国家政策对浅谈高考中的数学建模问题

2012年全国高考模拟参考部分

浅谈高考中的数学建模问题

宁波鄞州正始中学数学组—王伍成

函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。

一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。

下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。

1、优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”

或“线性规划”问题解决

例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)。

（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的人口量为y=N(1+p)x.）

分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列)增长，土地是以算术级数(等差数列)减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为

p(1+0．01)10；现在人均粮食占有量为bt(吨)时，10年后则为6(1+10％)t；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为Mt吨／公顷，10年后单产为M×(1+22％)t／公顷。设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。解：依题意得不等式

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。

本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。

2、最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函

数模型”，转化为求函数的最值。

例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．

（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最

大值()Q a

分析：总利润=每一件的利润×销售量=（每一件的售价-成本-管理费）×销售量 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：

2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．

（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----

(12)(1823)x a x =-+-．

令0L '=得263

x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633

a ∴+≤≤． 在263

x a =+两侧L '的值由正变负． 所以（1）当28693a +<≤即932

a <≤时， 2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．

（2）当2289633a +≤≤即952

a ≤≤时， 23

max 2221(6)63126433333L L a a a a a ????????=+=+---+=- ? ? ???????????， 所以399(6)32()1943532a a Q a a a ?-

?， ≤，， ≤≤ 答：若932

a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ??+ ??

?元时，分公司一年的利润L 最大，最大值3

1()433Q a a ??=- ???

（万元） 本题利用导数来求三次函数的最值。

3、 预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，

3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则

301=b ，x b b +?=94.012

对于1>n ，有

)94.01(94.0 94.0211x b x

b b n n n ++?=+?=-+

所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++?=+

x b n

n

06.094.0194.01-+?= n x x 94.0)06

.030(06.0?-+= 当006

.030≥-x ，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n 。

当006

.030<-x ，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近

06.0x 06

.0]94.0)06.030(06.0[

lim lim 1x x x b n n n n =?-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即 60≤n b （ ,3,2,1=n ）

则

6006

.0≤x ，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆。

4、 等量关系问题 建立“方程模型”解决，通过题目中的等量关系建立方程，

再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。

例4、(1995年全国高考题)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元／kg ，政府补贴为t 元／kg ，根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P kg 与市场日需求量Q kg 近似地满足关系

P=1000(x+t-8)，(x ≥8，t ≥0)

当P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格。

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?

分析：从数学的角度理解政府补贴t 的含义，可与税收联系起来，当t>0时，则是补贴，意在扶植促进某个行业的发展，如果t<0时，则是课税，为政府积累资金。

解：(1)依题设，有

解得t ≥1或t ≤-5，由于t ≥0,知t ≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。

5、测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决。建立坐标，将问题转化为几何问题，利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。

例5、（2003年全国理科）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)10

2(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.

在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为

???

?????+?-=?-?=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，

其中10)(=t r t+60，

若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有

,)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即,)6010()2

2201027300()2220102300(222+≤?+?-+?-?t t t 即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t .

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。

本题通过建立解析几何模型来解决，此模型可用于研究台风，沙暴中心的运动规律，以预防自然灾害。