大一高数试题和答案与解析

大一高数试题及答案

一、填空题（每小题１分，共１０分）

________ １

１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为

_________

√１－ｘ2

_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────

h→o h

＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是

____________。

ｘ

５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4

１

６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ

７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______

R √R2－ｘ2

８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为

____________。

0 0

ｄ3ｙ３ｄ2ｙ

９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2

∞ ∞

１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。

n=1 n=1000

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１

１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）

ｘ

１１１

①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ

ｘｘ１－ｘ

１

２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）

ｘ

①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量

３．下列说法正确的是（）

①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导

②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续

③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在

④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导

４．若在区间（ａ，ｂ）恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）

①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧

５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）

① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数

② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数

③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０

ｄｄ

④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ

ｄｘｄｘ

1

６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）

-1

① ０② １③ ２④ ３

７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）

①平行于ｘｏｙ面的平面

②平行于ｏｚ轴的平面

③过ｏｚ轴的平面

④直线

ｘ

８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）

ｙ

①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）

１

③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）

ｔ2

ａn＋１∞

９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）

n→∞ ａ n=1

①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散

②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散

③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散

④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散

１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）

①一阶线性非齐次微分方程

②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程

④二阶微分方程

（二）每小题２分，共２０分

１１．下列函数中为偶函数的是（）

①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１

③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│

１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）

①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）

②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）

④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）

①充分必要的条件

②必要非充分的条件

③必要且充分的条件

④既非必要又非充分的条件

ｄ

１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，

则ｆ（ｘ）＝（）

ｄｘ

①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ

１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）

①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１

１ x

１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）

x→0 ｘ3 0

１

① ０②１③ ── ④ ∞

３

ｘｙ

１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）

x→0 ｘ2＋ｙ2

y→0

① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１

１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）

① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'

ｄｐ

② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───

ｄｙ

ｄｐ

③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───

ｄｙ

１ｄｐ

④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───

ｐｄｙ

∞ ∞

１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）

n=o n=o

①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关

ｓｉｎｘ

２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）

D ｘ

1 1 ｓｉｎｘ

① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ

0 x ｘ

__

1 √y ｓｉｎｘ

② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ

0 y ｘ

__

1 √x ｓｉｎｘ

③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ

0 x ｘ

__

1 √x ｓｉｎｘ

④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ

0 x ｘ

三、计算题（每小题５分，共４５分）

___________

／ｘ－１

１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

√ ｘ（ｘ＋３）

ｓｉｎ（９ｘ2－１６）

２．求ｌｉｍ─────────── 。

x→4/3 ３ｘ－４

ｄｘ

３．计算∫ ─────── 。

（１＋ｅx）2

t 1 ｄｙ

４．设ｘ＝∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕ

ｄｕ，求─── 。

0 t ｄｘ

５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___

６．设ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。

x asinθ

７．计算∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。

0 0

ｙ＋１

８．求微分方程ｄｙ＝（──── ）2ｄｘ通解。

ｘ＋１

３

９．将ｆ（ｘ）＝───────── 展成的幂级数。

（１－ｘ）（２＋ｘ）

四、应用和证明题（共１５分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度

（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。

___ １

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ〉３－── 。

ｘ

附：高数（一）参考答案和评分标准

一、填空题（每小题１分，共１０分）

１．（－１，１）

２．２ｘ－ｙ＋１＝０

３．５Ａ

４．ｙ＝ｘ2＋１

１

５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ

２

６．１

７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

π/2 π

８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ

0 0

９．三阶

１０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②

６．②７．② ８．⑤ ９．④ １０．③（二）每小题２分，共２０分

１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③

１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②

三、计算题（每小题５分，共４５分）

１

１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］（２分）

２

１１１１１

──ｙ'＝──（────－──－────）（２分）

ｙ２ｘ－１ｘｘ＋３

__________

１／ｘ－１１１１

ｙ'＝── ／──────（────－──－────）（１分）

２√ ｘ（ｘ＋３）ｘ－１ｘｘ＋３

１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）

２．解：原式＝ｌｉｍ──────────────── （３分）

x→4/3 ３

１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］

＝────────────────────── ＝８（２分）

３

１＋ｅx－ｅx

３．解：原式＝∫───────ｄｘ（２分）

（１＋ｅx）2

ｄｘｄ（１＋ｅx）

＝∫─────－∫─────── （１分）

１＋ｅx（１＋ｅx）2

１＋ｅx－ｅx１

＝∫───────ｄｘ＋───── （１分）

１＋ｅx１＋ｅx

１

＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋───── ＋ｃ（１分）

１＋ｅx

４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ（３分）

ｄｙ－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

所以─── ＝──────────────── ＝－ｔｇｔ

（２分）

ｄｘ（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝（３分）

ｘ－１ｙ－１ｚ－２

所求直线方程为────＝────＝──── （２分）

１０－３

__ __

６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ）（３分）

__

一、

D C A C A

B C C B A

D A B A D A D B D A

二课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。

1.设函数=-=)x 2(f 1x x

)x 1(f ，则（ ）

A.x

211- B.

x

12

- C.

x 2)1x (2- D.x

)

1x (2- 2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ） A.x+3 B.x-3 C.2x D.-2x 3.=+∞→x

x )1

x x (lim （ ）

A.e

B.e -1

C.∞

D.1

4.函数)

1x )(2x (3

x y -+-=

的连续区间是（ ）

A.),1()2,(+∞---∞Y

B.),1()1,(+∞---∞Y

C.),1()1,2()2,(+∞-----∞Y Y

D.[)+∞,3

5.设函数⎩

⎨⎧-=-≠++=1x a 1

x )1x ln()1x ()x (f 2 ，　， 在x=-1连续,则a=（ ）

A.1

B.-1

C.2

D.0

6.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx

D.tanx dx

7.设y=a x

(a>0,a ≠1),则y

(n)

=

=0x （ ）

A.0

B.1

C.lna

D.(lna)n

8.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.x

)

x (C B.0

x x x )x (C = C.

dx

)

x (dC

D.

x x dx

)x (dC =

9.函数y=e -x

-x 在区间(-1,1)（ ）

A.单调减小

B.单调增加

C.不增不减

D.有增有减

10.如可微函数f(x)在x 0处取到极大值f(x 0),则（ ） A.0)x (f 0=' B.0)x (f 0>' C.0)x (f 0<'

D.)x (f 0'不一定存在

11.='+⎰

dx )]x (f x )x (f [（ ） A.f(x)+C

B.⎰

dx )x (xf

C.xf(x)+C

D.⎰

+dx )]x (f x [

12.设f(x)的一个原函数是x 2

,则⎰

=dx )x (xf （ ） A.C 3

x 3+

B.x 5

+C C.C x 32

3+

D.C 15

x 5+ 13.

⎰

-=8

8

x

dx e

3

（ ）

A.0

B.dx e

28

x

3

⎰

C.

⎰

-2

2

x dx e

D.⎰

-2

2

x 2dx e x 3

14.下列广义积分中,发散的是（ ）

A.⎰10x

dx B.

⎰

1

x

dx

C.

⎰

1

03

x

dx

D.

⎰

-1

x

1dx

15.满足下述何条件,级数

∑∞

=1

n n

U

一定收敛（ ）

A.

有界∑=n

1

i i

U

B.0U lim n n =∞→

C.1r U U

lim n

1n n <=+∞→ D.

∑∞

=1

n n

|U

|收敛

16.幂级数∑∞

=-1

n n

)

1x (的收敛区间是（ ）

A.(]2,0

B.(0,2)

C.[)2,0

D.(-1,1)

17.设y

x 2e

z -=,则

=∂∂y

z

（ ） A.y

x 2e

-

B.y

x 2

22e y

x -

C.y

x 2e y

x 2-

-

D.y

x 2e y

1-

-

18.函数z=(x+1)2

+(y-2)2

的驻点是（ ）

A.(1,2)

B.(-1,2)

C.(-1,-2)

D.(1,-2) 19.

=⎰⎰π≤

≤π≤

≤2y 02x 0ydxdy cos x cos （ ）

A.0

B.1

C.-1

D.2

20.微分方程

x sin 1dx

dy

+=满足初始条件y(0)=2的特解是（ ） A.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2 C.y=x-cosx+2 D.y=x-cosx+3 二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21.求极限 .1n )n 3n (lim n --+∞

→

22.设).1(y ,x y x

1'=求

23.求不定积分

⎰

+.dx x cos x sin 1x

2cos

24.求函数z=ln(1+x 2+y 2

)当x=1,y=2时的全微分. 25.用级数的敛散定义判定级数

∑

∞

=++1

n .1

n n 1的敛散性

三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

26.设.y z

y x z x

,)u (F ,x y u ),u (xF xy z ∂∂+∂∂=+=求为可导函数 27.计算定积分 I ⎰

=

2

1

.dx x ln x

28.计算二重积分dxdy )y x cos(I D

22⎰⎰

+=

,其中D 是由x 轴和2x 2

y -π

=

所围成的闭区域. 29.求微分方程0e y dx

dy

x

x =-+满足初始条件y(1)=e 的特解.

四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 30.已知某厂生产x 件某产品的成本为C=25000+200x+

　问.x 40

12

(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?

(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 31.求由曲线x y =,直线x+y=6和 10.设函数y =ln x ,则它的弹性函数

Ex

Ey

=_____________. 11.函数f (x )=x 2e -x

的单调增加区间为______________. 12.不定积分

⎰+32d x x

=__________________.

13.设f (x )连续且

⎰

+=x

x x t t f 0

22cos d )(，则f (x )=________________.

14.微分方程x d y -y d x =2d y 的通解为____________________.

15.设z=x e xy

,则y

x z

∂∂∂2=______________________.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

16.设函数f(x)=⎩

⎨⎧≤+>-0130e x x x k x 在x =0处连续，试求常数k .

17.求函数f(x)=x x

2sin e +x arctan x 的导数.

18.求极限x

x x x x sin e lim 2

0-→.

19.计算定积分⎰

π20

2d 2sin x x .

20.求不定积分

⎰++211x x

d x .

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

21.求函数f (x )=x 3-6x 2

+9x -4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值. 22.已知f (3x +2)=2x e -3x

,计算⎰

5

2

d )(x x f .

23.计算二重积分

⎰⎰D

y x y x

d d 2

，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域.

五、应用题（本大题9分）

24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y ，其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）.问当x,y 各为多少时可使旋转体的体积最大？

21 -3/2

22 -e^-1

23 x- arctgx + C

24 3/2

25 y + 2 = 0

26 t^2f(x,y)

27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))

28 2pi/3

29 1/2

30 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三

四

一、

D C A C A

B C C B A

D A B A D

A D

B D A

二

21 -3/2

22 -e^-1

23 x- arctgx + C

24 3/2

25 y + 2 = 0

26 t^2f(x,y)

27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))

28 2pi/3

29 1/2

30 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三

四

《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)

第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题]

写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数，则的值为（ )。 （A ）1 （B ）2 （C)3 (D ）—1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ )。 (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-⎰的值为（ ）. （A ）0 (B ）—2 (C ）1 (D)2 4。 (3分）若()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在该点处( ）。 （A ）必不可导 （B ）一定可导（C ）可能可导 (D ）必无极限 二、填空题（共12分） 1．(3分） 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为的曲线方程为 。 2. （3分）1 241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分）201lim sin x x x →= . 4。 （3分）3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分) 设2,1 y x =+求 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4. （6分）求3 0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩

5. （6分)设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定，求 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积。 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值。 五、证明题（6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案 一、 1 B ； 2 C ； 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0。 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →⋅= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

大一高数试卷试题含解答.docx

大一高数试题及解答

大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ 2１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ＋ ──────的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的 切线方程是 ______________。 ｆ（ Xo＋２ h）－ｆ（ Xo－３ h） ３．设ｆ（ X）在 Xo 可导且ｆ ' （Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝_____________ 。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆ x（ｘ，ｙ）＝ ____________。 _______ R 22√R－ｘ ８．累次积分∫ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 00

ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程───＋──（─── ）2的阶数为 ____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞∞１０．设级数∑ａn 发散，则级数∑ａn _______________。 n=1n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中， 选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分， 共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ

大一高数试题和答案与解析

大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ １１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ ｘｘ１－ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（） ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 ３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1 ① ０② １③ ２④ ３

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案 一、选择题 1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，下面哪个选项是其导函数？ A. f'(x) = 2x + 3 B. f'(x) = 2x + 6 C. f'(x) = x^2 + 3x + 2 D. f'(x) = 3x^2 + 2x + 3 2. 已知函数 f(x) 连续，则 f(x) = 3x 的解集为： A. x ∈ R B. x = 3 C. x = 0 D. x = -3 3. 设函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x + 4，求其极值点。 A. (1, 6) B. (-1, -3) C. (0, 4) D. (2, 2) 二、计算题

1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3 的两个零点。 2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在 x = 2 处的导数值。 三、解答题 1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的顶点坐标及对称轴方程。 2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在整个定义域上的单调区间。 答案解析： 一、选择题 1. A 解析：由 f(x) = x^2 + 3x + 2，对 x 进行求导得到 f'(x) = 2x + 3。 2. A 解析：由 f(x) = 3x，函数 f(x) 直接写出，解集为整个实数集 R。 3. B 解析：求导得到 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3，令 f'(x) = 0 解得 x = -1，代 入原函数求得 y = -3，故极值点为 (-1, -3)。 二、计算题 1. 首先，通过求根公式或配方法可得到两个零点 x1 = 1 和 x2 = -1.5。 2. 对函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 进行求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将 x = 2 代入得到 f'(2) = 8。

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. (3分）若为连续函数,则的值为（ )。 （A）1 (B)2 (C）3 （D)-1 2。 (3分）已知则的值为（）。 (A)1 （B）3 (C)—1 （D） 3。（3分）定积分的值为（）。 （A)0 (B）-2 (C)1 （D)2 4. （3分)若在处不连续，则在该点处（）. （A)必不可导（B）一定可导（C）可能可导（D）必无极限 二、填空题（共12分) 1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 . 2。（3分） . 3. (3分） = . 4. （3分）的极大值为。 三、计算题（共42分) 1.（6分）求 2.（6分）设求 3.（6分)求不定积分 4.（6分）求其中 5.（6分）设函数由方程所确定，求 6.（6分)设求 7.（6分）求极限 四、解答题(共28分） 1.（7分）设且求 2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积. 3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程。 4.(7分)求函数在上的最小值和最大值。

五、证明题（6分) 设在区间上连续,证明 （二） 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数，则是的第类间断点. 2．函数，则。 3．. 4．曲线在点处的切线方程为. 5．函数在上的最大值,最小值. 6．. 二、单项选择题(每小题4分,共20分) 1．数列有界是它收敛的（) . 必要但非充分条件; 充分但非必要条件; 充分必要条件；无关条件。 2．下列各式正确的是（）。 ; ； ；。 3．设在上，且，则曲线在上。 沿轴正向上升且为凹的；沿轴正向下降且为凹的； 沿轴正向上升且为凸的；沿轴正向下降且为凸的. 4．设，则在处的导数（）. 等于；等于； 等于；不存在. 5．已知，以下结论正确的是（). 函数在处有定义且；函数在处的某去心邻域内有定义; 函数在处的左侧某邻域内有定义；函数在处的右侧某邻域内有定义. 三、计算（每小题6分，共36分) 1．求极限：. 2。已知，求。 3. 求函数的导数。 4. 。 5。。 6.方程确定函数,求。 四、(10分）已知为的一个原函数，求。 五、（6分）求曲线的拐点及凹凸区间. 六、(10分)设，求。 （三) 一、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分). （1) =_____________。 （2）曲线上与直线平行的切线方程为_________。 （3）已知，且, 则___________ 。 （4）曲线的斜渐近线方程为_________ （5）微分方程的通解为_________

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷 (一）一、选择题(共12分) x,2,0，ex，fx（),1. （3分）若为连续函数,则的值为（ ). a，axx,，，0, (A)1 （B）2 （C）3 (D）—1 fhf（3）(3)，，，2。 (3分）已知则的值为( ). limf(3）2，,h，02h 1（A）1 (B)3 (C）-1 (D） 2 ，223. （3分）定积分的值为( ）。 1cos，xdx,,,2 (A）0 （B)—2 (C)1 （D）2 4。（3分）若在处不连续，则在该点处（）。xx，fx（）fx()0 (A）必不可导（B)一定可导(C）可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 23x1((3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程（0,1）（，)xy为。 124(sin）xxxdx,，2. (3分） . ,，1 12xlimsin3. （3分) = 。 x,0x 324. （3分) 的极大值为。 yxx,，23 三、计算题（共42分） xxln(15)，lim。1. （6分)求 2x，0sin3x xe，y，,2. （6分）设求y. 2x,1 2xxdxln（1）。，3。（6分）求不定积分， x，3，1，x，，fxdx(1)，，4。 (6分）求其中（）fx，1cos，x，,0x， 1,1.ex，,，

1 yxt5. （6分）设函数由方程所确定,求 edttdt，，cos0yfx，（）dy.，，00 26。 (6分）设求 fxdxxC（）sin，,,fxdx(23)。，，, n3，,7。 (6分）求极限 lim1。，，,,，nn2，， 四、解答题（共28分） ,1. （7分)设且求 fxx（ln）1，,,f(0)1，，fx（)。 ，,，，2。 (7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋xxyxxcos,，，,，，22，， 转体的体积。 323. (7分）求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,，，，32419 4. （7分)求函数在上的最小值和最大值。［5，1],yxx，，，1 五、证明题（6分) ，,设在区间上连续,证明 fx（）［,］ab bbba，1，， fxdxfafbxaxbfxdx(）[（）(）］()（）（)。,，，,，，，aa22 （二) 一、填空题(每小题3分，共18分) 2x，1x，1，,fx，，，1(设函数，则是的第类间断点。 fx2x,3x，2 2,，，2（函数，则。 y，y，ln1，x x2 x，1,，( 3 。，lim，，x，， x，, 11，，y,4（曲线在点处的切线方程为。，2，,x2,， 32,，，1，45(函数在上的最大值，最小值。 y，2x，3x xarctandx,6（。 ,21，x 2

大一高数期末考试题库选摘(附详解答案)

大一高数期末考试题库选摘（附详解答案） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. . （A ） （B ）（C ） （D ）不可导. 2. . （A ）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）是等价无穷小； （C ）是比高阶的无穷小； （D ）是比高阶的无穷小. 3. 若 ，其中在区间上二阶可导且 ，则 （ ）. （A ）函数必在处取得极大值； （B ）函数必在处取得极小值； （C ）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D ）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A ） （B ）（C ） （D ）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数由方程 确定，求以及. 10. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f (0)2f '=(0)1f '=(0)0f ' =()f x ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα()()x x αβ与()()x x αβ与()x α()x β()x β()x α()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰()f x (1,1)-'>()0f x ()F x 0x =()F x 0x =()F x 0x =(0,(0))F ()y F x =()F x 0x =(0,(0))F ()y F x =) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设22x 2 2 2x +1x -2x += +→x x x sin 2 )31(lim ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ⋅⎰x x x x f d cos )(则lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ= -+⎰ 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x =()y y x sin()1x y e xy ++='()y x '(0)y .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试一试卷 一、选择题（共12 分） 1.（ 3 分）若 f ( x)2e x , x 0,为连续函数 , 则a的值为 (). a x, x0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2.（ 3 分）已知f(3) 2, 则lim f (3 h) f (3) 的值为（）. h02h (A)1 (B)3 (C)-1(D)1 2 3.（ 3 分）定积分212xdx 的值为（）. cos 2 (A)0 (B)-2 (C)1(D)2 4.（3分）若f (x)在x x0处不连续,则 f ( x) 在该点处(). (A)必不行导 (B) 必定可导 (C) 可能可导 (D) 必无极限二、 填空题（共 12 分） 1．（3 分）平面上过点(0,1) ，且在任意一点 ( x, y) 处的切线斜率为 3x2的曲线方程为. 2.（ 31x4 sin x) dx. 分）( x2 1 3.（ 3分） lim x2 sin1=. x0x 4.（ 3分） y2x33x2的极大值为. 三、计算题（共42 分） 1.（ 6 x ln(15x) .分）求 lim sin 3x 2 x0 2.（6 分）设y e x x2, 求 y . 1 3.（ 6分）求不定积分x ln(1 x2 )dx. x 4.（ 63f ( x 1)dx, 此中f (x) 1, x 1, 分）求cosx e x1,x 1.

5. （ 6 分）设函数 y y x f ( x) 由方程 e t dt costdt 0 所确立 , 求 dy. 6. （ 6 分）设 f ( x)dx sin x 2 C, 求 f (2 x 3)dx. 3 n 7. （ 6 分）求极限 lim 1 . 2n n 四、解答题（共 28 分） 1. （ 7 分）设 f (ln x) 1 x, 且 f (0) 1, 求 f ( x). 2. （ 7 分）求由曲线 y cos x 2 x 与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周 2 所得旋转体的体积 . 3. （ 7 分）求曲线 y x 3 3x 2 24x 19 在拐点处的切线方程 . 4. （ 7 分）求函数 y x 1 x 在 [ 5,1] 上的最小值和最大值 . 五、证明题 (6 分) 设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 证明 b b a 1 b f (x)dx [ f (a) f (b)] ( x a)( x b) f ( x) dx. a 2 2 a 标准答案 一、 1 B;2C; 3 D; 4 A. 二、 1 y x 3 1; 2 2 ; 3 0; 4 0. 3 三、 1 解 原式 lim x 5x 5 分 x 0 3x 2 5 1 分 3 2 解 Q ln y ln e x x ln( x 2 1), 2 分 x 2 1 2 y e x [ 1 2x ] 4 分 x 2 1 2 x 2 1

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解 一、选择题 1. 该题为微分求导题，考察对基本微分法则的掌握。 解答：根据指数函数的求导法则，对指数函数f(x)进行求导，得到f'(x)=3x^2。将x=2代入f'(x)，得到f'(2)=3×2^2=12。因此，选项C为正确答案。 2. 该题为函数极值题，考察对函数极值点的判断和求解。 解答：首先计算函数f(x)的导函数f'(x)。根据导数定理，函数在极值点处的导数为0。将f'(x)=2x-3=0，求解得到x=3/2。接下来通过二阶导数的符号判断极值类型。计算f''(x)=2，由此可知二阶导数恒为正，故x=3/2是函数f(x)的极小值点。因此，选项A为正确答案。 3. 该题为定积分计算题，考察对定积分的理解和计算。 解答：根据定积分的定义，将被积函数f(x)=2x在区间[1,3]上进行积分，即∫(1->3) 2x dx。对函数f(x)进行不定积分，得到F(x)=x^2+C。将上限3代入不定积分结果，再减去下限1代入不定积分结果，得到∫(1->3) 2x dx=F(3)-F(1)=(3)^2+C-(1)^2+C=9+C-1-C=8。因此，选项B为正确答案。 4. 该题为二重积分计算题，考察对二重积分的理解和计算。 解答：首先对被积函数f(x,y)=x+2y进行内积分，得到 f_1(y)=xy+2y^2/2=x(y+y^2)。接下来对内积分结果进行外积分，即对

f_1(y)在区间[0,1]上积分，得到∫(0->1) x(y+y^2) dy。先对y进行积分，得到∫(0->1) (xy+xy^2) dy=x/2 + x/3=5x/6。因此，选项C为正确答案。 二、填空题 1. 该题为极限计算题，考察对极限的求解。 解答：将x趋近于无穷大时，分子和分母的最高次项均为x^4，根据极限的最高次项的性质，可以将该极限简化为计算3/(-2)= -3/2。因此，空格中应填入-3/2。 2. 该题为导数计算题，考察对反函数求导的理解和计算。 解答：首先求出函数f(x)=e^x的导函数，得到f'(x)=e^x。根据反函数求导的公式，可以得到f^(-1)'(x)=1/f'(f^(-1)(x))。代入f(x)=e^x，得到f^(-1)'(x)=1/(e^x)。因此，空格中应填入1/(e^x)。 三、解答题 1. 该题为二阶导数计算题，考察对多次求导的掌握。 解答：首先对原函数f(x)=4x^3-3x去求导，得到f'(x)=12x^2-3。再对f'(x)求导，得到f''(x)=24x。因此，原函数f(x)的二阶导数为 f''(x)=24x。 2. 该题为函数极限计算题，考察对函数极限的求解和极限性质的使用。 解答：首先对给定函数进行变换，令t=1/x。当x趋近于0时，t趋近于无穷大。将原极限转化为t趋近于无穷大时，函数ft的极限。代入

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题共12分 1. 3分若2,0,(),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为 . A1 B2 C3 D-1 2. 3分已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为 . A1 B3 C-1 D 12 3. 3 分定积分22 ππ-⎰的值为 . A0 B-2 C1 D2 4. 3分若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处 . A 必不可导 B 一定可导 C 可能可导 D 必无极限 二、填空题共12分 1．3分 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. 3分 1 241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. 3分 201lim sin x x x →= . 4. 3分 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题共42分 1. 6分求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. 6 分设2,1 y x =+求.y ' 3. 6分求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4. 6分求3 0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩

5. 6分设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. 6分设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. 6分求极限3lim 1.2n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题共28分 1. 7分设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. 7分求由曲线cos 2 2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. 7分求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. 7 分求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题6分 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →⋅= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2 x d x =++⎰ 3分

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 2ex,x0,1. （3分）若f(x)为连续函数,则a的值为( ). a x,x0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3)的值为（）. 2h (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 1 2 3. （3 分）定积分2的值为（）. 2 (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若f(x)在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 . 2. （3分）(x2x4sinx)dx . 11 3. （3分） limx2sinx01= . x 4. （3分） y2x33x2的极大值为

三、计算题（共42分） 1. （6分）求limx0xln(15x). sin3x2 2. （6 分）设y求y. 3. （6分）求不定积分xln(1x2)dx. 4. （6分）求 3 0x,x1, f(x1)dx,其中f(x)1cosx ex1,x 1. 5. （6分）设函数y f(x)由方程edt costdt0所确定,求dy. 00ytx 6. （6分）设f(x)dx sinx2C,求f(2x3)dx. 37. （6分）求极限lim1. n2n 四、解答题（共28分） 1. （7分）设f(lnx)1x,且f(0)1,求f(x). n 2. （7分）求由曲线y cosx x与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2 2 所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线y x33x224x19在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x[5,1]上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)

大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案

2010级高等数学(上)A 解答 一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分) 1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。 解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x 111 lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+ -=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或： 01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。 或： ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ +++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。 2．函数x x x x x f 323 )(23---= 的第一类间断点是(空2)。 解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。 12 1 )3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim )x (f lim 3x 233x 3 x =-+-=---=→→→， x=3是第一类间断点。 ∞=---=-→-→x 3x 2x 3 x lim )x (f lim 231x 1 x x=-1是第二类间断点。 ∞=---=→→x 3x 2x 3 x lim )x (f lim 230x 0 x x=0是第二类间断点。 3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g += ，则)('x g ＝(空3)。 解：) x (f 1) x (f )x (f )x (f )x (f 2)x (f 121)x (g 2 2+'= '⋅+=' 4．设函数322 3++=ax x y 在1=x 处取得极值，则=a (空4)。 解：ax 2x 6y 2 +=' 在x=1处取极值，则0y 1 x =' =，即6+2a=0，解得3a -= 5．设2 x e 是函数)(x f 的一个原函数，则不定积分 ='⎰dx x f )((空5)。

大一高等数学期末考试试卷及解答

大一高等数学期末考试试卷及解答 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4. （6分）求3 0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →⋅= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++Q 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分