Galois滑铁卢数学竞赛(Grade 10)-数学Mathematics-2007-试题 exam

2007Galois Contest (Grade 10)

Wednesday,April 18,2007

1.Jim shops at a strange fruit store.Instead of putting prices on each item,the mathematical store owner will answer questions about combinations of items.

(a)In Aisle 1,Jim receives the following answers to his questions:

Jim’s Question Answer

What is the sum of the prices of an Apple and a Cherry?62cents

What is the sum of the prices of a Banana and a Cherry?66cents

What is di?erence between the prices of an Apple and a Banana?Which has a higher price?Explain how you obtained your answer.

(b)In Aisle 2,Jim receives the following answers to his questions:

Jim’s Question Answer

What is the sum of the prices of a Mango and a Nectarine?60cents

What is the sum of the prices of a Pear and a Nectarine?60cents

What is the sum of the prices of a Mango and a Pear?68cents

What is the price of a Pear?Explain how you obtained your answer.

(c)In Aisle 3,Jim receives the following answers to his questions:

Jim’s Question Answer

What is the sum of the prices of a Tangerine and a Lemon?60cents

How

much more does a Tangerine cost than a Grapefruit?6cents

What is the sum of the prices of Grapefruit,a Tangerine and a Lemon?94cents

What is the price of a Lemon?Explain how you obtained your

answer.2.(a)In the diagram,what is the perimeter of the sector of the circle with radius 12?Explain how you obtained your answer.

(b)Two sectors of a circle of radius 12are placed side by side,as shown.Determine the area of ?gure ABCD .Explain how you obtained

your answer.

A (c)In the diagram,AO

B is a sector of a circle with ∠AOB =60?.

OY is drawn perpendicular to AB and intersects AB at X .What is the length of XY ?Explain how you obtained your answer.A O B

X Y

12

12

(d)See over...

2007Galois Contest Page2

(d)Two sectors of a circle of radius12overlap as shown.

Determine the area of the shaded region.Explain how you

obtained your answer.

R

3.(a)Each face of a5by5by5wooden cube is divided into1

by1squares.Each square is painted black or white,as

shown.Next,the cube is cut into1by1by1cubes.How

many of these cubes have at least two painted faces?

Explain how you obtained your

answer.

(b)A(2k+1)by(2k+1)by(2k+1)cube,where k is a in the

same manner as the5by5by5cube with white squares in the corners.Again,the cube is cut into1by1by1cubes.

i.In terms of k,how many of these cubes have exactly two white faces?Explain how

you obtained your answer.

ii.Prove that there is no value of k for which the number of cubes having at least two white faces is2006.

4.Jill has a container of small cylindrical rods in six di?erent colours.Each colour of rod has a

di?erent length as summarized in the chart.

Colour Length

Green3cm

Pink4cm

Yellow5cm

Black7cm

Violet8cm

Red9cm

These rods can be attached together to form a pole.

There are2ways to choose a set of yellow and green rods that will form a pole29cm in length: 8green rods and1yellow rod OR3green rods and4yellow rods.

(a)How many di?erent sets of yellow and green rods can be chosen that will form a pole

62cm long?Explain how you obtained your answer.

(b)Among the green,yellow,black and red rods,?nd,with justi?cation,two colours for which

it is impossible to make a pole62cm in length using only rods of those two colours.

(c)If at least81rods

of each of the colours green,pink,violet,and red must be used,how

many di?erent sets of rods of these four colours can be chosen that will form a pole2007cm in length?Explain how you got your answer.

2013年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题(含答案)

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1．已知实数x y ，满足 42 424233y y x x -=+=，，则444y x +的值为（ ）． （A ）7 （B ） 12 （C ） 72 + （D ）5 【答】（A ） 解：因为2 0x >，2 y ≥0，由已知条件得 21x ==， 2 y == ， 所以 444y x +=2 2233y x ++- 2226y x =-+=7． 另解：由已知得：2 22 2222()()30()30 x x y y ?-+--=???+-=? ，显然2 22y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为2 30t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x - +=--?=-

故 444y x +＝22 222222[()]2()(1)2(3)7y y x x -+-?-?=--?-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ） 512 （B ）49 （C ）1736 （D ）1 2 【答】（C ） 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知 ?＝24m n -＞0，即2m ＞4n . 通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故17 36 P = . 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )． （A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 【答】（B ） 解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条． 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点 E ，则AE 的长为（ ）． （A ） 2a （B ）1 （C ）2 （D ）a 【答】（B ） 解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=?-=∠． （第3题） （第4题）

Hypatia滑铁卢数学竞赛(Grade 11)-数学Mathematics-2008-试题 exam

2008Hypatia Contest(Grade11) Wednesday,April16,2008 1.For numbers a and b,the notation a?b means2a+b2+ab. For example,1?2=2(1)+22+(1)(2)=8. (a)Determine the value of3?2. (b)If x?(?1)=8,determine the value of x. (c)If4?y=20,determine the two possible values of y. (d)If(w?2)?w=14,determine all possible values of w. 2.(a)Determine the equation of the line through the points A(7,8)and B(9,0). (b)Determine the coordinates of P,the point of intersection of the line y=2x?10and the line through A and B. (c)Is P closer to A or to B?Explain how you obtained your answer. 3.In the diagram,ABCD is a trapezoid with AD parallel to BC and BC perpendicular to AB.Also,AD=6,AB=20,and BC=30. (a)Determine the area of trapezoid ABCD. (b)There is a point K on AB such that the area of KBC equals the area of quadrilateral KADC.Determine the length of BK. (c)There is a point M on DC such that the area of MBC equals the area of quadrilateral MBAD.Determine the length of MC. C 4.The peizi-sum of a sequence a1,a2,a3,...,a n is formed by adding the products of all of the pairs of distinct terms in the sequence.For example,the peizi-sum of the sequence a1,a2,a3,a4 is a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4. (a)The peizi-sum of the sequence2,3,x,2x is?7.Determine the possible values of x. (b)A sequence has100terms.Of these terms,m are equal to1and n are equal to?1.The rest of the terms are equal to2.Determine,in terms of m and n,the number of pairs of distinct terms that have a product of1. (c)A sequence has100terms,with each term equal to either2or?1.Determine,with justi?cation, the minimum possible peizi-sum of the sequence.

数学竞赛中的代数式求值经典问题

数学竞赛中的代数式求值经典问题 题型一、代数式恒等变形 1.若1,则111 a b c ab a bc b ca c ++++++++的值是( ) A ．1． B ．0． C ．-1． D ．-2． 解析：1，则a ，b ，c 均不为0． 选A ． 2．若x 33=1000，且x 22496，则(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)． 解析：由于x 33=1000，且x 22496，因此要把(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)分组、凑项表示为含x 33及x 22的形式，以便代入求值，为此有 (x 33)+(42-2x 2y)-2(23)33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=1992 3．若m ＋n －p ＝0，则?? ? ?????? ?????? ??n m p p m n p n m 111111 －－－＋－的值等于． 解析：3-， 111111()()() ()()() 111 3m n p n p m p m n m m n n n p n p m p m n m p n p m n n n m m p p -+--+=-+---=-+--+=---=-提示： 4．若2，x 22=4，则x 19921992的值是 ( )

A ．4 B ．19922 C ．21992 D ．41992 解析：由2 ① 平方得x 2-22=4 ② 又已知x 22=4 ③ 所以x ，y 中至少有一个为0，但x 22=4．因此，x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有 x 19921992=01992+(±2)1992=21992，选C ． 5．在等式2中,当1时2,当1时20,则9b 2． 解析：以12代入2得2 ① 以120代入2得20 ② ①-②,222，所以11．因此9．于是 9b 2()+9b 2=(-11)×(9)+9×112=990． 6．已知a ＋b ＝－3，a 2b ＋2＝－30，则a 2－＋b 2＋11＝50． 7．已知a a 1+2，则441a a += 2 ； 441a a -= 0 . 8．如果m － m 1＝－3，那么m 3－31m ＝． 解析：36-，提示：32232211111()(1)()[()3] (3)[(3)3]36m m m m m m m m m m - =-++=--+=-?-+= 9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为0b a , 的形式,则a 19921993. 解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1 ，

USnews世界大学排名：数学专业.doc

2016USnews世界大学排名：数学专业 USNEWS排名，是由美国新闻与世界报道(U.S. NEWS & World Report)发布的一项美国大学排名。USNEWS的排名始于1983年，1987年以后每年发布，其排名将大学分类为综合性大学、文理学院、地方性大学和地方性学院等分别进行排名，涵盖100多个专业，几乎遍及所有常见的专业。 USNEWS于2014年10月28日历史首次发布自己的世界大学排名，涵盖49个国家，覆盖多个专业领域。下面请看出国留学网为大家整理的2016USnews世界大学数学专业排名，供大家参考。 数学专业 数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。本专业培养德、智、体、美全面发展的掌握数学与应用数学科学的基本理论、基础知识和基本方法，能够运用数学知识和使用计算机解决若干实际数学问题，具有现代教育观念，适应教育改革需要，以及具有良好的知识更新能力和创新能力的中等学校数学师资和教育、教学管理工作及科学研究的专门人才。

排名 学校名称 国家/地区 1 斯坦福大学 美国 2 加州大学伯克利分校美国

3 普林斯顿大学美国 4 哈佛大学 美国 5 巴黎第六大学法国

5 牛津大学 英国 7 加州大学洛杉矶分校美国 8 剑桥大学 英国

9 麻省理工学院 美国 10 纽约大学 美国 11 明尼苏达大学双城分校美国

12 苏黎世联邦理工学院 瑞士 13 德克萨斯大学奥斯汀分校美国 14 芝加哥大学 美国

2005滑铁卢竞赛试题答案

1.(a)Answer:a=5 Since(a,a)lies on the line3x?y=10,then3a?a=10or2a=10or a=5. (b)Answer:(6,2) Solution1 To get from A to B,we move2units to the right and1unit up. x Since C lies on the same straight line as A and B,then to get from B to C we move2 units to the right and1unit up twice,or4units to the right and2units up. Thus,the coordinates of C are(6,2). Solution2 Label the origin as O and drop a perpendicular from C to P on the x-axis. x Then AOB is similar to CP B since both are right-angled and they have equal angles at B. Since BC=2AB,then CP=2AO=2(1)=2and BP=2BO=2(2)=4. Therefore,the coordinates of C are(2+4,0+2)=(6,2). (c)By the Pythagorean Theorem,AO2=AB2?OB2=502?402=900,so AO=30. Therefore,the coordinates of A are(0,30). By the Pythagorean Theorem,CD2=CB2?BD2=502?482=196,so CD=14.

学用杯数学竞赛卷及答案

学用杯数学竞赛卷及答案． 2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛 八年级决赛试题 （2013年3月17日9:30---11:30 时量：120分钟满分：150分） 一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分）

（请将惟一正确的选项代号填在下面的答 题卡内） 8)(x?1)(x?的值为零，则1．已知式子的值为x |x?1|（） A、8或-1 B、8 C、-1 D、1 2．若，那么的值一定是（）)a)(1?(a1?a01??a?A、 正数 B、非负数 C、负数 D、正负数不能确定 ，3．定义：，例如，)2(?3,),),())?m(),(gmn??,n,(fab?ba(f23版） 21 版 （共 2 八年级决赛试题·第 g(?1,?4)），则等于（))5,6g(f(?)?(1,4、 D A、 B、 C、)5(65(?,?6)5(?6,),?)6(?5,等则，4．已知且， 于( )、C 、 B100 22210?c?ab?5?b ac??cbc?ab?ab? A、105 50 D、 75 ．有面额为壹元、贰元、 伍元的人民币共5元的护10张，欲用来购

买一盏价值为18眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付）款方式有（ 、 C 7 A、8种 B、种、3种 4种 D已知一个直角三角形的两直角边上的中线 6． ，那么这个三角形的斜5和长分别为 102( ) 边长为 B、 C、 A、10 10413、D132，ACB=90°AC7．如图，在△ABC中，=BC，∠AD⊥AD平分∠BAC，BE ，垂足的延长线于点交F AC为E，则下面结论：③=AF；BF；①②BFAD?；AB??ACCD⑤； ④AD=2BE．CF?BE）其中正确的个数是（、2 C、4 A、B3 、D1 版） 21 版（共 3 八年级决赛试题·第

自招竞赛 数学讲义：轮换对称式的最值问题(讲师版)

自招竞赛 数学讲义 轮换对称式的最值问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 知识梳理 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如① 32 a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如② 222222 0,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质 由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①

2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2017.4 本试题卷分填空题和解答题两部分。全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟 第1卷 填空题（共80分） 一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分） 1.设集合{|25},{|18}A x x a B x x =≤≤+=≤≤，满足A B ?，则实数a 的取值范围是___________. 2.设点O 是ABC ?的外心，13,12,AB AC ==则BC AO ? 为______________。 3.函数212 ()log (23)f x x x =-+的值域为_________________。 4.已知函数()sin cos()f x x x t =++为偶函数，且t 满足不等式2 340t t --<，则t 的值是________ 5.已知函数()f x 满足(1)(5)f x f x -=+,且方程()0f x =有5个不同的实根 12345,,,,x x x x x ,则12345x x x x x ++++=______________。 6.已知当6x π =时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图像的对称轴为_____________。 7. 00+的值等于___________。 8.设[]x 表示不超过x 的最大整数，r 为实数，且 17181997[][][][]3571000100010001000r r r r + +++++???++=.则[1000]r =_______。 9.已知平面向量,,a b c ，满足23||||4,2a b a b ==?= ，且()()0c a c b -?-= ，则1||2c b - 的最小值为_____________。 10.设函数2 ()26f x x ax a =-++的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个整数，则实数a 的取值范围_____。 第2卷（解答题，共120分） 二、解答题（本大题共5个小题，前三个小题每题20分，后两个小题每题30分，共120分） 11.已知实数t 满足关系式33log log (0,1)a t t y a a a a =>≠ （1）令x t a =，求()y f x =得表达式； （2）在（1）的条件下，若(0,2)x ∈时，min 8y =，求a 和x 的值。 12.已知0?π≤<，函数2())sin 2 f x x x ?=++的最大值是32。

数学竞赛中代数式最值问题的解题策略

数学竞赛中代数式最值问题的解题策略 邮编：422200 作者：湖南隆回一中 邹启文 数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。如不等式法（包含非负数性质a ≥0，2a ≥0， a ≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。 例1：已知设1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数，且1x ＜2x ＜3x ＜……＜n x ， 1x +2x +， 3x +……+n x =2005，则n x 的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年 自编题） 分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有1x +2x +3x +……+n x =2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定3x 的数值或范围。然后再求n x 的最大与最小数值。 解：由题意可设1x +2x +3x +……+n x =1+2+3+……+n =2005，由高斯求和公式可 得 ()200521=+n n ，解得63≈n ，但当63=n 时()()201632632 1636321=?=+=+n n 当62=n 时()()195363312 1626221=?=+=+n n ，∵1953≤2005≤2016，且n 是整数，∴n ≠62或63，我们又观察到平均值()?=++++n n n x x x x 13211ΛΛ40152005?=，

新时代杯—中小学生数学竞赛

新时代杯——中小学生数学竞赛关于举办第十六届“走进美妙的数学花园”系列主题活动暨首届“新时代杯”少年学生邀请赛，关于“新时代杯”的活动统一组织办法 活动由主办单位统筹安排，在各地以市、县（区）为单位成立地方组委会。各地方组委会在主办单位的授权和指导下，开展各地组织工作，包括宣传、报名、组织“新时代杯”少年数学邀请赛、组织趣味数学解题技能展示及数学创意小制作或数学建模小论文的撰写、组织参加其他各项展示活动等相关工作。 主办单位：少先队安徽省工作学会，安徽省青少年宫协会，安徽省校园文化发展研究中心 承办单位：安徽青年报—学生周刊，安徽省光正校园文化研究所 活动对象：小学三年级至初中二年级。 “新时代杯”少年数学邀请赛说明 1.时间：2018年1月14日（星期日） 上午三年级组、四年级组、七年级组：8:30-10:00 五年级组、六年级组、八年级组：10:30-12:00 2.内容：数学核心素养展示（笔试）。 3.区域：以学校为单位统一组织。 4.报名费用：免费参加。

5.报名方式：网络在线报名。报名通道为官方网站及官微,承办单位发放报名说明。 6.报名截止时间：2017年12月30日。 7.辅导资料：由承办单位统一整理提供，《大赛辅导专辑》定价15.00元。（不强制购买） 8.试题、考场及阅卷：由主办单位全省统一命题、印发试卷，考场在参赛学校安排，阅卷工作由承办单位集中进行。 9.成绩公布：活动成绩在承办单位官方网站及官微。 10.奖项说明：选取成绩为各组别参加活动的总人数前30%的学生（其中：一等奖5%。二等奖10%，三等奖15%），由安徽省组委会颁发“新时代杯”少年数学邀请赛获奖证书并入围全国趣味数学解题技能展示。 参加走美杯总决赛在“新时代杯”获奖的学生由安徽省组委会推荐到全国趣味数学解题技能展示（笔试：国家级比赛）。校园数学益智文化活动（学校社团活动）组委会将根据“趣味数学解题技能展示”阶段的学生获奖情况，在参加活动的学校择优组建成立“青少年数学社团”开展活动。（活动内容包括：数学文化节、数学智力运动会、数学建模等）。本次活动得到了安徽省各大初高中的重视，获奖学生将有机会直接通过自主招生进入名校。

Galois滑铁卢数学竞赛(Grade 10)-数学Mathematics-2007-试题 exam

2007Galois Contest (Grade 10) Wednesday,April 18,2007 1.Jim shops at a strange fruit store.Instead of putting prices on each item,the mathematical store owner will answer questions about combinations of items. (a)In Aisle 1,Jim receives the following answers to his questions: Jim’s Question Answer What is the sum of the prices of an Apple and a Cherry?62cents What is the sum of the prices of a Banana and a Cherry?66cents What is di?erence between the prices of an Apple and a Banana?Which has a higher price?Explain how you obtained your answer. (b)In Aisle 2,Jim receives the following answers to his questions: Jim’s Question Answer What is the sum of the prices of a Mango and a Nectarine?60cents What is the sum of the prices of a Pear and a Nectarine?60cents What is the sum of the prices of a Mango and a Pear?68cents What is the price of a Pear?Explain how you obtained your answer. (c)In Aisle 3,Jim receives the following answers to his questions: Jim’s Question Answer What is the sum of the prices of a Tangerine and a Lemon?60cents How much more does a Tangerine cost than a Grapefruit?6cents What is the sum of the prices of Grapefruit,a Tangerine and a Lemon?94cents What is the price of a Lemon?Explain how you obtained your answer.2.(a)In the diagram,what is the perimeter of the sector of the circle with radius 12?Explain how you obtained your answer. (b)Two sectors of a circle of radius 12are placed side by side,as shown.Determine the area of ?gure ABCD .Explain how you obtained your answer. A (c)In the diagram,AO B is a sector of a circle with ∠AOB =60?. OY is drawn perpendicular to AB and intersects AB at X .What is the length of XY ?Explain how you obtained your answer.A O B X Y 12 12 (d)See over...

九年级数学竞赛题：代数最值

九年级数学竞赛题：代数最值 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有： 1．利用配方法求最值； 2．运用不等式或不等分析法求最值； 3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 4．构造二次函数模型求最值； 5．构造图形求最值． 例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题： （1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？ （2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案． 例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区． 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表： （1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 、 （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议． 例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a （1） 求a 、b 、c 中最大者的最小值； （2） 求||||||c b a ++的最小值． 例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书

学用杯数学竞赛卷及答案

2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛 八 年 级 决 赛 试 题 （2013年3月17日9:30---11:30 时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分） （请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．已知式子 1 ||) 1)(8(-+-x x x 的值为零，则x 的值为（ ） A 、8或-1 B 、8 C 、-1 D 、1 2．若01<<-a ，那么)1)(1(a a a +-的值一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、正负数不能确定 3．定义：),(),(a b b a f =，),(),(n m n m g --=，例如)2,3()3,2(=f ，)4,1(--g )4,1(=，则))6,5((-f g 等于（ ） A 、)5,6(- B 、)6,5(-- C 、)5,6(- D 、)6,5(- 4．已知5=-b a ，且10=-b c ，则ac bc ab c b a ---++2 2 2 等于( ) A 、105 B 、100 C 、75 D 、50 5．有面额为壹元、贰元、伍元的人民币共10张，欲用来购买一盏价值为18元的护眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付款方式有（ ） A 、8种 B 、7种 C 、4种 D 、3种 6．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和102，那么这个三角形的斜边长为( ) A 、10 B 、104 C 、13 D 、132 7．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于点F ，垂足为E ，则下面结论： ①AD BF =； ②BF =AF ； ③AC CD AB +=； ④BE CF =； ⑤AD =2BE ． 其中正确的个数是（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1

加拿大数学专业研究生院校推荐及就业前景分析.doc

加拿大数学专业研究生院校推荐及就业前 景分析 生活处处是数学，数学专业也是很多专业的基础，那么加拿大的数学专业研究生怎么样呢？小编现在来告诉你。 首先我们看看加拿大研究生留学优势 市场实用 目前，在加拿大研究生课程有两种类型，一是学位课程，即graduate degree，或master/ ree，由大学开设及颁发学位；另一类是研究生文凭，一般只在加拿大的公立学院中开设，学成获得毕业证书。研究生学位课程侧重于学术研究，加拿大研究生文凭课程更侧重于学习实际技能，实用性更强，更贴近社会的用人需求，培养技术型的人才，让学生获得某一领域的高级专业技能，因此更受加拿大当地雇主们的喜爱。 就业前景好 被加拿大政府高度认可，毕业后的就业率高。一般8个月加上4个月的带薪实习，就业率接近100%。加拿大是一个重视能力的国家，并不是学历越高越容易就业。每所提供研究生文凭课程的学院与大型公司，政府部门都有合作办学。课程设计由

政府部门，工业界代表及校内外教授组成的学术委员会作指导，根据市场和用人单位的具体需要设计教学大纲，并定期对教学结果作评估，随时根据市场变化调整教学，以确保学生所学切合市场需要。紧密的学以致用的办学特点和政府，工业界为后盾，保证了学生极高的就业率。实用技术型的研究生文凭对在中国的就业也有帮助的，特别是获得外企的认可。 继续深造True 研究生文凭可以衔接硕士学位，学生学完之后可以就业，也可以继续攻读研究生学位课程。在申请硕士研究生时，所学课程可以转学分，以缩短继续深造的时间。 门槛低 加拿大硕士研究生的录取要求高，竞争激烈，需要本科学士学位，本科成绩在80%以上，雅思至少6.5分以上，另外需要申请文书如个人简历、推荐信、个人陈述等材料，未达相关语言要求的情况下基本申请不到；而研究生文凭申请相对简单很多，只需要大专或者本科毕业，成绩在70或75以上，语言合格即可申请，未达语言要求者可申请双录取。 移民捷径 为了留住人才，吸纳优秀的国际学生，加拿大一直在移民政策上进行改革，逐步倾向于吸引更多的国际学生到加拿大留学，工作。根据加拿大最新的移民法，学生毕业后可申请到与上课时间相一致长短的工作签证（至少一年），在持工签期间，只要找到符合规定的工作，便可以无障碍申请加拿大移民。

数学竞赛中的无理函数最值问题

数学竞赛中的无理函数最值问题 无理函数是一类特殊的函数，其最值(或值域)的求法大多涉及到化归思想，能较好的考查学生分析问题解决问题的能力，因此受到数学竞赛命题人的青睐，时常出现在数学竞赛中，本文结合近几年全国数学联赛中的一些试题，总结这类问题的解法，并给出相应练习供参考： 一、利用函数单调性求无理函数的最值 若无理函数函数的单调性比较容易确定，常借助其单调性求最值。 例1（2010全国高中数学联赛）.函数x x x f 3245)(---=的值域是 . 解析：该题是一道基础题，易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，x=5时)(x f 取到最小值-3，x=8时)(x f 取到最大值3，所以)(x f 的值域为]3,3[-. 练习1：函数12)(2+-+-=x x x x f 的最小值是 .（3） 二、利用代数换元求无理函数的最值 例2.（2011全国高中数学联赛山西预赛）函数25113y x x =-+-的最大值 是 ． 解析：令113x t -=，则6123061134(113)611314 y x x x x =-+-=--+-+ 2 23656546142244t t t ??=-++=--+≤ ?? ?，则6524y ≤，当34t =，即16748x =取得等号， 所以25113y x x =-+-的最大值是24 65. 例 3.（2011全国高中数学联赛四川初赛）已知0>m ，若函数 mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值． 解析：令mx t -=100，则m t x 2 100-=， ∴4 100)2(110022m m m t m t m t y ++--=+-=， ∴当2 m t =时，y 有最大值4100m m +，即4100)(m m m g +=． ∴104 10024100)(=?≥+=m m m m m g ， 等号当且仅当20=m 时成立， ∴当20=m 时，)(m g 有最小值10． 评析：对于形如“y m x n a x b =++±”的无理函数，一般可通过令

初中数学竞赛中最值问题求法应用举例[1]

最值问题求法 例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（） A．27 B、 18 C、15 D、 12 例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是 —————————— 。 例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大 值的和是 ———————— 。 例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S = 2a－3∣b∣的最大值为 -------------------，最小值为 -------------------- 。

（二）、直接运用a 2＋b 2 ≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。 例题（6）、若X > 0，则函数Y = 3X ＋3 1X ＋21 ++ X X 的最小值。 例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2 ＋d 2 =316 ，求a 的最小值与最大值。 （三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。 例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值 ；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。

例题（9）、求函数Y = 12 15 632 2++++X X X X 的最小值。 （四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。 例题（10）、abcde 是一个五位自然数，其中a ，b ，c ，d ，e 为阿拉伯数字，且a

摧毁华尔街的数学公式

摧毁华尔街的数学公式（原名：The formula that killed Wall Street） 从上世纪80年代中期起，华尔街就开始依赖金融工程精英们来创造各种新的获利途径。他们创造金钱的方法一直成功运转了这么多年，直到其中一种“突然”引发了这场全球性的经济灾难。 一年前，人们总认为像李祥林（David X. Li）这样的数学天才可能会在某日得到诺贝尔奖的眷顾，因为金融经济学者，甚至华尔街的这类人才的确此前也获得过诺贝尔经济学奖。李祥林的开创性工作是衡量投资风险，而在金融领域，他的成果与以前获得过诺贝尔奖的学者的贡献相比更有影响力、更快速地得到广泛应用。然而，当晕头转向的银行家、政治家、监管者和投资者在这场自“大萧条”以来最严重的金融大崩溃的废墟中寻找事发根源时，他可能更应该庆幸的是自己还有一份金融业的工作。 李祥林从事的研究是确定资产间的相关性(correlation)，也就是将一些完全不同的事件之间的关联度用数学模型来量化。这是金融领域中的一大难题，但他构建的被称为高斯相依函数的公式能以数学手段令极其复杂的风险比以前更容易和精确地被衡量。基于这一公式，金融机构能够大胆地出售各种新型证券和金融衍生品，将金融市场扩张至几乎不可思议的水平。 从债券投资者到华尔街的银行，从评级机构到监管机构，几乎每一个人都在使用李祥林的公式。很快，利用这一公式来衡量风险的方

法已经在金融领域深入人心，并且帮人们赚到了大量金钱，使得任何对此公式的局限性的警告都被人们忽视了。 然而，突然间，使用这一公式的人们发现，金融市场开始出乎他们意料之外地变化。小小的裂缝在2008年演变成了巨大的峡谷，瞬间吞噬了成千上万亿的资金，将全球银行体系推向了崩溃的边缘，并引发了这场波及全球各个角落的经济危机。 可以肯定地说，李祥林在短期内都不可能获得诺贝尔经济学奖的眷顾了。而这场金融大海啸也使得金融经济学此前受人们顶礼膜拜、坚信不疑的地位不复存在。 为何数学公式的影响如此之大 令人们惊诧的问题是，一个数学公式怎会给金融界带来如此毁灭性的结果？答案隐藏在让养老基金、保险公司和对冲基金向企业、各国家和购房者发放数万亿美元贷款的庞大债券市场中。一个企业若要发行债券借款，投资者会严密审查公司账目，以确认公司能有足够资金偿还贷款。若放款人认为贷款的风险很高，他们索要的利息率也会更高。 债券投资者都是在赌“大概率事件”，如果债券违约的概率是1%，而他们可以获得额外2%的利息，他们就会蜂拥而上购买该债券。这就好比一个赌场，人们不介意偶尔输掉一些钱，只要大多数的时间里，他们都在赢钱。 债券投资者通常也对由数百乃至上千个住房按揭贷款构成的资 产池进行投资。现在涉及的这类活动总规模大得惊人：美国购房人所

西西弗杯数学竞赛复习题

西西弗杯数学竞赛复习题 Final revision on November 26, 2020

“西西弗”杯数学竞赛复习试卷 一、填空。 1、有一个111……11(101个)除以3余数是( ). 2、把两个面积相等的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是12厘米，每个正方形的面积是（）平方厘米。 3、一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h（单位厘米），如果它的高增加5厘米，新的长方体体积增加了（）立方厘米。 4、一个数与它本身相加、相减、相除、所得的和、差、商相加是12，这个数是（）。 5、如果把两个棱长5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的表面积是（）平方厘米。 6、已知11×99=1089，111×999=110889，11……1（20个1） ×99……9（20个9）的积里有（）个数位上的数是偶数。7、甲、乙、丙、丁四人做游戏，有写着0—100号码的卡片，按照下列要求连续分发，先发给甲2张、第二发给乙1张、再发给丙2张、最后发给乙1张。问： ⑴、得到第44号卡片的是（）。 ⑵、第99号卡片又发到（）的手中。 8、已知a※2=a×a 那么5※3=（） 9、已知□※△=3□-2△ 那么4※3=（） 10、把边长是10厘米的两个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。 11、用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，这个大长方体表面积是（）厘米2。 12、用棱长是2厘米的正方体木块拼成一个较大的正方体，至少要（）块。 13、甲数是a，比乙数的4倍少0.5，求乙数的式子是（）。 14、一个正方体棱长总和是48厘米，这个正方体的表面积是（）平方厘米。 15、已知a除以b的商是8，余数是3。如果把a和b的同时扩大100倍后，商是（），余数是（）。 16、爸爸对儿子说：我像你这么大时，你才4岁；当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸是（）岁，儿子是（）岁。 17、如果把一根木料锯成3段需用9分钟，那么用同样的速度把这根木料锯成4段，要用多少时间？ 二、计算。（用简便方法计算） 4253×7236+7678×2764+3425×7236 （125×99+125）×16÷ 0.1+0.2+0.3+0.4+……+9.9 3.6×1.4+36×0.86 三、解方程。 [Ｘ－（7.5+6.1）]×1.5=14.7 1÷[（6－2.8）×Ｘ]=0.125 四、应用题 1、在一个汽车停车场停车一次至少要交费2元，如果停车超过1小时，每多停0.5小时要多交0.5元，这辆汽车离开停车场时交了5.5元，这辆汽车停了多少小时？ 2、小龙买了1千克糖果和3千克饼干付了44.2元，小丽买了同样的糖果和饼干各1千克付了24.2元，这种糖果和饼干每千克各是多少元？ 3、一个三位数，它能被2整除，又有因数5，百位上的数是最小的质数，十位上的数比百位的数大5，这个三位数是多少？ 4、六年级一班上体育课，每3人一排多1人，每4人一排多1人，每5人一排多1人，问六年级一班有多少人？ 5、五年级一班做课间操，每4人一排差2人，每5人一排差3人，每