第4章 分子对称性和群论

第4章 分子对称性和群论

习题与思考题解析

1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。

解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。

绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2

ˆC 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。

答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。

CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。

H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。

CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ），

对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。

C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、

和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。

3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元

素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2

ˆˆ(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2

1

00ˆ()0100

01C z -=- 和 100ˆ()010001h xy σ=- 则 21

00100100ˆˆˆ()()010010010001001

001h C z x y i

σ--=-=-=-- 由此得证。

4. 写出xy σ和通过原点并与x 轴重合的2()C x 轴的对称操作的表示矩阵。

解：空间有一点(x , y , z )，经过对称面xy σ作用后得到点（x , y , -z ），经过2()C x 对称轴作

用后得到点(x , -y , -z )，所以xy σ和2()C x 对应对称操作2

ˆˆ,()xy C x σ的矩阵为： 10

0ˆ010001

xy σ=- 和 2

100ˆ010001C =-- 5. 用对称操作的表示矩阵证明：

(1) 2ˆˆˆ()xy C z i σ= (2) 222ˆˆˆ()()()C x C y C z = (3) 2

ˆˆˆ()yz xz C z σσ= 证明：(1) 因为对称操作2

ˆˆ(),xy C z σ的矩阵为： 2

1

00ˆ()0100

01C z -=- 和 100ˆ010001xy σ=- 所以2

1

00100100ˆˆˆ()010010010001001001

xy C z i σ--=-=-=--，由此得证。 (2) 因对称操作22

ˆˆ(),()C x C y 的矩阵为： 2100ˆ()010001C x =-- 和 2

100

ˆ()0100

01C y -=- 故222

1

00100100ˆˆˆ()()0100

10010()001001001

C x C y C z --=-=-=--，即分子中若存在2()C x ，2()C y 轴时，则该分子一定存在2()C z 轴。由此得证。

(3) 对称操作ˆyz σ

和ˆxz σ的矩阵为： 100

ˆ010001yz σ

-= 和 100ˆ010001

xz σ

=-

则21001

00100ˆˆˆ010010010()001001001

yz xz C z σ

σ--=-=-=，即分子中若存在yz

σ和xz σ面时，则该分子一定存在过其交线的2()C z 轴。

6. 联苯C 6H 5—C 6H 5有三种不同构象，两苯环的二面角(α)分别为：(1) α = 0，(2) α = 90o ，

(3) 0<α<90o ，试判断这三种构象的点群。

解： (1) α = 0（见题6图（a ））时，联苯C 6H 5-C 6H 5中有3个相互垂直的2C 轴（1个过C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键中心、与分子平面垂直，1个在分子平面内、垂直平分C 1-C 7键），3个σ面（1个h σ，2个v σ）（1个与分子平面重合，1个垂直平分C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键、与分子平面垂直），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2h D 点群。

(2) α = 90o 时（见题6图（b ）），该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5中，有3个2C 轴（1个过C 1-C 7键，另2个分别为相互垂直的二苯环面的角平分线），2个d σ面（分别为二苯环所在的面），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2d D 点群。

(3) 0<α<90o 时，该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5分子中的对称面消失，仅存在3个2C 轴（1个过C 1-C 7键，另2个分别为夹角在0~90o 间的二苯环面的角平分线），故该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2D 点群。

(a) (b)

题6图 联苯C 6H 5-C 6H 5的构象

7. 写出ClHC=CHCl （反式）分子全部对称操作及其乘法表。 解：反式ClHC=CHCl 有1个过C=C 键中心、与分子平面垂直的2C 轴，1个过分子平

面的h σ面，对称中心i 。对应的对称操作为：2

ˆˆˆˆ,,,h C i E σ，它们构成2h C 点群。其对称操作的乘法表为：

8. 写出下列分子所属的分子点群（用熊夫利斯符号表示），并指出它们是否有偶极矩和旋光性。

解：(1) HC CH ≡分子点群：h D ∞，无偶极矩和旋光性。

(2) 22H C CH =分子点群：2h D ，无偶极矩和旋光性。

(3) SiH 4分子点群：d T ，无偶极矩和旋光性。

(4) Ni(CO)4 （为平面结构）分子点群：4h D ，无偶极矩和旋光性。

(5) 重叠式Fe(C 5H 5)2分子点群：5h D ，无偶极矩和旋光性。

(6) 环丙烷C 3H 6分子点群：3h D ，无偶极矩和旋光性。

(7) OCS 分子点群：v C ∞，有偶极矩，但无旋光性。

(8) B 2H 6 分子点群：2h D ，无偶极矩和旋光性。

(9) IF 7（五角双锥）分子点群：5h D ，无偶极矩和旋光性。

(7) 顺式22H C CH-CH CH ==分子点群：2v C ，有偶极矩，但无旋光性；反式22H C CH-CH CH ==分子点群：2h C ，无偶极矩和旋光性。

(8) 顺式HClC CClH =分子点群：2v C ，有偶极矩，但无旋光性；反式HClC CClH =分子点群：2h C ，无偶极矩和旋光性。

(9) 反式RCO-COR 分子点群：2h C ，无偶极矩和旋光性。

(10) (C 6H 6)Cr(CO)3分子点群：3v C ，有偶极矩，但无旋光性。

(10) H 3BO 3（平面型，且3个O-H 去向相同）分子点群：3h C ，无偶极矩和旋光性。

(11) 反位的、交错构型的Fe （C 5H 4Cl ）2分子点群：s C ，偶极矩，无旋光性；其它交错构型的Fe （C 5H 4Cl ）2分子点群：1个2C ，有偶极矩，无旋光性。

(12)

分子点群：2v C ，有偶极矩，无旋光性。

(13)N

Br 分子点群：s C ，有偶极矩，无旋光性。

(14) NO 2CH 3Cl 分子点群：1C ，有偶极矩和旋光性。

(15) H 2C=C=C=CH 2分子点群：2d D ，无偶极矩和旋光性。

(16) CH 3+分子点群：3h D ，无偶极矩和旋光性。

9. 可能具有偶极矩的分子应该属于哪些点群？

答：所有对称操作都不能改变物质的固有性质-偶极矩，即偶极矩矢量必须坐落在每一个对称元素上。或者说，具有对称中心i 、多个对称轴（必交于一点）或至少有两个对称元素相交于唯一一点的分子为非极性分子，无偶极矩μ。因此，具有,,,nh n nh nd C D D D 对称性的分子无极性，具有,,n nv s C C C 对称性时，可能有极性，但偶极矩的大小与键的极性和分子的几何结构有关。

10. 根据偶极矩数据，推测分子立体构型及其点群。

(1) C 3O 2 (μ = 0) (2) H-O-O-H (μ = 6.9*10-30C∙m)

(3) N≡C -C≡N (μ = 0) (4) F 2O (μ = 0.9*10-30C∙m)

(5) H 2N-NH 2(μ = 6.14*10-30C∙m)

解：(1) C 3O 2 (μ = 0)为直线形O-C-C-C-O 分子，该分子中存在2个相互垂直的65π键；

其所属点群为：h D ∞。

(2) H-O-O-H (μ = 6.9*10-30C∙m ) 分子中的2 个H-O-O 分别处于2个相交于O-O 键的面上。该分子只有1个过O-O 键中心且平分2个H-O-O 所在面夹角的2C 轴，因此，属于2C 点群。

(3) N≡C -C≡N (μ = 0)为直线形分子，该分子中存在2个44π键；属于h D ∞点群。

(4) F 2O (μ = 0.9*10-30C∙m) 为V 形结构的分子，属于2v C 点群。

(5) H 2N-NH 2分子有3种立体异构体。反式结构属于2h C 点群，不具有极性。因此，具有极性（μ = 6.14*10-30C∙m ）的H 2N-NH 2分子应该为顺或H-N-N-H 二面角为1090左右的结构，当为顺式结构时，具有2v C 对称性；当为后一结构时，具有2C 对称性。

11. 六螺环烃具有旋光性吗？

答：具有螺环结构的分子其本身与其镜像无法重合，所以一定具有旋光性。

12. 对称性判据可以告诉我们哪些分子是非极性的，它能告诉我们极性分子偶极矩的大小和方向吗？

答：利用对称性判据可以判断分子有无极性，但不能判断其大小和方向。

13. 丙二烯属于2d D 点群，表明该分子存在什么π键？

答：具有2d D 对称性的丙二烯分子存在3个过中心C 、相互垂直的2C 轴，2个过或包含C=C=CH 2面的d σ。因此，该分子存在2个2

2∏键。

14. 将分子或离子：Co(en)33+，(NH 2)2CO ，H 3BO 3，丁三烯，NO 2+，FHC=C=CHF 等按下列条件进行归类：

(1) 既有极性又有旋光性 (2) 既无极性又无旋光性

(3) 无极性但有旋光性 (4) 有极性但无旋光性

答：(1) 既有极性又有旋光性的分子：FHC=C=CHF （为2C 对称性的分子）。

(2) 既无极性又无旋光性的分子：H 3BO 3（具有3h C 对称性）、NO 2+（具有h D ∞有对称性）和丁三烯（具有2d D 对称性）。

(3) 无极性但有旋光性的离子：Co(en)33+（具有3D 对称性）。

(4) 有极性但无旋光性的分子：(NH 2)2CO （具有2v C 对称性）。

15. 已知连接在苯环上的C-Cl 的键矩为5.17*10-30C•m ，C-CH 3的键矩为-1.34*10-30C•m 。试推算邻、间、对位C 6H 4ClCH 3的偶极矩，并与实验值4.15，5.94，6.34*10-30C•m 相比较。

解：邻位时，C 6H 4ClCH 3的偶极矩为1200夹角的C-Cl （5.17*10-30C•m ）（AB ）和C-CH 3（1.34*10-30C•m ）键矩向量（AC ）的向量和（AD ）（见题15图（a ），即AD AB AC =+

由图题15图(a)可知： AD AE DE = DE AB CE =- 其中 0sin30CE AC = 0cos30AE AC =

由此得 304.6510AD -=⨯C•m 。

间位时，C 6H 4ClCH 3的偶极矩为600夹角的C-Cl （5.17*10-30C•m ）（AB ）和C-CH 3（1.34*10-30C•m ）键矩向量（AC ）的向量和（AD ）（见题15图(b)）。

由图题15图(b)可知： AD AE DE = DE AB CE =+ 其中 0sin30CE AC = 0cos30AE AC =

由此得 305.9510AD -=⨯C•m 。

（a ） （b ）

题15图 对位时，C 6H 4ClCH 3分子的偶极矩为同向C-Cl （5.17*10-30C•m ）（AB ）和C-CH 3（-1.34*10-30C•m ）键矩向量（AC ）的向量和（AD ）：

306.5110AD AB AC -=+=⨯（C•m ）

可以看出，计算值与实验值4.15，5.94，6.34*10-30C•m 基本相符。

关于分子的对称性(精)

关于分子的对称性 高剑南 ﹙华东师范大学200062﹚ 1.从《非极性分子和极性分子》一课说起 曾经看过有关《非极性分子和极性分子》的教学设计，也听过《非极性分子和极性分子》的公开课。无论是教学设计，还是公开課，都很精彩。遗憾的是听到教师这样的讲述：CCl4分子为正四面体结构，是对称分子，所以是非极性分子。H2O分子的空间构型为折线形，不对称，所以是极性分子。甚至总结为：“分子的空间构型为直线型、平面正四边型、正四面体等空间对称构型的多原子分子则为非极性分子；分子的空间构型为折线型、三角锥型、四面体等空间不对称构型的多原子分子则为极性分子”。 那么，这样的判断有没有问题？何谓对称？何谓不对称？何谓极性分子？何谓非极性分子？分子的对称性与分子极性有着怎样的内在联系？研究对称性有什么意义？ 2. 对称性 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。——李政道 2.1 对称是自然界的一个普遍性质 对称性是自然界的一个普遍现象。任何动物，无论是低等动物草履虫，还是高等的哺乳动物包括人；任何植物，无论是叶，还是花，都具有某种对称性。人类受此启发，任何建筑，无论是古建筑天坛、罗马式大教堂、泰姬陵，还是现代建筑国家大剧院、鸟巢体育馆；无论是高档别墅，还是普通民居，都具有某种对称性。对称是自然界中普遍存在的一种性质，因而常被认为是最简单、最平凡的现象。然而，对称又具有最深刻的意义。科学家、艺术家、哲学家从各种角度研究和赞美对称，“完美的对称”、“神秘的对称”、“可怕的对称”，表明对称性在人类心灵中引起的震撼。 a. 捕蝇草 b. 台灣萍蓬草 c.对称性雕塑艺术 图1 对称是一个普遍现象 2.2 对称操作与对称元素 对称性用对称元素和对称操作来描述。经过不改变图形中任何两点间距离的操作能够复原的图形称为对称图形。能使对称图形复原的操作称为对称操作。进行对称操作时所依赖的对称要素（点、线、面）称为对称元素。根据对称操作的概念，将一张纸撕成两半，然后再拼接，即使拼得天衣无缝，这“撕”纸的操作不能称为对称操作，这张纸即使修复得“天衣无缝”，也不能说纸在对称意义上“复原”了。因为在撕纸的过程中图形中任意两点间的距离都改变了，不满足对称图形的要求。

结构化学授课教案

结构化学授课教案 第四章分子对称性与群论初步 说明： 1．由课程负责人李炳瑞编著的《结构化学》多媒体版，2004年6月已由高等教育出版社作为普通高等教育“十五”国家级规划教材出版发行。其中印刷本46万字，CD 版容量426M.，含1092 张幻灯片、700多幅彩色图片、172个分子与晶体模型。 用于多媒体教学的教案容量很大（下一步实行网络教学时将重新改编），下面是第四章（分子对称性与群论初步）的部分授课教案，省略了其中某些内容。以下蓝色文字为教师备课提纲，黑色文字为讲授内容, 绿色小字排印的内容供学生自学或作为阅读材料。 Chapter 4. Molecular Symmetry and Introduction to Group Theory 本章内容提要: 对称性是自然界中广泛存在的现象，在化学中，它提供了各种化学运动分类的基础。结构化学课程涉及分子的对称性和晶体的对称性，本章讨论前者。分子对称性是由分子几何构型（及构象）所决定的，而分子对称性又决定着分子的许多性质，例如分子的某些电性、光学活性及光谱性质。所以，研究分子对称性，对了解分子结构和性质极为重要。 将对称性用于解决化学问题，最终离不开群论，尤其是特征标表。为此，必须首先确定分子的点群。所以，本章从对称现象出发，首先引导学生认识对称操作与对称元素, 重点是确定各种不同类型分子的点群；然后由浅入深，从分子偶极矩、旋光性的对称性判据，过渡到群论基础知识，及其对某些简单化学问题的应用。通过本章的学习，对“结 构决定性质”这一重要原理加深理解，为今后用群论解决复杂化学问题打下基础。

本章内容共5节，6学时。有些内容可留给学生自学。每节的教学目的、内容、学时分别如下： 4.1 对称性概念（0.3学时） 教学目的：本节介绍分子的对称性。由于分子对称性是微观现象，描述对称性的符号抽象繁杂，加之有些学生空间想象力不够，学习中往往出现某些困难。所以，先利用多媒体手段引入植物、动物界的对称（或准对称）现象及人类在建筑、美术、文学、音乐中利用对称性进行艺术创作的生动有趣的实例，进而引伸到某些自然规律的对称性实例，使学生体会到对称性是自然界中广泛存在的现象，既不陌生也不神秘，分子对称性只是其中的一种类型，符号虽然抽象，内容却很具体。使学生消除畏难情绪，提高审美能力，开阔视野，激起学习兴趣和探索欲望。 基本内容：自然界中花朵、树叶、仙人掌、蝴蝶、海星等动植物的反映对称或旋转对称；人类受此启发，在生活和社会活动中创造的对称形建筑，如天安门、天坛、宝塔、亭台、拱桥, 美术作品中的对称图案, 音乐中的双声部乐谱，文学中的回文；简单涉及科学家在自然规律中发现的种种对称现象，如原子轨道、分子轨道的对称性, 跃迁选律, 轨道对称守恒……. 由宏观到微观、由具体到抽象、由特殊到普遍逐渐展开，最后将注意力引向分子对称性. 判天地之美,析万物之理。 ——庄子 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。 ——李政道 对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪.发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现代科学的中心观念. 近年来，对称更变成了决定物质间相互作用的中心思想（所谓相互作用，是物理学的一个术语，意思就是力量，质点跟质点之间之力量）. ——杨振宁 对称是自然界中普遍存在的一种性质,因而常常被认为是最平凡、最简单的现象. 然而, 对称又具有最深刻的意义. 科学家、艺术家、哲学家从各种角度研究和赞美对称，“完美的对称”、“可怕的对称”、“神秘的对称”，这些说法都表明了对称性在人类心灵中引起的震撼. 对称性与化学有什么关系？ 对称性如何支配着物质世界的运动规律？ 下面,让我们首先观察一下自然界中广泛存在的丰富多彩的对称现象。这样的事例俯拾皆是, 有些存在于自然现象和自然规律之中，有些则是人类受到自然界的启发，进而将对称性融入自己的创造性活动的结果： 生物界的对称现象：花卉、树叶、仙人球、……，蝴蝶、海星、飞鸟、蜂巢、…… 建筑艺术中的对称性：天坛、宝塔、亭、拱桥、泰姬陵、… …

分子对称性

分子对称性 简介 分子常常因含有若干相同原子或基团而具有某种对称性，如果分子经过某种对称操作后，与未经操作的原有分子无法分辨，则统称为分子对称性。 孤立分子的对称操作仅有四种（不动或还原一般不应是对称操作，但也常包括在内，这样则为五种）：①分子绕一个轴旋转2π/n角，如旋转后能恢复原状，则此轴称为n次对称轴,而这种对称操作称为旋转2π/n角；②分子在一假想平面的镜面中反射，如经过反射后恢复原状，则此假想平面称为分子的对称面，这种对称操作称为反射； ③将分子上各点对称地移到该点与假想点连线上的另一方同距离处，如分子各点经如此操作后恢复原状，则此假想点称为分子的对称中心，这种对称操作称为反演；④分子先在一轴进行2π/n角旋转，然后再在垂直于这个轴的一个平面上反射，如经过这一复合操作使分子恢复原状，则此轴称为n次非正常旋转对称轴,这种操作称为非正常2π/n角旋转。例如，yz面上的水分子的形状如图1所示,它有一个二次旋转对称轴（简称2次轴）,及两个互相垂直的对称面。甲烷是一正四面体形的分子，碳居正中，四个氢原子各占一顶点，这个分子有四个3次轴、三个2次轴、六个对称面和三个非正常4次轴；乙烯则有三个2次轴、一个对称中心和三个对称面;甲烷和乙烯的对称性图见图2。在分子中n的值可以为2,3,4,5,6,7，...，∞等，直线分子有一个∞次轴，通常以n等于2,3,4,6等值为多。n=1即不动，一般不计在内。 具有对称性的分子的许多性质均受其对称性的影响。例如有无偶极矩、光谱的选择定则等均可从其对称性预测。在量子力学计算中常利用分子的对称性而使计算简化分子对称性描述分子的对称性表现并根据分子的对称性对分子作分类。分子对称性在化学中是一项基础概念，因为它可以预测或解释许多分子的化学性质，例如分子振动、分子的偶极矩和它的光谱学数据（以拉波特规则之类的选择定则为基础）。在大学程度的物理化学、量子化学与无机化学教科书中，都有关于对称性的章节。 在各种不同的分子对称性研究架构中，群论是一项主流。这个架构在分子轨域的对称性研究中也很有用，例如应用Hückel分子轨道法、配位场理论和Woodward-Hoffmann规则等。另一个规模较大的架构，是利用晶体系统来描述材料的晶体对称性。 实际测定分子的对称性有许多技术，包括X射线晶体学和各种形式的光谱。光谱学符号是以各种对称条件为基础。 对称性的概念 分子对称性的研究是取自于数学上的群论。 对称元素 分子对称性可分成5种对称元素。

结构化学答案 CHAPTER4

第四章 对称性与群论 1. 水分子属于点群2v C ，有四个对称操作：I ，2C ，v σ，'v σ ，试造出乘法表。 解： 2. 乙烯)H C (42属于分子2h D ，有八个对称操作，它们是：I ，绕三个相互垂直的二重轴的旋转)(2x C ，)(2y C ，)(2z C ；反演i ；三个相互垂直的反映面xy σ，yz σ，zx σ(参看图5.11)，试造出完整的乘法表。 解: 3. 对于O H 2，若令z 轴为二重轴，v σ，'v σ分别与xz ，yz 平面重合，试给出所有对称操作作用于向量),,(z y x 的矩阵表示。若只以y x ,或z 做为被作用向量，结果又如何？ 解：),,(z y x 为被作用向量时的矩阵表示为， ??????????=100010001I ，??????????--=1000100012C ，?? ?? ? ?????-=100010001v σ，

???? ??????-=100010001'v σ y x ,为被作用向量时的矩阵表示为， ??????=1001I ，??????--=10012C ，??????-=1001v σ，?? ????-=1001'v σ z 为被作用向量时的矩阵表示为[]1=I ，[]12=C ，[]1v =σ，[]1'v =σ。 4. 对于O H 2，若以氢原子上的)1,1B A s s (为二维向量，试给出所有对称操作作用于向量 )1,1B A s s (的矩阵表示。 解：以氢原子上的)1,1B A s s (为二维向量的对称操作矩阵表示为(这里设O H 2在xz 平面), ??????=1001I ，??????=01102C ，??????=1001v σ，?? ? ???=0110'v σ 5. 根据矩阵(4-9)式的乘法，说明l j n j n l n l n j n C C C C C +==及I C C j n n j n =-。 解：根据(4-9)式有， ()()()()??????????-=10002cos 2sin 02sin 2cos n j n j n j n j C j n ππππ，()()()()?? ?? ? ?????-=10002cos 2sin 02sin 2cos n l n l n l n l C l n ππππ， 令n j πφ2=和n l π?2=，则 ??????? ???-+---=1000sin sin cos cos sin cos cos sin 0cos sin sin cos sin sin cos cos ? φ?φ? φ?φ?φ?φ?φ?φl n j n C C ???? ??? ?? ?-+---=10 00sin sin cos cos sin cos cos sin 0cos sin sin cos sin sin cos cos ? φ?φ? φ?φ?φ?φ? φ?φj n l n C C l j n j n l n l n j n C C C C C +=?? ?? ? ?????+++-+==1000)cos()sin(0)sin()cos(?φ?φ?φ?φ

第4章 分子对称性和群论

第4章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。 绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2 ˆC 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。 CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。 H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ）， 对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。 C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、 和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元 素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2 ˆˆ(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2 1 00ˆ()0100 01C z -=- 和 100ˆ()010001h xy σ=- 则 21 00100100ˆˆˆ()()010010010001001 001h C z x y i σ--=-=-=-- 由此得证。

分子的对称性

第四章 分子的对称性 §4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念 原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。与晶体的对称性不同。晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。 ○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。 ○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。（借助于一定几何实体） ○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。 <2>对称元素及相应的对称操作 ○1恒等元素和恒等操作，（E ） Λ E 所有分子图形都具有。 ○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λ n n C C ,；对称轴是一条特定的直线。绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，n π θ2= 如：H 2O ： πθ21 ==n 。 分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。 n C 将产生n 个旋转操作： E =-n n n n n n C C C C ,,,,12 逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。 )(k n n k n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，n C

的轴次不受限制，n 为任意整数。 如： E =→3 32333,,C C C C ○3对称和反映操作。Λ σσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。 图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。 E =Λ 2σ。 对称面可分为： v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴； d σ面：包含主轴且平分相邻' 2 C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。 ○4对称中心（i ）和反演操作。Λ i i ,，分子图形中有一个中心点，对于分子中任何一个原子来说，在中心点另一侧，必能找到一个相同的原子。两个相对应的原子和中心点在一条直线上，且到中心点有相同的距离。对称中心的反演操作，使分子图形中任一点),,(z y x A 将反射到),,('z y x ---A ，同时A ’ 也将反射到A 点。从而产生分子的等价图形。 ○5象转轴和旋转反映操作 Λ n n S S , 分子图形绕轴旋转操作后，再作垂直此轴的镜面反映。产生分子等价图形。这种由旋转与镜面组合成的对称元素称为象转轴。象转轴和旋转、反映的连续操作相对应，并与连续操作次序无关： Λ ΛΛΛΛ==n h h n n C C S σσ。对分子施行n S 轴的k 次操作k n S Λ时，必有： ⎪⎩⎪⎨⎧====ΛΛΛΛΛ23 231313C S K C S C S K C S k n k n h k n h k n 为偶数时为奇数时σσ ⎪⎩ ⎪⎨⎧====ΛΛΛΛE S n E S S n S n n h h n n 2233为偶数时 为奇数时σσ 以及：Λ ΛΛΛΛ Λ===i C S S h h σσ221, 如： 如果一个对称操作的结果与两个或多个其它操作连续作用的结果相同时，常

结构化学 第四章习题(周公度)

第四章 分子的对称性 1、HCN 和CS 2都是线性分子。写出该分子的对称元素 解：HCN 分子构型为线性不对称构型，具有的对称元素有：C ∞，n σV ； CS 2分子为线性对称性分子构型，具有对称元素有：C ∞，nC 2, n σV ,σh 2、写出H 3CCl 分子的对称元素 解：H 3CCl 的对称元素有：C 3，3σV 3、写出三重映轴S 3和三重反轴I 3的全部对称操作 解：S 31=C 3σ; S 32=C 32 ; S 33=σ; S 34= C 3 ; S 35 = C 32σ I 31= C 3i ; I 32=C 32 ; I 33= i ; I 34= C 3 ; I 35 = C 32i 4、写出四重映轴S 4和四重反轴I 4的全部对称操作 解：S 41=C 4σ; S 42=C 2 ; S 43=C 43σ; S 44= E I 41= C 4i ; I 42=C 2 ; I 43=C 43 i ; I 44= E 5、写出σxz 和通过原点并与 x 轴重合的C 2轴的对称操作C 21的表示矩阵 解：σ xz 和C 2轴所在位置如图所示(基函数为坐标) σxz (x ，y ，z)’=(x ，-y ，z) σ xz 的变换矩阵为 ??? ? ? ??-100010001 C 21(x ，y ，z)’=(x ，-y ，-z) C 21的变换矩阵为 ??? ? ? ??--10001000 1 6、用对称操作的表示矩阵证明 (1) C 2(z) σ xy = i (2) C 2(x)C 2(y) =C 2(z) (3) σyz σ xz =C 2(z) 解：C 2(x)，C 2(y)，C 2(z)，σ xy ，σyz ，σxz ，i 对称操作的变换矩阵分别为 ????? ??--10001000 1，????? ??--100010001，????? ??--100010001，????? ??-100010001，??? ?? ??-100010001 ????? ??-100010001，??? ? ? ??---10001000 1

(整理)第四节对称性与群论在无机化学中的应用

第四节对称性与群论在无机化学中的应用 对称性与群论在无机化学中有着非常广泛的应用。分子的性质是由分子中化学键和分子的空间结构决定的。分子的结构特点可以通过对称性来描述。因此，分子的许多性质与分子的对称性紧密相关。例如，我们可以通过对分子的对称性来预言化合物的偶极矩，旋光性和异构体等。原子和分子轨道也具有特定的对称性，应用群论方法研究原子和分子轨道的对称性，可以深入了解化学键的形成，分子光谱的选率以及化学反应的机理。 4.1 分子的对称性与偶极矩 μ = q? d 分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩等于零，分子无极性。分子有偶极矩，这种分子就是极性分子。偶极矩不仅有大小，而且有方向，是一个向量。偶极矩是一个静态的物理量，分子的一个静态物理量在任何对称操作下都不会发生变化。凡具有对称中心或具有对称元素的公共交点的分子便没有偶极矩。在其它情况下，如果只有一个Cn轴，或只有一个σ对称面，或者一个Cn轴包含在一个对称面内，都可能有偶极矩。例如，H2O σ对称和NH3分子就有偶极矩，均为极性分子。虽然H2O分子有一个C2轴，但它与两个 v σ对称面的交线；CO2有对称中心i，所以面不相交；NH3分子有一个C3轴，但它是3个 v 是无极性分子；CCl4虽无对称中心，但它的4个C3轴与3个C2轴在碳原子处相交于1点，所以永久性偶极矩为零，分子无极性。总之，如果分子属于下列点群中的任何一种，就不可能是极性分子： ①含有反演中心的群； ②任何D群（包括Dn，Dnh和Dnd） ③立方体群（T, O）、二十面体群（I） 4.2 分子的对称性与旋光性 分子的对称性制约着分子的旋光性。分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。如果二者能重合，则该分子没有旋光性，反之，则有旋光性。分子具有旋光性的条件是分子没有任意次旋转-反映轴Sn，因为不具备Sn轴的分子与其镜像在空间不能经任何旋转和平移操作是之重合。一般不具有Sn轴的分子为不对称分子，所有不对称分子都具有旋光性。

群论电子版第四章

第四章点群及其应用 4.1点群 点群是正交群？的离散子群.离散群?是指这个群对三维空间中的任意矢量？作用后,得到点集 ？ 并使空间的每一个有界子集中只包含这个点集的有限个点。在点群的全部正交变换下三维空间至少有一点是不动的,所以,点群不包括平移(等距离变换),点群是有限的离散群。 如果一个系统在某一正交变换下不变(即与自身重合),那么这个变换就是系统的一个对称操作.一个系统拥有的对称操作越多,表明它的对称性越高.一个系统的全部对称操作组成的群是点群,称为这个系统的对称性群。乍看起来,点群好像会有很多,其实不然.下面就来找出全部可能的点群。 正当转动点群由于正当转动与非正当转动是一一对应的,所以可先从正当转动出发,找出全部可能的正当转动点群,然后适当地配上非正当转动,就可以找到全部可能的点群。 正当转动点群的群元都是一些绕某轴转动?角的操作(记作?),而且同样的操作连续实行m次的的话,系统应与最初情况一样,即？。因此,m是大于等于1的整数。相应于?转动轴则称为m度轴。如果能够知道在三维空间中能有几种m度轴，而且这些m度轴是如何配置组成正当转动点群的，那么，正当转动点群的数目也就知道了。这种设想可以用下面的方法来实现。 以坐标原点为球心画一个单位半径的球。如果存在一个m度轴的话，那么这个轴就必与球面交于两点？及？。当绕这m度轴转动时，球面上的点将移动至球面上的其他位置（如从？），但？和？却保持不动，这种点成为极点。若转轴是一个m度轴，则极点就称为m重极点。绕m度轴转动的操作是？，？，？，这些操作构成了一个循环群？，它是点群？的一个子群。可见子群？的每个群元都保持m重极点？，？不动。如果点群？不是子群？本身，那么，必然存在某些群元？而不属？。？也是一个转动操作，其作用是m重极

数学中的群论与对称性的研究

数学中的群论与对称性的研究数学是一门以严谨性著称的学科，而群论是数学中的一支重要分支，主要研究代数结构中的群，以及群与几何、物理等领域之间的关系。 群论具有广泛的应用领域，尤其在对称性与变换方面发挥了重要作用。本文将介绍群论的基本概念及其在数学和其他领域中的应用。 一、群的基本概念与性质 群是一种代数结构，包含了一组元素和一个二元运算，满足一些特 定的性质。具体而言，群必须满足以下四个条件： 1. 封闭性：群的元素进行二元运算后的结果仍然属于该群。 2. 结合性：群的二元运算满足结合律，即对于群中的任意元素a、b 和c，(ab)c=a(bc)。 3. 单位元：群中存在一个特定元素e，称为单位元，它与群中的任 意元素进行二元运算后的结果得到原来的元素，即对于群中的任意元 素a，ae=ea=a。 4. 逆元：群中的任意元素a都存在一个逆元，记作a^-1，它与元素 a进行二元运算后得到单位元，即aa^-1=a^-1a=e。 基于上述定义，可以证明群具有一系列重要的性质，例如唯一性、 消去律等。并且可以研究群的子群、同态映射、陪集等概念，这些概 念对于进一步研究群的性质和应用至关重要。 二、群论在数学中的应用

1. 抽象代数学：群论是抽象代数学的基础，对于研究环、域等其他数学结构具有重要意义。通过研究群的性质和变换，可以推导出其他数学结构的性质，从而深化理解数学本质。 2. 复数与旋转：复数集合构成一个群，称为复数群。复数群具有对称性，可以表示平面上的旋转操作。通过研究复数群的性质，可以深入理解旋转的几何性质，例如欧拉公式等。 3. 对称群与几何：对称群是一类特殊的群，由几何图形的对称变换所构成。对称群的研究与几何学密切相关，通过对称群的分析，可以揭示出几何图形的各种对称性质。 4. 群在密码学中的应用：群论在密码学中有着重要的应用，例如基于离散对数难题的加密算法，利用了有限域上的群的性质进行加密和解密操作。 5. 群在物理学中的应用：群论在物理学中也有广泛的应用。例如，对称群与量子力学的对称性、杨-米尔斯场论中的规范群等，都是群论在物理学领域中的研究方向。 三、群论与对称性的研究 群论与对称性的研究联系紧密。通过对称性的分析，可以发现隐藏在事物背后的规律和结构，而群论则提供了一种强大的工具来描述和研究这种对称性。

探讨群论的基础原理和实际应用

探讨群论的基础原理和实际应用群论是数学中的一个分支，主要研究的是群的基本性质、群的 结构以及群的应用等方面。在实际应用中，群论可以用于密码学、化学、物理学等领域，具有广泛的应用。本文将围绕着群论的基 础原理和实际应用展开探讨。 一、群的基本概念 在群论的研究中，群是最基本的概念。群是一个有限或无限的 元素集合，其中包含一个二元运算，满足以下四个条件： 1.封闭性：任意两个群元的运算结果仍然属于该群。 2.结合律：群元素间的运算具有结合律。 3.单位元：存在一个群元，满足该元素与其他群元进行运算的 结果等于这个群元本身。 4.逆元：每个群元都存在一个逆元，使得这个群元与其逆元进 行运算后等于群的单位元。

值得注意的是，以上四点是构成群的必要条件。具有这四个条 件的元素集合与所定义的运算称为一个群。可以用G=(S,*)来表示 一个群，其中G表示群，S表示群的元素集合，*表示群的二元运算。 二、群的性质 群在运算中有许多特殊的性质，下面我们将介绍其中一些性质： 1.唯一性：一个群只能有一个单位元。 2.左右消元性质：对于一个群元素，左、右两侧可以分别用其 逆元素消去。 3.结合律：群元素间的运算具有结合律。 4.交换性：如果一个群的任意两个元素进行二元运算结果都是 相同的，则该群是一个交换群。

5.子群：一个群的子集合，仍然是一个群。 6.周期性：如果一个群元素经过多次运算能够得到它本身，则该元素称为该群的周期元素，它的最小周期称为该元素的阶。 三、群的实际应用 1.密码学中的应用 密码学是一门通过信息加密、解密和验证等技术来确保信息安全的学科。在密码学中，群论被广泛应用。例如，在以RSA为代表的基于大素数分解的公钥算法中，令p和q为两个不同的大素数，N=p*q，φ(n)=(p-1)*(q-1)，选择任意e∈[1,φ(n)]，满足 gcd(e,φ(n))=1，那么(e,N)即为RSA公钥。怎么选取私钥呢？设d 为任意正整数，判断e*d mod φ(n) = 1是否成立。如果它成立，那么(e,d)即为RSA私钥。这里就涉及到了群论的概念。由于φ(n) 是正整数，所以(Z/φ(n)Z,×)形成的一个循环群。因此，e 和 d 相当于是在循环群Z/φ(n)Z 中进行乘法 inverse 和乘法的运算，因此满足了 RSA 加密和解密的条件。

数学中的群论与对称性

数学中的群论与对称性 数学是一门充满美感和逻辑思维的学科，而群论是数学中非常重要的一个分支，关于对称性的研究也是群论中的一个重要内容。本文将介绍群论的基本概念和对称性的数学表述，以及它们在实际问题中的应用。 一、群论的基本概念 群论研究的是一种代数结构，称为群。群是由一组元素和一个二元运算构成的，满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。其中，封闭性指的是群中的任意两个元素进行运算得到的结果仍然在群中；结合律指的是在群中进行的运算满足结合律；单位元是群中的一个特殊元素，将它与群中的任意元素进行运算得到的结果不变；逆元是指对于群中的每一个元素，都存在一个与之相结合后得到单位元的元素。 群的例子非常丰富，比较常见的有整数加法群、整数乘法群、置换群等。在群论中，有一些重要的概念，比如子群、循环群、陪集等。子群是群中的一部分元素构成的群，其满足群的四个条件；循环群是由一个元素经过重复运算得到的群；陪集则是通过对同一个元素进行左或右平移得到的一组元素。 二、对称性与群论的关系

对称性是一种普遍存在于自然界和人类社会中的现象，同时也是艺术、科学等方面追求的美的表现形式。在数学中，对称性有着深入的 研究，而群论则是对对称性进行数学化的描述。 在群论中，对称性可以通过群的元素和群运算来进行表述。以平面 上的正方形为例，我们可以将其旋转、翻转得到不同的对称形状。这 些对称操作可以看作是正方形所形成的群的元素，群运算则是这些操 作间的组合。通过对这个群的研究，我们可以得到正方形对称性的完 全描述。 群论的对称性研究不仅限于几何图形，还可以应用于其他领域。比 如在物理学中，对称性是非常重要的概念。很多物理理论都建立在对 称性的基础上，比如在相对论中，洛伦兹变换描述了物理系统在不同 参考系下的对称变换；在量子力学中，波函数的对称性对粒子的性质 有着重要的影响。 三、群论在实际问题中的应用 群论在实际问题中有广泛的应用。其中一个典型的例子是密码学中 的应用。在现代密码学中，群论的概念被用来构造安全可靠的密码系统。通过利用群的性质，我们可以设计出难以破解的加密算法，确保 信息的安全传输。 此外，群论还可以应用于化学、经济学等不同领域。在化学中，对 称性的研究对于分子的结构与性质有着重要的指导意义。在经济学中，群论的概念被应用于研究市场结构和经济行为的对称性。

数学中的群论与对称性

数学中的群论与对称性 数学是现代科学的基础，涵盖了众多的分支学科，其中群论（Group Theory）就是一门重要的学科。群理论作为数学中的一门基础学科，旨在研究一些具有结构的对象，如集合、变换、旋转等，以及这些对象之间的相互关系。在现代数学中，群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中，都有着重要的应用。 对称性是群论的一个重要概念，研究对称性也是数学中的一个重要分支。对称性指的是某些对象在经过某种操作后仍能够保持它们的某些方面不变，给人们带来美感和和谐感。在对称性的研究中，群论起着至关重要的作用。 群的定义 群是指由一组元素与一个特定运算组成的结构。该运算通常用“·”、“+”表示，具有以下三个性质： 1. 封闭性：在群中任意两个元素进行运算的结果仍然在群中。

2. 结合律：群中任意三个元素a、b、c，满足(a·b)·c=a·(b·c)。 3. 单位元和逆元：群中存在一个元素e (称为单位元)，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a；群中任意元素都存在一个逆元a-1，满足a·a-1=a-1·a=e。 群的基本性质 群的基本性质分为以下几类： 1. 消去律：如果a·b=a·c，其中a、b、c都是群中的元素，那么b=c。 2. 唯一性：群中只有一个单位元。 3. 逆元唯一性：群中任意一个元素的逆元唯一。 4. 恒等式：a·b的逆元为b-1·a-1。

5. 直积：如果有两个群 (G,*) 和 (H,+)，则可以定义一个新的群(G×H,*)，称为直积。 群的作用 群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中有重要的应用。下面我们来介绍一下群在这些领域中的具体应用。 1. 物理 在物理中，群论的应用非常广泛。例如： （1）对称群：许多物理现象都具有对称性，如圆周对称、面内对称、平移对称等。科学家们通过对称群的研究来描述这些对称性，从而阐明物理现象的本质。 （2）量子力学：在量子力学中，波函数的变换可以由一个酉矩阵（Unitary Matrix）来表示。酉矩阵是一个满足U*U=1的复矩

对称性与伽罗华群论

对称性与伽罗华群论 平面上一个物体如果有一个非平凡的对称群作用，则称它是对称的.所以对称现象背后的数学就是群论.群论是法国青年数学家伽罗华为了用根式来解决代数方程而引入的. 任意二次方程20ax bx c ++=可以用根式来解.16世纪时人们就发现三次和四次代数方程可以用根式来解.对于高次方程一直都不得其解，直到19世纪阿贝尔证明了，对5次以上方程，不存在一个一般解的公式. 对于某些特殊的高次方程，仍然可以用根式来解.伽罗华用代数方程的对称性给出了方程可解的精确条件.他的结论也许有些令人惊讶：如果方程具有过多对称的话，那么就不能用根式来解.（这似乎有悖于人们的认识，丰富的对称性通常可以让问题得到简化.所以对于对称的合理解释就显得非常重要） 考虑下面三个方程5(1)0x -=，42(65)(2)0x x x -+-=，54321234560a x a x a x a x a x a +++++=，其中16,,a a 是随机选取的整数.每个方程都有一个有限群，称为伽罗华群.伽罗华群越大，就越对称. 第一个方程有平凡的对称，所以可以很容易解出，即1x =.第二个方程的对称性也很 小，所以方程可以用根式解出：1 23452,1,1,x x x x x ==-===最后这个具有随机系数的方程是最对称的，所以不能够用根式解出.根据通常的认识，随机性与对称性应该是背道而驰的，所以倾向于认为一个具有随机系数的方程不是对称的.可是在许多情况下，随机是被某些对称所支配的.另一个例子是，随机矩阵的特征值分布是由多种对称性支配的.这种现象可以用中国的一句成语来描述，就是“物极必反”.伽罗华群是有限的.对称群，除了直线上的平移群以外，也都是有限的.所有实数集合构成一个群，直线上周期现象的平移群是它的一个子群. 素数2,3,5,7,11, 是最基本和重要的研究对象.可是它们在自然数列1,2,3, 中的分布看起来好像完全是随机的.研究它们的一个重要工具就是著名的黎曼zeta 函数.它定义在Re()1s >上， 11()s n s n ζ∞==∑，可以亚纯解析延拓到整个复平面上.我们把()s ξ规范化， 得到 (1)()s s ξξ-=22()()()s s s s ξπζ-=Γ.()s ζ或()s ξ的一个重要性质是下面的函数 方程(1)()s s ξξ-=,即它关于直线12Re()s =对称.这就反映出了序列1,2,3, ，或者说整

群论的基本概念与应用

群论的基本概念与应用 群论是一门数学分支学科，涉及到代数学、计算机科学、物理学、化学等众多学科领域。它主要研究的是集合之间的运算特性以及结构，是研究对称性的主要工具。本文将介绍群论的基本概念和应用，以及它对现代科学、工程和技术的重要性。 一、群论的基本概念 1. 定义：群是一个非空集合G，连同一个二元运算”•”组成的一个代数结构，如果它满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a,b∈G，a•b∈G； - 结合律：对于任意的a,b,c∈G，有(a•b)•c=a•(b•c)； - 单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，有a•e=e•a=a； - 逆元：对于任意的a∈G，都存在一个元素a−1∈G，使得a•a−1=a−1•a=e。 2. 群的运算性质：

- 唯一性：群的单位元是惟一的； - 逆元的唯一性：群中每个元素的逆元是唯一的； - 结合律的唯一性：群的运算是结合的，并且结合律是唯一的。 3. 群的例子： - 整数加法群（Z,+）； - 正实数乘法群（R，×）； - n阶置换群（Sym(n)）等。 二、群论的应用 1. 密码学：密码学是保护数据安全的一种手段，它的基础是数学。群论是密码学中的重要数学工具，它可以用来构造不可破解 的密码算法。例如，RSA算法就是基于群论中的模运算和欧拉定 理来设计的。

2. 物理学：群论在物理学中具有广泛的应用，特别是在对称性的研究中起到了重要的作用。物理学家可以使用群论来描述物理系统的对称性，从而推导出它们的物理特性。例如，晶体中原子的位置、形状的对称性可以用群在空间中作用的方式来描述。 3. 计算机科学：群论在计算机科学中用于数据编码和解码、图形图像处理以及计算机网络等方面，它可以通过排列问题的多种组合方式，解决在计算机系统中出现的对称性问题。群论在密码学、网络安全等领域也有广泛的应用。 4. 化学：化学中的对称性，可以用群论来描述。化学家们可以运用群论中的技术，来分析分子的对称性、能带的随对称性从缺失到复杂的变化，从而研究出分子之间的化学键形成和分解的规律。 三、群论的重要性 群论在现代科学、工程和技术中起着非常重要的作用。因为群论的独特性质，使其在各个应用领域中具有广泛的应用和深刻理论阐述。例如，通过对群的研究，数学家们可以开发出更好的密码学算法，从而实现更加安全的数据传输。在化学和物理领域，

【精品】物理化学A教学大纲

物理化学A 教学大纲 教学目的与要求 课程性质： 物理化学A是化学类（包括：化学、应用化学、高分子材料、化学工程和材料化学）本科学生的一门基础课程，学生在预修高等数学、普通物理学和普通化学A课程后修读本课程。 基本内容： 物理化学是研究物质的结构、性质及其变化的普遍规律的一门学科。内容的第一部分(物理化学AI)讨论微观结构，主要包括量子力学基本原理、原子、分子和晶体结构、对称性和分子间相互作用以及微观结构的测定原理；将微观原理放在前面讲授，有利于引导学生以原子分子的观点深入领悟物理化学的原理。第二部分(物理化学AII)讨论平衡体系的性质，从统计热力学入手，建立微观到宏观的桥梁，进一步过渡到热力学，包括热力学三大定律、溶液、化学平衡、相平衡；第三部分(物理化学AIII)讨论变化体系的性质，主要是动力学和电化学，还包括非平衡体系热力学的简单介绍以及界面现象和表面化学。整个课程从二年级（上）到三年级（上）共分三学期讲授每个学期讲授一个部分，每个部分讲授54学时。 基本要求： 通过本课程的学习，要求学生系统地掌握物理化学的基本原理和方法，加深对其它化学课程内容的理解，并初步具有应用物理化学的基本原理

分析和解决一些实际问题的能力。 教学内容及学时分配： 物理化学AI 学分数3 周学时3 总学时54 绪论（2学时） 内容提要：物理化学的内容、特点及本课程的学习方法。 讲课要点： 0-1物理化学的内容 0-2物理化学的学习方法 第一章量子化学基础（9学时） 内容提要：现代化学从分子和原子水平上认识物质本质和化学反应规律的基本理论基础是量子力学。因此本章中将介绍物理化学中涉及到的量子力学基本原理和基础知识，例如微观粒子的波粒二象性、测不准关系、量子力学基本假定和薛定谔(Schrödinger)方程,以及用它们来处理微 观物体运动的基本方法,并运用这些原理和方法讨论一些典型的简单体系。 学习要求：由于微观物体运动遵循量子力学，所以掌握量子力学基础对学习有关微观结构和运动的章节非常重要。通过本章学习要求(1)弄清微观粒子运动的基本特征以及与宏观物体运动规律的区别；(2)了解量

北师大的群论__第四章 点群

第四章 点群及其应用 复习： §4.1 点 群 点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群。能带。 正当转动点群及其非任意性（除球之外） 极点、极点星（ν, m ） 除单位元外，群的极点数满足 有 即 2)1 11(121<+++-≤λ λm m m 得到 λ= 2 或3组： 两个极点星（n ，1）、（n ，1）；Cn 群 三个极点星 （2，n ）、（2，n ）、（n ，2）；Dn 群 （2，6）、（3，4）、（3，4）； T 群 （2，12）、（3，8）、（4，6）；O 群

（2，30）、（3，20）、（5，12）；P 群 第一类点群（正当转动点群）, 11个， 第二类点群（含有非正当转动点群），21个 晶体点群共有32个。 准晶体，包含5度对称轴的点群； 新增加了5个晶系、28个准晶点群。 §4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4种8个 （1）c n ， （5个） （2）镜面反射（镜面反映）σ （3）中心反演 I （4）旋转反射（旋转反映）s n （只有s 4 独立） 对称操作之间的关系： （1）同轴的两个转动 （2）两个镜面的连续操作～转动（转角 ） （3）（镜面）（转动 ）～镜面（夹角 ）

（4）C 2v C 2 u ～ C w （转角 ，转轴） （5）可对易的对称操作 对称元素 在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。 （1）对称元素之间的关系： 两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴； （镜面）+（n 度转轴）→共n 个镜面； 两个2度轴（ ）→垂直的n 度轴； 2度轴+与之垂直的n 度轴→共n 个2度轴。 （2）某些特殊的对称元素 主轴 等价轴、等价面 双向轴（定义，两个判定） （3）图示对称元素的方法（群的图示） 极射投影图（无主轴） 作业：1. 习题4. 1