函数概念及解析式求解

函数概念及解析式求解

一、单选题(共10道，每道10分)

1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同形异构”函数，那么解析式为，值域为的“同形异构”函数共有( )

A.4个

B.8个

C.9个

D.10个

2.已知是一次函数，且，则=( )

A. B.

C. D.

3.已知是一次函数，且，，则( )

A. B.

C. D.

4.已知是一次函数，且，则=( )

A. B.

C. D.

5.已知，则f(x+1)=( )

A. B.

C. D.

6.若，则当且时，( )

A. B.

C. D.

7.若，则=( )

A. B.

C. D.

8.若函数，则函数的解析式是( )

A.

B.

C.

D.

9.若，，则的解析式是( )

A. B.

C. D.

10.设函数，，则的值域是( )

A. B.

C. D.

幂函数题型归纳

幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两

点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）

函数的基本概念梳理以及题型.doc

⑴函数的定义 ①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量兀和y,如果对于在某一个范围内的任意一个x 的值，都有唯一的值y与之对应，则称y是兀的函数。 ②现代定义：设A、B是两个非空数集，如杲按照某个确定的对应关系/,使对于集合A 屮任意一个数尢，在集合B屮都有唯一一个数/(x)和它对应，那么就称A T B为从集合A到集合B 中的一个函数，记作J =/(X)(XG A)其中兀叫做自变量，兀的取值集合A叫做函数的定义域；与兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/(X)\XE A}叫做函数的值域。 ⑵函数的理解： ①A、B都是非空数集(也就是限定了范围)，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在 ②若y = f(x)是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即 “任意性”一一对于A中的任意一个数X；“唯一性”一一在集合B中的都有唯一的确定的数/(兀)和它对应(还应该注意它的方向性、确定性) ③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数y = x2+l可以称为实数集到实数集的函数。 ④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。英中对应关系是核心，定义域是根本，当 定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。 探究：若y = f(x)是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？ A定是值域，B可以是也可以不是，若函数y = f(x)的值域为C,则C是B的非空子集 ⑶函数符号/(兀)的含义：/(兀)表示一个整体，一个函数。而记号“厂可以看做是对“兀” 施加的某种法则(或运算)，女U/(x) = x2-2x4-3 o当x = 2吋，课看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式(或某一个函数符号)时，则左右两边的x都有同一个代数式(或函数符号)代替，如/(X)=(2X-1)2-2(2X-1)+3, /(g(x)) = [gS)]2—2[gS)] + 3等等，/(a)与/(x) 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。 例题： 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1 元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则若不是，则说明理由。

解析函数

第2章 解析函数 2.1 解析函数的概念及C-R 条件 复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（ ）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x ????==-????在00(,)x y 成立 （B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导 （C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件 （D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件 解 由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且 ,.u v u v a b x y y x ????==- ==???? 在00(,)x y 点成立. 反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则 ()i f z u v z z ??+?=?? i()(||)(i )i(i )(||) (i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z z u x y v x v y o z z z u v z o z z z ?+?+?+??=+ ???+?+?+??=+ ??+??=+ ?? 故 0() lim x x z f z u iv z ?→?=+? 选（C ）. 2-2 若22 2 22,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=? ，则函数() f z （ ）. （A ）仅在原点可导 （B ）处处不可导 （C ）除原点外处处可导 （D ）处处可微 解 (,)u x y 在原点虽有 0y v x y ??==??但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）. ()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！ 2-3 若2 2 ()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（ ）. （A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2 ,3,2)- （D ）(2,3,2)- 解 由C-R 条件及 2,2,3, 2.u u v v x a y b cy cx x y x y ????=+=-+=+=+????故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22 ()i f z xy x y =+则()f z （ ）. （A ）令在直线y x =上可导 （B ）仅在直线y x =-上可导 （C ）仅在（0，0）点解析 （D ）仅在（0，0）点可导

指数对数幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数 与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 3．运算法则 当a ＞0,b ＞0时有： （1）n m n m a a a +=?； （2）()mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y . n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且*n N ∈时， ()n n a a =； （2）???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释： ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误． ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如 )，先要化成假分数（如15/4），

函数概念及解析式

函数的概念及解析式 【复习目标】 1． 理解函数的概念； 2． 掌握函数的表示方法； 【知识梳理】 1. 设A 、B 是____的数集，如果按某种对应关系f ，__________________________________________.，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。 2. 函数的三要素：____________、________________、________________________; 3. 常用函数的表示方法：_____________________、______________、_____________; 4. 分段函数是指____________________________________________________________________; 【基础达标】 1． f(1－x)=x 2，则f(x)=____________, 2． 若f(x －221)1x x x +=, 则f(x)=__________. 3． 已知f(x)=11+-x x ,则f(x)+f()1x =_____________. 4． 若f(x)=x 2－mx+n,f(n)=m,f(1)=－1，则f(－5)=____________. 5． 已知)3(4 1)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________. 6．已知f(1－cosx)=sin 2x ，则f(x)=________________. 【典型例题】 例1．求函数解析式 ⑴.求一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1； ⑵.设二次函数()y =f x 的最大值为13，且3(1)5f f （ ）=-=，求()f x 的解析式. ⑶.已知2(31)23f x x x +=-+，求(1)f x -=. ⑷.已知2 21)1(x x x x x f ++=+，求f(x)；

(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc

.. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式

【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ．

函数的概念及其表示方法知识点及题型总结

函数的概念及其表示方法 一、函数的基本概念 （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域。 函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →: 这里 A, B 为非空的数集. （2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ? B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B （3）函数符号：)(x f y = ?y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域 1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R; 2．反比例函x k x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R 值域：当0>a 时，??????-≥a b ac y y 44|2；当0

幂函数中档题(含答案)

3.3 幂函数中档题 一．选择题（共4小题） 1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（） A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞） 2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（） A．B．C． D． 3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值 （） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题）

5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）； ③＞；④＜．其中正确结论的序号是． 三．解答题（共13小题） 6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣ k． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围． 7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求a++的取值围． 8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求的取值围． 9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上 是减函数， （1）求函数f（x）的解析式； （2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小． 10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=． （1）求g（x），f（x）的解析式； （2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围． 11．函数f（x）=是偶函数． （1）试确定a的值，及此时的函数解析式； （2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数； （3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域． 12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）

函数的概念练习题及答案解析

1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同． 2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 x D ．f (x )＝x 2－9x －3 ，g (x )＝x ＋3 解析：选、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1} 解析：选D.由? ???? 1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________． 解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)． 答案：(2)(3) 1．函数y ＝1x 的定义域是( ) A ．R B ．{0} C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D ．{x |x ≠1} 解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． 2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y 解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( ) A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域可以是空集 C ．函数的定义域和值域一定是数集 D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，

函数及其表格示 知识点与题型归纳

●高考明方向 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的 定义域和值域，了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单地应用. ★备考知考情 从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出. 函数的图象主要体现在选择与填空题中用 数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给 出图象求解析式． 一、知识梳理《名师一号》P10 知识点一函数的基本概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，

记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值围 A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函 数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集合B的子集． 从映射的角度看，函数是由一个非空数集 到另一个非空数集的映射． 温馨提示： (1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在． (2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词． (3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值． 2、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 3、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法 知识点二映射 映射的概念： 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法 则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系

人教A版高一数学函数的概念知识点总结与例题讲解

函数的概念知识点总结 本节主要知识点 （1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义 设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解 （1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. （2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.

（3）集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集. 在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者. 例1. 讨论二次函数的定义域和值域. 解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况: ①当0>a 时,函数的值域为?????? -≥a b ac y y 442; ②当0

幂函数图象规律

幂函数图象有规律 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质，,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。 5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。 知识点：幂函数的图象特征: （1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象． 先根据函数特征画出第一象限图象； ① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数． ③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减 函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． （2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．

函数的概念与表示知识点与经典题型归纳

函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-.

幂函数知识总结

幂 函 数 复 习 一、幂函数定义：形如 )(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图： 归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下： 二、幂函数的性质

归纳：幂函数在第一象限的性质： 0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（+∞,0）上单调递增。 0<α，图像过定点（1,1），在区间（+∞,0）上单调递减。 探究：整数m,n 的奇偶与幂函数n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？ 结果：形如n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性 （1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称； （3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法： 关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为水平的射线； 指数小于0,在第一象限为双曲线型； 四、规律方法总结： 1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像： 2、幂函数 ),,,,(互质q p Z q p p q x y ∈==αα的图像：

3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型一：幂函数解析式特征 例1.下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=x x B.y=3x 2 C.y=x 21+1 D.y=x 3- 练习1：已知函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式． 练习2：若函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的 解析式． 题型二：幂函数性质 例2：下列命题中正确的是（ ） A ．当0α=时，函数y x α =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数的y x α=图象不可能在第四象限内

(完整版)函数的概念练习题(含答案)

1.2.1 函数的概念及练习题答案 一、选择题 1．集合 A＝｛x|0≤x≤4｝，B＝｛y|0≤y≤2｝，下列不表示从 A到B的函数是( ) 1 1 2 A．f(x)→y＝2x B． f(x)→y＝3x C．f(x)→ y＝3x D．f(x)→y＝ x 2．某物体一天中的温度是时间 t 的函数： T(t)＝ t3－ 3t＋ 60，时间单位是小时，温度单 位为℃， t＝0 表示 12：00，其后 t 的取值为正，则上午 8 时的温度为 ( ) A ． 8℃B．112℃C．58℃ D ．18℃ 3．函数 y＝ 1－ x2＋ x2－1的定义域是 ( ) A．[－1，1] B． (－∞，－ 1]∪[1，＋∞ ) C．[0，1] D．｛－1，1｝ 4．已知 f(x)的定义域为 [－2， 2]，则 f(x2－1)的定义域为 ( ) A．[－1， 3] B．[0， 3] C．[－ 3， 3] D．[－ 4,4] 5．若函数 y＝f(3x－1)的定义域是 [1，3]，则 y＝ f(x)的定义域是 ( ) A．[1， 3] B．[2，4] C．[2，8] D．[3，9] 6．函数 y＝ f(x)的图象与直线 x＝a 的交点个数有 ( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个D．可能两个以上 7．函数 f(x)＝1 ax2＋4ax＋ 3 的定义域为R，则实数 a 的取值范围是 ( A．{a|a∈R} B．{a|0≤a≤43} C． { a|a> 43} D．{a|0≤a<43}

8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运 营．据市场分析，每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x(x∈N)为二次函数关系 (如图)，则客车有营运利润的 时间不超过( )年． 9．(安徽铜陵县一中高一期中)已知 g(x)＝ 1－ 2x，f[g(x)]＝() A．15 B．1 C． 3 D．30

最新高中数学幂函数知识点总结

高中数学幂函数知识点总结（一） 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能

作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

北师大版数学[中考总复习：函数综合--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：函数综合—知识讲解（基础） 【考纲要求】 1．平面直角坐标系的有关知识 平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等； 2．函数的有关概念 求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法； 3．函数的图象和性质 常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置； 4．函数的解析式 求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题． 【知识网络】

【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1．相关概念 （1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标 2.各象限内点的坐标的符号特征 3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点 （2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标 4.距离 （1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离 （2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用 （1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +. 考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念 3.函数的自变量的取值范围 4.函数值 5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法） 6.函数图象 要点诠释： 由函数解析式画其图像的一般步骤： （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 考点三、一次函数 1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义 3.正比例函数与一次函数的性质 4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系 5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释： 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法. 考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念 2.反比例函数的图象及性质 3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释： 反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠= k x k y 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ?PN=xy x y =?. ,y x k = ∴||k S k xy ==，.

函数的概念达标练习_题型归纳

函数的概念达标练习_题型归纳 1．下列说法中正确的为() A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数 B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数 C．f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数 D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同． 2．下列函数完全相同的是() A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2 B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2 C．f(x)＝|x|，g(x)＝x2x D．f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3 解析：选B.A、C、D的定义域均不同． 3．函数y＝1－x＋x的定义域是() A．{x|x1}B．{x|x0} C．{x|x1或x D．{x|01} 解析：选D.由1－x0，得01. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________． 解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－11时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a＞1或a＜－1时，直线x ＝a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有(2)(3)．

答案：(2)(3) 1．函数y＝1x的定义域是() A．R B．{0} C．{x|xR，且x D．{x|x1} 解析：选C.要使1x有意义，必有x0，即y＝1x的定义域为{x|xR，且x0}． 2．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是() A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1 C．x－2y＝6 D．x＝y 解析：选A.一个x对应的y值不唯一． 3．下列说法正确的是() A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是数集 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 解析：选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调A中元素的任意性和B中对应元素的唯一性，所以A中的多个元素可以对应B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是xx，xA，可以是xx，xA，还可以是xx2，xA. 4．下列集合A到集合B的对应f是函数的是() A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数