初中中考全等三角形专题.doc

全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形

7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等

三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二

个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”法构造全等三角形．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．

3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质

定理或逆定理．（ 2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形

成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二

点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连

接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、已知，如图△ ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是 _________.

例 2、如图，△ABC中， E、 F 分别在AB、AC上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF

与

EF 的大小 .

例3、如图，△ ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC的中点，求证： AD平分∠ BAE.

应用：

1 、以ABC

的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt

ACE

，

BAD

CAE

90 ,

连接 DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及

数

量关系．

（ 1）如图① 当

ABC

为直角三角形时， AM 与DE 的位置关系

是

，

线段 与 的数量关系是

；

AM DE

（ 2）将图①中的等腰 Rt

ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，（ 1）

问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

二、截长补短

1、如图，

ABC 中， AB=2AC ， AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证： CD ⊥ AC

2、如图， AD ∥ BC ， EA,EB 分别平分∠ DAB,∠ CBA ， CD 过点 E ，求证 ;AB ＝ AD+BC 。

0 40 0

3、如图，已知在 VABC 内， BAC 60 ， C ，P ，Q 分别在 BC ，CA 上，并且 AP ，

BQ 分别是

BAC ， ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形 ABCD 中， BC ＞ BA,AD ＝ CD ， BD 平

分

ABC ，

求证：

A C

180 0

5、如图在△ ABC 中， AB ＞ AC ，∠ 1＝∠ 2， P 为 AD 上任意一点，求证 ;AB-AC ＞PB-PC

应用：

三、平移变换

例 1 AD为△ ABC的角平分线，直线 MN⊥ AD于为 MN上一点，△ ABC周长记为P A，△ EBC 周长记为 P B.求证 P B＞ P A.

例2 如图，在△ ABC的边上取两点 D、 E，且 BD=CE，求证： AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD

2、如图，△ ABC中， AD平分∠ BAC， DG⊥ BC且平分 BC， DE⊥ AB于 E， DF⊥ AC于 F.

（1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a， AC=b，求 AE、 BE的长 .

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三

角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， AD、 CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

M B

E E

F D

O P

F D

N A C

C

图①图②A

图③

( 第 23 题图 )

五、旋转

例1 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求∠ EAF的度数 .

例2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点， DM⊥DN,DM,DN分别交 BC,CA 于点 E,F 。

（1）当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。

（2）若 AB=2，求四边形 DECF的面积。

例 3 如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC 1200，

以 D 为顶点做一个600 角，使其两边分别交AB 于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则AMN 的周长为；

应用：

1 、已知四边形ABCD中，AB AD，BC CD，AB BC，∠ABC 120o，

∠ MBN 60o，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于E，F ．

当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图1），易证AE CF EF ．

当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出

你的猜想，不需证明．

A A A

B E M B E M B

C F

D C F D F C D

N N N E

（图 1）（图 2）（图 3）

M

2、已知 :PA= 2 ,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使 P、D 两点落在直线AB的两侧 .

(1)如图 , 当∠ APB=45°时 , 求 AB及 PD的长 ;

(2)当∠ APB变化 , 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应∠ APB的大小 .

3、在等边ABC 的两边AB、 AC 所在直线上分别有两点M、 N， D 为 VABC 外一点，且

MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当M、 N分别在直

线

AB、 AC上移动时，BM、

NC、 MN之间的数量关系及AMN 的周长Q与等

边

ABC 的周长L 的关系．

图 1

（ I ）如图1，当点M、 N

图 2

边 AB、 AC 上，且

图 3

DM=DN时， BM、 NC、 MN 之间的数量关系

是；此时Q

；L

（ II ）如图 2，点 M、N 边 AB、AC上，且当DM DN时，猜想（

吗？写出你的猜想并加以证明；

（ III）如图3，当M、N分别在边AB、 CA的延长线上时，

若 AN=x，则 Q=（用x、L表示）．

I ）问的两个结论还成立

参考答案与提示

一、倍长中线（线段）造全等

例 1、（“希望杯” 试题）已知，如图△ ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是_________. 解：延长AD至 E 使 AE＝ 2AD，连 BE，由三角形性质知

AB-BE <2AD

例 2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、AC上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF 的

大小 .

解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG＝ 2EF，连 BG， EG,

显然 BG＝ FC，

在△ EFG中，注意到DE⊥ DF，由等腰三角形的三线合一知

EG＝ EF

在△ BEG中，由三角形性质知

EG

故： EF

例3、如图，△ ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC的中点，求证： AD平分∠ BAE.

解：延长AE至 G使 AG＝ 2AE，连 BG，DG,

显然 DG＝ AC，∠ GDC=∠ ACD

由于 DC=AC，故∠ADC=∠ DAC

在△ ADB与△ ADG中，

BD＝ AC=DG， AD＝ AD，

∠ A DB=∠ ADC+∠ ACD=∠ ADC+∠GDC ＝∠ ADG

故△ ADB ≌△ ADG ，故有∠ BAD=∠ DAG ，即 AD 平分∠ BAE

应用：

1、（ 09崇文二模）以的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰

ABC Rt ABD 和 等 腰

Rt ACE ，

BAD

CAE 90 , 连接

分别是

的中点．探究：

与 的位

DE ，M 、N BC 、DE

AM DE

置关系及数量关系．

（ 1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，

AM 与DE 的位置关系

是

，

线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；

（ 2）将图①中的等腰 Rt

ABD

绕点 A 沿逆时针方向旋转 (0< <90) 后，如图②所示，（ 1）

问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

解：（ 1） ED 2AM ， AM ED ；

证明：延长 到 ，使

MG AM ，连 ，则

是平行四边形

AM G BG ABGC

∴ AC

BG ， ABG

BAC 180

D

又∵ DAE

BAC 180

∴ ABGDAE

再证： DAE

ABG

A

N

H

E

∴ DE 2AM ， BAG

EDA

延长 MN 交 DE 于 H

∵ BAGDAH 90

∴ HDA

DAH 90

∴ AM ED

（ 2）结论仍然成立．

B

M

C

G

证明：如图，延长

CA 至 F ，使 AC FA ， FA 交 DE 于点 P ，并连接 BF

∵ DA BA ， EA AF ∴

BAF 90 DAF EAD

∵在 FAB 和 EAD 中

FA AE

F D

BAFEAD N

BA DA

P

E

A

∴ FAB EAD （ SAS ）

∴ BF DE ， F AEN

∴ FPDF

APEAEN 90

B M

C

∴FB DE

又∵CA AF ， CM MB

∴ AM // FB ，且AM 1

FB 2

∴ AM DE ，AM

1 DE

2

二、截长补短

1、如图，ABC 中，AB=2AC，AD平

分

BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥ AC 解：（截长法）在AB上取中点F，连 FD

△ADB是等腰三角形， F 是底 AB中点，由三线合一知

DF⊥ AB，故∠ AFD＝ 90°

△ADF≌△ ADC（ SAS）

∠ACD＝∠ AFD＝ 90°即： CD⊥AC

2、如图， AD∥ BC， EA,EB 分别平分∠ DAB,∠ CBA， CD过点 E，求证 ;AB＝

AD+BC 解：（截长法）在 AB上取点 F，使 AF＝ AD，连 FE

△ADE≌△ AFE（ SAS）

∠ADE＝∠ AFE，

∠A DE+∠ BCE＝ 180°

∠A FE+∠ BFE＝ 180°

故∠ ECB＝∠ EFB

△F BE≌△ CBE

（ AAS）故有 BF＝ BC

从而 ;AB＝ AD+BC

3、如图，已知在△ABC内，BAC 60 ，C400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，

BQ分别是BAC ，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

解：（补短法 , 计算数值法）延长 AB 至 D，使 BD＝ BP，连 DP

在等腰△ BPD中，可得∠ BDP＝40°

从而∠ BDP＝ 40°＝∠ ACP

△ADP≌△ ACP（ ASA）

故AD＝ AC

又∠ QBC＝ 40°＝∠ QCB故BQ＝QC

BD＝ BP

从而 BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中， BC＞ BA,AD＝ CD， BD平

分ABC ，

求证：A C 180 0

解：（补短法）延长BA 至 F，使 BF＝ BC，连 FD

△BDF≌△ BDC（ SAS）

故∠ DFB＝∠ DCB ，FD＝ DC

又AD＝ CD

故在等腰△ BFD中

∠DFB＝∠ DAF

故有∠ BAD+∠ BCD＝ 180°

5、如图在△ ABC中， AB＞ AC，∠ 1＝∠ 2， P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

解：（补短法）延长AC至 F，使 AF＝ AB，连 PD

△ABP≌△ AFP（ SAS）

故BP＝ PF

由三角形性质知

PB－ PC＝ PF－ PC < CF＝ AF－AC＝ AB－AC

应用：

分析：此题连接 AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

解：有 BC AD AE

连接 AC，过 E 作 EF // BC 并 AC于 F 点

则可证AEF 为等边三角形

即 AE EF ，AEF AFE 60

∴CFE 120

E 又∵AD // BC ， B 60

∴BAD 120

B 又∵DE

C 60

∴AED FEC

在ADE 与 FCE 中

EAD CFE ， AE EF ， AEDFEC

∴ ADEFCE

E

∴ AD FC

B ∴B

C A

D AE

点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，形的性质解决。

三、平移变换

A D

F

C

A D

C 然后利用全等三角

例 1 AD为△ ABC的角平分线，直线MN⊥ AD于为 MN上一点，△ ABC周长记为P A，△ EBC

周长记为 P B.求证 P B＞ P A.

解：（镜面反射法）延长BA至 F，使 AF＝ AC，连 FE

AD为△ ABC的角平分线 , MN ⊥AD

知∠ FAE＝∠ CAE

故有

△F AE≌△ CAE

（ SAS）故 EF＝ CE

在△ BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

从而 P B=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P

例2 如图，在△ ABC的边上取两点 D、 E，且 BD=CE，求证： AB+AC>AD+AE.

证明：取 BC中点 M,连 AM并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.

∵BD=CE,

∴ DM=EM,

∴△ DMN≌△

EMA(SAS), ∴ DN=AE,

同理 BN=CA.

延长 ND交 AB于 P, 则 BN+BP>PN,DP+PA>AD,

相加得 BN+BP+DP+PA>PN+AD,

各减去 DP,得 BN+AB>DN+AD,

∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD，

DC+AE =AC

证明 ( 角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 ) ∠ B=60度 ,

则∠ BAC+∠BCA=120度;

AD,CE均为角平分线 ,

则∠ OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;

∠AOC=120度.

在AC上截取线段 AF=AE,连接 OF.

又AO=AO;∠OAE=∠OAF

. 则⊿ OAE≌Δ OAF(SAS),

OE=OF;AE=AF;

∠AOF=∠ AOE=60度.

则∠ COF=∠AOC∠-AOF=60度=∠COD;

又CO=CO;∠OCD=∠OCF.

故⊿ OCD≌Δ OCF(SAS),

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， DG ⊥ BC 且平分 BC ， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F.

（ 1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE 、 BE 的长 .

解： ( 垂直平分线联结线段两端

) 连接 BD ， DC

DG 垂直平分 BC ，故 BD ＝ DC

由于 AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于

F ，故有

ED ＝ DF

故 RT △ DBE ≌ RT △ DFC （ HL ）

故有 BE ＝ CF 。

AB+AC ＝ 2AE

AE ＝（ a+b ） /2

BE=(a-b)/2 应用：

1、如图①， OP 是∠ MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以

OP 所在直线为对称轴的全等三

角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（ 1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B =60°， AD 、 CE 分别是∠ BAC 、∠

BCA 的平分线， AD 、 CE 相交于点 F 。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （ 2）如图③，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你

在 (1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

M

B

E

E

F D

F

D

O

P

N

A

C

A

C

图①

图②

图③

( 第 23 题图 )

解：（ 1） FE 与 FD 之间的数量关系为

FE FD

（2）答：（1）中的结论 FE FD 仍然成立。

证法一： 如图 1，在 AC 上截取 AG AE ，连结 FG

∵ 1 2 ， AF 为公共边，

∴ AEF AGF

∴ AFE AFG ， FE FG

B

∵

B 60 ， 、 分别是 BA

C 、 BCA 的平分线

AD CE

∴ 2

3 60

E

D

F

1 4

2 3

∴ AFE

CFD AFG 60

∴ CFG 60

∵ 3 4 及 FC 为公共边

∴ CFG CFD

∴ FG FD

∴ FE FD

证法二： 如图 2，过点

F 分别作

FG

AB 于点 ，

于点

H

G FH BC

∵

B 60 ， 、 分别是 BA

C 、 BCA 的平分线

B

AD CE

∴可得 2 3 60 ， F 是 ABC 的内心

G

D ∴ GEF 60

1， FH FG

E

H

又∵ HDF

B

1 F

1 4

GEF

HDF

∴

A

2 3

∴可证 EGF

DHF

图 2

C

∴ FE FD

五、旋转

例 1 正方形 ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE+DF=EF ，求∠ EAF 的度数 .

证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG

则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ， AF=AG ，

所以三角形 AEF 全等于 AEG

所以∠ EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠ EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠ EAF=45度

例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点， DM ⊥DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F 。

(1) 当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF 。

(2) 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 解： ( 计算数值法 ) （ 1）连接 DC ， D 为等腰 Rt

ABC 斜边 AB 的中点，故有

CD ⊥ AB ， CD ＝ DA

CD 平分 ∠BCA ＝ 90°，∠ ECD ＝∠ DCA ＝ 45° 由于 DM ⊥ DN ，有∠ EDN ＝ 90° 由于 CD ⊥ AB ，有∠ CDA ＝ 90° 从而∠ CDE ＝∠ FDA ＝ 故有△ CDE ≌△ ADF （ASA ） 故有 DE=DF

（2）

S =2, S

= S

=1

△ABC

四 DECF

△ACD

例 3 如图，

ABC 是边长为 3 的等边三角形， BDC 是等腰三角形，且

BDC 1200 ，

以 D 为顶点做一个600角，使其两边分别交AB 于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则AMN

的周长为；

解： ( 图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与 BD 的延长线交

于点 F，在线段CF上取点 E，使 CE＝ BM

∵△ ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠ BDC=120°，

∴∠ MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠D CE=180° - ∠ACD=180° -

∠ABD=90°，又∵ BM=CE， BD=CD，

∴△ CDE≌△ BDM，

∴∠ CDE=∠BDM， DE=DM，

∠N DE=∠ NDC+∠ CDE=∠ NDC+∠BDM=∠ BDC-∠MDN=120° -

60°=60°，∵在△ DMN和△ DEN中，

DM=DE

∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN

∴△ DMN≌△ DEN，

∴MN=NE

∵在△ DMA和△ DEF中，

DM=DE

∠MDA=60° -∠ MDB=60° -∠CDE=∠EDF(∠ CDE=∠ BDM)

∠DAM=∠ DFE=30°

∴△ DMN≌△ DEN (AAS) ，

∴MA=FE

AMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6

应用：

1 、已知四边形ABCD中，AB AD ， BC CD ， AB BC ，∠ABC120o，

∠ MBN 60o，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）

于E，F ．

当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图1），易证AE CF EF ．

当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出

你的猜想，不需证明．

A A A

B E M B E M B

C F

D C F D F C D

N N N E

M

（图 1）（图2）（图3）

解：（ 1）∵AB AD，BC CD ， AB BC ， AE CF ∴ABE CBF （ SAS）；

∴ABE CBF ， BE BF

∵ABC 120 ， MBN 60

∴ABE CBF 30 ，BEF 为等边三角形

∴ BE EF BF ，CF AE 1

BE 2

∴AE CF BE EF

（2）图 2 成立，图 3 不成立。

证明图 2，延长DC至点K，使CK AE ，连接 BK

则BAE BCK

∴ BE BK ，ABE KBC

∵FBE 60 ， ABC 120

∴FBCABE 60

∴FBCKBC 60

∴KBFFBE 60

∴KBF EBF

∴KF EF

∴KC CF EF

即AE CF EF

图 3 不成立，AE、CF、EF的关系是AE CF

EF

A

B E M K

C

F D

N

图2

2、（西城 09 年一模）已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、 D 两点落在直

线 AB的两侧 .

(1)如图 , 当∠ APB=45°时 , 求 AB及 PD的长 ;

(2)当∠ APB变化 , 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应∠ APB的大小 .

分析：（ 1）作辅助线，过点A作AE PB 于点 E，在 Rt PAE 中，已知APE ，AP的值，根据三角函数可将AE， PE的值求出，由PB的值，可求 BE的值，在 Rt ABE 中，根据勾股定理可将 AB的值求出；求 PD的值有两种解法，解法一：可将PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 得到P AB ，可得PAD P AB ，求 PD长即为求 P B 的长，在 Rt APP 中，可将 PP 的值求出，在 Rt PP B 中，根据勾股定理可将P B 的值求出；解法二：过点P 作 AB的平行线，与 DA的延长线交

于F，交 PB于 G，在 Rt AEG 中，可求出 AG，EG的长，进而可知 PG的值，在 Rt PFG 中，可求出 PF，在 Rt PDF 中，根据勾股定理可将PD的值求出；

（2）将PAD绕点A顺时针旋转90 ，得到P AB ， PD 的最大值即为P B 的最大值，

故当

P 、、 B 三点共线时，

P B

取得最大值，根据

P B PP PB

可求

P B

的最大值，此P

时 APB 180APP 135 ．

解：（ 1）①如图，作 AE PB 于点 E ∵ Rt PAE 中， APB

45 ， PA2

2

∴ AE

2 1

PE

2

∵ PB 4

∴ BE PB PE 3

在 Rt ABE 中， AEB 90

∴ AB

AE 2 BE 2

10

②解法一：如图，因为四边形

ABCD 为正方形，可将

将

到 P AB ，，可得 PAD

P AB ， PD P B ， PA P A

∴ PAP 90

， APP 45 ， P PB 90

∴ PP

2 ， PA

2

D

C

A

P

E B

PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 得

D

C

P ′

A

∴ PD P B

PP 2

PB 2

2 2 4 2 2 5 ；

B

P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于

P E 解法二：如图，过点 F ，设 DA 的延长线交 PB 于

G ．

在 Rt AEG 中，可得 AG

AE AE 10 ， EG 1

， PG PE EG

2

cos EAG

cos ABE

3 3 D 3

在 Rt PFG 中，可得 PF

PG cos FPG PG cos

ABE

10 ， FG

10

C

5

15

在 Rt PDF 中，可得

A

2

2

PD

PF 2

AD

AG FG

2

10 10

10 10 2 5

P G E

B

5

15

3

F

（2）如图所示，将 PAD 绕点 A 顺时针旋转 90 , 得到 P AB ， PD 的最大值，即为 P B

的最大值

∵ PP B 中， P B PP

PB ， PP 2PA 2 ， PB 4 且 P 、D 两点落在直线 AB 的两

侧

∴当 P 、 P 、 B 三点共线时， P B 取得最大值（如图）

D

D

C

C

A

P ′

A

P

B

P ′P

B

此时 P B PP PB 6 ，即 P B 的最大值为 6

此时 APB 180

APP

135

3、在等边

ABC 的两边 AB 、 AC 所在直线上分别有两点

M 、 N ， D 为 VABC 外一点，且

MDN

60 ,

BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M 、 N 分别在直线 AB 、 AC 上移动时，

BM 、

NC 、 MN 之间的数量关系及

AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系．

图 1

图 2

图 3

（ I ）如图 1，当点 M 、 N 边 AB 、 AC 上，且 DM=DN 时， BM 、 NC 、 MN 之间的数量关系 是

； 此时

Q

；

L

（ II ）如图 2，点 M 、N 边 AB 、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（ I ）问的两个结论还成立

吗？写出你的猜想并加以证明；

（ III ） 如图 3，当 M 、N 分别在边 AB 、 CA 的延长线上时， 若 AN=x ，则 Q= （用 x 、 L 表示）．

分 析 ：（ 1 ） 如 果

DM DN ， DMN DNM ， 因 为 BD DC ， 那 么 DBC

DCB 30 ，也就有 MBD

NCD 60

30

90 ，直角三角形

MBD 、 NCD 中，

因 为 BD

DC ， DM DN ， 根 据 HL 定 理 ， 两 三 角 形 全 等 。 那 么 BM NC ，

BMD

DNC 60 ，三角形

NCD 中， NDC 30 ， DN

2NC ，在三角形

DNM 中，

DM DN ， MDN

60 ， 因 此 三 角 形 DMN 是 个 等 边 三 角 形 ， 因 此

MN DN 2NC NC BM ，三角形 AMN 的周长 Q AM

AN

MN

AM AN MB NC AB AC 2AB ，三角形 ABC 的周长 L 3AB ，因此 Q : L

2 :

3 ．

（ 2）如果 DM

DN ，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长

AC 至 E ，

使 CE BM ，连接 DE ．（ 1）中我们已经得出， MBD

NCD 90 ，那么三角形 MBD 和

ECD 中，有了一组直角， MB CE ， BD DC ，因此两三角形全等，那么

DM DE ， BDM CDE ， EDN BDC

MDN 60 ．三角形 MDN 和 EDN 中，有 DM

DE ，

EDN

MDN 60 ，有一条公共边，因此两三角形全等， MN NE ，至此我们把 BM 转 换成了

，把

转换成了 ，因为 NE CN CE ，因此

MN BM CN ． Q 与

L 的关系

CE MN NE

的求法同（ 1），得出的结果是一样的。

（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换， 思路同（2）过 D 作 CDH

MDB ，

三 角 形 BDM 和 CDH 中 ， 由 （ 1 ） 中 已 经 得 出 的 DCH MB 90 ， 我 们 做 的 角

BDM CDH ， BD CD ，因此两三角形全等（

ASA ）．那么 BM CH ， DM

DH ，三

角形 MDN 和 NDH 中，已知的条件有 MD DH ，一条公共边 ND ，要想证得两三角形全等就需 要 知 道 MDN

HDN ， 因 为 CDH

MDB ， 因 此 MDH

BDC 120

， 因 为

MDN 60 ，那么 NDH

120 60

60 ，因此 MDN

NDH ，这样就构成了两三角形全等的条件． 三角形 MDN 和 DNH 就全

等 了 ． 那 么 NM NH

AN AC

BM

， 三 角 形 AMN 的 周 长

Q

AN

AM

MN

AN

AB BM

AN AC BM

2 AN 2AB ． 因 为 AN

x ， AB

1

L ， 因 此 三 角 形 AMN 的 周 长

3

Q

2x

2

L ．

3

解：（ 1）如图 1， 、

、 之间的数量关系：

BM NC

MN ；此时

Q

2 ．

BM NC MN

L

3

（2）猜想：结论仍然成立．

A

证明：如图 2，延长 AC 至 E ，使 CE BM ，连接 DE

∵ BD CD ，且 BDC

120

M

∴ DBC

DCB

30

N

又 ABC 是等边三角形

B

C

∴ MBD

NCD 90

N

D

在 MBD 与 ECD 中

图 1

BM CE

A

MBD ECD

BD DC

∴

MBD

ECD （

）

N

SAS

B

C

∴ DM DE ， BDM

CDE

M

∴ EDN

BDC MDN 60

D

E

在 MDN 与 EDN 中

图 2

A

DM

DE

MDN EDN

DN

DN

B ∴ MDN

EDN （ SAS ）

M

D

∴ MN NE NC BM

图 3

故 AMN 的周长 Q

AM

AN MNAM BMAN

NC AB

AC 2AB

而等边 ABC 的周长 L 3AB

∴

Q

2 AB 2 L

3 AB

3

（3）如图 3，当 M 、N 分别在 AB 、CA 的延长线上时，若

AN x ，则 Q

x

2 L

（用 x 、

2

3

L 表示）．

点评：本题考查了三角形全等的判定及性质； 题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的， 当题中没有明显的全等三角形时， 我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。

H C

中考专题复习全等三角形(含答案)

中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)． 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、

全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】 由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果． 【详解】 解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ， ∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ， ∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ， ∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ， ∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠， ∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ， 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152 DE BD ==，12 BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠= ∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ， ∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5， ∴11451022 ABC S AB CF =?=??=． 故答案为：10．

(完整版)初中数学全等三角形的知识点梳理

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→SSS SAS 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2 ．对称型 如图 4，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）

初中数学专题复习全等三角形(供参考)

初中数学专题复习——全等三角形 一.知识点结构梳理及解读 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 3.三角形全等的判定： （1）边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。 （2）角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （3）角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角角边（AAS）：两个角和其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。 4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 二、找全等三角形的方法 （1）从结论出发，看要证明相等的线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）从已知出发，看可以确定哪两个三角形全等； （3）从条件和结论综合考虑，看能一同确定哪两个三角形全等； （4）考虑辅助线，构造全等三角形。 三．全等三角形中几个重要结论 （1）全等三角形对应角的平分线、中线、高分别相等(对应元素都分别相等) （2）在一个三角形中，等边对等角，反过来，等角对等边；等腰三角形三线合一；等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍；等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。 （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这条边的对角等于90°；Rt⊿30°角的对边等于斜边的一半，反之，Rt⊿中如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角是30°。 （4）三角形三内角平分线交于一点（这点叫三角形的内心，这点到三角形三边的距离相等），三角形两外角平分线与第三内角平分线交于一点（这点叫三角形的旁心，这点到三角形三边所在直线的距离相等），到三角形三边所在直线等距离的点有四个 经典例题

全等三角形(历年中考题)

全等三角形专题（一） 姓名： 1.如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 2.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分） 3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 4．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案： A B C D E O N

（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AO B 的平分线. （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. 5．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F . 求证：（1）FC =AD ； （2）AB =BC +AD 6．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =6，AC =7，BC =8．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第一次落点)处，且CP 1=CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第一次落点)处，且AP 2=AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第三次落点)处，且BP 3=BP 2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2007与P 2010之间的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（2010安徽蚌埠）在ABC ?中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE 2,2==， BE AD 、交于点F ，若3=?ABC S ，则四边形DCEF 的面积为________。 03第8题

人教版八年级数学上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0． （1）求a，b的值； （2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°， ①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为； ②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】 【分析】 （1）利用非负数的性质解决问题即可． （2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． ②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】 （1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0 ∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0 ∴a＝﹣2，b＝4． （2）①如图1中， ∵∠APB＝45°，∠POB＝90°， ∴OP＝OB＝4， ∴P（4，0）． 故答案为（4，0）． ②∵a＝﹣2，b＝4 ∴OA＝2OB＝4 又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45° ∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90° ①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠BAP＝∠APB＝45°， ∴BA＝BP， 又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2， ∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2， ∴P（4，2）． ②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D． ∴∠PDA＝∠AOB＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠ABP＝∠APB＝45°， ∴AP＝AB， 又∵∠BAD+∠DAP＝90°， ∠DPA+∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠DPA， ∴△BAO≌△APP（AAS）， ∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4， ∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2， ∴P（2，﹣2）． 综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

初中数学全等三角形的证明题含答案

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C

证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝ CG B A C D F 2 1 E

2017中学考试全等三角形专题(8种辅助线地作法)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

全等三角形证明中考题精选(有答案)

新人教版八年级上学期全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为 ___________． 【答案】4 【解析】 【分析】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED， ∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案． 【详解】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE． ∵BD=CD，且∠BDC=140°， ∴∠DBC=∠DCB=20°， ∵∠A=40°，AB=AC=2， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°， 同理可得∠NCD=90°， ∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°， 在△BDM和△CDE中，

BM CE MBD ECD BD CD ? ? ∠∠ ? ? ? ＝ ＝， ＝ ∴△BDM≌△CDE（SAS）， ∴MD=ED，∠MDB=∠EDC， ∴∠MDE=∠BDC=140°， ∵∠MDN=70°， ∴∠EDN=70°=∠MDN， 在△MDN和△EDN中， MD ED MDN EDN DN DN ? ? ∠∠ ? ? ? ＝ ＝， ＝ ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=EN=CN+CE， ∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4； 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105 A ABC ∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 180 7 ? ?? ? ?? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB，结合25 A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，

人教版初中数学全等三角形证明题经典50题

人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD? 解析：延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE =∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2 ∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝ 180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平 分∠BAD 所以∠DAC ＝ ∠FAC 又因为AC ＝AC 所以 △ADC ≌△AFC （SAS ） 所以 AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝ AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中， AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接 EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则 ∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所 以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 证明：AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F C D B D C F E A B A C D F 2 1 E

全等三角形专题练习(解析版)

全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在等边ABC ?中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ??+=_________． 【答案】936 【解析】 【分析】 把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】 将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，连接PD ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60?， 又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60?，AB ＝AC ， ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ， ∴∠DAB ＝∠PAC ， 又AB=AC,AD=AP ∴△ADB ≌△APC ∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60?， ∴△ADP 为等边三角形， 在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5， ∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2， ∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?， ∵△ADB ≌△APC ，

∴S△ADB＝S△APC， ∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3 ×32＋ 1 2 ×3×4＝ 93 6+． 故答案为： 93 6+． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】 解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°，

“全等三角形”中考试题分类汇编(含答案)

16、全等三角形 要点一：三角形的全等判定及其应用 一、选择题 1.(2009·江西中考)如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定败涂地 ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 【解析】选C.根据SSS 可知添加A 正确，根据SAS 可知添加B 正确, 根据HL 可知添加D 正确. 2.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 【解析】选C. ①②③均可. 3.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则A C A '∠的度数为（ ） A.20° B.30° C.35° D.40°

【解析】选B.由ACB A CB ''△≌△得A C B BCA ''∠=∠, ∴ACA '∠.30 ='∠='∠-''∠='∠-∠=B BC A BC B C A A BC BCA 4.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解析】选D.在矩形ABCD 中，△CDA 、△BAD 、△DCB 都和△ABC 全等，由题意不难得出四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，得出△ＤＣＥ也和△ABC 全等． 5.（2009·黄冈中考）在△ABC 和C B A '''?中，∠C ＝C '∠，且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角形（ ） A.不一定全等 B.不全等 C.全等，根据“ASA” D. 全等，根据“SAS” 【解析】选D.由b-a=a b '-',b+a=a b '+'可得a a '=，b b '=，又∠C ＝C '∠，根据“SAS”，可得这两个三角形全等. 6.（2010·凉山中考）如图所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论： ①EM FN =； ②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解析】选C ∵90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =,∴△ABE ≌△ACF, ∴∠EAB=∠FAC,∴FAN EAM ∠=∠ ∴△EAM ≌△FAN,∴EM FN =.易证△ACN ≌△ABM. A E F B C D M N

最新全等三角形专题分类复习讲义

第三章全等三角形专题分类复习 一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） (2) __________D ∠= ___________D ∠= （3） __________D ∠= 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ） （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短） （4）证线段之间的位置关系（垂直或平行 方法：证明角等代换） A D B C A B C D A B C D

考点1：证明三角形全等 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短） 例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． D A B C G E F

2021年九年级中考专题训练：全等三角形(含答案)

2021中考专题训练：全等三角形 一、选择题 1. 如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件() A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为() A．15°B．20°C．25°D．30° 3. 如图所示，∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是() A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 4. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是() A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BE 5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 6. 如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为() A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6， 将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于() A. 2 B. 3 C. 2 D. 6 8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为() A．40°B．50°C．55°D．60° 二、填空题

黄冈数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

黄冈数学全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】 以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2． 【详解】 解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个． 故答案为4． 【点睛】 本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键． 2．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．

【答案】4 【解析】 【分析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长． 【详解】 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′， 则CE 即为CM+MN 的最小值， ∵BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ， ∴△BCE 是等腰直角三角形， ∴CE=BC?cos45°=32×2=4． ∴CM+MN 的最小值为4． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 3．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=?时，11n n n A A B --∠=__________． 【答案】 1 702n -? 【解析】 【分析】 先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．

初中数学全等三角形考点总结

初中数学全等三角形考点总结 基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 初中数学全等三角形有关知识总结 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）xx对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理 证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。 运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 三、疑点、xx点 1、对全等三角形书写的错误 在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。 2、对全等三角形判定方法理解错误；

全等三角形的判定与性质专题训练

全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ

3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去

二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF

中考试题全等三角形专题复习

复习说明：全等三角形作为中考试题中必考内容之一，考查的方向非常明确，尤其是近三年来，在解答题中，分值从6分变为7分，考查方式都是通过三角形全等来证明线段相等。从陕西省中考试卷赋分的变化可以看出，命题组是偏向于基础较差的学生来命题，对于简单问题的考查分数比例在逐渐上升趋势，而偏难题的分数分布及赋分比例在逐渐弱化。这部分属于偏低难度的试题，中等以上的学生都可以完成。在复习中面向全体学生，争取让每一位学生都可以可以找出三角形全等的条件，做对三角形全等试题。 全等三角形专题复习 1．(2015·贵州六盘水，第9题3分)如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 考点：全等三角形的判定．. 分析：本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能． 解答：解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；

故选：D． 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2.（2015?江苏泰州,第6题3分）如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】D． 【解析】 试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏． 试题解析：∵AB=AC，D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD； 3. （2015?四川省宜宾市，第18题，6分）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD = ∠BCE 求证：∠A=∠D