第四章-分子的对称性
第四章分子对称性
一、概念及问答题
1、对称操作与点操作
能不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作叫对称操作，对于分子等有限物体，在进行操作时，分子中至少有一点是不动的，叫做点操作2、旋转轴和旋转操作
旋转操作是将分子绕通过其中心轴旋转一定的角度使分子复原的操作，旋转依据的对称元素为旋转轴，n次旋转轴用C n表示。
3、对称中心和反演操作
当分子有对称中心i时，从分子中任一原子至对称中心连一直线，将此线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子。和对称中心相应的操作。叫做反演操作。
4、镜面和反映操作
镜面是平分分子的平面，在分子中除位于镜面上的原子外，其他成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。反映操作是使分子的每一点都反映到该点到镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。
5、C n群
属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴。
6、C nh群
属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴和垂直于此轴的镜σ。
面
h
7、C nv群
属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴和通过此轴的镜面
σ。
v
8、D nh群
在C n群中加入一垂直于C n轴的C2轴，则在垂直于C n轴的平面内必有n个
σ，得D nh群。
C2轴得D n群，在此基础上有一个垂直于C n轴的镜面
h
σ能得到另外的什么群？
9、在C3V点群中增加
h
得到D3h群。根据组合原理两个夹角为α的对称面的交线必为一其转角为2α的
对称轴，C 3V 中有三个v σ面，v σ与h σ之间为90度，所以必有三个C 2轴垂直于C 3轴，构成了D 3h 群。
10、假定-
24CuCl 原来属于T d 群，四个氯原子的标记如图所示，当出现下列情况
时，它所属点群如何变化？ a. 1Cl Cu -键长缩短
b. 1Cl Cu -和2Cl Cu -缩短同样长度
c. 12Cl Cl -间距离缩短 答：a. C 3V b. C 2V c. C 2V
11、一立方体，在8个项角上放8个相同的球，如图所示，那么： a. 去掉1，2号球分子是什么点群？ b. 去掉1，3号球分子是什么点群？
答：a. C 2V b. C 2V
12、写出偶极矩的概念、物理意义及计算公式。
偶极矩是表示分子中电荷分布情况的物理量。分子由带正电的原子核和带负电的电子组成，对于中性分子, 负电荷数量相待，整个分子是电中性的，但正负电荷的重心可以重合，也可以不重合。正负电荷重心不重合的分子称为极性分子，它有偶极矩。偶极矩是个矢量，这里我们规定其方向是由正电重心指向负电重心，偶极矩μ是正负电重心间的距离r 与电荷量q 的乘积。r q ⋅=μ，其单位为库仑米(m C ⋅)。分子的偶极矩可近似地由键的偶极矩按矢量加和而得。 13、一般直线型分子属于什么样的点群？直线型分子都有∞C 轴吗？
答：具有对称中心的直线型分子属于h D ∞分子点群，而没有对称中心的分子属于
v C ∞分子点群。无论直线型分子是否具有对称中心，当将它们绕着连接各原子的直线转动任意角度时，都能复原。因此，所有直线型分子都有∞C 轴，该轴与连结各原子的直线重合。
三、选择题
1、判断下列说法是否正确
对错
轴
A）凡线性分子一定有C
B）甲烷有对称中心
C）八面体分子沿六次轴畸变，对称性降为
D3d
D）分子本身在对称平面上一定含有一个C2
轴
2、指出下列分子包含的对称元素（多选，每题5分，选错不给分，选不全得2
分）
①NH3②PCl5③乙烷(交错型) ④C8H8
A.C3轴
B.C2轴
C.对称中心
D.水平对称面
答案：
A. B. C. D.
①NH
3
②PCl
5
③乙烷
H8
④C
3、选择下列分子所属的点群（单选,每题5分）
①HCN ②SO2③Cr(C6H6)2④P4
A.C2v
B.T d
C.C∞v
D.D6h
答案：
A. B. C. D.
①HCN
②SO
2
③
Cr(C6H6)2
④P
4
4、下列分子具有偶极矩，而不属于C nv群的是
(A) H2O 2(B) NH3(C) CH2Cl2
(D) H2C
＝CH2 5、下列各组分子中有极性，但无旋光性的是
ａ．N3
－ｂ．I3－ｃ．O3
(A) ａｂ(B) ｂｃ
(C) ａｂｃ
(D) ｃ
6、ａ．SO42
－ｂ．PO43－ｃ．ClO4－三者中不是Td点群的是
(A) a (B) b (C) c
(D) 都是Td点
群
三、计算题
1、
2
2
2
Cl
H
C有三种异构体，如下图所示，计算每种异构体的偶极矩。
H
Cl
C C
Cl
H
H
Cl
C C
H
Cl
H
H
C C
Cl
Cl
123
异构体1有对称中心，所以偶极矩为0
异构体2属于C2V群，2个C－Cl键的键角为60度，其偶极矩是每个C－Cl键键矩的矢量和，为
120
cos
2
22
2
Cl
C
Cl
C
D
D
-
-
-。同理2个C－H键的偶极矩为
120
cos
2
22
2
H
C
H
C
D
D
-
-
-，因此总的偶极矩为：
120
cos
2
2
120
cos
2
22
2
2
2
H
C
H
C
Cl
C
Cl
C
D
D
D
D
D
-
-
-
-
-
+
-
=
)
(3
H
C
Cl
C
D
D
-
-
+
=
同样方法，异构体3的偶极矩为；
)
60
cos
1(
2
)
60
cos
1(
22
2
-
+
-
=
-
-H
C
Cl
C
D
D
D
H
C
Cl
C
D
D
-
-
+
=
2、已知H－O键的键矩是m
C⋅
⨯-30
10
07
.5，且HOH的键角为105度，求水分子的偶极矩。
解：水分子的偶极矩为
75
cos
2
O
H
D
D
-
=
m
C m C ⋅⨯=⨯⋅-⨯⨯=-30
10
17.675cos .301007.52
3、 寻找下列生活用品中所含的对称元素：剪刀、眼镜、铅笔（削过与未削）、书本、方桌。
4、 CO 和CO 2都是直线型分子，试写出这两个分子各自的对称元素。
5、 分别写出顺式和反式丁二稀分子的对称元素。
6、 指出下列几何构型所含的对称元素，并确定其所属对称点群：
（1）菱形 (2) 蝶形 (3)三棱柱 (4) 四角锥 (5) 圆柱体 (6) 五棱台 7、 H 2O 属C 2v 点群，有4个对称元素：E 、C 2、 、
，试写出C 2v 点群的
乘法表。
8、 BF 3为平面三角形分子，属D 3h 点群，请写出其12个对称元素，并将其分为6类。
9、 二氯乙烯属C 2h 点群，有4个对称元素：E 、C 2、 、i ，试造出C 2h 点群的乘法表。
10、 判断下列分子所属的点群：苯、对二氯苯、间二氯苯、氯苯、萘。 11、 指出下列分子中的对称元素及其所属点群：
SO 2（V 型）、P 4（四面体）、PCl 5（三角双锥）、S 6（船型）、S 8（冠状）、Cl 2。
12、 指出下列有机分子所属的对称点群：
① ② ③ ④ ⑤
13、 对下列各点群加入或减少某些元素可得到什么群？
① C 3+i ② C 3+s h ③ T+i ④ D 3d －i ⑤ D 4h －σh 14、 试用对称操作的表示矩阵证明： ⑴
⑵
⑶
15、判断下列说法是否正确,并说明理由：
(1). 凡是八面体配合物一定属于O h点群
(2). 异核双原子分子一定没有对称中心
(3). 凡是四面体构型分子一定属于T d点群
(4). 在分子点群中，对称性最低的是C1,对称性最高的是O h群
16、CoCl63＋是八面体构型的分子，假设两个配位为F原子取代，形成CoCl4F2分子，可能属于什么对称点群？
17、环丁烷具有D4h对称，当被X或Y取代后的环丁烷属什么对称点群？
①②③④
⑤⑥⑦⑧
18、找出下列分子对称性最高的点群及其可能的子群：
①C60②二茂铁（交错型）③甲烷
19、根据偶极矩数据，推测分子立体构型及其点群：
①C3O2(μ＝0) ②H-O-O-H (μ＝6.9×10-30C·m)
③H2N-NH2(μ＝6.14×10-30C·m) ④F2O (μ＝0.9×10-30C·m)
⑤N≡C－C≡N(μ＝0)
20、已知连接苯环上C－Cl键矩为5.17×10-30C·m，C－CH3键矩为
-1.34×10-30C·m，试推算邻位、间位、对位C6H4ClCH3的偶极矩（实验值分别为4.15×10-30、5.49×10-30、6.34×10-30C·m）
21、请判断下列点群有无偶极矩、旋光性：
C i C nv
D n D nd T d
偶极矩
旋光性
22、指出下列分子所属的点群，并判断其有无偶极矩、旋光性
①②IF5
③环己烷（船式和椅式）④SO42－（四面体）
⑤（平面）⑥
⑦XeOF4（四方锥）⑧
23、已知C6H5Cl 和C6H5NO2偶极矩分别为1.55D 和3.95D, 试计算下列化合物的偶极矩:
(1) 邻二氯苯(2) 间二硝基苯(3) 对硝基氯苯(4) 间硝基氯苯(5) 三硝基苯
24、已知立方烷C8H8为立方体构型，若2个H、3个H分别为Cl取代：
①列出可形成的C8H6Cl2、C8H5Cl3可能的构型与所属的点群；
②判别这些构型有无偶极矩、旋光性。
25、下列分子具有偶极矩，而不属于C nv群的是
①H2O2 ②NH3③CH2Cl2④H2C=CH2
26、下列各组分子或离子中，有极性但无旋光性是
①N3－②I3－③O3
27、由下列分子的偶极矩数据，推测分子的立体构型及所属的点群
⑴CS2μ=0⑷N2O μ=0.166D
⑵SO2μ=1.62D⑸O2N－NO2μ=0
⑶PCl5μ=0⑹H2N－NH2μ=1.84D
28、将分子或离子按下类条件归类：
CH3CH3，NO2+, (NH2)2CO,C60,丁三烯，B(OH)3,CH4,乳酸
⑴既有极性又有旋光性
⑵既无极性有无旋光性
⑶无极性但由旋光性
⑷有极性但无旋光性
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第四章-分子的对称性
第四章分子对称性 一、概念及问答题 1、对称操作与点操作 能不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作叫对称操作，对于分子等有限物体，在进行操作时，分子中至少有一点是不动的，叫做点操作2、旋转轴和旋转操作 旋转操作是将分子绕通过其中心轴旋转一定的角度使分子复原的操作，旋转依据的对称元素为旋转轴，n次旋转轴用C n表示。 3、对称中心和反演操作 当分子有对称中心i时，从分子中任一原子至对称中心连一直线，将此线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子。和对称中心相应的操作。叫做反演操作。 4、镜面和反映操作 镜面是平分分子的平面，在分子中除位于镜面上的原子外，其他成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。反映操作是使分子的每一点都反映到该点到镜面垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。 5、C n群 属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴。 6、C nh群 属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴和垂直于此轴的镜σ。 面 h 7、C nv群 属于这类点群的分子，它的对称元素只有一个n次旋转轴和通过此轴的镜面 σ。 v 8、D nh群 在C n群中加入一垂直于C n轴的C2轴，则在垂直于C n轴的平面内必有n个 σ，得D nh群。 C2轴得D n群，在此基础上有一个垂直于C n轴的镜面 h σ能得到另外的什么群？ 9、在C3V点群中增加 h 得到D3h群。根据组合原理两个夹角为α的对称面的交线必为一其转角为2α的
对称轴，C 3V 中有三个v σ面，v σ与h σ之间为90度，所以必有三个C 2轴垂直于C 3轴，构成了D 3h 群。 10、假定- 24CuCl 原来属于T d 群，四个氯原子的标记如图所示，当出现下列情况 时，它所属点群如何变化？ a. 1Cl Cu -键长缩短 b. 1Cl Cu -和2Cl Cu -缩短同样长度 c. 12Cl Cl -间距离缩短 答：a. C 3V b. C 2V c. C 2V 11、一立方体，在8个项角上放8个相同的球，如图所示，那么： a. 去掉1，2号球分子是什么点群？ b. 去掉1，3号球分子是什么点群？ 答：a. C 2V b. C 2V 12、写出偶极矩的概念、物理意义及计算公式。 偶极矩是表示分子中电荷分布情况的物理量。分子由带正电的原子核和带负电的电子组成，对于中性分子, 负电荷数量相待，整个分子是电中性的，但正负电荷的重心可以重合，也可以不重合。正负电荷重心不重合的分子称为极性分子，它有偶极矩。偶极矩是个矢量，这里我们规定其方向是由正电重心指向负电重心，偶极矩μ是正负电重心间的距离r 与电荷量q 的乘积。r q ⋅=μ，其单位为库仑米(m C ⋅)。分子的偶极矩可近似地由键的偶极矩按矢量加和而得。 13、一般直线型分子属于什么样的点群？直线型分子都有∞C 轴吗？ 答：具有对称中心的直线型分子属于h D ∞分子点群，而没有对称中心的分子属于 v C ∞分子点群。无论直线型分子是否具有对称中心，当将它们绕着连接各原子的直线转动任意角度时，都能复原。因此，所有直线型分子都有∞C 轴，该轴与连结各原子的直线重合。
安徽高中化学竞赛结构化学第四章分子的对称性习题-教学文档
安徽高中化学竞赛结构化学第四章分子的对称性习题-教学文档 1. 下列哪种对称操作是真操作（B) A．反映 B．旋转 C．反演2. 下列哪种分子与立方烷具有完全相同的对称性：(C) A．C 60 B．金刚烷 C．SF 6 3. 设想从乙烷分子的重叠构象出发,经过非重叠非交叉构象,最后变为交叉构 象. 点群的变化是：(B) A. D3→D3h→D3d B. D3h→D3→D3d C. C3h→C3→C3V 4. S在室温下稳定存在的形式为正交硫, 其中的分子是S 8 环, 分子点群为(B) A.C 4v B. D4d C. D8h 5. 对s、p、d、f 原子轨道分别进行反演操作，可以看出它们的对称性分别是(B) A．u, g, u, g B. g, u, g, u C. g, g, g, g 6. CH 4 分子中具有映轴S4 (B ) A．但旋转轴C4和与之垂直的镜面都不独立存在 B．旋转轴C4和与之垂直的镜面也都独立存在 C．旋转轴C4也存在，而与之垂直的镜面不存在 7. 对映异构体的旋光大小相等、方向相反(B )
A. 其中偏振面顺、逆时针旋转者分别称为右旋体和左旋体，记作（+）和（-） B. 其中偏振面顺、逆时针旋转者分别称为左旋体和右旋体，记作（-）和（+） C. 对映异构体的等量混合物称为内消旋体，用（±）标记. 8. CH 4 分子中具有映轴S4 ( A) A．但旋转轴C4和与之垂直的镜面都不独立存在 B．旋转轴C4和与之垂直的镜面也都独立存在 C．旋转轴C4也存在，而与之垂直的镜面不存在 9. 对映异构体的旋光大小相等、方向相反( A ) A. 其中偏振面顺、逆时针旋转者分别称为右旋体和左旋体，记作（+）和（-） B. 其中偏振面顺、逆时针旋转者分别称为左旋体和右旋体，记作（-）和（+） C. 对映异构体的等量混合物称为内消旋体，用（±）标记. 10. 丙二烯分子属于D 2d 点群. 由此推测 ( C ) A. 分子中只有σ键 B. 分子中有一个大π键Π33 C. 分子中有两个互相垂直的小π键 11. 己三烯电环化反应, 在加热条件下保持什么对称性不变？( B ) A ．C 2 B.m C. m 和C 2 12. 旋光性分子的对映异构体可用R 与S 区分, 分别取自拉丁词右和左的首字 母；旋光方向用（+）与（-）区分, 分别代表右旋和左旋( C) A ．R 型分子的旋光方向必定是（+），S 型分子必定是（-）B ．R 型分子的旋光方向必定是（-），S 型分子必定是（+）C ．一般地说，由R 、S 构型不能断定分子的旋光方向 13. 一个分子的分子点群是指：( A ) A ．全部对称操作的集合 B ．全部对称元素的集合 C ．全部实对
关于分子的对称性(精)
关于分子的对称性 高剑南 ﹙华东师范大学200062﹚ 1.从《非极性分子和极性分子》一课说起 曾经看过有关《非极性分子和极性分子》的教学设计，也听过《非极性分子和极性分子》的公开课。无论是教学设计，还是公开課，都很精彩。遗憾的是听到教师这样的讲述：CCl4分子为正四面体结构，是对称分子，所以是非极性分子。H2O分子的空间构型为折线形，不对称，所以是极性分子。甚至总结为：“分子的空间构型为直线型、平面正四边型、正四面体等空间对称构型的多原子分子则为非极性分子；分子的空间构型为折线型、三角锥型、四面体等空间不对称构型的多原子分子则为极性分子”。 那么，这样的判断有没有问题？何谓对称？何谓不对称？何谓极性分子？何谓非极性分子？分子的对称性与分子极性有着怎样的内在联系？研究对称性有什么意义？ 2. 对称性 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。——李政道 2.1 对称是自然界的一个普遍性质 对称性是自然界的一个普遍现象。任何动物，无论是低等动物草履虫，还是高等的哺乳动物包括人；任何植物，无论是叶，还是花，都具有某种对称性。人类受此启发，任何建筑，无论是古建筑天坛、罗马式大教堂、泰姬陵，还是现代建筑国家大剧院、鸟巢体育馆；无论是高档别墅，还是普通民居，都具有某种对称性。对称是自然界中普遍存在的一种性质，因而常被认为是最简单、最平凡的现象。然而，对称又具有最深刻的意义。科学家、艺术家、哲学家从各种角度研究和赞美对称，“完美的对称”、“神秘的对称”、“可怕的对称”，表明对称性在人类心灵中引起的震撼。 a. 捕蝇草 b. 台灣萍蓬草 c.对称性雕塑艺术 图1 对称是一个普遍现象 2.2 对称操作与对称元素 对称性用对称元素和对称操作来描述。经过不改变图形中任何两点间距离的操作能够复原的图形称为对称图形。能使对称图形复原的操作称为对称操作。进行对称操作时所依赖的对称要素（点、线、面）称为对称元素。根据对称操作的概念，将一张纸撕成两半，然后再拼接，即使拼得天衣无缝，这“撕”纸的操作不能称为对称操作，这张纸即使修复得“天衣无缝”，也不能说纸在对称意义上“复原”了。因为在撕纸的过程中图形中任意两点间的距离都改变了，不满足对称图形的要求。
结构化学授课教案
结构化学授课教案 第四章分子对称性与群论初步 说明： 1．由课程负责人李炳瑞编著的《结构化学》多媒体版，2004年6月已由高等教育出版社作为普通高等教育“十五”国家级规划教材出版发行。其中印刷本46万字，CD 版容量426M.，含1092 张幻灯片、700多幅彩色图片、172个分子与晶体模型。 用于多媒体教学的教案容量很大（下一步实行网络教学时将重新改编），下面是第四章（分子对称性与群论初步）的部分授课教案，省略了其中某些内容。以下蓝色文字为教师备课提纲，黑色文字为讲授内容, 绿色小字排印的内容供学生自学或作为阅读材料。 Chapter 4. Molecular Symmetry and Introduction to Group Theory 本章内容提要: 对称性是自然界中广泛存在的现象，在化学中，它提供了各种化学运动分类的基础。结构化学课程涉及分子的对称性和晶体的对称性，本章讨论前者。分子对称性是由分子几何构型（及构象）所决定的，而分子对称性又决定着分子的许多性质，例如分子的某些电性、光学活性及光谱性质。所以，研究分子对称性，对了解分子结构和性质极为重要。 将对称性用于解决化学问题，最终离不开群论，尤其是特征标表。为此，必须首先确定分子的点群。所以，本章从对称现象出发，首先引导学生认识对称操作与对称元素, 重点是确定各种不同类型分子的点群；然后由浅入深，从分子偶极矩、旋光性的对称性判据，过渡到群论基础知识，及其对某些简单化学问题的应用。通过本章的学习，对“结 构决定性质”这一重要原理加深理解，为今后用群论解决复杂化学问题打下基础。
本章内容共5节，6学时。有些内容可留给学生自学。每节的教学目的、内容、学时分别如下： 4.1 对称性概念（0.3学时） 教学目的：本节介绍分子的对称性。由于分子对称性是微观现象，描述对称性的符号抽象繁杂，加之有些学生空间想象力不够，学习中往往出现某些困难。所以，先利用多媒体手段引入植物、动物界的对称（或准对称）现象及人类在建筑、美术、文学、音乐中利用对称性进行艺术创作的生动有趣的实例，进而引伸到某些自然规律的对称性实例，使学生体会到对称性是自然界中广泛存在的现象，既不陌生也不神秘，分子对称性只是其中的一种类型，符号虽然抽象，内容却很具体。使学生消除畏难情绪，提高审美能力，开阔视野，激起学习兴趣和探索欲望。 基本内容：自然界中花朵、树叶、仙人掌、蝴蝶、海星等动植物的反映对称或旋转对称；人类受此启发，在生活和社会活动中创造的对称形建筑，如天安门、天坛、宝塔、亭台、拱桥, 美术作品中的对称图案, 音乐中的双声部乐谱，文学中的回文；简单涉及科学家在自然规律中发现的种种对称现象，如原子轨道、分子轨道的对称性, 跃迁选律, 轨道对称守恒……. 由宏观到微观、由具体到抽象、由特殊到普遍逐渐展开，最后将注意力引向分子对称性. 判天地之美,析万物之理。 ——庄子 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。 ——李政道 对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪.发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现代科学的中心观念. 近年来，对称更变成了决定物质间相互作用的中心思想（所谓相互作用，是物理学的一个术语，意思就是力量，质点跟质点之间之力量）. ——杨振宁 对称是自然界中普遍存在的一种性质,因而常常被认为是最平凡、最简单的现象. 然而, 对称又具有最深刻的意义. 科学家、艺术家、哲学家从各种角度研究和赞美对称，“完美的对称”、“可怕的对称”、“神秘的对称”，这些说法都表明了对称性在人类心灵中引起的震撼. 对称性与化学有什么关系？ 对称性如何支配着物质世界的运动规律？ 下面,让我们首先观察一下自然界中广泛存在的丰富多彩的对称现象。这样的事例俯拾皆是, 有些存在于自然现象和自然规律之中，有些则是人类受到自然界的启发，进而将对称性融入自己的创造性活动的结果： 生物界的对称现象：花卉、树叶、仙人球、……，蝴蝶、海星、飞鸟、蜂巢、…… 建筑艺术中的对称性：天坛、宝塔、亭、拱桥、泰姬陵、… …
结构化学基础习题答案分子的对称性
04分子的对称性 【4.1】HCN 和2CS 都是直线型分子，写出该分子的对称元素。 解：HCN ：() ,C υσ∞∞; CS 2： ()()2,,,,h C C i υσσ∞∞∞ 【4.2】写出3H CCl 分子中的对称元素。 解：() 3,3C υσ 【4.3】写出三重映轴 3S 和三重反轴3I 的全部对称操作。 解：依据三重映轴S 3所进行的全部对称操作为： 1133h S C σ=，2233S C =，33h S σ= 4133S C =，52 33h S C σ=， 63S E = 依据三重反轴 3I 进行的全部对称操作为： 1133I iC =，2233I C =，3 3I i = 4133I C =，5233I iC =， 63I E = 【4.4】写出四重映轴 4S 和四重反轴4I 的全部对称操作。 解：依据S 4进行的全部对称操作为： 1121334 4442444,,,h h S C S C S C S E σσ==== 依据4I 进行的全部对称操作为： 11213344442444,,,I iC I C I iC I E ==== 【4.5】写出xz σ和通过原点并与χ轴重合的2C 轴的对称操作12C 的表示矩阵。 解： 100010001xz σ????=-??????， ()1 2100010001x C ?? ??=-?? ??-?? 【4.6】用对称操作的表示矩阵证明： （a ） ()2xy C z i σ= （b ） ()()() 222C x C y C z = （c ） ()2yz xz C z σσ= 解： （a ） ()()11 22xy z z x x x C y C y y z z z σ-????????????==-????????????--??????， x x i y y z z -????????=-???? ????-????
分子对称性
分子对称性 简介 分子常常因含有若干相同原子或基团而具有某种对称性，如果分子经过某种对称操作后，与未经操作的原有分子无法分辨，则统称为分子对称性。 孤立分子的对称操作仅有四种（不动或还原一般不应是对称操作，但也常包括在内，这样则为五种）：①分子绕一个轴旋转2π/n角，如旋转后能恢复原状，则此轴称为n次对称轴,而这种对称操作称为旋转2π/n角；②分子在一假想平面的镜面中反射，如经过反射后恢复原状，则此假想平面称为分子的对称面，这种对称操作称为反射； ③将分子上各点对称地移到该点与假想点连线上的另一方同距离处，如分子各点经如此操作后恢复原状，则此假想点称为分子的对称中心，这种对称操作称为反演；④分子先在一轴进行2π/n角旋转，然后再在垂直于这个轴的一个平面上反射，如经过这一复合操作使分子恢复原状，则此轴称为n次非正常旋转对称轴,这种操作称为非正常2π/n角旋转。例如，yz面上的水分子的形状如图1所示,它有一个二次旋转对称轴（简称2次轴）,及两个互相垂直的对称面。甲烷是一正四面体形的分子，碳居正中，四个氢原子各占一顶点，这个分子有四个3次轴、三个2次轴、六个对称面和三个非正常4次轴；乙烯则有三个2次轴、一个对称中心和三个对称面;甲烷和乙烯的对称性图见图2。在分子中n的值可以为2,3,4,5,6,7，...，∞等，直线分子有一个∞次轴，通常以n等于2,3,4,6等值为多。n=1即不动，一般不计在内。 具有对称性的分子的许多性质均受其对称性的影响。例如有无偶极矩、光谱的选择定则等均可从其对称性预测。在量子力学计算中常利用分子的对称性而使计算简化分子对称性描述分子的对称性表现并根据分子的对称性对分子作分类。分子对称性在化学中是一项基础概念，因为它可以预测或解释许多分子的化学性质，例如分子振动、分子的偶极矩和它的光谱学数据（以拉波特规则之类的选择定则为基础）。在大学程度的物理化学、量子化学与无机化学教科书中，都有关于对称性的章节。 在各种不同的分子对称性研究架构中，群论是一项主流。这个架构在分子轨域的对称性研究中也很有用，例如应用Hückel分子轨道法、配位场理论和Woodward-Hoffmann规则等。另一个规模较大的架构，是利用晶体系统来描述材料的晶体对称性。 实际测定分子的对称性有许多技术，包括X射线晶体学和各种形式的光谱。光谱学符号是以各种对称条件为基础。 对称性的概念 分子对称性的研究是取自于数学上的群论。 对称元素 分子对称性可分成5种对称元素。
第4章 分子对称性和群论
第4章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。 绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2 ˆC 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。 CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。 H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ）， 对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。 C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、 和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元 素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2 ˆˆ(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2 1 00ˆ()0100 01C z -=- 和 100ˆ()010001h xy σ=- 则 21 00100100ˆˆˆ()()010010010001001 001h C z x y i σ--=-=-=-- 由此得证。
分子的对称性
第四章 分子的对称性 §4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念 原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。与晶体的对称性不同。晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。 ○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。 ○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。（借助于一定几何实体） ○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。 <2>对称元素及相应的对称操作 ○1恒等元素和恒等操作，（E ） Λ E 所有分子图形都具有。 ○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λ n n C C ,；对称轴是一条特定的直线。绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，n π θ2= 如：H 2O ： πθ21 ==n 。 分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。 n C 将产生n 个旋转操作： E =-n n n n n n C C C C ,,,,12 逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。 )(k n n k n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，n C
的轴次不受限制，n 为任意整数。 如： E =→3 32333,,C C C C ○3对称和反映操作。Λ σσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。 图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。 E =Λ 2σ。 对称面可分为： v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴； d σ面：包含主轴且平分相邻' 2 C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。 ○4对称中心（i ）和反演操作。Λ i i ,，分子图形中有一个中心点，对于分子中任何一个原子来说，在中心点另一侧，必能找到一个相同的原子。两个相对应的原子和中心点在一条直线上，且到中心点有相同的距离。对称中心的反演操作，使分子图形中任一点),,(z y x A 将反射到),,('z y x ---A ，同时A ’ 也将反射到A 点。从而产生分子的等价图形。 ○5象转轴和旋转反映操作 Λ n n S S , 分子图形绕轴旋转操作后，再作垂直此轴的镜面反映。产生分子等价图形。这种由旋转与镜面组合成的对称元素称为象转轴。象转轴和旋转、反映的连续操作相对应，并与连续操作次序无关： Λ ΛΛΛΛ==n h h n n C C S σσ。对分子施行n S 轴的k 次操作k n S Λ时，必有： ⎪⎩⎪⎨⎧====ΛΛΛΛΛ23 231313C S K C S C S K C S k n k n h k n h k n 为偶数时为奇数时σσ ⎪⎩ ⎪⎨⎧====ΛΛΛΛE S n E S S n S n n h h n n 2233为偶数时 为奇数时σσ 以及：Λ ΛΛΛΛ Λ===i C S S h h σσ221, 如： 如果一个对称操作的结果与两个或多个其它操作连续作用的结果相同时，常
结构化学基础习题答案分子的对称性
04分子的对称性 【4.1】H C N 和2C S 都是直线型分子，写出该分子的对称元素。 解：HCN ：(),C υσ∞∞; CS 2：()()2,,,,h C C i υσσ∞∞∞ 【4.2】写出3H C C l 分子中的对称元素。 解：()3,3C υσ 【4.3】写出三重映轴3S 和三重反轴3I 的全部对称操作。 解：依据三重映轴S 3所进行的全部对称操作为： 1133h S C σ=，2233S C =， 33h S σ= 41 33S C =，5233h S C σ=，63S E = 依据三重反轴3I 进行的全部对称操作为： 1 1 33I iC =，2 2 33I C =，3 3I i = 4 1 33I C =，5 2 33I iC =，6 3I E = 【4.4】写出四重映轴4S 和四重反轴4I 的全部对称操作。 解：依据S 4进行的全部对称操作为： 1121334 4442444,,,h h S C S C S C S E σσ==== 依据4I 进行的全部对称操作为： 1 12 1 3 3 4 4442 44 4 ,,,I i C I C I i C I E == = = 【4.5】写出xz σ和通过原点并与χ轴重合的2C 轴的对称操作12C 的表示矩阵。 解： 1000100 1xz σ?? ??=-?????? ， () 1 21 000100 1x C ?? ??=-????-?? 【4.6】用对称操作的表示矩阵证明： （a ） ()2xy C z i σ= （b ） ()()()222C x C y C z = （c ） ()2yz xz C z σσ= 解： （a ） ()()1 122xy z z x x x C y C y y z z z σ-?????? ??????==-????????????--?? ????， x x i y y z z -???? ????=-????????-????
结构化学 第四章习题(周公度)
第四章 分子的对称性 1、HCN 和CS 2都是线性分子。写出该分子的对称元素 解：HCN 分子构型为线性不对称构型，具有的对称元素有：C ∞，n σV ； CS 2分子为线性对称性分子构型，具有对称元素有：C ∞，nC 2, n σV ,σh 2、写出H 3CCl 分子的对称元素 解：H 3CCl 的对称元素有：C 3，3σV 3、写出三重映轴S 3和三重反轴I 3的全部对称操作 解：S 31=C 3σ; S 32=C 32 ; S 33=σ; S 34= C 3 ; S 35 = C 32σ I 31= C 3i ; I 32=C 32 ; I 33= i ; I 34= C 3 ; I 35 = C 32i 4、写出四重映轴S 4和四重反轴I 4的全部对称操作 解：S 41=C 4σ; S 42=C 2 ; S 43=C 43σ; S 44= E I 41= C 4i ; I 42=C 2 ; I 43=C 43 i ; I 44= E 5、写出σxz 和通过原点并与 x 轴重合的C 2轴的对称操作C 21的表示矩阵 解：σ xz 和C 2轴所在位置如图所示(基函数为坐标) σxz (x ，y ，z)’=(x ，-y ，z) σ xz 的变换矩阵为 ??? ? ? ??-100010001 C 21(x ，y ，z)’=(x ，-y ，-z) C 21的变换矩阵为 ??? ? ? ??--10001000 1 6、用对称操作的表示矩阵证明 (1) C 2(z) σ xy = i (2) C 2(x)C 2(y) =C 2(z) (3) σyz σ xz =C 2(z) 解：C 2(x)，C 2(y)，C 2(z)，σ xy ，σyz ，σxz ，i 对称操作的变换矩阵分别为 ????? ??--10001000 1，????? ??--100010001，????? ??--100010001，????? ??-100010001，??? ?? ??-100010001 ????? ??-100010001，??? ? ? ??---10001000 1
结构化学基础习题答案分子的对称性
04分子的对称性 【4。1】HCN 和2CS 都是直线型分子，写出该分子的对称元素。 解：HCN:(),C υσ∞∞； CS 2 ：()()2,,,,h C C i υσσ∞∞∞ 【4.2】写出3H CCl 分子中的对称元素。 解：()3,3C υσ 【4.3】写出三重映轴3S 和三重反轴3I 的全部对称操作。 解：依据三重映轴S 3所进行的全部对称操作为： 1133h S C σ=，2233S C =, 33h S σ= 4133S C =,52 33h S C σ=， 63S E = 依据三重反轴3I 进行的全部对称操作为: 1133I iC =，22 33I C =，33I i = 4133I C =，5233I iC =，63I E = 【4.4】写出四重映轴4S 和四重反轴4I 的全部对称操作。 解：依据S 4进行的全部对称操作为： 1121334 4442444,,,h h S C S C S C S E σσ==== 依据4I 进行的全部对称操作为： 11213344442444,,,I iC I C I iC I E ==== 【4。5】写出xz σ和通过原点并与χ轴重合的2C 轴的对称操作12C 的表示矩阵. 解: 100010001xz σ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ()1 2100010001x C ⎡⎤ ⎢⎥=-⎢⎥ ⎢⎥-⎣⎦ 【4。6】用对称操作的表示矩阵证明： （a ） ()2xy C z i σ= （b ） ()()()222C x C y C z = (c ） ()2yz xz C z σσ= 解： (a ） ()()11 2 2xy z z x x x C y C y y z z z σ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦, x x i y y z z -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
分子的对称性与点群
分子的对称性与点群 摘要：分子也像日常生活中见到的物体一样,具有各种各样的对称性。分子的对称性是分子的很重要的几何性质,它是合理解释许多化学问题的简明而重要的基础。例如,往往从对称性入手,我们就能获得有关分子中电子结构的一些有用的定性结论,并从光谱推断有关分子的结构。 关键词：对称性点群对称操作 一．对称操作与点群 如果分子的图形相应于某一几何元素(点、线、面)完成某种操作后,所有原子在空间的排布与操作前的排布不可区分,则称此分子具有某种对称性。一般将能使分子构型复原的操作,称为对称操作,对称操作所据以进行的几何元素称为对称元素。描述分子的对称性时,常用到“点群”的概念。所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。而全部对称元素的集合构成对称元素系。每个点群具有一个持定的符号。一个分子的对称性是高还是低,就可通过比较它们所属的点群得到说明。 二．分子中的对称元素和对称操作 2.1 恒等元及恒等操所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。作 分别用E、 E^表示。这是一个什么也没有做的动作，保持分子不动，是任何分子都具有的对称元素与对称操作。
2.2旋转轴和旋转操作 分别用C n、C^n表示。如果一个分子沿着某一轴旋转角度α能使分子复原，则该分子具有轴C n，α是使分子复原所旋转的最小角度，若一个分子中存在着几个旋转轴，则轴次高的为主轴（放在竖直位置），其余的为副轴。分子沿顺时针方向绕某轴旋转角度α，α=360°/n （n=360°/α（n=1,2,3……）能使其构型成为等价构型或复原，即分子的新取向与原取向能重合，就称此操作为旋转操作，并称此分子具有 n 次对称轴。n是使分子完全复原所旋转的次数，即为旋转轴的轴次，对应于次轴的对称操作有n个。 C n n=E﹙上标n表示操作的次数，下同﹚。 如NH3 （见图 1）旋转 2π/3 等价于旋转 2π (复原)， 基转角α=360°/n C3 - 三重轴；再如平面 BF3 分子， 具有一个 C3 轴和三个 C2 轴，倘若分子中有一个以上 的旋转轴，则轴次最高的为主轴。 图1 2.3 对称面与反映操作 分别用σ、σ^表示。对称面也称为镜面，它将分子分为两个互为镜像的部分。对称面所对应的操作是反映，它使分子中互为镜像的两个部分交换位置而使分子复原。σ^ⁿ=E^﹙n为偶数﹚，σ^2n=E^﹙n为奇数﹚。对称面又分为：σh面﹙垂直于主轴的对称面﹚、σv面﹙包含主轴的对称面﹚与σd面﹙包含主轴并平分垂直于主轴的两个C2轴的夹角的平面﹚，σd是σv 面的特殊类型。
结构化学基础习题问题详解分子的对称性
04分子的对称性 【】HCN 和2CS 都是直线型分子，写出该分子的对称元素。 解：H ：(),C υσ∞∞; CS 2 ：()()2,,,,h C C i υσσ∞∞∞ 【】写出3H CCl 分子中的对称元素。 解：()3,3C υσ 【】写出三重映轴3S 和三重反轴3I 的全部对称操作。 解：依据三重映轴S 3所进展的全部对称操作为： 1133h S C σ=，2233S C =，33h S σ= 4133S C =，52 3 3h S C σ=，63S E = 依据三重反轴3I 进展的全部对称操作为： 1133I iC =，22 33I C =，33I i = 4133I C =，5233I iC =，63I E = 【】写出四重映轴4S 和四重反轴4I 的全部对称操作。 解：依据S 4进展的全部对称操作为： 1121334 4442444,,,h h S C S C S C S E σσ==== 依据4I 进展的全部对称操作为： 1121334 4442444,,,I iC I C I iC I E ==== 【】写出xz σ和通过原点并与χ轴重合的2C 轴的对称操作1 2C 的表示矩阵。 解： 100010001xz σ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()12100010001x C ⎡⎤ ⎢⎥=-⎢⎥ ⎢⎥-⎣⎦ 【】用对称操作的表示矩阵证明： 〔a 〕 ()2xy C z i σ=〔b 〕()()()222C x C y C z =〔c 〕()2yz xz C z σσ= 解： 〔a 〕 ()()11 2 2xy z z x x x C y C y y z z z σ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x x i y y z z -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
第四、五六章补充习题
第四章分子的对称性 1. 填空题 (1) 四氢呋喃(C4H8O) 分子属于________点群。 (2) 乙烯分子属________点群。 (3) 分子中既不存在C n轴，也不存在σ，则S n是否存在________。 (4) 对称元素C2与σh组合得到_________；C n轴与垂直它的C2'组合得到________。 (5) 有一个分子AB3分子，实验测得偶极距为零，且有一个三重轴，则此分子所属点群是________。 (6) 有两个分子，N3B3H6和C4H4F2，已知分子都是非极性分子的，且为反磁性的，N3B3H6几何构型________，点群________; C4H4F2几何构型________，点群________。 (7) CH2=C=O 分子属于___________点群；CH2=C=CH2分子属___________点群；CH2=C=C=CH2分子属___________点群。 (8) 既有偶极距又有旋光性的分子必属于________点群。 (9) NF3分子属于________点群，该分子是极性分子，其偶极距向量位于_________上。 (10)椅式环己烷(C6H12)分子属于____________点群, SF6分子属于____________点群。 (11)某分子具有一个二重轴、一个对称面和一个对称中心，该分子属于______点群。 (12) 两个C2轴相交，夹角为2π/2n，通过交点必有一个_______次轴，该轴与两个C2轴_________。 (13) 交角为45°的相邻两镜面的交线是_______轴。 (14)在D5点群中，两个二重轴之间最小的夹角是________________________。 (15) 两个对称面相交，夹角为2π/2n，则交线必为一个_______次轴。 (16) 在C2v点群中，两个对称面之间的夹角是_____________________。 (17)在下列空格中写上“有”或“无”。 分子所属点群C i C n v D n T d D n d 偶极距 旋光性
分子的对称性和空间构型
分子的对称性和空间构型 在化学中，分子的对称性和空间构型是两个重要的概念。对称性是指分子在一 些操作下保持不变的性质，而空间构型则是描述分子中原子的相对位置和排列方式。这两个概念在研究分子性质和反应机理中起着至关重要的作用。 首先，让我们来探讨分子的对称性。对称性是指分子在一些操作下保持不变的 性质，比如旋转、反射、转动等。分子的对称性可以通过对称元素来描述，包括轴对称元素和面对称元素。轴对称元素是指分子中存在一个轴，沿着这个轴旋转分子一定角度后，分子与原来的位置完全重合。常见的轴对称元素有Cn轴（n为整数）和S2n轴（n为整数）。面对称元素是指分子中存在一个面，将分子沿着这个面反 射后，分子与原来的位置完全重合。常见的面对称元素有σ面。 对称性对于分子的性质和反应机理的研究非常重要。对称性可以决定分子的光 谱性质、化学反应的速率和选择性等。例如，分子的对称性可以决定分子的振动光谱中是否存在红外活性峰。在化学反应中，对称性可以决定反应的速率和反应产物的选择性。因此，通过对分子的对称性进行研究，可以更好地理解分子的性质和反应机理。 接下来，我们来讨论分子的空间构型。空间构型是描述分子中原子的相对位置 和排列方式的概念。分子的空间构型可以通过分子的立体结构来描述。分子的立体结构可以通过实验技术如X射线衍射、核磁共振等确定。在分子的立体结构中， 原子的相对位置和排列方式对于分子的性质和反应机理有着重要的影响。例如，分子的立体结构可以决定分子的手性性质。手性分子是指与其镜像不可重叠的分子，具有手性的分子在光学活性、药物作用等方面表现出独特的特性。此外，分子的立体结构还可以决定分子之间的相互作用，如分子间的氢键、范德华力等。 分子的对称性和空间构型在化学中的应用非常广泛。在有机化学中，对称性和 空间构型的研究可以帮助我们理解有机分子的合成和反应机理。在无机化学中，对
第四章、分子对称性习题及解答
第四章、分子对称性习题 一、填空题 4101、I 3和I 6不是独立的对称元素，因为I 3=，I 6=。 4102、对称元素C 2与σh 组合，得到___________________；C n 次轴与垂直它的C 2组合，得到______________。 4103、d 3(2d z ，d xy ，d 22y x -)sp(p z )杂化的几何构型属于_________点群。 4104、有一个 AB 3分子，实验测得其偶极矩为零且有一个三重轴，则此分子所属点群是 _______________________。 4105、有两个分子，N 3B 3H 6和 C 4H 4F 2，它们都为非极性，且为反磁性，则N 3B 3H 6几何构型___________，点群___________。C 4H 4F 2几何构型_________，点群__________。 4106、NF 3分子属于_____________点群。该分子是极性分子， 其偶极矩向量位于__________上。 4107、下列分子所属的点群： SO 3 ， SO 32- ， CH 3+ ， CH 3- ， BF 3 。 4108、写出下列分子所属的点群： CHCl 3， B 2H 6， SF 6， NF 3， SO 32- 4109、CH 2═C ═O 分子属于________点群，其大π键是________。 4110、环形 S 8分子属 D 4d 点群，分子中包含轴次最高的对称轴为_______。 4111、分子具有旋光性，则可能属于___________等点群。 4112、判别分子有无旋光性的标准是__________。 4113、既具有偶极矩，又具有旋光性的分子必属于_________点群。 4114、偶极矩μ=0，而可能有旋光性的分子所属的点群为____________；偶极矩μ≠0，而一定没有旋光性的 分子所属的点群为___________。 4115、乙烷分子的重迭式、全交叉式和任意角度时所属的点群分别为： ， ， 。 4116、吡啶 ( C 5H 5N ) 分子属于_____________点群；乙烯 (C 2H 4 ) 分子属于_______________点群。 4117、H 2C ═C ═C ═CH 2 分子属于____________点群； SF 6分子属于___________点群。 4118、两个C 2轴相交，夹角为2π/2n ，通过交点必有一个_______次轴，该轴与两个C 2轴_________。 4119、两个对称面相交，夹角为2π/2n ，则交线必为一个_______次轴。 4120、反轴I n 与映轴S n 互有联系，请填写： S 1=___________ ； S 2=___________ ； S 3=___________ S 4=___________ ； S 5=___________ ； S 6=___________ 4121、反轴I n 与映轴S n 互有联系，请填写： I 1=___________ ； I 2=___________ ； I 3=___________ I 4=___________ ； I 5=___________ ； I 6=___________ 4122、某分子具有一个二重轴、一个对称面和一个对称中心， 该分子属于______点群。 4123、一个具有三个四重象转轴、四个三重轴、六个对称面的图形属于____点群。 4124、一分子具有四个三重轴、三个四重轴、六个二重轴、九个对称面和一个对称中心， 该分子属于 _________________点群。