的性质应用非常广泛， 学生也经历过很多用到相似三角形性质的应用，且判定方法也 掌握比较熟练。 教学过程： 一、复习导入 如图，△ A ' 1 又??? A ' D'为/B' A ' C '的角平分线，??? /B' A ' D' =— / B ' A ' C' 2 1 ??? AD 为 ZBAC 的角平分线，? /BAD* ZBAC ?/B ' A' D =/BAD 2 ? △ A ' B ' D' ◎△ ABD(ASA),： A' D' =AD 教师：我们发现什么结论呢？ 学生：全等三角形的对应角的角平分线相等。 (说明：本节课的导入以全等三角形的角度切入，学生在八年级已经将全等三角形的定义， 性质及其判定方法熟练掌握， 而相似三角形为全等三角形的拓展， 在知识的构架基础上思维 连贯，为后面相似三角形的性质及其应用做好铺垫。 ) 二、探索新知 教师：现在老师将全等三角形的 条件弱化，将全等三角形变成相似三角形，则对应角的角平 /B ' A C =/BAC,A' B ' =AB B' C'也厶ABC A D'、AD 分别是对应角平分线，问 A D'、AD 的数量 = /B , 关系？ C

《相似三角形》最全讲义(完整版).docx

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得 到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长

北师大九上第16讲 相似三角形的性质及应用(提高)

相似三角形的性质及应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 要点二、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.

∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【典型例题】 类型一、相似三角形的应用 1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）. A.24m B.22m C.20m D.18m 2 11 22= 11 22 ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D ''' '''' ???? == ''''''''' ?? △ △