建立二次函数模型

课题：二次函数

学习目标：

1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；

2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

学习重点：

1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.

2.能够表示简单变量之间的二次函数。

学习难点：确定实际问题中二次函数的关系式。

学习过程：

一、知识准备：

1.设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的，x叫做 ,y叫做。

2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中的图像是直线，的图像是双曲线。

我们得到它们图像的方法和步骤是：

①；

②；

③。

3. 形如___________

y=，（）的函数是一次函数，当______0

=时，它是函数，图像是经过的直线；

形如

k

y

x

=，（）的函数是函数，它的表达式还可以写成：

①、②

二、提出问题（展示交流）：

1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是。

2．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。

3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y（元）与x （m）之间的函数关系式是。

三、归纳提高（讨论归纳）：

观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？

。一般地，形如，（，且）的函数为二次函数。其中x是自变量，函数。

注意：

1、定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。最简单形式的二次函数：2(0)y ax a =≠例如，y ＝-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系

2A a =，圆面积s 与半径r 的关系2s r π=等也都是二次函数的例子．

2、二次函数2y ax bx c =++中自变量x 的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？

四、例题精讲（小组讨论交流）： 例1 函数y=（m ＋2）x

2

2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．

点拨：从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定m 的取值

例2．下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2

；④y=21x

＋x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；

⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；

⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2

）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系

五、课堂训练

1．下列函数中，二次函数是（ ）

A ．y=6x 2

＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26

x

＋1

2．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）

A ．m 、n 为常数，且m ≠0

B ．m 、n 为常数，且m ≠n

C ．m 、n 为常数，且n ≠0

D ．m 、n 可以为任何常数

3．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） A.S=2π（x ＋3）2 B.S=9π＋x

C.S=4πx 2＋12x ＋9

D.S=4πx 2＋12πx ＋9π 4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( ) A.圆的周长与圆的半径之间的关系;

B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;

C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;

D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.

5.已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系_________．

6.若一个边长为x cm 的无盖．．

正方体形纸盒的表面积为y cm 2，则___________y =，其中x 的取值范围是 。

7.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。

8.如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积

y (㎡)与路宽x (m)之间的函数关系式：y = 。

9.如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数 关系式：y = 。 10.已知函数27

(3)m y m x -=-是二次函数，求m 的值．

课题：二次函数的图象与性质（1）

一、学习目标 1.知识与技能

会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 2.过程和方法

利用描点法作出y=x 2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x 2的性质。 3.情感和态度

鼓励学生在探索规律的教程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神，树立创新意识。

二、知识准备

我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x y 3=x y 3

=的图象分别

是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x 轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？

3.当x<0时，y 随着x 的增大，y 的值如何变化？当x>0时呢？

4.当x 取什么值时，y 的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、学习内容

在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）22x y = （2）22x y -=

共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点：

在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 四、知识梳理

（1）二次函数y=ax 2的图象的性质：

①、图象——“抛物线”是轴对称图形；

②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；

③、a的绝对值越大抛物线开口越大，

a﹥0，开口向上，

当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）；

当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）.

a﹤0，开口向下，

当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）

当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）

（2）今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。

五、课堂训

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》（二）

1．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ． 2．函数y=x 2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．

3．点A （2

1

，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B

是 ，它在函数 上；点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数

上．

4．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（ ）

A ．y=3

B ．y=6

C ．y=9

D ．y=36

5.求直线y=x 与抛物线y=x 2的交点坐标．

6.若a ＞1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，判断y 1、y 2、y 3的大小关系？

课题：二次函数的图象与性质（2） 一、学习目标： 1.知识与技能：

会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

2.过程和方法

经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验． 3.情感和态度

教学中为学生创造大量的操作，思考和交流的机会，培养了学生分析解决问题的能力以及识图能力。 二、知识准备：

同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？

你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ 动手操作、探究：

在同一平面内画出函数y=x 2与y=x 2-2的图象。 比较它们的性质，你可以得到什么结论？ 三、学习内容：

动手画：在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．

回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．

探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？

四、知识梳理

1、函数k ax y +=2与2ax y =图像的关系。

2、能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性。

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》（三）

1.抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ．

2.当m= 时，y=（m －1）x

m

m 2－3m 是关于x 的二次函数．

3.抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ．

4.抛物线y=3x 2

与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ． 5.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．

6．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）

A ．y=21x 2

B ．y=－2

1x 2

C ．y=－2x 2

D ．y=－x 2

7.抛物线，y=4x 2，y=－2x 2

的图象，开口最大的是（ ）

A ．y=4

1x 2

B ．y=4x 2

C ．y=－2x 2

D ．无法确定

8.对于抛物线y=31x 2和y=－3

1x 2

在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）

A ．两条抛物线关于x 轴对称

B ．两条抛物线关于原点对称

C ．两条抛物线关于y 轴对称

D ．两条抛物线的交点为原点

9.二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）

10.已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）

A ．4

B ．2

C ．21

D ．4

1

11.已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2

相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．

（1）求a 、m 的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小；

（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2 的图象顶点构成的三角形的面积．

课题：二次函数的图象与性质（3）

一、学习目标

1、经历探索二次函数y ＝ax 2＋k(a ≠0)及y ＝a(x+m)2 (a ≠0)的图象作法和性质的过程。

2、能够理解函数y ＝ax 2＋k(a ≠0)及y ＝a(x+m)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,m,k 对二次函数图象的影响。

3、能正确说出函数y ＝ax 2＋k, y ＝a(x+m)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。 4．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力; 二、知识准备

1．什么是二次函数？

2．我们已研究过了什么样的二次函数？ 3．形如

的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所

得，那么函数2)2(21-=

x y 的图象，是否也可以由函数22

1

x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 三、学习内容

1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。

2、比较它与函数2x y =的图象之间的关系。 结论：

（1）抛物线y=a(x+m)2

(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2

(a ≠0)的形状一样，只是位置不同，因此抛物线y=a(x+m)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当m ＞0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|m|个单位得到抛物线y=a(x+m)2，当m<0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|m|个单位得到抛物线y=a(x+m)2

（2）抛物线y=a(x+m)2(a ≠0)的顶点坐标是(－m,0)，对称轴是直线x ＝－m ，当a ＞0时，若x ＝－m ，当a ＞0时，若x ＝－m ，y 有最小值0，当a ＜0时，若a ＝－m ，y 有

最大值0

四、知识梳理

本节课教学了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。

填写下表：

表一：

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

表二：

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练

第六章《二次函数》（四）

1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的．

2.对于抛物线2)2(2

1

+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x

时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．

3.函数y ＝x 2－3是由y ＝x 2向_____平移_____单位得到的。

4.函数y ＝x 2＋1是由y ＝x 2－2向_____平移_____单位得到的。

5.函数y ＝13 x 2－4是由y ＝1

3 x 2＋5向_____平移_____单位得到的。

6.函数y ＝(x －3)2是由y ＝x 2向_____平移_____单位得到的。

7.（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴

是 ，当x= 时，y 有最 值，是 .

（2）二次函数y=-3（x-4）2

的图像是由抛物线y= -3x 2向 平移 个

单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是

（3）将二次函数y=2x 2的图像向右平移3个单位后得到函数 的

图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。

8.已知抛物线y ＝x 2

上有一点A ，A 的横坐标为－1，过A 点作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ，求△AOB 的面积。

课题：二次函数的图象与性质（4）

一、学习目标 知识与技能：

1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；

2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 过程和方法：

经历探索二次函数2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的过程，进一步获得

2)(h x a y -=+k 图象与性质。

情感和态度：

教学中为学生创造大量的操作，思考和交流的机会，培养了学生分析解决问题的能力以及识图能力。 二、知识准备

1、请你在同一直角坐标系内，画出函数 的图像，

并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标 2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数

的图像？

3、你能否指出抛物线 的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练

习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

抛物线

开口方向 对称轴

顶点坐标

三、学习内容

二次函数图象的变化规律： 左加右减，上加下减

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(21

2--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点

坐标．

解 （1）列表：略（2）描点：

（3）连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．

观察：

它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ． 请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

四、知识梳理

1、二次函数的图象的变化规律：

二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 2、二次函数2)(h x a y -=+k 的开口方向，对称轴，顶点坐标

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》（五）

1、抛物线()2

241y x =--的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x ＝ 时，y 有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而 ，在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .

2、二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由22

1

x y =的图象（ ）

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

3.抛物线()21653

y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。

4.函数()2

532y x =--的图象可由函数25y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到。

5.若把函数()2

522y x =--的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。

6.把二次函数y =x 2－4x +5化成y =(x —h )2+k 的形式：y = 。

7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线22y x =相同，对称轴和抛物线()2

2y x =-相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.

8.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点

坐标．

课题：二次函数的图象与性质(5)

一、学习目标 知识与技能：

1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。

2．会利用对称性画出二次函数的图象． 过程和方法：

经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．

情感和态度：

教学中为学生创造大量的操作，思考和交流的机会，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，激发学生学习数学的热情，培养学生主动探索，敢于探索，敢干实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识。 二、知识准备 1、填空

(1)x 2＋6x ＋___________=(x ＋________)2 (2)x 2－9

2 x ＋____＝(x －_______)2

(3)x 2＋4x ＋9＝(x ＋2)2＋____________

(4)x 2－5x ＋8＝(x －5

2

)2＋________

2、填表 抛物线

开口方向

顶点坐标

对称轴

最值

y ＝－3(x －2)2＋1 y ＝－3(x －3)2－2 y ＝－1

2 (x －4)2＋5

y ＝1

6 (x+3)2－4 探索活动

活动一：探索二次函数y ＝a(x+m)2+k 的图象与性质 活动二：探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 由配方得y=ax 2＋bx ＋c ＝

由此可知，二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象是抛物线，它的顶点坐标是( ),对称轴是过顶点且与y 轴平行的直线(当b=0时，对称轴是y 轴) 三、学习内容

例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．

解 6422++-=x x y

[

]

8

)1(26

1)1(26)112(26)2(222

22+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． 由对称性列表：

x

…

-2 -1 0 1 2 3 4 …

6422++-=x x y … -10 0 6 8 6 0 -10 …

描点、连线，如图26．2．7所示．

回顾与反思

（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．

（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．

分析 ： 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．

四、知识梳理

1、能通过配方法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。

2、理解二次函数的性质，了解函数图象的变换，并能解决有关问题。

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》（六）

1.抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．

2.如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）

3.抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为

．

4.函数y=ax 2

＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中如图所示，则正确的是（ ）

5.抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,3

1

(-，则a = ， c = 。

6.心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系y=－0．1x 2＋2．6x ＋43（0≤x ≤30）．y 值越大，表示接受能力越强． （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？

6.3二次函数与一元二次方程（1）

学习目标:

1、体会二次函数与方程之间的联系。理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根。

2、理解一元二次方程的根就是二次函数y=h （h 是实数）图象交点的横坐标． 学习重点:

本节重点把握二次函数图象与x 轴（或y=h ）交点的个数与一元二次方程的根的关系．

关键是理解二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点，即y=0，时ax 2＋bx ＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可， 学习难点:

应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆． 学习方法:

讨论探索法。 学习过程:

一、课前预习：

在同一坐标系中画出二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象并回答下列问题：

x y

O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3

-2 -1

1 2

3

4

x y O -1 1 2 3 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 1 2 3

4

x y O -1 1 2 3 4 5 6 7 -4

-3 -2

-1 1

2 3

4 (1)每个图象与x 轴有几个交点？

(2)一元二次方程? x 2+2x=0,x 2-2x+1=0有几个根?验证：一元二次方程x 2-2x+2=0有根吗?

(3)比较二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根有什么关系?

二、学生观察、讨论交流 1、观察二次函数y=x 2-2x-3的图像你能确定方程x 2-2x-3=0的根吗？

（二次函数y=x 2-2x-3的图像与x 轴的交点坐标分别是(-1,0) 和（3，0） 由此可知，当x=-1时，y=0即x 2-2x-3=0也就是说x=-1是一元二次方程

x 2-2x-3=0的一个根;当x=3时，y=0即x 2-2x-3=0也就是说x=3是一元二次方程x 2-2x-3=0的另一个根）

2、观察二次函数y=x 2-6x-9的图象说出一元二次方程x 2-6x-9=0的根情况

3、观察二次函数y=x 2-2x+3的图象说出一元二次方程x 2-2x+3=0的根情况

三、讨论归纳新知： 1、二次函数y=ax 2+bx+c 的 图象与一元二次方程ax 2+bx+c=0 的根有如下关系： ①二次函数y=ax 2+bx+c 的 图象与x 轴有两个公共点（x 1,0） (x 2，0) 时

一元二次方程ax 2

+bx+c=0 就有两个不相等的实数根x 1和x 2

②二次函数y=ax 2+bx+c 的 图象与x 轴有且只有一个公共点（x 1,0）时 一元二次方程ax 2+bx+c=0 就有两个相等的实数根x 1=x 2 ③二次函数y=ax 2+bx+c 的 图象与x 轴没有公共点时 一元二次方程ax 2+bx+c=0 就有没有实数根；

反之根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况，可以知道二次函数y=ax 2+bx+c 的 图象与x 轴位置关系

2．你能利用a 、b 、c 之间的某种关系判断二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？ 四、例题讲解

例1、已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 ．

例2、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－3，0），对称轴为x=－1，顶点C 到x 轴的距离为2，求此抛物线表达式．

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》（七）

1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为

2．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．

3．已知抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ． 4．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ． 5．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．无

6.若a ＞0，b ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．

7.抛物线y=x 2－2x-8的顶点坐标是 __与x 轴的交点坐标是________. 8.抛物线y=3x 2＋mx ＋4与x 轴只有一个交点，则m= ． 9.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的

关系满足y=－5

1x 2

＋10x ．

（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

二次函数(一)——常见二次函数模型

二次函数（一） ——所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数 一、 知识点回顾 1.函数概念小结 2.待定系数法求函数解析式 3.图像平移法则 二、 典例剖析 考点1【二次函数的相关概念】 例1下列函数中，哪些是二次函数？ y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=21x x - (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr² 随堂练习1 1.下列结论正确的是 A ．y =ax 2是二次函数 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．二次方程是二次函数的特例 D ．二次函数的取值范围是非零实数 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量). 3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) A ．y = 81x 2 B ．y C ．y =21x D ．y =a 2x 考点2【二次函数的一般式】

例2-1若y=（m ＋1）x 267m m --是二次函数，则m=（ ） A ．－1 B ．7 C ．－1或7 D ．以上都不对 例2-2．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 随堂练习2 1．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是 A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0 B ．a <0，b ≠0，c ≠0 C ．a >0，b ≠0，c ≠0 D ．a ≠0 2.已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值; (2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 3．如果函数y=x 232k k -++kx+1是二次函数，则k 的值一定是______ 考点3【常见的二次函数模型】 例3-1【面积问题】如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 例3-2【密植问题】 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式. 例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年

第十二课时建立二次函数模型

第十二课时 教学内容: 建立二次函数模型(P21-22) 教学目标 1、通过探索得出二次函数的概念。 2、熟练地把二次函数化成一般式，并分清二次项、一次项及其系数和常数。 教学重点和难点 教学重点：二次函数的概念。 教学难点：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的隐含条件a≠0的应用。教学方法 启发式。 教学手段 投影仪、投影片。 教学过程 一、创设问题情境，探索建立二次函数模型。 （出示投影1）动脑筋： 问题一：植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？ 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图2—1所示，现在已备足可以砌100m长的墙的材料，大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化。 有没有一种统一的以包括一切可能砌法的探讨方法呢？ 学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。 教师针对学生存在的问题予以指正并板书： 设与围墙相邻的每一面墙的长度为xm，则与围墙相对的一面墙

的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积s为 s＝x（100－2x），0＜x＜50， 即 s＝－2x2＋100x，0＜x＜50，① 有了公式①，我们对植物园的面积s随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了。 （出示投影2）动脑筋： 电脑的价格。 一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现在的售价为y元，如果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时，电脑的售价怎样变化呢？ 学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。 教师针对学生存在的问题予以指正并边讲边在黑板上板书：y＝6000（1－x）2，0＜x＜1 即y＝6000x2－12000x＋6000，0＜x＜1。② 教师引入：在上面的两个例子吕，矩形植物园的面积s与相邻于围墙面的每一面墙的长度x的关系式①，电脑价格y与平均降价率x的关系式②有什么共同点？ 像关系式①、②那样，如果函数的解析式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数，它的一般形式是： y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），其中a、b、c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但是对于实际问题中的二次函数，它的自变量的取值范围有一些限制，例如，上面第一个例子中，0＜x＜50 二、探索新知 （出示投影３）

二次函数建模

2017年中考数学专题复习 二次函数建模 实际问题、几何综合、数形结合一直以来是襄阳中考后三大轴题，其中实际问题从2015年开始以二次函数为模型创设实际问题。它涉猎的知识和方法有整式运算、方程、不等式、一次函数二次函数图象性质及配方法、待定系数法等等。要求同学们既要弄清题意，还要有过硬的计算能力，可谓一分难求。 〖基本问题设计〗1、构建二次函数关系式 2、解一元二次方程 3、求最值（顶点式的最值、非顶点式的最值） 4、解二次不等式 5、根据自变量的取值范围及一次函数的最大（小）值 6、利用二次函数性质求参数范围 〖题干呈现形式〗1、用表格或图象提供解答问题的信息 2、函数要分段 〖答题注意事项〗1、计算要准确 2、格式、步骤要规范 【数学练习】 1、化简下列函数：①y=(0.25x+30-20)(120-2x) = －0.5x2+10x+1200 ②y=(－0.5x+48-20)(120-2x) =x2-116x+3360 2、求下列函数的最大值 ①当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200 ； 解：∵y=－0.5x2+10x+1200=－0.5(x-10)2+1250 又∵y是x的二次函数且a＝－0.5＜0 ∴当x=10时，y最大=1250. ②当25≤x≤48时，y=x2-116x+3360 解：∵y=x2-116x+3360=(x-58)2-4 又∵y是x的二次函数且a＝1＞0 ∴开口向上，且对称轴为直线x=58 ∵又25≤x≤48在对称轴x＝58左侧 ∴y随x增大而减小 ∴当x=25时，y最大=1085.

3、根据二次函数的性质确定下列不等式的解集：－0.5x2+10x+1200≥1152 解：解方程－0.5x2+10x+1200＝1152，得x1=－4，x2=24 ∴根据y=－0.5x2+10x+1200图象（如右图） 得y=－0.5x2+10x+1200≥1152的解集是－4≤x≤24 【例题】某超市以每千克20元购进一种水果，经调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p （1）求日销售利润y(元)与x之间函数关系式， 解：当1≤x≤24时，y=(0.25x+30-20)(120-2x)=－0.5x2+10x+1200 当25≤x≤48时，y=(－0.5x+48-20)(120-2x)=x2-116x+3360 综上可得：y＝ () ()⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ + - ≤ ≤ + + - 48 25 3360 116 24 1 1200 10 5.0 2 2 x x x x x x （2）该超市第几天的销售利润为1152元？ 解：当1≤x≤24时，y=－0.5(x-10)2+1250＝1152，解之得x1=－4（舍），x2=24当25≤x≤48时，y=(x-58)2-4＝1152，解之得x1=24（舍），x2=94（舍）综上可得：该超市第24天的销售利润为1152元 （3）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 解：当1≤x≤24时，y=－0.5x2+10x+1200=－0.5(x-10)2+1250 ∵y是x的二次函数且a＝－0.5＜0 ∴当x=10时，y最大=1250. 当25≤x≤48时，y=x2-116x+3360=(x-58)2-4 ∵y是x的二次函数且a＝1＞0 ∴开口向上，且对称轴为直线x=58 ∵又25≤x≤48在对称轴x＝58左侧 ∴y随x增大而减小 ∴当x=25时，y最大=1085. 综上可得:在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元

二次函数建模

2．1 建立二次函数模型 主备：何安华审核:初三备课组课型：新授课编号：1201 小组：姓名：授课时间： 【学习目标】 1.理解二次函数的概念，明确二次函数的一般形式。 2.通过对实际问题的情境分析，建立二次函数的模型，确定自变量的取值范围。【重点、难点】 重点：建立二次函数模型和理解二次函数的概念。 难点：建立二次函数模型，确定自变量的取值范围。 【学法指导】 1.学法：应用数学建模的思想来建立二次函数模型。 2.独学：预习教材第21页至22页独立完成知识梳理和基础演练。 3.群学：组内讨论学习基础演练和拓展延伸后小组展示，提出疑惑，并解决问题。一．知识梳理：（我独学，我体验，我充实） 问题1：圆的面积y（cm2）与该圆的半径x（cm）之间的函数关系式是 问题2：学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图所示，现在已备足可以砌100m长的墙的材料，大家来讨论对应于 不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化？ 问题3：一种型号的电脑两年前的销售为6000元，现在售价为y元，如果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时，电脑售价怎样变化吗？ 观察：以上三个函数解析式具有什么共同点？ 归纳： 1.定义:如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数。它的一般形式是y＝a x2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0） 2.思考：（1）二次项系数a为什么不可以等于0？ （2）一次项系数b和常数项c可以为0吗？

二．基础演练：（我们群学、我们合作、我们团结） 1.下列函数中，哪些是二次函数？如果是二次函数请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1) 21 x y -= (2) y ＝x (x －5)＋2 (3)y ＝3x 3＋2x 2 2.写出下列函数的解析式，并判断它们是什么类型的函数。 （1）正方形的面积S 关于它的边长x 的函数； （2）圆的周长c 关于它的半径r 的函数； 三．拓展延伸：（我们展示，我们质疑，我们快乐） 1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 四．整理学案：（我们总结，我们收获，我们提升） 1.这节课我们学到了什么？ 2.易错点归纳

二次函数模型

函数模型一 二次函数模型 一价格竞争 [问题提出]：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？ [分析]：在这场“价格战”中，我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策，因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况，从而得到乙站的销售利润。 [引入参数]：为描述汽油价格和销售量间的关系，引入指标： 1）价格战前，甲、乙两站汽油的正常销售价格为P（元/升）； 2）降价前乙站的销售量均为L(升)； 3）汽油的成本价格为W（元/升）； 4）降价后乙站的销售价格为x(元/升)，这是变量； 5）降价后甲站的销售价格为y(元/升)。 [模型假设]：影响乙站汽油销售量的因素，主要有以下几个： 1)甲站汽油降价的幅度；2)乙站汽油降价的幅度；3)甲乙两站之间汽油销售价格之差（x-y）。 我们知道，随着甲站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之减小；而随着乙站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之增大；同时，随着两站之间汽油销售价格之差（x-y）的增加，乙站汽油销售量也随之减小。 假设1：在这场价格战中，假设汽油的正常销售价格保持不变； 假设2：以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的,比例系数分别为a,b,c（均为正常数）。 [建立模型]：由假设2，乙站的汽油销售量为 L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)，所以， 乙站的利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]。 [模型求解]：当y确定时，利润函数 R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]是关于x的二次函数。 求出R(x,y)的最大值点为x*=[L+(a+c)y-P(a-b)+W(b+c)]/2(b+c)。 也就是说，当甲站把汽油的价格降到y元时，乙站把它的汽油价格定为x*时，可以使得乙站获得最高利润。 [数值分析]：令L=2000，P=4，W=3，y分别取、、。 这里参数a、b、c的数值难以给出。因为经济学的现象是难以通过试验来实现的。我们无法要求任何一个加油站频繁调整它的销售价格来统计不同价格下的销售量。因此下面的a、b、c的取值只是虚拟的数值，取a=b=1000,c=4000。当然这里参数a、b、c的数量级是可以由前面的数据估算出来，一般来说，其数量级与L的数量级一样，且a,b的值应该相同。 表1列出了甲站降价、、元时，乙站的最优销售价格。注意到价格竞争前的利润是（4—3）2000=2000。这表明上述模型，双方的价格下降也可能会使乙站的利润提高，但随着

二次函数的模型建立与解题技巧分享

二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。在建立二 次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。本文将 分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。 1. 二次函数模型建立 二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的 具体形式。 首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) = a(x - h)^2 + k。通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。 其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。已知条件可 以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。根据 这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。 最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起 具体的二次函数模型。 2. 解题技巧分享 （1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数 的极值点，从而确定函数的顶点。具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，

导数为f'(x) = 2ax + b。将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即 可求得顶点的坐标。 （2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程 可以方便地确定函数的对称轴。 （3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。而当y = 0时，可以 通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。 （4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平 方式，将二次函数转化为完全平方的形式。例如，对于函数f(x) = x^2 + 4x + 3，我们可以通过将其转化为(x + 2)^2 - 1，来更加方便地对函数 进行分析和求解。 （5）利用二次函数的性质解题：二次函数具有一些特殊的性质， 例如开口方向，极值点，对称轴等。在解题过程中，可以根据这些性 质来帮助分析和解决问题。 总之，建立二次函数的模型和解题需要掌握一定的数学知识和技巧。通过寻找函数的顶点、确定对称轴、求解交点等操作，以及利用二次 函数的性质，可以更加方便地解决与二次函数相关的问题。希望本文 能为您在学习和应用二次函数过程中提供一些帮助和指导。

二次函数模型

3.2.3 二次函数模型 【教学目标】 1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系； 2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法； 3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力． 【教学难点】 函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法． 【教学方法】 这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础． 【教学过程】

新课 新课 y＝x2，y＝2 x2，y＝3 x2， y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3 x2． 观察图象并完成填空 函数y＝a x2的图象，当a＞0时开 口．当a＜0时开口，对称轴 是，顶点坐标是． 函数是函数（用奇或偶填空）．| a | 越大，开口越． 例1研讨二次函数 f (x)＝ 1 2 x2＋4 x＋6的性质与图象． 解 (1) 因为 f (x)＝ 1 2 x2＋4 x＋6 ＝ 1 2 (x2＋8 x＋12) ＝ 1 2 (x＋4)2－2． 由于对任意实数x， 都有 1 2 (x＋4)2≥0， 所以 f (x)≥－2， 并且，当x＝－4时取等号， 我们先来研究这类函数的性 质．出示引例． 学生在初中已经重点学过 二次函数的作图，所以教师只讲 述y＝x2的图象画法，其余5个 函数的图象，学生分组合作解 答，教师巡回观察．最后通过屏 幕演示，集体对照． 生：观察图象，小组合作讨 论．然后每组选一名代表汇报各 组的交流结果，最后师生一起汇 总得出结论． 师生共同解决例1，教师详 细板书解题过程，带领学生仔细 分析各个性质的由来． 数图象的描点作图 法，并根据所做图象 来分析函数y＝a x2 中系数a 对图象的 影响，提高学生读图 能力． 学生合作，集体 回忆初中所学二次函 数的知识． 通过对例1中二 次三项式的代数分 析，使学生对二次函 数的直观感知上升到 理性认识的高度，更 重要的是使学生掌握 数形结合研究函数的 方法，初步培养学生 2 x y= 2 x y- = 2 2x y= 2 3x y= 2 2x y- = 2 3x y- =

二次函数十大模型

2019级二次函数专题训练 母题:如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M． （1）求这条抛物线的解析式； 模型一：点P为抛物线上直线AM下方一动点，E为线段AM上一动点，且PE//Y轴，当点P的坐标为多少时，线段PE的长度有最大值？ 面积的最大值。 模型二：点P为抛物线上直线AM下方一动点，请求出AMP

模型三：点P 为X 轴下方抛物线上一动点，当点P 的坐标为多少时，四边形ACPB 面积有最大值，并求出四边形ACPB 面积的最大值 模型四：在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得BMP ?的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。 模型五：在抛物线的对称轴上找一点P ，使得的坐标的值最大，求出点P BP MP -

模型六：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 是直角三角形，若存在，请求模型七：在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得BMP 出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 模型八：点P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

模型九：点P为抛物线上一动点，E为直线AM上一动点，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由。 模型十：如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

二次函数回归模型 stata

二次函数回归模型 stata 在统计学中，二次函数回归模型是一种常见的模型。该模型通常 被用来描述变量之间的非线性关系。在本文中，我们将介绍如何使用Stata来构建二次函数回归模型。 1. 数据准备 首先，我们需要准备数据。为了进行回归分析，我们需要至少有两个 变量 - 自变量和因变量。在这个例子中，我们将使用“GPA”和“SAT”两个变量。我们可以使用Stata中的“insheet” 或“import delimited”命令来导入数据。 2. 运行回归模型 一旦您成功导入数据，我们就可以开始拟合回归模型。我们将使用“regress”命令，并指定自变量和因变量。在这个例子中，我们将运 行以下命令：regress gpa sat sat2 其中，“gpa”是因变量，“sat”是自变量，“sat2”是自变量 的二次项。您可以指定任意数量的自变量和二次项。 3. 查看回归结果 一旦完成回归，Stata将输出回归结果。您可以使用“estat”命令来 查看各种回归统计量，如F值、t值、R2值、残差等。例如，要查看 R2值，您可以使用以下命令：estat rsq 4. 绘制回归线 我们可以使用“twoway”命令来绘制回归线。以下是一个简单的示例：twoway (scatter gpa sat) (qfit sat sat2) 这将绘制一个带有回归线的散点图。在这个例子中，“scatter gpa sat”将绘制由GPA和SAT组成的散点图，“qfit sat sat2”将 绘制二次函数回归线。 5. 残差分析 残差是因变量与回归值之间的差异。残差分析通常被用来检查回归模 型的适合性。您可以使用以下命令来绘制残差图：predict residual,

二次函数的模型建立与解决实际问题

二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。 一、二次函数的基本形式 二次函数一般可以写成以下形式： y = ax^2 + bx + c 其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。其中，a不等于0，否则称为一次函数。二次函数的图像一般是一个抛物线。 二、二次函数的模型建立方法 建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。下面以几个具体的例子来说明。 例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。 由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程： y1 = ax1^2 + bx1 + c y2 = ax2^2 + bx2 + c 可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。

例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。 由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程： c = a * 0^2 + b * 0 + c 0 = a * x^2 + b * x + c 可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。 例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。 由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式： y = a(x - h)^2 + k 其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。 三、利用二次函数解决实际问题 二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。 在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。 在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。

二次函数模型

二次函数模型 模型思考 我们在解决有关二次函数的问题时，经常会求参数的取值范围。二次函数考查方式非常丰富，出题的形式变化多端，这种题目经常考查含参二次函数的零点分布，单调性，对称性，及值域等。因此，处理这种问题，需要熟练掌握并运用二次函数的图像以及二次项系数的正负和判别式来确定函数的单调性，对称性，及值域等性质，其中对称轴和判别式的巧妙运用，可以使运算间接有效，需要重点掌握。 模型示例 例1.若函数ax x x f 2)(2+-=与函数1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是_____________ 例2.已知函数)1lg()(2++=ax ax x f ，若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围。若f(x)的值域为R 求a 的取值范围。 例3. 求使函数1 222+--+=x x ax x y 的值恒小于2的a 的取值范围。

例4. 函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求a 的 范围。 例5. 若关于x 的方程022=-++b bx ax 对于任何实数b 都有两个不同的实数解，求a 的取值范围。 模型归纳 题型结构为： （1）所涉及的函数是二次函数，或由二次函数构造的复合函数 （2）题目中涉及未知参数，且需要确定 我们发现关于二次函数的题目，特别是含参二次函数的参数讨论问题，其解题的核心是判别式 ，如何将一个题目的参数取值问题或者根的分布问题转化为能够求解的等式或不等式，这就是我们这里需要总结出来的解题模型。 二次函数经常和其他知识，如对数函数，分式函数，二次方程，二次不等式等结合起来出题，正是这些结合，使得二次函数问题充满了生机和活力，常做常新，对于这类问题，我们要准确把握其中的二次函数元素，巧妙使用二次函数的性质，充分发挥二次函数的作用，将问题解决。 巩固、延伸、拓展 1.若函数y=],[,3)2(2b a x x a x ∈+++的图像关于直线x=1对称，则b=_______ 2.已知函数12)(2++=x x x f 若存在实数t ，当x ∈[1,m]时f(x+t)

二次函数的模型建立与解题技巧分享

二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数在数学中具有重要的地位，它是一种常见的函数形式，广 泛应用于各个领域。本文将分享二次函数模型的建立方法和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用二次函数。 一、二次函数的定义和特点 在代数学中，二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其 中a、b、c为常数，且a ≠0。二次函数的图像一般呈现抛物线的形状，开口方向取决于参数a的正负。以下是二次函数的一些特点： 1. 对称性：二次函数的图像关于垂直于y轴的直线x = -b/2a 对称。 2. 零点：二次函数的零点是方程f(x) = 0的解，可以通过求解一元 二次方程得到。 3. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式（-b/2a, f(-b/2a)） 求得。 二、二次函数的模型建立 二次函数的模型建立主要涉及到确定函数的系数a、b、c。根据已 知的条件和问题，可以通过以下方法进行模型建立： 1. 利用零点条件：如果已知二次函数的两个零点x1和x2，可以利 用因式分解的方法得到函数的模型。设函数的模型为f(x) = a(x-x1)(x- x2)，然后通过已知点的坐标求解系数a即可。

2. 利用顶点条件：如果已知二次函数的顶点坐标（h，k），可以利 用顶点形式的函数模型f(x) = a(x-h)^2 + k，其中a为系数，通过已知点 的坐标求解a的值。 3. 利用其他已知条件：有时候问题给出的是函数图像上的其他点和 线性关系，可以根据已知条件列方程组，再求解得到函数模型的系数。 三、二次函数解题技巧分享 解决关于二次函数的问题时，以下一些技巧可以帮助我们更快地找 到解决方法： 1. 利用函数的对称性：二次函数关于垂直于y轴的直线x = -b/2a 对称，可以通过利用对称性简化问题，如确定顶点坐标、找到函数的最 值等。 2. 利用函数图像特点：二次函数的图像一般为抛物线，开口方向取 决于系数a的正负。如果需要求解二次函数的最值、零点等问题，在 观察函数图像时可以根据抛物线的形状和开口方向给出初步结论。 3. 利用因式分解：对于一些问题，可以通过对二次函数进行因式分解，找到与问题条件匹配的函数模型。因式分解可以简化计算和求解 过程。 4. 利用求解一元二次方程的方法：当遇到求解二次函数零点的问题时，可以利用求解一元二次方程的方法来找到解。例如可以使用配方法、公式法、图像法等方式求解一元二次方程。 总结：

二次函数的应用与建模

二次函数的应用与建模 二次函数是一种包含平方项的函数形式，常用形式为f(x) = ax^2 + bx + c。在数学中，二次函数的图像通常为抛物线形状，具有许多重要 的应用与建模价值。 一、抛物线的形状与性质 抛物线是二次函数的图像，它的形状决定了二次函数的性质。通过 观察抛物线的顶点、开口方向以及对称轴等特征，可以得到以下结论： 1. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。顶点是抛物线的最高点或最低点，并且其横坐标为- b/2a。 2. 抛物线的开口方向由二次系数a的正负决定。若a>0，则抛物线 开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。 3. 抛物线的对称轴是与x轴垂直且通过顶点的直线。对称轴的方程 为x = -b/2a。 4. 如果a的绝对值越大，那么抛物线的开口越窄；如果a的绝对值 越小，抛物线的开口越宽。 二、二次函数的应用 1. 物体的抛体运动 二次函数的抛物线形状与物体的抛体运动相关。在不考虑空气阻力 和其它外力的情况下，抛体的高度与时间的关系可以表示为h(t) = -gt^2 + vt + h0，其中g为重力加速度，v为初速度，h0为初始高度。

2. 表达曲线的拟合 当一组数据点呈现出非线性的趋势时，可以使用二次函数进行拟合。通过找到最佳的二次函数拟合曲线，我们可以更好地了解数据之间的 关系，并进行预测和分析。 3. 经济与金融领域的建模 二次函数在经济与金融领域中有广泛应用。例如，成本函数、价格 函数和收益函数等都可以使用二次函数进行建模，以便对市场行为进 行预测和分析。 4. 自然科学中的应用 二次函数也在自然科学中具有重要的应用价值。例如，在生物学中，通过对种群数量与时间的关系进行建模，可以使用二次函数来描述种 群的生长模式。在物理学中，二次函数可以用来描述力学过程中的速度、加速度等物理量之间的关系。 三、二次函数的建模方法 建立二次函数模型需要以下步骤： 1. 确定问题要建模的变量和变量之间的关系。 2. 收集和整理相关的数据。 3. 根据数据的特点选择合适的二次函数形式。 4. 使用最小二乘法等方法，对数据进行拟合，找到最佳的二次函数 形式。

2019-2020年高中数学必修一《建模函数解决实际问题》教案

2019-2020年高中数学必修一《建模函数解决实际问 题》教案 函数建模是利用所学的函数知识解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题转化为函数问题，建立起函数模型，然后运用所学函数知识进行求解，最后将求出函数问题的解验证、讨论还原为实际问题的解，这个过程就叫函数建模。其一般过程包括以下四个主要步骤： 1．分析问题、作出假设：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种数量关系，用数学语言来描述问题。根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 2．建立模型：根据问题的要求和假设，利用恰当的数学方法建立各量之间的函数关系。 3．求解函数模型：利用所学函数知识进行求解所建立的数学模型。 4．分析、检验函数模型的解，还原为实际问题的解。 请看下面例题： 一、建立二次函数模型解决实际问题 例1、 据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x ()0>x 万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高%2x ,而进入企业工作的农民的人均收入为a 3000元()0>a . （1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x （2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大. 解（1）由题意得 ()()3000100%213000100⨯≥+⋅⋅-x x 即0502≤-x x ,解得500≤≤x . 又∵0>x ,∴500≤

二次函数建模专题

与二次函数有关的实际问题——二次函数建模专题（1） 教学目标：1.通过对二次函数实际问题的分析，进一步体会二次函数的实际意义。 2.学会建立相应的函数模型，解决实际问题。 3.综合运用一次函数，二次函数等知识解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。重点：利用二次函数知识解决实际问题。难点: 利用二次函数知识求解实际问题的最值。 教学过程： 一．诊断练习： 1．某商品的进价为每件20元，预计售价为每件30元， 每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元， 则每个月就会少卖出10件，若令每件商品的定价为x(元)， 每月销售量y（件），则y与x的函数关系式为 2在上题中.设该商品每个月的销售利润为W(元)，且W与x的 二次函数关系如图所示，若每月利润不低于1870元， 则该商品的定价x应满足 二典型例题： 例1 某商品的进价为每件20元，预计售价为每件30元。在一年中，除因季节不同，该商品的销售量还会随定价的不同而有所变化。若令每件商品的定价为x元，每个月的销售利润为W元。 1.在1-4月期间，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元， （1）求W与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ （3）该商品在销售过程中，若要保证每月销售利润不低于1920元，则定价应满足什么条件？2、在5-8月期间，每个月可卖出280件；经过调查，得到如下数据： 销售单价 x(元/件) ……30 30.5 31 31.5 32 …… 每天销售量 y(件) ……280 276 272 268 264 …… （1）直接写出y与自变量的函数关系式； （2）若定价不超过50元，要想获得最大的利润，试确定这种商品的销售单价x，并求出最大利润W？（3）若定价不超过42元，要想获得最大的利润，试确定这种商品的销售单价？ （4））若定价不超过50元，且价格为整数，要想获得最大的利润，试确定这种商品的销售单价x 3.在9-12月期间，每个月可卖出360件；每月销售量y（件）与定价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．（30 ≦X≦60） （1）直接写出y与自变量x的函数关系式； （2）求W与x的函数关系式？ （3）分析每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

数学建立二次函数模型教学方案(最新)

数学建立二次函数模型教学方案 教学目标： 1、使学生会用描点法画出=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯重点难点： 重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例 例1、画二次函数=ax2的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x…－3－2－10123… …9410 149… (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做 1．在同一直角坐标系中，画出函数=x2与=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数=2x2与=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 对于1，在学生画函数图象的.同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数=x2的图象开口向上，函数=-x2的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 四、归纳、概括 函数＝x2、=-x2、=2x2、=-2x2是函数=ax2的特例，由函数＝x2、=-x2、＝2x2、=-2x2的图象的共同特点，可猜想： 函数=a x2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是 ______。 如果要更细致地研究函数=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察＝x2、＝2x2的图象，填空；

二次函数常见模型

中考数学二次函数压轴题基本题型 在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于 面积型：（4）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由 变式：点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，使△ACP 的面积为整数的点P 有几个，并说明理由； （5）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使10ACQ S =？若存在，求出点Q 的坐标；若 不存在，说明理由

（6）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使32ACQ ACO S S =？若存在，求出点Q 的坐 标；若不存在，说明理由 变式：抛物线上是否存在点P ，使OPC OPA S S =，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由 特殊三角形存在性：（7）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由 （8）在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使△BCQ 是等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（等腰三角形：两圆一线）

（9）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为直角三角形；若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由； 几何最值型：（10）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△BCQ 的周长最小；若存在，求出点Q 的坐标与周长最小值；若不存在，说明理由 （11的坐标；若不存在，说明理由； （12）若D 为OC 的中点，P 是抛物线对称轴上一动点，Q 是x 轴上一动点，当P 、Q 两点的坐标为多少时四边形CPQD 的周长最小？并直接写出四边形CPQD 周长的最小值； D D P Q