2
k <时，222k k b b +<，即8642b b b b <<<.
故存在正整数8m =，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥.
8.解：（Ⅰ）设三角形三内角A 、B 、C 对应的三边分别为a, b, c ，
∵sin cos sin B A C =，∴sin cos sin B A C =
，由正弦定理有cos b
A c
=, 又由余弦定理有222cos 2b c a A bc +-=，∴222
2b b c a c bc
+-=，即222a b c +=，
所以ABC ?为Rt ABC ?，且90C ∠=o .
又||||cos 91||||sin 62ABC
AB AC AB AC A S AB AC A ??==?
?==??
u u u r u u u r u u u r u u u r
g u u u
r u u u r ①÷②，得4
tan 3
a A b
== 令a =4k , b =3k (k >0) 则1612
ABC S ab k ?==?=，∴三边长分别为3，4，5.
（Ⅱ）以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，则A 、B 坐标为（3，0），（0，4），直线AB 方程为43120.x y +-=
设P 点坐标为（x, y ），则由P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为d 1, d 2和d 3可知
123|4312|5x y d d d x y +-++=++，且0,
0,
43120.
x y x y ????+-?
≥≥≤故123212
.5x y d d d ++++= 令2m x y =+，由线性规划知识可知0≤m ≤8，故d 1+d 2+d 3的取值范围是12,45??
?
???
9解：（1）∵152a =，161a =-，173a =，184a =，191a =，203a =，212a =，221a =，
231a =，240a =，251a =，261a =，270a =，……
∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故2008a =1．……4分 （2）首先证明数列{}n a 必在有限项后出现零项．假设{}n a 中没有零项， 由于21n n n a a a ++=-，所以.3n ≥时，都有1n a ≥．……………………6分 当1n n a a +>时，2111n n n n a a a a +++=-≤-（3n ≥）； 当1n n a a +<时，211n n n n a a a a ++=-≤-（3n ≥），
即2n a +的值要么比1n a +至少小1，要么比n a 至少小1．…………………8分
① ②
令2121222+22122 ()
()
n n n n n n n a a a b a a a +++++>?=?
由于1b 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项0k b <，这与0k b >矛盾，从而{}n a 中必有零项．……………………………………………………….……10分
若第一次出现的零项为n a ，记1 (0)n a M M -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期
地取值0,,M M ，即331320n k n k n k a a M a
M
+++++=??
=??=?，0,1,2...k =
所以数列{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分 10解： 不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ，则AC 的方程为11
+-
=x k
y 。 由?????=++=1
1
2
22y a
x kx y 得：02)1(2
222=++kx a x k a 2222,1B a k x a k -?=+ 由222
111
y x k x y a ?=-+????+=??得：2222
()20a k x a kx +-=22
2
2,C a k x a k ?=+ 从而有
AB AC ==
于是 2
44
2222
224211(1)2212(1)()()1ABC k k k k
S
AB AC a a a k a k a k a k
?+
+=
==+++++。 令1
2t k k
=+
≥，有 44
22
2222
222,(1)(1)ABC a t
a S a a t a a t t
?==
-+-+
--------- 10分 因为222
2
(1)2(1),a a t a a t -+≥- 21a t a
-=时等号成立。 因此当23
max 21,(),1
ABC a a S a a ?-=-t= ------------- 14分
令322273(3)(839)03,1816
a a a a a a a =?---=?==-
21321() 3.16
a a a a a -+>?>+=∴=不合题意，舍去， --------- 17分 11. （Ⅰ）设2
2
02
)(||)(y x x PM x f +-==2222
0022c x x x x a
b =-++.
对称轴方程202c x a x =，由题意a c x a ≥202或20
2a x a c ≤-或0202=c x a .
∴a c x 20≥或a c x 20-≤或00=x ,∴),[}0{],(2
20+∞??--∞∈a
c a c x .
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2
2
2
3b a c ∴=-=．
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +
=． 设11()A x y ，，22()B x y ，， 联立22 1.43y kx m x y =+???+=??，
得222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
222222122
2122
6416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ?
??=-+->+->?
?
+=-?+?
?-=?+?
g ，即，则， 又222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-=++=+++=+， 因为椭圆的右顶点为(20)D ，
，1AD BD k k ∴=-，即1212122
y y
x x =---g ， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=，222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--∴+++=+++， 2271640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227
k m =-
，且均满足22
340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾；
当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ??=- ???，直线过定点207??
???
，
． 12．解：（1）过点S 作AD SF ⊥，F 为垂足．
因为侧面SAD 垂直于底面ABCD ， 所以⊥SF 底面ABCD ．
即SF 为四棱锥ABCD S -的高．……1分 又侧面SAD 为正三角形，且边长为a ， 所以a SF 2
3
=
．………………2分 由此，SF CD AB V ABCD S ???=
-3
1
a a a 2331???= 36
3a =．………………4分 所以四棱锥ABCD S -的体积为
3
6
3a ．………………5分 （2）在边CD 上存在一点E ，使得AE SB ⊥．………………6分 取边CD 的中点E ，连接AE 、BF 交于O ．………………7分
因为E 、F 分别为正方形ABCD 的边CD 、AD 的中点，所以ADE ?和BAF ?为全等的
直角三角形，且DEA AFB ∠=∠．………………8分 而ο
90=∠+∠EAD DEA ，所以ο
90=∠+∠EAD AFB ，即ο
90=∠AOF ．所以
BF AE ⊥．………………10分
又因为⊥SF 底面ABCD ，所以AE SF ⊥，即⊥AE 平面SBF ，………………11分 所以AE SB ⊥．………………12分
13．解（1）方程C 可化为：m y x -=-+-5)2()1(2
2
．………………1分 要使该方程表示圆，只需05>-m ，即5过圆心C 作直线l 的垂线CD ，D 为垂足．则
5
5
21|4221|||2
2=
+-?+=
CD ．………………6分 又由554||=MN 知5
5
2||=MD ．………………7分
S
A
B
C
D F E
S
A
B
C
D
222||||||MD CD CM +=，所以222)5
52()55(
)5(+=-m ，……8分 解得4=m ．………………10分
（3）由（2）得圆C 的方程为：1)2()1(2
2
=-+-y x ．
再由??
?=-+=-+-0
421)2()1(2
2y x y x 得???==20M M
y x 和??
??
?
==56
58N
N y x ．………12分
所以2-=AM k ，2=AN k ，……13分由图象可知，AM AP k k ≤或AN AP k k ≥．……14分 所以直线AP 的斜率的取值范围是),2[]2,(+∞--∞Y ．………………15分
14解：（1）设c 为椭圆的焦半径，则2425
,54
a c c a ==。于是有a ＝5，
b ＝3。
（2） 解法一：设B 点坐标为(,)s t ，P 点坐标为(,)x y 。于是有
6(6)AB s t AP x y =-=-u u u r u u u r （，）, ，。因为AB AP ⊥u u u r u u u r
，所以有
6(6)(6)(6)0s t x y s x ty --=--+=（，），。 (A1 )
又因为ABP 为等腰直角三角形，所以有 AB=AP ，即
=。 (A2 )
由（A1）推出222
2
6(6)6(6)ty t y s s x x -=-?-=--，代入（A2），得 22
6t x =-（） 从而有 226y s =-（），即6s y =+（不合题意，舍去）或6s y =-。
代入椭圆方程，即得动点P 的轨迹方程22
661925
x y --+=（）（）
。 解法二： 设11(,)B x y ,(,),P x y AB r =，则以A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程为
6cos sin x r y r α
α
=+??
=?。 设AB 与x 轴正方向夹角为θ，B 点的参数表示为11
6cos sin x r y r θ
θ=+??=?，
P 点的参数表示为0
6cos(90)6sin ,cos sin(90)x r x r y r y r θθ
θθ?=+-=+????=-=-???
即.
从上面两式，得到1166
x y
y x =-??
=-?。
又由于B 点在椭圆上，可得
22
(6)(6)1925
x y --+=。此即为P 点的轨迹方程。 15. 解：（Ⅰ）连接C B 1交1BC 于点F ，连接EF . 在C AB 1?中，因为F E ,分别为C B AC 1,中点，则1//AB EF .
因为?1AB 平面1BEC ，?EF 平面1BEC ，则//1AB 平面1BEC .
（Ⅱ）法一：由题知点A 到平面1BEC 的距离即点C 到平面1BEC 的距离，
Θ111ABC A B C -是正三棱柱，∴⊥BE 平面11A ACC ，
?BE 平面1BEC ，∴平面1BEC ⊥平面11A ACC ，
过点
C 作CH E C 1⊥于点H ，则CH ⊥平面1BEC ，
∴CH 即点C 到平面1BEC 的距离.
在Rt △1CEC 中，CE =1，21=
CC ，31=E C ，由面积相等可得CH =
3
6
. ∴点A 到平面1BEC 的距离为
3
6. 法二：设点A 到平面1BEC 的距离为h ，在Rt △1BEC 中，BE =3，31=
E C ，
∴2
333211=??=
?BEC S ∴2321=??=?BE AE S ABE .
ABE C BEC A V V --=11Θ，13
1
311CC S h S ABE BEC ?=?∴??，.6,233=∴?=?∴h h
∴点A 到平面1BEC 的距离为3
6
.
法三：取11C A 中点G ，连接EG ，
以E 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图示 则()()()()
0,2,1,0,0,0,3,0,0,0,0,11C E B A -，
B
A
C
E
A 1
B 1
C 1
H
G
则()()
()0,0,1,0,2,1,3,0,01==-=AE EC BE . 设平面1BEC 的法向量为()000,,z y x n =，
则?????=?=?001EC n 即?
????=+=-0203000y x z ，令20=x ，则0,200=-=z y ，即()
0,2,2-=. 设点A 到平面1BEC 的距离为d
，则3
6
2
42=
+=
=
d ， ∴点A 到平面1BEC 的距离为
3
6. （Ⅲ）法一：过H 作1BC HG ⊥于G ，由三垂线定理得1BC CG ⊥，
故∠CGH 为二面角1E BC C --的平面角. 当AA 1=2a ，AB =b ，则2
2
2
2
4,b
a a
b CG b
a a
b CH +=
+=
又，
在Rt △CGH 中，,5102442sin 22222
22
2=++=++=
=∠b
a b a b a ab b a ab
CG
CH
CGH .
解得b =2a ，.121==∴
b
a
AB AA ∴当
11=AB
AA 时，二面角1E BC C --的正弦值为510.
法二：设
1,1
==AB a AB
AA ，取11C A 中点G
以E
则()??? ????? ?????? ?
?0,0,21,0,,21,23,0,0,0,0,01C a C B E
则???
? ??-=???? ??-=??? ??--=???? ??
-
=23,0,21,23,,21,0,,21,23,0,011a BC a C .
设平面1BEC 的法向量为()1111,,z y x m =，平面C BC 1的法向量为()2222,,z y x m =，
P n
P n+1
则有?????=?=?00111C m BE m ，?????=?=?00212m BC m ，即??????
?=-=-+???????=--=-0232
102321,02102322222111z x z ay x ay x z ，
设6,221==x x ，则32,0,0,1
2211===-
=z y z a
y ，
∴()
32,0,6,0,1,221=??
? ?
?-=m a
m ．
Θ5
15
12361
412,cos 2
2
12121=
++
=
>=
m m m m ，解得a =1. ∴即当
11
=AB
AA 时，二面角C BC E --1的正弦值为510. 16．解：（1）依题意，⊙n P 的半径2
n n n x y r ==， ………………1分
Θ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，
11+++=∴n n n n r r P P ，………………2分
12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x ．………………3分
两边平方，化简得 1214)(++=-n n n n y y x x ,
即 2
12214)(++=-n n
n n x x x x , ………………4分 01>>+n n x x Θ， ∴112++=-n n n n x x x x
即
111
2()n n
n N x x +-=∈，………………6分 ∴ 数列}1
{
n
x 是等差数列．………………7分 (2) 由题设，11=x ，∴
111(1)2n n x x =+-?，即121
n x n =-，………………8分 4
4
2
2
)
12(-=
===n x y r S n
n
n
n π
πππ，………………9分
n n S S S T +???++=21
])
12(151311[222-++++
=n Λπ ………………10分 ≤])
12()32(1
5313111[-?-++?+?+
n n Λπ ………………12分 ＝)]}121321()5131()311[(211{---++-+-+
n n Λπ ………………13分 ＝)]1
21
1(211[--+n π
)
12(223--
=
n π
π………………14分 2
3π
<
．……………15分 17．证明 (1)])1
()1([)1(
2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ]
)
2()1()1()2([]2)1([]
1)1([
22
2
2
2+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p
m pm pm m r
m q m pm pm )
2()1(1
2
2++-=m m m
p ,……3分 由于)(x f 是二次函数，故0≠p ,又0>m ,所以，)1
(
+m m
pf ＜0………………4分 (2)由题意，得r q p f r f ++==)1(,)0(．………………5分
①当0>p 时，由(1）知)1(
+m m
f ＜0．………………7分 若0>r ,则0)0(>f ,又)1
(+m m f ＜0,所以0)(=x f 在(0，
1+m m
)内有解；………9分 若0≤r ,则?++=++=)1()1(m p r q p f (－
m r m p -+2)+r =m
r
m p -+2>0, 又)1
(+m m f ＜0，所以0)(=x f 在(1+m m
，１)内有解………………11分
②当0
(
+m m
f ＞0．………………13分 若0≥r ,则?++=++=)1()1(m p r q p f (－m r m p -+2)+r =m
r
m p -+2＜0，
所以0)(=x f 在(
1
+m m
，１)内有解；………………15分 若0(
+m m f ＞0，所以0)(=x f 在(0，
1+m m
)内有解………17分 所以，方程0)(=x f 在(0，1)内恒有解．………………18分 18解：（1）如图，取BC 中点D ，连1,AD C D .
BC D C ADC BC BC AC BC AD ⊥?⊥??
??
⊥⊥111平面.
ABC CB C B 底面平面⊥11Θ,
∴ABC D C 平面⊥1.
由C C BB AD BC AD 11平面知⊥⊥.……………4分
1AA ∥ 1CC 1AA ?∥平面C C BB 11.
所以异面直线1AA 与11C B 间的距离等于=
AD a 2
3
.……………6分 （2）如图，111,,.B B O BC BC O B O ABC ⊥⊥过作交于则底面
1,,.O OE AB AB E B E ⊥过作交于连
1B EO ∠则与所求二面角的平面角互补 (8)
分
1111,,.tan 2.24B O a B O C D OB OE B EO OE ====∠===
1arctan 2.arctan 2B EO π∠=-所以二面角的度数为.……………………12分 19 解：（1）由条件a b ||-||=2r r 可知：2)2()2(2
222=+--++y x y x .
由双曲线定义，得点P 的轨迹方程：)0(13
2
2
>=-x y x .…………………4分 （2）在第一象限内作(2,3)PF x P ⊥轴，点坐标为，此时90,PFA ∠=o 45.PAF ∠=o
2=λ．…………………………………….………………….……6分
以下证明当PF 与x 轴不垂直且P 在第一象限时，PAF PFA ∠=∠2恒成立．
A
B C 1A
1
B 1
C E
D O
1111
222
111122(1),tan 2.121()(1)PA PF PA PA y y k x y k k PAF x x k x y +=
=∠==+--+-,则 由13
2
2
=-y x ，得)1)(1(3)1(3112121-+=-=x x x y . 代入上式并化简得1111tan 2,tan .22
PF y y
PAF PFA k x x ∠=-
∠=-=---……10分 tan 2tan 2.PAF PFA PFA PAF ∠=∠∠=∠即，所以
由对称性知，当P 在第四象限时，同样成立．
故存在常数2=λ，使得PAF PFA ∠=∠2恒成立．………………….………12分 20解：（１）设过1
1(,)48F -的直线方程为11
()84
y k x +
=-。
又设11(,)B x y ，22(,)C x y ，联立211()841
28y k x y x x ?
+=-????=-+-??
消去y ，得2
2(1)04k x k x +--=。从而有，
121
2
k x x -+=-
，21212111()2424k y y k x x +=+--=--。 设△ＡＢＣ的重心坐标为(,)x y ，则1212143
1183x x x y y y ?
++?=????++
?=??
2
3212368k x k y -?=?????=-+??
消去ｋ，即得 2
63y x x =-+。 （２）因为1102
x <<
，21()x f x =2
1163x x =-+113(12)x x =-，所以 2
112112(12)33
03(12)228
x x x x x +-??<=-≤= ???，
上式右边等号成立当且仅当114x =
。假设3
08
k x <≤，则 2
12(12)33
03(12)228
k k k k k x x x x x ++-??<=-≤= ???，
上式右边等号成立当且仅当14k x =
。由此得到3
08
k x <≤（2,3,k =L ）。从而有
1
1
133********k n
n
n
k k k k x
+==????
??<
≤=-
21.解：（Ⅰ）设点M 的坐标为 ( x ,y )，
则M F 1`= ( x + c , y ), M F 2= ( x – c ,y )， 由M F 1`·
M F 2= 0，
得x 2 – c 2 + y 2 = 0 , 即x 2 – c 2 = – y 2 。①
又由点M 在椭圆上，得
y 2 = b 2
2
22x a
b -，代入①得
x 2 – c 2 = 2222b x a
b --即x 2 = a 2 – 2
22c b a . ∵0≤x 2≤a 2 , ∴0 ≤a 2
–222c b a ≤a 2 . 即 0≤2
2
22c a c -≤1
0≤2
1
2e -
≤1 解得22≤e ≤1
又∵0＜e ＜1 ∴
2
2
≤e ＜1（１０分） （Ⅱ）设直线l 的方程为y = kx+ m ，代入16
322
2y x +
= 1 中， 得 ( 1 + 2k 2 )x 2 + 4kmx + ( 2x 2 –32 ) = 0
由直线l 与椭圆C 相交两点知：△= ( 4km )2 – 4 ( 1 + 2k 2 ) ( 2m 2 – 32 )＞0，
∴m 2＜32k 2 + 16 .②
要使A 、B 两点关于过点P 、Q 的直线对称，必须k PQ = k
1 设A ( x 1 , y 1 )、B ( x
2 , y 2 )， 则x Q =
2212122k km x x +-=+,y Q = kx Q + m =2
21k
m
+ , ∴k PQ = 222123321k km k m +-++ ∴321,121233
2122k m k k
km k m +=-=+-++ ③ 由②、③得
()3
212
2k +＜32k 2 + 16 ∴21-
＜k 2＜2
47
. 又k ≠ 0 ∴2
94
-
＜k ＜0或0＜k ＜294（２０分）
22．解．（Ⅰ）在2
1212122()()2()cos 24sin f x x f x x f x x a x ++-=+中,
分别令120x x x =??=?；1244x x x ππ?=+????=??；124
4
x x x
ππ?
=????=+??得
22()()2cos 24sin , (+)()2 2(+)()2cos 2)4sin 224
f x f x x a x f x f x a f x f x x a x π
πππ?
?+-=+??+=??
?+-+??，
＝（＋（＋）①②③
由①＋②－③，得
1cos 2()1cos 242()22cos 22cos(2)44222
x x f x a x x a a π
π-+-=+-++［］-［］
＝22(cos 2sin 2)2(cos 2sin 2)a x x a x x ++-+
∴())sin(2)4
f x a a x π
=-+
（１０分）
（Ⅱ）当0,
4x π
∈［］
时，sin(2)4
x π
+
∈2． （1）∵()f x ≤2，当a <1
时，12[(1)]2
a a =+-≤()f x
≤)a a +-≤2．
即1
(1a -
≤2
≤a ≤1．
（2）∵()f x ≤2，当a ≥1时，- 2
≤a a )≤()f x ≤1． 即1≤a
≤4+．故满足条件a 的取值范围[
，4+]（２０分） 23．解：（I ）Θ三角形数表中前m 行共有12312
++++=
+…m m m ()
个数， ∴第m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第
m m ()
+12
项。 故第m 行最后一个数是212
112?
+-=+-m m m m ()
因此，使得a mn =2005的m 是不等式m m 212005+-≥的最小正整数解。 由m m 2
12005+-≥得m m 2
20060+-≥ ∴≥
-++>-+=-+=∴=m m 1180242179212189
2
44
45
于是，第45行第一个数是44441219812
+-+=
∴=-+=n 20051981
2
113
（１０分）
（II ）Θf
x x y x n -==>1
380()()，∴=x y n ()1
2
3。
故f x x x n
()()()=>12
03
2019年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷） 一试 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11 a b +的值为________． 答案：设连等式值为k ，则2 3 2 ,3 ,6k k k a b a b --==+=，可得答案108 分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 2. 设集合3|12b a b a ?? +≤≤≤????中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______． 答案：33251b a +≤+= ，33 b a a a +≥+≥ ，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0- 分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则 2014 122013a a a a =+++______． 答案：()1221 n n n a a n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+?+?+++， 乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为2015 2013 ． 分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过 5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是 ________． 答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过 6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则 椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________． 答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+， 可得△2PQF 三边长为7,21,2c c + ，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关 7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之 比的最大值为________． 答案：sin sin APB APC S PAB S PAC ∠=∠，又两角和为60 最大，即AP 与 (),1I 切于对称轴右侧 2 分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
高中数学竞赛中数论问题的常用方法
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
高中数学竞赛介绍,尖子生请收好
高中数学竞赛介绍，尖子生请收好！ 首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件： ?高考数学可以轻松应对； ?对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛； ?具备自主学习能力； ?高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。 数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。 与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。
因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。 此外，数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。当然，这是后话。 说归说，高中数学竞赛指的究竟是什么？我想说的是，绝不仅仅是高联（全国高中数学联赛）这么简单。下面，我就带着大家理一理高中阶段可能会遇到的竞赛。
1. 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛旨在选拔在数学方面有突出特长的同学，让他们进入全国知名高等学府，而且选拔成绩比较优异的同学进入更高级别的竞赛，直至国际数学奥林匹克（IMO）。并且通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的
兴趣，让学生们爱好数学，学习数学，激发学生们的钻研精神，独立思考精神以及合作精神。 2.中国数学奥林匹克（CMO） CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍，为符合中国人的认知习惯），6个题满分为126分。颁奖与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的约前60名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。 3.国际数学奥林匹克（IMO） 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。 正如专家们指出：IMO的重大意义之一是促进创造性的思维训练，对于科学技术迅速发展的今天，这种训练尤为重要。数学不仅要教会学生运算技巧，更重要的是培养学生有严密的思维逻辑，有灵活的分析和解决问题的方法。 根据我的感觉，如果高考的数学难度有两星，那么高联的一试难度大概有三颗星，二试难度大概有四颗星；而CMO和IMO的难度大概在五颗星左右。因此，参加高中竞赛的确
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB高中数学竞赛训练题—填空题
高中数学竞赛训练题—填空题 1. 若不等式1-log a )10(x a -＜0有解，则实数a 的范围是 . 2．设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时， 1()2 f x x = ，则方程21 )(-=x f 的解集为 。 3.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且 2 1 212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ???Λ的最小值为____________________. 4. ,x R ∈ 函数()2sin 3cos 23 x x f x =+的最小正周期为 . 5. 设P 是圆2 2 36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 6.. 设z 是虚数，1 w z z =+ ，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 7. 设4 4 2 )1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 . 8．＝ 。 9．设lg lg lg 111()121418x x x f x = +++++，则 1 ()()_________f x f x +=。 10．设集合{}1215S =L ，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足： 123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ． 11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ . 12．已知坐标平面上三点()()) 0,3,,A B C ，P 是坐标平面上的点，且 PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 13.已知0 2sin 2sin 5=α，则) 1tan() 1tan(00-+αα的值是______________. 14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 15.不等式 92) 211(42 2 +<+-x x x 的解集为_______________________.
历年全国高中数学联赛试题及答案
1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1π 3 ； 命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则 A ．甲是乙的充分条件但不必要 B ．甲是乙的必要条件但不充分 C ．甲是乙的充分必要条件 D ．A 、B 、C 都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠?． ⑶ M ≠?． ⑷ P ≠?中，正确的表达式的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： 1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3 a 2－a 1= ． 2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE BC = ． 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1 b =1，试证：对每一个n ∈N *， (a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．
高中数学竞赛解题方法篇不等式
高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++
高中数学竞赛集训训练题
高中数学竞赛集训训练题 1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2 2 3 3 b a b a -=-，求所有可能的整数 c ,使得ab c 9=. 2．已知不等式 24 131...312111a n n n n > ++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。 3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22 111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a } 的通项公式。 4．（1）设,0,0>>y x 求证： ;4 32y x y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x 求证： .2 333zx yz xy x z z z y y y x x ++≥+++++ 5. 设数列ΛΛΛ,1 ,,12, 1,,13,22,31,12,21,11k k k -， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少； （2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少. 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每
个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n a S a a = --， 记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 8. 在ABC ?中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u r g ，又ABC ?的面积等于6. （Ⅰ）求ABC ?的三边之长； （Ⅱ）设P 是ABC ?（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，求 123d d d ++的取值范围. 9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ； （2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列． 10. 已知椭圆)1(12 22>=+a y a x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆 交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为27 8 ，求a 的值。
高中数学竞赛基础知识讲解
高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -=
三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x
高中数学竞赛讲义_平面几何
平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有
高中数学竞赛训练题 (3)
高中数学竞赛训练题 一、选择题（仅有一个选择支正确） 1．已知全集}{}{N n n x x B N n n x x A N U ∈==∈===,4,,2,,则（ ） （A ） B A U = (B) )(B A C U U = (C) B C A U U = (D) B C A C U U U = 2．已知b a ,是正实数,则不等式组???>+>+ab xy b a y x 是不等式组? ??>>b y a x 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 3．等差数列{}n a 中,,336),9(30,1849=>==-n n S n a S 则n 的值是（ ） （A ）8 (B) 9 (C) 16 (D) 21 4．已知复数2 121 -+ =z z w 为纯虚数,则z 的值为（ ） （A ） 1 (B) 21 (C) 31 (D) 不能确定 5．边长为5的菱形,若它的一条对角线的长不大于6,则这个菱形对角线长度之和的最大值是（ ） （A ） 16 (B) 210 (C) 14 (D) 65 6．平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线5 435+=x y 的距离中的最小值是（ ）（A ） 17034 (B) 8534 (C) 170343 (D) 30 1 7．若232,2,2++x y x x 成等比数列,则点),(y x 在平面直角坐标系内的轨迹是（ ） （A ） 一段圆弧 (B) 一段椭圆弧 (C) 双曲线的一部分 (D) 抛物线的一部分 8．若ABC ?的三边c b a ,,满足：,0322,0222 =+-+=---c b a c b a a 则它的最大内角的度数是（ ） （A ） 0150 (B) 0120 (C) 090 (D) 060
【数学竞赛各阶段书籍推荐】
金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）
2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》
全国高中数学联赛平面几何题
全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N
5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0
高中数学竞赛训练题一 (1)
最新高中数学奥数竞赛训练题一 一．选择题（每小题6分，共36分） 1．如果100,0,log log 3 x y x y y x >>+=， 144xy =，那么x y +的值是（ ） .203A .263B .243C .103D 2. 设函数)10()(||≠>=-a a a x f x 且，f （－2）＝9，则 （ ） A. f （－2）＞f （－1） B. f （－1）＞f （－2） C. f （1）＞f （2） D. f （－2）＞f （2） 3．已知二次函数()f x 满足(1)(1),f x f x -=+4(1)1,f -≤≤-1(2)5,f -≤≤则(3)f 的取值范围是( ) A. 7(3)26f ≤≤ B. 4(3)15f -≤≤ C. 1(3)32f -≤≤ D. 2825(3)33f - ≤≤ 4．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155 AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 ( ) A. 15 B. 25 C. 14 D.13 5. 设在xoy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为13，则集合{}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ?所表示图形的面积是( ) A. 31 B. 23 C. 1 D. 43 62007x y =的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．1组 B. 2 组 C. 4组 D. 8组
二．填空题（每小题9分，共54分） 7．函数213 ()log (56)f x x x =-+的单调递增区间为 . 8．已知0 2sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________. 9.设{}n a 是一个等差数列，12119,3,a a ==记16n n n n A a a a ++=+++L L ，则n A 的最小值为 10．函数()f x 满足(1)1003f =，且对任意正整数n 都有 2(1)(2)()()f f f n n f n +++=L L ，则(2006)f 的值为 11．.已知?? ???≤+≥-≥03030y x y x y ,则x 2+y 2的最大值是 12．对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1（n ∈N ＋）时，规定[x ]＝n ，则不等式 045][36][42<+-x x 的解集为 三．解答题（每小题20分，共60分） 13．设集合A =12log (3)2x x ????-≥-?????? ，B =21a x x a ??>??-??，若A ∩B ≠?，求实数a 的取值范围.
