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高等数学大一试题库

〔一〕函数、极限、连续

一、选择题：

1、在区间(-1,0)，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A)

;1+=x y (B);2x x y -=(C)34+-=x y (D)25-=x y

2、当+∞→x 时，函数f (*)=*sin *是( )

〔A 〕无穷大量〔B 〕无穷小量〔C 〕无界函数〔D 〕有界函数 3、当*→1时，31)(,11)(x x x

x f -=+-=

ϕ都是无穷小，则f (*)是)(x ϕ的( ) 〔A 〕高阶无穷小〔B 〕低阶无穷小〔C 〕同阶无穷小〔D 〕等阶无穷小 4、 *=0是函数

()arctan f x x

=的( )

〔A 〕可去连续点〔B 〕跳跃连续点；〔C 〕振荡连续点〔D 〕无穷连续点 5、以下的正确结论是〔〕

〔A 〕)(lim x f x

x →假设存在，则f (*)有界；

〔B 〕假设在0x 的*邻域，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0

x g x x →),(lim 0

x h x x →都存在，则

),(lim 0

x f x x →也存在；

〔C 〕假设f(*)在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a ),f (b )<0则方程f (*)=0,在(a ,b )有唯一的实根;

（D ）当∞→x 时，x

x x x x a sin )(,1)

(==

β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.

二、填空题：

1、假设),1(3-=x f y Z 且x Z

y ==1

则f (*)的表达式为 ;

2、数列n x n

1014-

=的极限是4, 对于,101

=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;

3、 3214

lim 1

x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a =,b = ; 4、设,)(a

x a

x x f --=

则*=a 是f (*)的第类连续点; 5、 ,0

;

)(,sin )(⎩⎨

⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (*)]在R 上连续，则n = ；三、计算题:

1、计算以下各式极限：

〔1〕x

x x x sin 2cos 1lim

0-→；〔2〕x x

x x -+→11ln 1lim 0；

〔3〕)11(

lim 220

+→x x x 〔4〕x

x x x cos 11

sin

lim

30-→ 〔5〕x x x 2cos 3sin lim 0

→ 〔6〕x

x x

x sin cos ln lim

0→

2、确定常数a ,b ，使函数

⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,

11,11,arccos )(2

x x x b x x a x f 在*=-1处连续.

四、证明：设

f (*)在闭区间[a ,b ]上连续，且a

()f ξξ=.

〔二〕导数与微分

一、填空题:

1、设0()f x '存在，则t t x f t x f t )

()(lim 000+--+

→= ;

2、 ,1

,)(3

2⎪⎩⎪

⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、设x

y 2sin =, 则dy = ;

4、

设),0(sin >=x x x y x

则

=dx

dy ; 5、 y =f (*)为方程*sin y +y e 0=x

确定的隐函数, 则

(0)f '= .

二、选择题:

1、

)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )

(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 2

1 2、设曲线

1x e

y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )

(A)2*-y -2=0 (B)2*+y +1=0 (C)2*+y -3=0 (D)2*-y +3=0

3、设

⎪⎩

⎪⎨⎧>-≤=0

),1(0)(2

x x b x e x f ax

处处可导，则( )

(A)a =b =1 (B)a =-2,b =-1 (C)a =0,b =1 (D)a =2,b =1

4、假设f (*)在点*可微,则x

y x ∆-∆→∆0lim 的值为( )

(A)1 (B)0 (C)-1 (D) 不确定 5、设y =f (sin *),f (*)为可导函数，则dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx '

(C)

(sin )cos f x x '(D)(sin )cos f x xdx '

三、计算题：

1、设对一切实数*有f (1+*)=2f (*),且(0)0f '=,求(1)f '

2、假设g(*)=⎪⎩

⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2

x x x x 又f (*)在*=0处可导，求

))((=x x g f dx d

3、求曲线⎩⎨⎧=++=-+0

)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程

4、 f (*)在*=a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ

5、设32

()x y y u x x =+⋅=+, 求.du

dy 6、设()ln f x x x =, 求()

()n f

x . 7、

计算

〔三〕中值定理与导数的应用

一、填空题：

1、函数f (*)=arctan *在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;

2、假设01

lim sin 22

ax x e b x →-=则a = ,b = ; 3、设f (*)有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)

(ln )

0()(sin lim 0

x f f x f x -→= ;

4、

x e y x sin =的极大值为，极小值为 ;

5、 )10(11≤≤+-=x x

arctg

y 的最大值为，最小值为 . 二、选择题：

1、如果a,b 是方程f(*)=0的两个根，函数f(*)在[a,b]上满足罗尔定理条件，则方程f’(*)=0在(a,b)〔〕

〔A 〕仅有一个根；〔B 〕至少有一个根；〔C 〕没有根；〔D 〕以上结论都不对。

2、函数x x f sin )(=在区间[-

,2π

π上〔〕〔A 〕满足罗尔定理的条件，且 ;0=ξ 〔B 〕满足罗尔定理的条件，但无法求;ξ

〔C 〕不满足罗尔定理的条件，但有ξ能满足该定理的结论；

〔D 〕不满足罗尔定理的条件

3、如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则〔〕

〔A 〕极大值一定是最大值；〔B 〕极小值一定是最小值；

〔C 〕极大值一定比极小值大；〔D 〕极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。

4、设f (*)在(a ,b )可导，则

()0f x '<是f (*)在(a ,b )为减函数的〔〕

〔A 〕充分条件；〔B 〕必要条件；〔C 〕充要条件；〔D 〕既非充分又非必要条件。

5、假设f (*)在(a ,b )上两次可导，且〔〕, 则f (*)在(a ,b )单调增加且是上凹的。〔A 〕0)(",0)('>>x f x f ；〔B 〕;0)(",0)('<>x f x f ；〔C 〕

0)(",0)('>

三、计算题：

1、求:22011

(1)lim()sin x x x

→-tan 0(2)lim x x x +

→ 2、求过曲线y =*e

-上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线*=0的直线方程.

四、应用题：

1、通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现承受能力〔即学生掌握一个概念的能

力〕依赖于在概念引人之前教师提出和描述问题所用的时间，讲座开场时，学生的兴趣激增，分析结果说明，学生掌握概念的能力由下式给出：

2()0.1 2.643G x x x =-++,其中

G 〔*〕是承受能力的一种度量，*是提出概念所

用的时间〔单位：min 〕〔a 〕、*是何值时，学生承受能力增强或降低？〔b 〕、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？〔c 〕、最难的概念应该在何时讲授？〔d 〕、一个概念需要55的承受能力，它适于对这组学生讲授吗？

五、证明题：

证明不等式22arctan ln(1)x x

x ≥+

〔四〕不定积分

一、选择题：

1、设

)(x f 可微，则()f x =〔〕

〔A 〕⎰))(x df 〔B 〕⎰))((dx x f d 〔C 〕⎰

)')((dx x f 〔D 〕⎰dx x f )('

2、假设F 〔*〕是)(x f 的一个原函数，则c F 〔*〕〔〕)(x f 的原函数〔A 〕是〔B 〕不是〔C 〕不一定是

3、假设

⎰+=,)()(c x F dx x f 则⎰=+dx b ax f )(〔〕

〔A 〕c b ax aF ++)( 〔B 〕c b ax F a

++)(1

〔C 〕

c x F a

+)(1

〔D 〕c x aF +)( 4、设)(x f 在[a ，b ]上连续，则在〔a ，b 〕)(x f 必有〔〕

（A ）

导函数〔B 〕原函数〔C 〕极值〔D 〕最大值

或最大值

5、以下函数对中是同一函数的原函数的有〔〕

6、在积分曲线族⎰=xdx y 3sin 中，过点)1,6

(π

的曲线方程是〔〕

7、以下积分能用初等函数表出的是〔〕

〔A 〕2

x e

dx -⎰

；〔B

〕；〔C 〕

ln dx

⎰；〔D 〕ln x dx x ⎰. 8、一个函数的导数为

，且*=1时y =2,这个函数是〔〕

〔A 〕2;y x C =+ 〔B 〕2

1;y x =+ 〔C 〕2;2

x y C =+ 〔D 〕 1.y x =+ 9、2

ln x

dx x =⎰

〔〕

〔A 〕11ln x C x

x +

+; 〔B 〕11ln x C x x ++; 〔C 〕11

ln x C x x -+；〔D 〕11ln x C x x --+. 10、10(41)dx

x =+⎰

〔〕〔A 〕9119(41)C x ++；〔B 〕91136(41)C x ++；〔C 〕91136(41)

C x -++；〔

D 〕11

36(41)C x -

++.

二、计算题:

1、⎰++dx x x )1ln(2

2、1tan 1tan x

dx x

-+⎰ 3、⎰dx x xf )(" 3、 ⎰+++)3)(2)(1(x x x dx 5、x dx ⎰ 6、⎰+)

1(x x dx 7、2

arccos x xdx ⎰

三、求

⎰

,)(dx x f 其中⎪⎩

⎪

⎨⎧+∞

<<≤≤+<<∞-=x x x x x x f 12101

1)(

〔五〕定积分及其应用

一、填空题：

1、设)(x f 是连续函数，dt t xf x F x

)()(0

⎰

，则F '(*)= ;

2、设)(x f 是连续函数，则⎰-=---+π

dx x f x f x f x f )]()()][()([ ； 3、 111

lim(

)12

n n n n n

→∞

+++

=+++ ； 4、设)(x f 是连续函数，f (0)= -1,则=⎰

→3

sin 0

)(lim

x dt t f x

x ；

5、函数)(x f =x

e 在区间[a ，b ]上的平均值为)(b a <.

二、单项选择题：

1、设

⎰

b a dx x f )(,)(存在，则)(x f 在[a ，b ]上( )

(A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界

2、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰+∞→=nt

a a

n dx x f n )(1lim ( ) 〔A 〕

T a f ⋅)( 〔B 〕dx x f T

)(0⎰ 〔C 〕⎰a

dx x f 0)( 〔D 〕()f a

3、设⎰⎰⎰++=dx x f dx x f dx

d dx x f dx d I )(')()(4

3存在，则I =( ) (A)()f x (B)2()f x (C)2()f x C + (D) 0 4、

)()

(b a a x dx

<-⎰

,在( ) 〔A 〕P<1 时收敛,P ≥1时发散〔B 〕P ≤1 时收敛,P ≥1时发散〔C 〕P>1 时收敛,P ≤1时发散〔D 〕P ≥1 时收敛,P<1时发散

5、曲线)0(ln ,ln ,,ln b a b y a y y x y <<===及y 轴所围的图形面积为( ) (A)

⎰

xdx ln ln ln (B)

dx e x

e e b

⎰

(C)dx e y

⎰

ln ln (D)xdx a

b e e

ln ⎰

三、计算以下定积分:

、

⎰

2、

dx e x

+⎰1sin 244

3、

⎰

++1

2)1ln(dx x x 4、⎰-+a x

a x dx

四、求以下极限:

、sin 0tan 0

lim

x x +

→⎰⎰

2、dt t

dt t x

x sin )1(lim

1sin 0

⎰

⎰+→

五、设可导函数y =y 〔*〕由方程⎰⎰=+-y

t x tdt dt e 0022

1sin 2

所决定，试讨论函数y =y 〔*〕

的极值.

六、抛物线)0,4(,)4(22>≠+-=a p a y p x ，求p 和a 的值，使得：

（1）抛物线与y=*+1相切；（2）抛物线与0*轴围成的图形绕0*轴旋转有最大的体积.

〔六〕向量代数空间解析几何

一、填空题：

1、向量{}

1,2,1a =与*，y ，z 轴的夹角分别为,,αβγ，则α=，β=，γ=。 2、设{}{}1,2,1,1,1,0a b =-=-，则a b ⋅=，a b ⨯=，

cos θ=，sin θ=。

3、以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程为。

4、平面通过点〔5，-7，4〕且在*，y ，z 三轴上截距相等，则平面方程为。

5、把曲线2

5,0z x y ==绕*轴旋转一周，则旋转曲面的方程为。

二、选择题：

1、平面11110A x B y C z D +++=与22220A x B y C z D +++=互相平行，则〔〕。〔A 〕充要条件是1212120A A B B C C ++= 〔B 〕充要条件是

111

222

A B C A B C == 〔C 〕必要而不充分条件是

111

222

A B C A B C == 〔D 〕必要而不充分条件是1212120A A B B C C ++=

2、设a 与b 为非零向量，则a b o ⨯=是〔〕

〔A 〕a ∥b 的充要条件；〔B 〕a ⊥b 的充要条件；

〔C 〕a =b 的充要条件；〔D 〕a ∥b 的必要但不充分的条件； 3、设直线

021

x y z

-，则该直线为〔〕。〔A 〕过原点且垂直于*轴〔B 〕过原点且平行于*轴〔C 〕不过原点但垂直于*轴〔D 〕不过原点但平行于*轴 4、直线

223

314

x y z -+-==

-和平面3x y z ++=的关系是〔〕。〔A 〕直线与平面垂直；〔B 〕直线与平面平行，但直线不在平面上；

〔C 〕直线在平面上；〔D 〕直线与平面相交，但不垂直。

5、平面4220x y z +--=在,,x y z 轴的截距分别为,,a b c ，则〔〕。

〔A 〕1

2,,12a b c ==

=- 〔B 〕4,1,2a b c ===- 〔C 〕1,2,12a b c ===- 〔D 〕1

,2,12a b c =-=-=

6、方程2224936

x y z y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示〔〕

〔A 〕椭球面；〔B 〕椭圆柱面；

〔C 〕椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线；〔D 〕y=1平面上椭圆。

7、方程222

16464x y z +-=表示〔〕

〔A 〕锥面；〔B 〕单叶双曲面；〔C 〕双叶双曲面；〔D 〕椭圆抛物面。

三、计算题：

1、将直线方程0

x z x y +=⎧⎨

+=⎩ 化成对称式方程。

2、求两平行平面1948210x y z -++=及1948420x y z -++=之间的距离。

3、设一直线通过点M 〔4，3，3〕，且垂直于由三点A 1〔6，0，1〕，A 2〔2，1，5〕，A 3〔5，3，5〕所确定的平面，求该直线方程。

4、求过点(0,1,0)A -和(0,0,1)B 且与平面成

角的平面方程。四、应用题：

设有一质点开场时位于点P 〔1，2，-1〕处，今有一方向角分别为60°,60°,45°,而大小为100克的力F 作用于此质点，求当此质点自点P 作直线运动至点M 〔2，5，-1+32〕时，力F 所作的功〔长度单位为厘米〕。

〔七〕多元函数微分学

一、填空题：

1、设22

(,)2

f x y x y +=-，则f 〔*，y 〕=.

2、设x

z y =，则

x y

∂∂∂2

1==y x =.

3、由方程3

34z xyz -=-所确定的函数(,)z z x y =在点〔1，2，2〕处的全微

分dz =.

4、曲面sin cos z x y =在点1

(,,)442

ππ处的切平面方程是. 5、设

u =，则该函数的定义域为.

二、选择题：

1.当0,0x y →→，时，函数

3xy

x y +的极限〔〕〔A 〕等于0；〔B 〕等于31；〔C 〕等于41

；〔D 〕不存在

2.函数z = f 〔*，y 〕的偏导数z x ∂∂，z

∂∂在点〔*0，y 0〕连续是函数z = f 〔*，y 〕在

点〔*0，y 0〕可微分的〔〕

〔A 〕充分条件但非必要条件；〔B 〕必要条件但非充分条件；〔C 〕充分必要条件；〔D 〕既非充分条件也非必要条件；

3.设z = f 〔u ，v 〕，而,u x y v xy =+=，其中f 具有一阶连续偏导数，则

∂∂等于〔〕〔A 〕f f u v ∂∂+∂∂；〔B 〕f f x u v ∂∂+∂∂；〔C 〕f f y u v ∂∂+∂∂；〔D 〕f f y u v

∂∂+∂∂； 4.在曲线23

,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面6121x y z ++=平行的切线

〔〕

〔A 〕只有1条；〔B 〕只有2条；〔C 〕至少有3条；〔D 〕不存在 5.设函数f 〔*，y 〕在点〔0，0〕的*个邻域连续，且lim 0

→→y x 22

(,)2

1cos()

f x y x y --+=2 则在点〔0，0〕处f 〔*，y 〕〔〕

〔A 〕不可微分；〔B 〕可微分，且0)0,0(f ,0)0,0(f y x ≠≠；〔C 〕取得极大值；〔D 〕取得极小值.

三、计算题：

1、设sin

cos x y z y x =，求,z z x y

∂∂∂∂ 2、设arctan x z y =，求22222,,z z z

x y x y

∂∂∂∂∂∂∂

3、设(,,)u f x xy xyz =,求

,,u u u x y z

∂∂∂∂∂∂ 4、设(,)z z x y =由方程222

cos cos cos 1x y z ++=所确定，求dz

5、设3

3z xyz a -=，求2z

x y

∂∂∂

6、求函数22

(,)4()f x y x y x y =---的极值.

四、求曲面22230x y z xy ++--=上同时垂直平面0z =与10x y ++=的切平面

方程

五、在旋转椭球面2

22196

x y z ++=上求距平面3412288x y z ++=为最近和最远的

点.

习题答案

〔一〕函数、极限、连续答案一、1、〔D 〕 2、〔C 〕 3、〔C 〕 4、〔B 〕 5、〔D 〕二、1、3

(1)x + 2、N=10 3、4，10 4、一，跳跃 5、k π

三、1、〔1〕2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 200==-→→x x x x

x x x x

〔2〕1)121ln(lim 11ln

1lim 11

2100=-+=-+-•-→→x

x x x x x

x x x x 〔3〕⎩⎨⎧-=-++=--

+∞

→∞

→1

112lim

)11(lim 2222

x x x

x x x x 〔不存在〕

〔4〕02

sin

lim 11sin

lim

23030==-→→x x x cox x x x x 〔5〕0cos sin lim 230=→x x x

〔6〕212sin

2lim 1cos lim sin cos ln lim 2

0200-=-=-=→→→x x

x x x x x x x x 2、解：f 〔-1-0〕=0 f 〔-1〕=b f 〔-1+0〕=a+π π+==∴a b 0 ⎩⎨

⎧=-=∴0

b a π

使f 〔*〕在*=-1连续四、证明：令F 〔*〕=f 〔*〕-* 显然F 〔*〕在[a ，b]上连续 F 〔a 〕=f 〔a 〕-a 〉0 F 〔b 〕=f 〔b 〕-b 〈 0 ∴在〔a ，b 〕至少有一点ξ使F 〔ξ〕=0 即：使f 〔ξ〕=ξ 〔二〕导数与微分答案

一、1、)('20x f - 2、不存在 3、

dx e

x x

2sin 2sin 2cos 4、)ln 1(sin x ctgx x x x ++ 5、

二、1、〔A 〕 2、〔D 〕 3、〔C 〕 4、〔B 〕 5、〔D 〕

三、解：1、20)0('2)

0(2)(2lim )1()1(lim

)1('00==∆-∆=∆-∆+=→∆→∆f x

f x f x f x f f x x

2、00

cos lim )0('20=∆-∆∆=→∆x

x x g x 而

()())(')(')(x g x f f x g f dx d = 3、解：对等式)1(t t x -+两边关于t 求导 120)1(-=⇒=--+t dt

t t dt dx

对等式01=++y te y 两边关于t 求导 1

0''+-=⇒=++y y y

y te e dt dy y y te e ∴ (21)(1)y

dy dy dx e dt dt

t te dx ==--+ 当t=0时，得*=0，y=-1 ∴ 曲线在t=0处的切线方程的斜率为 1

0-===e

dy k t ，∴切线方程11

11-=⇒=+x e

y x e y

4、)()

()sin(lim )()(lim )('a f a

x x f a x a x a x a a x a x =--=--=→→ϕϕϕ

、

2232 1 ()(21)2dx du y x x x dy dx =+=++)

12)(12()(32

12+++==y x x x dx

dy du dy

6、ln 1,y x '=+1,y x ''=21

,y x

'''=-…()21,(1)(2)!n n n y n x --=-- 7

、设0()9,0.02f x x x =∆=,

21390.02 3.0032

-=+⋅⋅=

〔三〕导数的应用答案

一、〔1〕14

-π 〔2〕1，1；〔3〕1；〔4

32244

,,22

k k e k z π

ππ++-∈ 〔5〕

0,4

二、B ；D ；D ；A ；A

三、解：1. (1)、原式=4

22022220sin lim sin sin lim x x

x x x x x x x -=→→

(2)、原式=2001

lim ln lim csc 1x x x tgx x

+→→-==

2. (1)x

y x e -'=-，驻点1x =，(2)x

y x e

-''=-，令0y ''=，得2x =，

因为1,0,1,0x y x y ''<>><，所以1

(1,)e -为极大值点

2,0,2,0x y x y ''''<<>>，所以2(2,)e -为拐点

所以极大值点与拐点的中点坐标为123(,)22e e --+，所求直线为：12

e e y --+=

四、1、解：() '()0.2 2.6'()0,13,a G x x G x x =-+==令则

G 〔*〕单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，承受能力增强；当提

出概念所用的时间大于13分钟时，承受能力降低

〔b 〕() 10[0,13],()b x G x =∈单调上升，学生的兴趣在增长。

() ()13c G x x =在时取极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲

授。

〔d 〕因为G 〔13〕=59.9，这个概念需要55的承受能力，小于最大承受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。

2、解：设AM 与MB 的公路总长为y

，则y =03x <<

所以y '=

，令0y '=，得：1,3x x ==-〔舍去〕

只有唯一的驻点，所以在1处取得最小值

五、证：1、令arctgx x f x xarctgx x f 2)('),1ln(2)(2

=+-=则

当*>0时，0)0(,0)('=>f x f ，有0)(>x f ，当*<0时，0)0(,0)('=x f

故)1ln(2,0)(.2

x xarctgx x f x +≥≥∀即

〔四〕不定积分答案

一、1、〔C 〕2、〔B 〕3、〔C 〕4、〔B 〕5、〔A 〕6、〔A 〕 7、〔D 〕8、〔B 〕9、〔D 〕10、〔C 〕二、1、原式

=ln(ln(x x x x C -=+-

2、原式=

(cos sin )

ln cos sin cos sin d x x x x C x x +=+++⎰

3、原式='()'()'()'()()xdf x xf x f x dx xf x f x C =-=-+⎰⎰

4、原式

=111

(

2(1)22(3)dx C x x x -+=++++⎰

5、原式=

,0.

c x

x x

C x

c x

⎧

+≥

⎪⎪

=+⎨

⎪-+<

⎪⎩

6、原式

=dx

=2C

7、原式

322

arccos(1)

x x x C

+--

三、原式=

x C x

⎧

+-∞<<

⎪

++≤≤

⎨

⎪

++<<+∞

⎪⎩

〔五〕定积分及其应用答案

一、〔1〕dt

t f

xf x)(

)

(

0⎰

+〔2〕0；〔3〕ln2 〔4〕

〔5〕

e b

二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。

三、解：1、原式=

544

(

=⎰dt

2、原式=dx

⎰

sin

sin2

2π

3、原式=1

ln(

+⎰dx

4、原式=

cos

sin

cos

sin2

=⎰t

tdx

四、解：1、原式=1

sec

)

sin(

cos

)

(sin

lim

→x

tgx

2、222

sin sin sin

n n n

xdx xdx xdx

πππ

⎰⎰⎰，

而ζ

n xdx sin

)

(

sin

<⎰-ζ

sin

又0

sin

lim

sin

∴

∞

→

ζn

，由夹挤定理知0

sin

lim2

⎰

∞

→

xdx

，此外,

sin

<⎰

xdx

由ε的任意性知0

sin

lim2

⎰

∞

→

xdx

五、两边求导得,

sin

'2x

y y=

-即,

)

sin

(

'2y e

=令y'=0，得*=0，

且由于*<0时,y'<0; 0

x时知*=0是y=y(*)的极小点,

代入方程得:

⎰

=-)

0(0

20y t dt e ；注意:,0)0(,02=∴>-y e t 即y=y(*)的极小值为0

六、解：对2

)4(a y p x +-=两边关于*求导得42'-=

p x y ，由题设切点处有：14

2=-p x

，

得24-=p x 切点，2

2-=p y 切点，代入抛物线方程可得422

p p a -=，另一方面，旋

转体体积为：25

022)

4(1516)40(2-⋅=--=⎰p a dx p x V a ππ 令

0=dp dv ，得,310=p 从而,35=a 这时，3

dp dv ，而310>p 时， 0

=p ，V 取极大值，也是最大值。〔六〕空间解析几何答案

一、1、

π,4π,3π 2、1，{

}633,63,3,1,1 3、14)2z ()3y ()1x (2

22=++-+- 4、2x y z ++= 5、x 5y z 2

2=+

二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B

三、1、解：令0x =，得到直线l 上一点(0,0,0)O ，设12{1,0,1},{2,1,0}n n ==

l 的方向向量为 121012210

i j k

n n i j k ⨯==-++

故l 的对称式方程为

121

x y z ==- 2、解：在021z 8y 4x 19=++-上取一点)8

,0,0(-

；则两平行平面间的距离为 3、解：所求直线方向向量S 同时垂直于12A A 及13A A

∴{}{}{}12134,1,43,3,416,12,13S A A A A =⨯=--⨯-=-- ∴直线的对称式方程为

z 123y 164x --=

-=-- 4、解：设所求平面方程为：0Ax By Cz D +++=；分别将A ，B 的坐标代入此方程： 000A B C D B D ⨯-+⨯+=⇒=；000A B C D C D ⨯+

⨯++=⇒=

故平面方程为：0Ax Dy Dz D +-+=1

2A =⇒=

所以平面方程为：

20Dx Dy Dz D ±

+-+=10y z ⇒+-+= 四、解：∵{}{cos60cos60cos 45100F i J k =++=

{S PM ==∴500W F S =⋅=克厘米

〔七〕多元函数微分学答案

一、1、2

4x xy -； 2、2ln 1+； 3 、2dz dx dy =+；

4、210x y z --+=；

5、{}

22222(,,)|,0x y z x y z x y +≥+≠ 二、1、D 2、A 3、C 4、A 5、D 三、解1、

21cos cos sin sin

z x y y x y x y y x x y x ∂=+∂21cos cos sin sin z

x x y x y y y x x y x y

∂=--∂ 2、222222()z xy x x y ∂=-∂+222222()z x y x y x y ∂-=∂∂+22222

2()z xy

y x y ∂=

∂+ 3、123u f yf yzf x ∂'''=++∂23u xf xzf y ∂''=+∂3u xyf z

∂'=∂ 4、sin 2sin 2,,sin 2sin 2z x z y x z y z ∂∂=-=-∂∂1(sin 2sin 2)sin 2dz xdx ydy z =-+ 5、2422223(2)

()z z z xyz x y x y z xy ∂--=∂∂- 6、420 420f

x x

f y y

∂⎧=-=⎪∂⎪⇒⎨∂⎪=-=∂⎪⎩驻点(2,2)- 而222222,0,2f f f x y x y ∂∂∂=-==-∂∂∂∂

在(2,2)-处，2

0(2)(2)40,20B AC A -=---=-<=-<

∴

(,)f x y 在(2,2)-处取得极大值为：(2,2)8f -=

四、切平面法向为 {}{}{}0,0,11,,1,01,1,0n =⨯=-

设切点为000(,,)x y z ，则{}000002,2,2x y y x z --平行于n 于是存在t ，使得02,2,200000==--=-z t x y t y x

即0005

,,033

t x y z =-=

=，代入曲面方程得3,t =±故切面方程为

(1)(1)0x y -++-=及(1)(1)0x y --++=；即* -y +2=0及*-y -2=0。

五、设〔*，y ，z 〕

为椭球面上一点，d =

；其中2

22196

x y z ++= 作辅助函数 22

221(,,)(3412288)(1)16996

x F x y z x y z y z λ=++-+++-

令6(3412288)0169488(3412288)2016924

(3412288)20169

F x

x y z x F x y z y y F x y z z z λλλ⎧∂=++-+=⎪∂⎪

∂⎪=++-+=⎨∂⎪

⎪∂=++-+=⎪

∂⎩ 得x z x y 241,721==，代入曲面方程得139,,88

x y z =±=±=±. 由于1313(9,,)(9,,)88

d d ---<，

∴椭球面上距平面最近点为)83,81,9(，最远点为)8

3,81,9(---。

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、微分方程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()() x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅ ⎰x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）１．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。２．函数 2 e x y += 上点（０，１）处的切线方程是______________。３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 --+→ ＝ _____________。４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。５． =- ?dx x x 4 1_____________。６．=∞ →x x x 1sin lim __________。７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。９．微分方程 2 2 2 3 3 )( 3dx y d x dx y d + 的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）１．设函数x x g x x f -== 1)(,1)(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ①x 11- ②x 11- ③ x -11 ④x ２．11sin +x x 是（）

①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('>

高等数学(大一)题库

（一）函数、极限、连续一、选择题： 1、在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B) ;2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量（B ）无穷小量（C ）无界函数（D ）有界函数 3、当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶无穷小（D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数1()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点（B ）跳跃间断点；（C ）振荡间断点（D ）无穷间断点 5、下列的正确结论是（）（A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在，则 ),(lim 0 x f x x →也存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ）当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、若),1(3-= x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、已知数列n x n 101 4- =的极限是4, 对于,101 1= ε满足n >N 时，总有ε <-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3 2 1 4 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、设,)(a x a x x f --= 则x =a 是f (x )的第类间断点; 5、 ,0 , ;0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则 n = ；三、计算题:

大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案 The latest revision on November 22, 2020

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-，2b i j k =-+，则a b ?= -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =? ? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0 x -121?? 6．级数∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则322 22ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+

高等数学大一试题库

〔一〕函数、极限、连续一、选择题： 1、在区间(-1,0)，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -=(C)34+-=x y (D)25-=x y 2、当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) 〔A 〕无穷大量〔B 〕无穷小量〔C 〕无界函数〔D 〕有界函数 3、当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ϕ都是无穷小，那么f (x )是)(x ϕ的( ) 〔A 〕高阶无穷小〔B 〕低阶无穷小〔C 〕同阶无穷小〔D 〕等阶无穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) 〔A 〕可去连续点〔B 〕跳跃连续点；〔C 〕振荡连续点〔D 〕无穷连续点 5、以下的正确结论是〔〕〔A 〕)(lim x f x x →假设存在，那么f (x )有界；〔B 〕假设在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在，那么),(lim 0 x f x x →也存在；〔C 〕假设f(x)在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a ),f (b )<0那么方程f (x )=0,在(a ,b )内有唯一的实根; （D ）当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1)(== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、假设),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 那么f (x )的表达式为 ; 2、数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,101 1 =ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 那么a =,b = ; 4、设 ,)(a x a x x f --=那么x =a 是f (x )的第类连续点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(⎩⎨ ⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，那么n = ；三、计算题: 1、计算以下各式极限：

《大一高等数学》试卷(十份)

《高等数学试卷》一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）.

A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题 1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，下面哪个选项是其导函数？ A. f'(x) = 2x + 3 B. f'(x) = 2x + 6 C. f'(x) = x^2 + 3x + 2 D. f'(x) = 3x^2 + 2x + 3 2. 已知函数 f(x) 连续，则 f(x) = 3x 的解集为： A. x ∈ R B. x = 3 C. x = 0 D. x = -3 3. 设函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x + 4，求其极值点。 A. (1, 6) B. (-1, -3) C. (0, 4) D. (2, 2) 二、计算题

1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3 的两个零点。 2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在 x = 2 处的导数值。三、解答题 1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的顶点坐标及对称轴方程。 2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在整个定义域上的单调区间。答案解析：一、选择题 1. A 解析：由 f(x) = x^2 + 3x + 2，对 x 进行求导得到 f'(x) = 2x + 3。 2. A 解析：由 f(x) = 3x，函数 f(x) 直接写出，解集为整个实数集 R。 3. B 解析：求导得到 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3，令 f'(x) = 0 解得 x = -1，代入原函数求得 y = -3，故极值点为 (-1, -3)。二、计算题 1. 首先，通过求根公式或配方法可得到两个零点 x1 = 1 和 x2 = -1.5。 2. 对函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 进行求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将 x = 2 代入得到 f'(2) = 8。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、填空题〔每题１分，共１０分〕 ________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点〔０，１〕处的切线方程是______________。ｆ〔Xo＋２h〕－ｆ〔Xo－３h〕３．设ｆ〔X〕在Xo可导且ｆ'〔Xo〕＝Ａ，那么ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝_____________。４．设曲线过〔０，１〕，且其上任意点〔Ｘ，Ｙ〕的切线斜率为２Ｘ，那么该曲线的方程是 ____________。ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。１－ｘ4 １６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ７．设ｆ〔ｘ，ｙ〕＝ｓｉｎ〔ｘｙ〕，那么ｆx〔ｘ，ｙ〕＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ〔Ｘ2＋Ｙ2〕ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──〔─── 〕2的阶数为____________。ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ａn发散，那么级数∑ ａn_______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题〔在每题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的〔〕，１～１０每题１分，１１～２０每题２分，共３０分〕〔一〕每题１分，共１０分１１．设函数ｆ〔ｘ〕＝── ，ｇ〔ｘ〕＝１－ｘ，那么ｆ［ｇ〔ｘ〕］＝〔〕ｘ１１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、填空题（每小题1分，共10分） ------ 2 1 1•函数 y =arcsi n J 1 -x + _________ 的定义域为 J — x 2 2 2 •函数 y = x • e 上点（o,i ）处的切线方程是 ____________________________ 4.设曲线过（0,1）,且其上任意点 x , y ）的切线斜率为2x ,则该曲线的方程是「= ------------------------------------ 7 .设 f(x,y)=sin(xy) ,则 fx(x,y)= OO OO 10 .设级数刀 a n 发散，则级数刀a n n=1 n=1000 （1〜10每小题1分，11〜2 0每小题2分，共3 0分） 1 f (x) , g(x)二 1 x 1 ③ ④x 1 - x 3 .设f （X ）在X 。可导,且f （x ）二A ，则収。 f(X o 2h)- f (X o - 3h) h 6. lim x sin X —・ 9.微分方程 dx 3 W 2 的阶数为 _____________ 、单项选择题。 1 .设函数

2. x sin 3 .下列说法正确的是 () 4 .若在区间(a,b )内恒有 f '(x) < 0 , f " ( x ) 0，则在(a. b)内曲线弧『=f(x )为 () ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧 ① F (X) +G (X)为常数 ② F (X) -G (X)为常数 ③ F (X) -G (X) =0 ④ d ]F (x)dx d f G ( x ) dx 1 dx dx 6. 1 J -1 x dx =( ) i ① 0 ②i ③2 ④3 7 .方程2x + 3y =1在空间表示的图形是 () ① 平行于xoy 面的平面 ② 平行于oz 轴的平面 ③ 过oz 轴的平面 ④ 直线 3 3 2 x x y x y tan -y ，则 f (tx,ty)= ( ) 2 ① tf (x, y) ② t f (x, y) ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ① 若f( X ② 若f( X ③ 若f( X ④ 若f( X 在X = Xo 连续，在X = Xo 不可导，则f( 在X = Xo 不可微，则f( 在X = Xo 不连续，则f( 则彳( X X X X 在X = Xo 可导在X = Xo 不连续在X = Xo 极限不存在在X = Xo 不可导 '.设 F '(x) G '( x )，则() 8.设 f (x, y )

大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

3. 设)0(4:2 2>≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++⎰⎰ （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则⎰⎰=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞ =为无穷级数1 n n u ∞ =∑收敛的（ B ） A 、充要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是三、已知1=a ，3=b ，b a ⊥，求b a +与b a -的夹角.P7

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-，2b i j k =-+，则a b ⋅=-1。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为z=x 2+y 2。 3、级数1113n n n ∞ =⎛⎫ + ⎪⎝⎭∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分221 L ds x y +⎰=a π 5．交换二重积分的积分次序：⎰⎰ --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ⎰ ⎰ 6．级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为1。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（B ） A 、重合B 、平行但不重合C 、一般斜交D 、垂直 2.下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3.设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++⎰⎰ （A ） A 、2πB 、0C 、1D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则⎰⎰=D dxdy （A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（A ） A 、216i j -+B 、216i j --C 、216i j +D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（B ） A 、1B 、2C 、4D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（D ） A 、3x x y e e C =++B 、3x x y e Ce =+

大一高等数学数学试题库(1)

【难度：2】【章节：1】【解答：式子有意义时，必有⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≤->->+11020 1x x x ，故11≤<-x ，】 1、x x x y arcsin 21)1lg(+-++=的定义域是（）。 A. ]1,1(- B. ),1(+∞ C. ),1(+∞- D. )1,1(- 【难度：1】【章节：1】【解答：因式子有意义时，必有⎪⎩ ⎪⎨⎧≥->≤≤-010 1 ln 1x x x ，故11≤<-x e 】 2、函数x x y -+=1ln arcsin 的定义域是（） A. ]1,[1-e B. ],1[e C. R D. ],[1e e - 【难度：1】

【章节：1】【解答：因式子有意义时，必有05lg ≠-x ，故6,5,4≠x 】 3、5 lg 1)(-= x x f 的定义域是（） A. ()()()+∞∞-,6)6,5(5,44, B. ()()+∞∞-,55, C. ()()+∞∞-,66, D. ()()+∞∞-,44, 【难度：1】【章节：1】【解答：,sin )sin(,x x R x =+∈∀π故周期为π】 4、函数x y sin =的周期是（） A.π B.π2 C.π4 D.2 π 【难度：1】【章节：1】【解答：1) 1(lim 2=+∞ →x x x x 】 5、下列极限存在的是（）

A. 2 ) 1(lim x x x x +∞→ B. 121 lim 0-→x x C. x x e 10 lim → D. x x x 1 lim 2++∞ → 【难度：1】【章节：1】【解答：因为05 lim 5 =-→x x x 】 6、当（）时，x x x f 5)(-=是无穷小 A. 5→x B. ∞→x C. 0→x D. 1→x 【难度：1】【章节：1】【解答：因为这两个命题之间每有因果关系】 7、)(x f 在点0x x =处有定义，是当0x x →时)(x f 有极限的（）条件。 A. 既不充分也不必要 B. 必要不充分

《大一高等数学》试卷(十份)

《高等数学》试卷（一）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2 ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x = （C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()||x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+⎨⎪ =⎩ 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ） 14 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1|| y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝ ⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1 f C x ⎛⎫ -+ ⎪⎝⎭ 8．x x dx e e -+⎰ 的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

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