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平面向量复习题教师版

知识梳理:1、向量加法,向量减法(a b ,共线、a b ,不共线(三角形法则))

数乘的几何意义(在a 向或其反向上的放大或缩小)及运算律,;

2、共线向量性质定理:,//a b ?≠0 a 存在实数λ,使得a b λ=

特别地,A,B,C 三点共线?R BC AB ∈=λλ,

3、平面向量基本定理:如果→→21,e e 是平面内两个不共线的向量,那么对于平面中任一向量→a ,有且只有一对实数21,λλ,使→→→+=2211e e a λλ。{}

21,e e 是能表示这一平面内所有向量的一组

基底(选择基地的条件:a b ,不共线,已知,>

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特别地,A,B,C 三点共线,O 是直线AB 外的一点?存在R ∈μλ,,)1(,=++=μλμλ 知识点1:向量的概念、向量形式的三角形不等式:|||-|||≤|±|≤||+||

1.⑴若a b = ,则a b = ,(2)两个向量相等?它们的起点相同,终点相同, (3)若AB DC = ,则ABCD 是平行四边形,(4)若ABCD 是平行四边形,则AB DC = 。

(5)若,a b b c == ,则a c = (6)若//,//a b b c ,则//a c 。其中正确的有 (4),(5)

2.①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量与向量平行,则与的方向相同或相反;

③向量AB →与向量CD →共线,则A 、B 、C 、D 四点共线;④任意向量,,+≥+;④任意向量

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=有-==,;以上命题中正确的个数为____1____.

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解:①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;

②不正确,若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;

③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;

④不正确,如果b =0时,则a 与c 不一定平行.∴正确的个数为0

3.已知==,23的最大值为_____5____;最小值为____1_________;

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练. 已知)(a b b a >==,则的取值范围是_[]a b b a --,_______

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4. ,a b 是两个非零向量,则下列结论中正确的是( C )

A .+=+ ,则⊥

B .若 ⊥+=+

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C .+=+ ,

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则存在实数λ,使得b a λ= D .若存在实数λ,使得b a λ=,=+ 5.已知ABC ?为等腰直角三角形,且 90=∠A ,给出下列结论:

+=-+=

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-=-

--=

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其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

6. 已

知,33,2=-=+=a

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则=__5_____ 练1

,1==

,3=+a

则=-___1____

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练2

,1==

,1=-a

则=+__3_____

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练3

=

16=,D 为AB

的中点,则=__2_____

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7. 已知向量与的夹角为 60

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=,求-与的夹角________ 150 8.如图,P 是ABC ?的外心,且=+,则=∠ACB ______120_

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9.(2014年全国课标1理15)已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若1()2

AO AB AC =+ ,则AB 与AC 的夹角为 90 . 解:∵1()2

AO AB AC =+ ,∴O 为线段BC 中点,故BC 为O 的直径,∴AB 与AC 的夹角为090。 知识点2:用已知向量表示未知向量及向量的加法减法及数乘的坐标运算

加法:平行四边形法则(同一起点),三角形法则(首尾顺次连接)。减法:三角形法则,同一起点,终点连线(箭头指向被减向量)

1.化简(1)DE AD BC AB --+= EC (2)AB BC CD ++= _________

(3)AB AD DC --= ______ (4)()()AB CD AC BD ---= ________

2.(2014年福建文10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任

意一点,则OA OB OC OD +++ 等于 ( D )

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..2.3.4AOM B OM C OM D OM

3.(2014年全国课标1文)设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB ( A )

A. B. 12AD C. 12BC D. 解:()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+ =()

111222AB AC AB AC AD +=+= , 选A. 4.(15年新课标1理科)设D 为ABC ?所在平面内一点3=,则A A.3431+-= B.3431-= C.3134+= D.3134-= 解:由题知11()33

AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+ ,选A. 5.(2013年江苏卷)设E D ,分别是ABC ?的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE

32=,若

B

AC AB DE 21λλ+= (21λλ,为实数),则21λλ+的值为__________.12

6.在平行四边形ABCD 中,BD AC 与交于点E O ,是线段OD 的中点,AE 的延

长线与CD 交于点F .若===则,,( )

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b a A 2141.+ b a B 3132.+ b a C 4121.+ b a D 3

231.+ 7.已知向量不共线,()R k k ∈+=,-=,如果//,那么 ( D )

A .1k =且与同向

B .1k =且与反向

C .1k =-且与同向

D .1k =-且与反向 解:取a ()1,0=,b ()0,1=,若1k =,则c =a +b ()1,1=,d =a -b ()1,1=-,显然,a 与b 不平行,排AB. 若1k =-,则c =-a +b ()1,1=-,d =-a +b ()1,1=--,即c //d 且c 与d 反向,排除C ,故选D.

8.已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实m 使得AM m AC AB =+成立,则m =( B )

A.2

B.3

C.4

D.5

9.(15北京理科)在ABC △中,点M ,N 满足2AM MC = ,BN NC = .若MN xAB yAC =+ ,则x =

;y = .11,26

- 析:特殊化,不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==,利用坐标法,以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,建立直角坐标系,3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2

A M C

B N ,1(2,),(4,0),2MN AB =-= (0,3)A

C = ,则1(2,)(4,0)(0,3)2

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x y -=+,11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 10.正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若μλ+=,则μλ-的值( )

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3.A 2.B 1.C 3.-D 11. 在ABC △中,已知 60,3,2=∠==ABC BC AB ,BC AH ⊥于H ,M 为AH 的中点,若μλ+=,则μλ+的值为_________ 12.

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在平面内有三个向量1,,==,与的夹角为 120,与的夹角为 30

,35=,

B C

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