大一(第一学期)高数期末考试题及答案

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大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(

0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.

2. ）

时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x

x βα.

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()

x x αβ与是等价无穷小；

（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.

3. 若

()()()0

2x

F x t x f t dt

=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且

'>()0f x ，则（ ）.

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；

（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.

)

(

)( , )(2)( )(1

=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设

（A ）22x （B ）2

2

2x +（C ）1x - （D ）2x +.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =

+→x

x x sin 2

)

31(l i m .

6. ,)(cos 的一个原函数是已知

x f x

x

=⋅

⎰x x

x

x f d cos )(则

.

7.

lim

(cos cos cos )→∞

-+++=2

2

2

21

n n n

n

n

n π

π

ππ .

8. =

-+⎰

2

12

12

211

arcsin －

dx x

x x .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数=()y y x 由方程

sin()1x y

e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17

7

x x x x ⎰+-求

11. ．

　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32

)(1020

)(dx x f x x x x xe x f x

12. 设函数)(x f 连续，=⎰1

0()()g x f xt dt

，且→=0

()

lim

x f x A x ，A 为常数. 求

'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.

13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足

=-

1

(1)9y 的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点

M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V .

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，

1

()()≥⎰⎰q

f x d x q f x dx

.

17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且

)(0

=⎰π

x d x f ，

cos )(0

=⎰π

dx x x f .

证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提

示：设

⎰=

x

dx

x f x F 0

)()(）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6

e . 6.c x x +2

)cos (21　.7. 2π. 8.3π.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

(1)c o s ()()x y

e y xy xy y +''++

+= cos()

()cos()x y x y

e y xy y x e x xy +++'=-+

0,0x y ==，(0)1y '=-

10. 解：7

67u x x dx du ==

1(1)112

()7(1)71u du du

u u u u -==-++⎰⎰原式 1

(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712

ln ||ln |1|77x x C =-++

11. 解：1

01

23

3

()2x f x dx xe dx x x dx

---=+-⎰⎰⎰

1

23

()1(1)x

xd e x dx

--=-+--⎰⎰

00

2

32

cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰

　令

321

4e π

=

--

12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===

⎰⎰1

()()()x

xt u

f u du

g x f xt dt x

(0)x ≠

2

()()()(0)

x

xf x f u du

g x x x

-'=

≠⎰

2

()()A

(0)lim

lim

22x x x f u du

f x

g x x →→'===⎰

02

()()lim ()lim

22x

x x xf x f u du

A A g x A x

→→-'==-

=

⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2

ln dy y x dx x +=

22

(ln )dx dx x x y e e xdx C -

⎰⎰=+⎰ 2

11

ln 39x x x Cx -=-+

1

(1),09y C =-=，

11ln 39y x x x

=- 四、 解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且0

2d x

y y x y

'=+⎰，

将此方程关于x 求导得y y y '+=''2

特征方程：022

=--r r

解出特征根：.2,121=-=r r

其通解为

x x e C e C y 221+=-

代入初始条件y y ()()001='=，得

31,3221==

C C

故所求曲线方程为：x

x e e y 23132+=-

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)

(1

ln 000x x x x y -=-

由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：

x

e y 1= 则平面图形面积

⎰-=

-=1

121

)(e dy ey e A y

（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则

2131

e V π=

曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2

⎰-=1

22)(dy

e e V y π

D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

)

3125(6221+-=

-=e e V V V π

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16. 证明：1

()()q

f x d x q f x dx -⎰⎰1

()(()())

q

q

q

f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰

1

(1)()()q

q

q f x d x q f x dx

=--⎰⎰

1212[0,][,1]

()()

12(1)()(1)()

0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=

---≥

故有：

1

()()≥⎰⎰q

f x d x q f x dx

证毕。

17.

证：构造辅助函数：π

≤≤=⎰x dt t f x F x

0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在)

,0(π上可导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F 由题设，有

⎰⎰⎰⋅+===π

π

π

π0

)(sin cos )()(cos cos )(0|dx

x F x x x F x xdF xdx x f ，

有⎰=π

0sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即

0)(=ξF

综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在

),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的 无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅ ⎰x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的 无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

2021年大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末 考试 欧阳光明（2021.03.07） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22 x （B ） 2 22x +（C ）1x -（D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 5. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则. 6. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ. 7. = -+? 2 1 2 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f （ ）(0)2f '= （ ）(0)1f '=（ ）(0)0f '= （ ）()f x 不可导 　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα （ ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （ ）()()x x αβ与是等价无穷小； （ ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （ ）()x β是比()x α高阶的无穷小 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ） （ ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （ ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （ ）22x （ ）2 2 2x +（ ）1x - （ ）2x + 二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分） = +→x x x sin 2 ) 31(lim ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则

lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x 三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分） 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .d )1(17 7 x x x x ?+-求 ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数 求'()g x 并讨论 '()g x 在=0x 处的连续性 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解 四、 解答题（本大题 分） 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点 M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍 与该点纵坐标之和，求此曲线方程 五、解答题（本大题 分） 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及 轴围成平面图形 求 的面积 ； 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解 一、选择题 1. 该题为微分求导题，考察对基本微分法则的掌握。 解答：根据指数函数的求导法则，对指数函数f(x)进行求导，得到f'(x)=3x^2。将x=2代入f'(x)，得到f'(2)=3×2^2=12。因此，选项C为正确答案。 2. 该题为函数极值题，考察对函数极值点的判断和求解。 解答：首先计算函数f(x)的导函数f'(x)。根据导数定理，函数在极值点处的导数为0。将f'(x)=2x-3=0，求解得到x=3/2。接下来通过二阶导数的符号判断极值类型。计算f''(x)=2，由此可知二阶导数恒为正，故x=3/2是函数f(x)的极小值点。因此，选项A为正确答案。 3. 该题为定积分计算题，考察对定积分的理解和计算。 解答：根据定积分的定义，将被积函数f(x)=2x在区间[1,3]上进行积分，即∫(1->3) 2x dx。对函数f(x)进行不定积分，得到F(x)=x^2+C。将上限3代入不定积分结果，再减去下限1代入不定积分结果，得到∫(1->3) 2x dx=F(3)-F(1)=(3)^2+C-(1)^2+C=9+C-1-C=8。因此，选项B为正确答案。 4. 该题为二重积分计算题，考察对二重积分的理解和计算。 解答：首先对被积函数f(x,y)=x+2y进行内积分，得到 f_1(y)=xy+2y^2/2=x(y+y^2)。接下来对内积分结果进行外积分，即对

f_1(y)在区间[0,1]上积分，得到∫(0->1) x(y+y^2) dy。先对y进行积分，得到∫(0->1) (xy+xy^2) dy=x/2 + x/3=5x/6。因此，选项C为正确答案。 二、填空题 1. 该题为极限计算题，考察对极限的求解。 解答：将x趋近于无穷大时，分子和分母的最高次项均为x^4，根据极限的最高次项的性质，可以将该极限简化为计算3/(-2)= -3/2。因此，空格中应填入-3/2。 2. 该题为导数计算题，考察对反函数求导的理解和计算。 解答：首先求出函数f(x)=e^x的导函数，得到f'(x)=e^x。根据反函数求导的公式，可以得到f^(-1)'(x)=1/f'(f^(-1)(x))。代入f(x)=e^x，得到f^(-1)'(x)=1/(e^x)。因此，空格中应填入1/(e^x)。 三、解答题 1. 该题为二阶导数计算题，考察对多次求导的掌握。 解答：首先对原函数f(x)=4x^3-3x去求导，得到f'(x)=12x^2-3。再对f'(x)求导，得到f''(x)=24x。因此，原函数f(x)的二阶导数为 f''(x)=24x。 2. 该题为函数极限计算题，考察对函数极限的求解和极限性质的使用。 解答：首先对给定函数进行变换，令t=1/x。当x趋近于0时，t趋近于无穷大。将原极限转化为t趋近于无穷大时，函数ft的极限。代入

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1） 课程名称：高等数学（上） 考试方式：闭卷 完成时限：120分钟 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、填空（每小题3分，满分15分） 1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 0 2.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A 3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 4

4.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/2 5.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1 二、单项选择（每小题3分，满分15分） 1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。 2.已知 f(x) = { e^x。x < 1.ln x。x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。 3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。1/(2e))，答案为 C。 4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在 区间 (-∞。+∞) 内发散。 5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分） 1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx) lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosx lim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosx lim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x) 应用洛必达法则) 2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/x lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)} lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))} lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))} lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅ ⎰x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分 22 π π - ⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2 3x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分）2 1 lim sin x x x →= . 4. （3分）3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2 ln(1).x x dx +⎰ 4. （6分）求 3 (1),f x dx -⎰ 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪ =+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=⎰ ⎰所确定,求.dy 6. （6分）设 2 ()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞⎛ ⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π⎛⎫=- ≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线32 32419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰ ⎰ （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 31 22+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第类间断点. 2．函数( )2 1ln x y +=，则='y . 3．= ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1= 在点⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为. 5．函数2 3 32x x y -=在[]4,1-上的最大值，最小值 . 6．=+⎰dx x x 2 1arctan . 二、 单项选择题（每小题4分，共20分）

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期(第一学期)高数期末考试题及 答案 高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案） 1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时， $\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。 2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。 3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则 $a=e^{-1}$。 4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。 5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。

6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为 $y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。 7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x- 3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。 8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty,0)\cup(1,+\infty)$。 9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。 10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x- t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。 11.计算积分 $\int\dfrac{x\cos x}{3\sin^2 x}dx$，结果为 $- \dfrac{x}{3\sin x}+\ln|\sin x|+C$。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试之吉白夕 凡创作 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ） ()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导 且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22 x （B ） 2 22x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 5. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =⋅ ⎰x x x x f d cos )(则 . 6. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 7. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共1６分） 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . (Ａ）(0)2f '= (B)(0)1f '=（C)(0)0f '= (D)()f x 不可导。 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα． （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小； (B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； (Ｃ)()x α是比()x β高阶的无穷小; （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( )。 (A)函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值; （C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D)函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 (A ）22x (Ｂ）2 2 2x +(C ）1x - (D)2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共1６分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m ． 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ⋅⎰x x x x f d cos )(则 。 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ 。 8. = -+⎰ 2 12 12 211 arcsin － dx x x x ． 三、解答题(本大题有５小题,每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y 。 10. .d )1(17 7 x x x x ⎰+-求

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一(第一学期)高数期末考试题及答案 LT

解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 6 e . 6.c x x +2 )cos (21　.7. 2π. 8.3π. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导 (1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos() ()cos()x y x y e y xy y x e x xy +++'=-+ 0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：7 67u x x dx du == 1(1)112 ()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式 1 (ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712 ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1 023 3 ()2x f x dx xe dx x x dx ---=+-⎰⎰⎰ 023 ()1(1)x xd e x dx --=-+--⎰⎰ 02 32 cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 　令 321 4e π = -- 12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。 === ⎰⎰1 ()()()x xt u f u du g x f xt dt x (0)x ≠ 02 ()()()(0) x xf x f u du g x x x -'= ≠⎰ 2 ()()A (0)lim lim 22x x x f u du f x g x x →→'===⎰

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4. （6分）求3 0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →⋅= 5分 53 = 1分 2 解 22l n l n l n (1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

高数(大一上)期末试题及答案

第一学期期末考试试卷（1） 课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟 班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分) 1、x x x x 2 sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→h h f f h ) 12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t t e y e x 2在0=t 处切线方程的斜率为 4、已知)(x f 连续可导，且2 )2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰1 0)2() 2(dx x f x f 5、已知21)(x e x f x +=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分) 1、函数x x x f sin )(=，则 ( ) A 、当∞→x 时为无穷大 B 、当∞→x 时有极限 C 、在),(+∞-∞内无界 D 、在),(+∞-∞内有界 2、已知⎩ ⎨⎧≥<=1,ln 1 ,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( ) A 、等于0 B 、等于1 C 、等于e D 、不存在 3、曲线x xe y -=的拐点是( ) A 、1=x B 、2=x C 、),1(1-e D 、)2,2(2 -e 4、下列广义积分中发散的是( ) A 、⎰1 0sin x dx B 、⎰-101x dx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、 ⎰ +∞ 2 2ln x x dx 5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、 )()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'