Fermat滑铁卢数学竞赛(Grade 11)-数学Mathematics-2002-试题 exam
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Scoring:There is no penalty for an incorrect answer.Each unanswered question is worth 2, to a maximum of 10 unanswered questions.
Part A: Each correct answer is worth 5.
1.If x =3, the numerical value of 522–x is
(A ) –1(B ) 27(C ) –13(D )–31(E ) 3
2.33
2232++ is equal to
(A ) 3(B ) 6(C ) 2(D )32(E ) 5
3.If it is now 9:04 a.m., in 56 hours the time will be
(A ) 9:04 a.m.(B ) 5:04 p.m.(C ) 5:04 a.m.(D ) 1:04 p.m.(E ) 1:04 a.m.
4.Which one of the following statements is not true?
(A ) 25 is a perfect square.
(B ) 31 is a prime number.
(C ) 3 is the smallest prime number.
(D ) 8 is a perfect cube.
(E ) 15 is the product of two prime numbers.
5. A rectangular picture of Pierre de Fermat, measuring 20 cm
by 40 cm, is positioned as shown on a rectangular poster
measuring 50 cm by 100 cm. What percentage of the area
of the poster is covered by the picture?
(A ) 24%(B ) 16%(C ) 20%
(D ) 25%(E ) 40%
6.Gisa is taller than Henry but shorter than Justina. Ivan is taller than Katie but shorter than Gisa. The
tallest of these five people is
(A ) Gisa (B ) Henry (C ) Ivan (D ) Justina (E ) Katie
7. A rectangle is divided into four smaller rectangles. The
areas of three of these rectangles are 6, 15 and 25, as shown.The area of the shaded rectangle is
(A ) 7(B ) 15(C ) 12
(D ) 16(E
) 10
8.In the diagram, ABCD and DEFG are squares with equal side lengths, and ∠=°DCE 70. The value of y is (A ) 120(B ) 160(C ) 130(D ) 110(E ) 1409.The numbers 1 through 20 are written on twenty golf balls, with one number on each ball. The golf
balls are placed in a box, and one ball is drawn at random. If each ball is equally likely to be drawn,what is the probability that the number on the golf ball drawn is a multiple of 3?
(A )320(B )620(C )1020(D )520(E )1
2010.ABCD is a square with AB x =+16 and BC x =3, as shown.The perimeter of ABCD is
(A ) 16(B ) 32(C ) 96
(D ) 48(E ) 24Part B: Each correct answer is worth 6.
11. A line passing through the points 02,?() and 10,() also passes through the point 7,b (). The numerical
value of b is
(A ) 12(B )92(C ) 10(D ) 5(E ) 14
12.How many three-digit positive integers are perfect squares?
(A ) 23(B ) 22(C ) 21(D ) 20(E ) 19
13. A “double-single” number is a three-digit number made up of two identical digits followed by a
different digit. For example, 553 is a double-single number. How many double-single numbers are there between 100 and 1000?
(A ) 81(B ) 18(C ) 72(D ) 64(E ) 90
14.The natural numbers from 1 to 2100 are entered sequentially in 7 columns, with the first 3 rows as
shown. The number 2002 occurs in column m and row n . The value of m n + is
Column 1Column 2Column 3Column 4Column 5Column 6Column 7
Row 1 1 2 3 4 5 6 7
Row 2 8 91011121314
Row 315161718192021
M M M M M M M M
(A ) 290(B ) 291(C ) 292(D ) 293(E ) 294
x + 163x
A B
D C
15.In a sequence of positive numbers, each term after the first two terms is the sum of all of the previous
terms . If the first term is a ,the second term is 2, and the sixth term is 56, then the value of a is
(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 4(E ) 5
16.If ac ad bc bd +++=68 and c d +=4, what is the value of a b c d +++?
(A ) 17(B ) 85(C ) 4(D ) 21(E ) 64
17.The average age of a group of 140 people is 24. If the average age of the males in the group is 21 and
the average age of the females is 28, how many females are in the group?
(A ) 90(B ) 80(C ) 70(D ) 60(E ) 50
18. A rectangular piece of paper AECD has dimensions 8 cm by 11 cm. Corner E is folded onto point F , which lies on DC ,
as shown. The perimeter of trapezoid ABCD is closest to (A ) 33.3 cm (B ) 30.3 cm (C ) 30.0 cm
(D ) 41.3 cm (E ) 35.6 cm 19.If 238610a b =(), where a and b are integers, then b a ? equals
(A ) 0(B ) 23(C )?13(D )?7(E )?3
20.In the diagram, YQZC is a rectangle with YC =8 and CZ = 15. Equilateral triangles ABC and PQR , each with
side length 9, are positioned as shown with R and B on sides
YQ and CZ , respectively. The length of AP is (A ) 10(B )117(C ) 9(D ) 8(E )72Part C: Each correct answer is worth 8.
21.If 31537521
219????+?=L n n , then the value of n is
(A ) 38(B ) 1(C ) 40(D ) 4(E ) 39
22.
The function f x () has the property that f x y f x f y xy +()=
()+
()+2, for all positive integers x and y .
If f 14()=, then the numerical value of f 8() is
(A ) 72(B ) 84(C ) 88(D ) 64(E ) 80
continued ...
Figure 1
Figure 2
23.The integers from 1 to 9 are listed on a blackboard. If an additional m eights and k nines are added to
the list, the average of all of the numbers in the list is 7.3. The value of k m + is
(A ) 24(B ) 21(C ) 11(D ) 31(E ) 89
24. A student has two open-topped cylindrical containers. (The
walls of the two containers are thin enough so that their
width can be ignored.) The larger container has a height of
20 cm, a radius of 6 cm and contains water to a depth of 17
cm. The smaller container has a height of 18 cm, a radius of
5 cm and is empty. The student slowly lowers the smaller
container into the larger container, as shown in the cross-
section of the cylinders in Figure 1. As the smaller container is lowered, the water first overflows out of the larger container (Figure 2) and then eventually pours into the
smaller container. When the smaller container is resting on
the bottom of the larger container, the depth of the water in the smaller container will be closest to
(A ) 2.82 cm (B ) 2.84 cm (C ) 2.86 cm
(D ) 2.88 cm (E ) 2.90 cm
25.The lengths of all six edges of a tetrahedron are integers. The lengths of five of the edges are 14, 20,
40, 52, and 70. The number of possible lengths for the sixth edge is
(A ) 9(B ) 3(C ) 4
(D ) 5(E ) 6
小学六年级数学能力竞赛试题(含答案)
小学六年级数学能力竞赛试题 一、填空。（每题4分，共48分） 1、在长6cm，宽4cm的长方形中画一个最大的圆，圆的周长是（）cm。 2、1与一个数的倒数之差是7 9 ，这个数是（）。 3、小明看一本书，每天看16页，5天后还剩全书的3 5 没看，这本书有 （）页。 4、一件商品，第一次降价 1 10 后无人问津。店主为了促销，在此基础上 又降价1 10 ，现在的价格是原价的 （） （） 。 5、玲玲和妈妈今年的年龄之和是45岁，年龄之差是27岁，玲玲今年（）岁，妈妈今年（）岁。 6、，每次抽两张组成一个两位数，共可以组成（）个两位数。 7、如果A×75%＝B×1 2 ＝C÷1，则A、B、C从小到大的顺序是： （）。 8、六（1）班学生参加英语竞赛的有18人，参加作文竞赛的有22人， 有14人两项竞赛都参加了。六（1）班参加作文和英语竞赛的一共有（）人。 9、按规律填数。2、7、22、67、（）、（） 10、三(2)班第一小组学生在一次数学测验中，2人得了100分，3人得 了96分，其余6人共得480分，第一小组这次测验的平均成绩是
（）分。 11、c玩具店同时售出二件电动玩具，各为120元。其中一件赚了25%， 另一件亏了25%。玩具店卖出这两件玩具店后是（）（填赚或亏）了（）元。 12、一个学生用计算器算题，在最后一步应除以10，他错误的乘以 10，因此得出错误答案500，正确答案应该是（）。 二、选择正确答案的序号填在括号里。（每题4分，共20分） 1、公园门口摆放了一个正五边形花坛，花坛的最外层每边各摆放了8 盆花，最外层共摆了（）盆花。 A、45 B、40 C、35 2、“大牛的头数相当于小牛的8 5 ”，就是大牛的头数比小牛（）。 A、多3 5 B、少 3 5 C、多 1 5 3、右图几个三角形中（）的面积最大。 A、△ABC B、△ABD C、△ABE 4、有大小两个圆，它们的半径之差是3cm，两个圆的周长之差是（）cm。 A、3 B、9.42 C、18.84 5、掷两粒骰子，出现点数和为7，和为8的可能性大的是（）。 A、点数和为7 B、点数和为8 C、同样大。 6、125×12.5×1.25×8×8×8积的末尾有( )零。 A、6 B、7 C、9 三、巧妙计算。（请写出计算过程）（12分） 1 2＋ 1 6 ＋ 1 12 ＋ 1 20 ＋ 1 30 6.5×999＋135×99
Hypatia滑铁卢数学竞赛(Grade 11)-数学Mathematics-2008-试题 exam
2008Hypatia Contest(Grade11) Wednesday,April16,2008 1.For numbers a and b,the notation a?b means2a+b2+ab. For example,1?2=2(1)+22+(1)(2)=8. (a)Determine the value of3?2. (b)If x?(?1)=8,determine the value of x. (c)If4?y=20,determine the two possible values of y. (d)If(w?2)?w=14,determine all possible values of w. 2.(a)Determine the equation of the line through the points A(7,8)and B(9,0). (b)Determine the coordinates of P,the point of intersection of the line y=2x?10and the line through A and B. (c)Is P closer to A or to B?Explain how you obtained your answer. 3.In the diagram,ABCD is a trapezoid with AD parallel to BC and BC perpendicular to AB.Also,AD=6,AB=20,and BC=30. (a)Determine the area of trapezoid ABCD. (b)There is a point K on AB such that the area of KBC equals the area of quadrilateral KADC.Determine the length of BK. (c)There is a point M on DC such that the area of MBC equals the area of quadrilateral MBAD.Determine the length of MC. C 4.The peizi-sum of a sequence a1,a2,a3,...,a n is formed by adding the products of all of the pairs of distinct terms in the sequence.For example,the peizi-sum of the sequence a1,a2,a3,a4 is a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4. (a)The peizi-sum of the sequence2,3,x,2x is?7.Determine the possible values of x. (b)A sequence has100terms.Of these terms,m are equal to1and n are equal to?1.The rest of the terms are equal to2.Determine,in terms of m and n,the number of pairs of distinct terms that have a product of1. (c)A sequence has100terms,with each term equal to either2or?1.Determine,with justi?cation, the minimum possible peizi-sum of the sequence.
小学二年级数学奥林匹克竞赛题(附答案)
小学二年级数学奥林匹克竞赛题（附答案） 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ 3、2，3，5，8，12，( )，( ) 4、1，3，7，15，( )，63,( ) 5、1，5，2，10，3，15，4，( ) ，( ) 6、○、△、☆分别代表什么数？(1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 11. 修花坛要用94块砖，?第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 12. 王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 13. 食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？ 16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 17、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( ) 18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=( )
19、按规律填数。(1)1，3，5，7，9，( ) (2)1，2，3，5，8，13 ( ) (3)1，4，9，16，( ) ，36 (4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( ) 20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 (1)8 8 8 8 8 8 8 8 =1000 (2) 4 4 4 4 4 =16 (3)9 8 7 6 5 4 3 2 1=22 21、30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。 23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( ) 个。 24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？ 25、用1、2、3三个数字可以组成( ) 个不同的三位数。 26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( ) 和( ) 27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( ) 盘。 28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子) ，使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。
数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)
第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．
初一数学竞赛讲座.
初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题 一、 知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末 位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末 位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条 件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需 要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 二、 例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其 个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着 次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。
分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序 数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式， 从而解决问题。 例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新 排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正 好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差 后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100
小学六年级数学竞赛试题及详细答案
小学六年级数学竞赛试题及详细答案 一.计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分） 二.填空题（共40分，每小题5分） 1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立： （1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992 2.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米.25厘米.15厘米，并且它的下底是最长的一条边.那么，这个等腰梯形的周长是_ _厘米. 3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了.这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻.原来至少有_ _人已经就座. 4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r.a=_ _，r=_ _. 5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶.他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000.其中年龄最大的老人今年_ ___岁. 6.学校买来历史.文艺.科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本.那么，至少__ __个学生中一定有两人所借的图书属于同一种. 7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分.那么得分最少的选手至少得__ __分，至多得__ __分.（每位选手的得分都是整数） 8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管.那么，只有当锯得的38毫米的铜管为__ __段.90毫米的铜管为_ ___段时，所损耗的铜管才能最少. 三.解答下面的应用题（要写出列式解答过程.列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分） 1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米.现由甲工程队先修3天.余下的路段由甲.乙两队合修，正好花6天时间修完.问：甲.乙两个工程队每天各修路多少米？ 2.一个人从县城骑车去乡办厂.他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米.又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程. 3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）.将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米.求这个大长方体的体积 . 4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所 多35本.第2次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包.这批书共有多少本？
初中数学竞赛讲座之数论初步(一)
初中数学竞赛讲座之数论初步(一) 整数的整除性 定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则 ①．若c|b ，b|a ，则c|a. ②．若b|a ，则bc|ac ③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb ④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c 证明：因为(a ，b)＝1 则存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1 ∴ asc ＋btc ＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc ＋btc) ? b|c ⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c 证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z) 又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z) 又(a ，b)＝1 ∴ s ＝bt'(t'∈Z) 于是c ＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ⑦．(a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数) 整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a - ①.2|a 1?2|N ， 5|a 1? 5|N
②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ?3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ?9|N ③.4|a a ? 4|N 25|a a ? 25|N ④.8|a a a ?8|N 125|a a a ?125|N ⑤．7||41n n a a a -－a a a |?7|N ⑥．11||41n n a a a -－a a a |?11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ?11|N ⑧．13||41n n a a a -－a a a |?13|N 推论：三个连续的整数的积能被６整除. 例题： 1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a ∴ 11|a ＋c ＋d －b －a 即11|c ＋3 ∴ c ＝8 1≤a ≤9，且a ∈Z 2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值. 解：72＝8×9，且(8，9)＝1 ∴ 8|b 673 a ，且9| b 673a ∴ 8|b 73 ? b ＝6 且 9|a ＋6＋7＋3＋6 即9|22＋a ∴ a ＝5 3.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n ，
小学六年级数学奥林匹克竞赛题(含答案)
小学六年级数学奥林匹克竞赛题（含答案） 某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 解： 设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392 电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等 甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 答案
取40％后，存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗 小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 答案 小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份 4*1/6＝2/3 （小明要给小亮2/3份玻璃球） 小明还剩：4-2/3＝3又1/3（份）
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题
竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 2007Galois Contest (Grade 10) Wednesday,April 18,2007 1.Jim shops at a strange fruit store.Instead of putting prices on each item,the mathematical store owner will answer questions about combinations of items. (a)In Aisle 1,Jim receives the following answers to his questions: Jim’s Question Answer What is the sum of the prices of an Apple and a Cherry?62cents What is the sum of the prices of a Banana and a Cherry?66cents What is di?erence between the prices of an Apple and a Banana?Which has a higher price?Explain how you obtained your answer. (b)In Aisle 2,Jim receives the following answers to his questions: Jim’s Question Answer What is the sum of the prices of a Mango and a Nectarine?60cents What is the sum of the prices of a Pear and a Nectarine?60cents What is the sum of the prices of a Mango and a Pear?68cents What is the price of a Pear?Explain how you obtained your answer. (c)In Aisle 3,Jim receives the following answers to his questions: Jim’s Question Answer What is the sum of the prices of a Tangerine and a Lemon?60cents How much more does a Tangerine cost than a Grapefruit?6cents What is the sum of the prices of Grapefruit,a Tangerine and a Lemon?94cents What is the price of a Lemon?Explain how you obtained your answer.2.(a)In the diagram,what is the perimeter of the sector of the circle with radius 12?Explain how you obtained your answer. (b)Two sectors of a circle of radius 12are placed side by side,as shown.Determine the area of ?gure ABCD .Explain how you obtained your answer. A (c)In the diagram,AO B is a sector of a circle with ∠AOB =60?. OY is drawn perpendicular to AB and intersects AB at X .What is the length of XY ?Explain how you obtained your answer.A O B X Y 12 12 (d)See over... 函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 六年级数学竞赛试题 姓名_________ 成绩_______ 一、填空。（27分） 1、一个数由32个百、56个百分之一组成，这个数是（），它含有（）个0.01，这个数保留到十分位是（）。 2、填上合适的单位名称： 一间教室面积是54（）汽车每小时行90（）一瓶矿泉水容积是255（）3、5.02吨=（）吨（）千克 1.75小时=（）小时（）分 4、2÷（）=0.4=（）：15=8 （） =（）% 5、2 15：0.6化成最简整数比是（），比值是（）。 6、桌子每张a元，椅子每把b元，买20套桌椅共需（）元。（一张桌子配两把椅子） 7、小丽和小红同时从学校出发，小丽向东走80米，记作+80米，小红向西走60米，记作（）米，此时两人相距（）米。 8、一个圆柱形木块削去18.84立方分米加工成最大的圆锥体，这个圆柱形木块体积是（）立方分米。 9、三角形三个内角度数比是1：3：5，这个三角形是（）三角形。 10、2 9的分子增加6，要使分数大小保持不变，分母应为（）。 11、王奶奶5月1日去银行存了一年定期储蓄2万元，年利率1.98%，利息税20%，她到期可得本金和税后利息共（）元。 12、一个圆的周长是12.56厘米，以它的一条直径为底边，在圆内画一个最大的三角形，这个三角形面积是（）平方厘米。 13、一张精密零件图纸的比例是5：1，在图上量得某个零件长度是48毫米，这个零件实际长度是（）。 14、自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米，一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟会浪费（）升水。 15、九张卡片上分别写着1-9九个数字。甲、乙、丙、丁四人每人拿两张。甲的数字之和是9，乙的两张数字之差是6，丙的两张数字之积是12，丁的两张数字之商是3，剩下一张的数字是（）。 二、判断题。（8分） 第二讲 创造的基石——观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的． 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性． 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石． “要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的．”______G ．波利亚 链接：G ．波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的《怎样解题》等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一． 观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想． 举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11．归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和．”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥． 例题讲解 【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l ，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ． (舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示． 【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： 像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )． A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键． ．．．．．．四条直线相交，最多有六个交点 三条直线相交，最多有三个交点两条直线相交，最多只有一个交点 加拿大数学专业研究生院校推荐及就业前 景分析 生活处处是数学，数学专业也是很多专业的基础，那么加拿大的数学专业研究生怎么样呢？小编现在来告诉你。 首先我们看看加拿大研究生留学优势 市场实用 目前，在加拿大研究生课程有两种类型，一是学位课程，即graduate degree，或master/ ree，由大学开设及颁发学位；另一类是研究生文凭，一般只在加拿大的公立学院中开设，学成获得毕业证书。研究生学位课程侧重于学术研究，加拿大研究生文凭课程更侧重于学习实际技能，实用性更强，更贴近社会的用人需求，培养技术型的人才，让学生获得某一领域的高级专业技能，因此更受加拿大当地雇主们的喜爱。 就业前景好 被加拿大政府高度认可，毕业后的就业率高。一般8个月加上4个月的带薪实习，就业率接近100%。加拿大是一个重视能力的国家，并不是学历越高越容易就业。每所提供研究生文凭课程的学院与大型公司，政府部门都有合作办学。课程设计由 政府部门，工业界代表及校内外教授组成的学术委员会作指导，根据市场和用人单位的具体需要设计教学大纲，并定期对教学结果作评估，随时根据市场变化调整教学，以确保学生所学切合市场需要。紧密的学以致用的办学特点和政府，工业界为后盾，保证了学生极高的就业率。实用技术型的研究生文凭对在中国的就业也有帮助的，特别是获得外企的认可。 继续深造True 研究生文凭可以衔接硕士学位，学生学完之后可以就业，也可以继续攻读研究生学位课程。在申请硕士研究生时，所学课程可以转学分，以缩短继续深造的时间。 门槛低 加拿大硕士研究生的录取要求高，竞争激烈，需要本科学士学位，本科成绩在80%以上，雅思至少6.5分以上，另外需要申请文书如个人简历、推荐信、个人陈述等材料，未达相关语言要求的情况下基本申请不到；而研究生文凭申请相对简单很多，只需要大专或者本科毕业，成绩在70或75以上，语言合格即可申请，未达语言要求者可申请双录取。 移民捷径 为了留住人才，吸纳优秀的国际学生，加拿大一直在移民政策上进行改革，逐步倾向于吸引更多的国际学生到加拿大留学，工作。根据加拿大最新的移民法，学生毕业后可申请到与上课时间相一致长短的工作签证（至少一年），在持工签期间，只要找到符合规定的工作，便可以无障碍申请加拿大移民。 八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8- 八年级数学竞赛讲座 四边形（2） 一、 知识要点： 1、梯形的定义、判定； 2、等腰梯形的定义、性质、判定； 3、三角形、梯形的中位线定理； 二、 例题： 1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和； 2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长； 3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数； 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别 是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证：∠AMF=∠CNE 5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点，且EF=2 1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°； 6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于 点F ，求证：BE=2CF ； 7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ， 求证：E 是AC 的中点； 8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ， ∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ， 求证：四边形EFGH 为等腰梯形； 9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ； 10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。 ①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米； A D F E B C 小学六年级数学竞赛试题及详细答案 一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分） 二、填空题（共40分，每小题5分） 1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992 2.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。那么，这个等腰梯形的周长是_ _厘米。 3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有_ _人已经就座。 4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。a=_ _，r=_ _。 5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年_ ___岁。 6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少__ __个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。 7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。那么得分最少的选手至少得__ __分，至多得 __ __分。（每位选手的得分都是整数） 8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。那么，只有当锯得的38毫米的铜管为__ __段、90毫米的铜管为_ ___段时，所损耗的铜管才能最少。 三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分） 1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。现由甲工程队先修3天。余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？ 2.一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。又骑了20分钟后，他从路 旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。 3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。求这个大长方体的体积。 4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所 多35本。第2次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包。这批书共有多少本？ 四、问答题（共35分） 1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后 一粒，就算谁输。问：保证一定获胜的对策是什么？（5分）Galois滑铁卢数学竞赛(Grade 10)-数学Mathematics-2007-试题 exam
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