二次函数的模型建立与解题技巧分享

二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。在建立二

次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。本文将

分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。

1. 二次函数模型建立

二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的

具体形式。

首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) =

a(x - h)^2 + k。通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。

其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。已知条件可

以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。根据

这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。

最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起

具体的二次函数模型。

2. 解题技巧分享

（1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数

的极值点，从而确定函数的顶点。具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，

导数为f'(x) = 2ax + b。将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即

可求得顶点的坐标。

（2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程

可以方便地确定函数的对称轴。

（3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。而当y = 0时，可以

通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。

（4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平

方式，将二次函数转化为完全平方的形式。例如，对于函数f(x) = x^2

+ 4x + 3，我们可以通过将其转化为(x + 2)^2 - 1，来更加方便地对函数

进行分析和求解。

（5）利用二次函数的性质解题：二次函数具有一些特殊的性质，

例如开口方向，极值点，对称轴等。在解题过程中，可以根据这些性

质来帮助分析和解决问题。

总之，建立二次函数的模型和解题需要掌握一定的数学知识和技巧。通过寻找函数的顶点、确定对称轴、求解交点等操作，以及利用二次

函数的性质，可以更加方便地解决与二次函数相关的问题。希望本文

能为您在学习和应用二次函数过程中提供一些帮助和指导。

高中数学常见题型解法归纳-函数(一次函数、二次函数和幂函数)模型及其应用

高中数学常见题型解法归纳-函数（一次函数、二次函数和幂函数）模型及其应用 【知识要点】 一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决. 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提. 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力. 三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质 1、一次函数的一般形式为当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当 时，函数是常数函数. 2、二次函数的一般形式是，当时，函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为，函数在单调递减，在单调递增.当时，函数有最小值.当时，函数的图像抛物线开口向下，顶点坐标为，函数在 单调递增，在单调递减.当时，函数有最大值. 3、幂函数的一般形式为，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同. 所有幂函数都在有定义，并且图像都过点（1，1）； 幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数. 四、解决实际问题的解题过程 1、对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；

二次函数的模型建立与解题技巧分享

二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。在建立二 次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。本文将 分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。 1. 二次函数模型建立 二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的 具体形式。 首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) = a(x - h)^2 + k。通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。 其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。已知条件可 以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。根据 这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。 最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起 具体的二次函数模型。 2. 解题技巧分享 （1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数 的极值点，从而确定函数的顶点。具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，

导数为f'(x) = 2ax + b。将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即 可求得顶点的坐标。 （2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程 可以方便地确定函数的对称轴。 （3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。而当y = 0时，可以 通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。 （4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平 方式，将二次函数转化为完全平方的形式。例如，对于函数f(x) = x^2 + 4x + 3，我们可以通过将其转化为(x + 2)^2 - 1，来更加方便地对函数 进行分析和求解。 （5）利用二次函数的性质解题：二次函数具有一些特殊的性质， 例如开口方向，极值点，对称轴等。在解题过程中，可以根据这些性 质来帮助分析和解决问题。 总之，建立二次函数的模型和解题需要掌握一定的数学知识和技巧。通过寻找函数的顶点、确定对称轴、求解交点等操作，以及利用二次 函数的性质，可以更加方便地解决与二次函数相关的问题。希望本文 能为您在学习和应用二次函数过程中提供一些帮助和指导。

二次函数的模型建立与解决实际问题

二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。 一、二次函数的基本形式 二次函数一般可以写成以下形式： y = ax^2 + bx + c 其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。其中，a不等于0，否则称为一次函数。二次函数的图像一般是一个抛物线。 二、二次函数的模型建立方法 建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。下面以几个具体的例子来说明。 例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。 由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程： y1 = ax1^2 + bx1 + c y2 = ax2^2 + bx2 + c 可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。

例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。 由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程： c = a * 0^2 + b * 0 + c 0 = a * x^2 + b * x + c 可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。 例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。 由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式： y = a(x - h)^2 + k 其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。 三、利用二次函数解决实际问题 二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。 在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。 在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。

二次函数模型

二次函数模型 模型思考 我们在解决有关二次函数的问题时，经常会求参数的取值范围。二次函数考查方式非常丰富，出题的形式变化多端，这种题目经常考查含参二次函数的零点分布，单调性，对称性，及值域等。因此，处理这种问题，需要熟练掌握并运用二次函数的图像以及二次项系数的正负和判别式来确定函数的单调性，对称性，及值域等性质，其中对称轴和判别式的巧妙运用，可以使运算间接有效，需要重点掌握。 模型示例 例1.若函数ax x x f 2)(2+-=与函数1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是_____________ 例2.已知函数)1lg()(2++=ax ax x f ，若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围。若f(x)的值域为R 求a 的取值范围。 例3. 求使函数1 222+--+=x x ax x y 的值恒小于2的a 的取值范围。

例4. 函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求a 的 范围。 例5. 若关于x 的方程022=-++b bx ax 对于任何实数b 都有两个不同的实数解，求a 的取值范围。 模型归纳 题型结构为： （1）所涉及的函数是二次函数，或由二次函数构造的复合函数 （2）题目中涉及未知参数，且需要确定 我们发现关于二次函数的题目，特别是含参二次函数的参数讨论问题，其解题的核心是判别式 ，如何将一个题目的参数取值问题或者根的分布问题转化为能够求解的等式或不等式，这就是我们这里需要总结出来的解题模型。 二次函数经常和其他知识，如对数函数，分式函数，二次方程，二次不等式等结合起来出题，正是这些结合，使得二次函数问题充满了生机和活力，常做常新，对于这类问题，我们要准确把握其中的二次函数元素，巧妙使用二次函数的性质，充分发挥二次函数的作用，将问题解决。 巩固、延伸、拓展 1.若函数y=],[,3)2(2b a x x a x ∈+++的图像关于直线x=1对称，则b=_______ 2.已知函数12)(2++=x x x f 若存在实数t ，当x ∈[1,m]时f(x+t)

二次函数的模型建立与解题技巧分享

二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数在数学中具有重要的地位，它是一种常见的函数形式，广 泛应用于各个领域。本文将分享二次函数模型的建立方法和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用二次函数。 一、二次函数的定义和特点 在代数学中，二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其 中a、b、c为常数，且a ≠0。二次函数的图像一般呈现抛物线的形状，开口方向取决于参数a的正负。以下是二次函数的一些特点： 1. 对称性：二次函数的图像关于垂直于y轴的直线x = -b/2a 对称。 2. 零点：二次函数的零点是方程f(x) = 0的解，可以通过求解一元 二次方程得到。 3. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式（-b/2a, f(-b/2a)） 求得。 二、二次函数的模型建立 二次函数的模型建立主要涉及到确定函数的系数a、b、c。根据已 知的条件和问题，可以通过以下方法进行模型建立： 1. 利用零点条件：如果已知二次函数的两个零点x1和x2，可以利 用因式分解的方法得到函数的模型。设函数的模型为f(x) = a(x-x1)(x- x2)，然后通过已知点的坐标求解系数a即可。

2. 利用顶点条件：如果已知二次函数的顶点坐标（h，k），可以利 用顶点形式的函数模型f(x) = a(x-h)^2 + k，其中a为系数，通过已知点 的坐标求解a的值。 3. 利用其他已知条件：有时候问题给出的是函数图像上的其他点和 线性关系，可以根据已知条件列方程组，再求解得到函数模型的系数。 三、二次函数解题技巧分享 解决关于二次函数的问题时，以下一些技巧可以帮助我们更快地找 到解决方法： 1. 利用函数的对称性：二次函数关于垂直于y轴的直线x = -b/2a 对称，可以通过利用对称性简化问题，如确定顶点坐标、找到函数的最 值等。 2. 利用函数图像特点：二次函数的图像一般为抛物线，开口方向取 决于系数a的正负。如果需要求解二次函数的最值、零点等问题，在 观察函数图像时可以根据抛物线的形状和开口方向给出初步结论。 3. 利用因式分解：对于一些问题，可以通过对二次函数进行因式分解，找到与问题条件匹配的函数模型。因式分解可以简化计算和求解 过程。 4. 利用求解一元二次方程的方法：当遇到求解二次函数零点的问题时，可以利用求解一元二次方程的方法来找到解。例如可以使用配方法、公式法、图像法等方式求解一元二次方程。 总结：

数学二次函数解题技巧大全

数学二次函数解题技巧大全 众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形。下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 1初中数学二次函数解题技巧 画出图示教形结合。 函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。函数自产生就和图形结下了不解之缘。其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作 通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。 关注函数模型解题。 在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。 当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对

二次函数拱桥问题技巧

二次函数拱桥问题技巧 拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。 首先，我们需要明确二次函数的定义。二次函数是一个以 $x$的平方项为最高项的多项式函数。其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。二次函 数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。 在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。 为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度， $y$轴表示桥面的高度。然后，我们需要考虑到已知条件。例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。另外，对于一个平滑的拱形，我们 可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。

在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零， 解得极值点$x_0$。接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。 除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。这些值就是拱桥的支点的位置。 此外，二次函数模型还可以帮助我们预测拱桥的承重能力。我们可以通过求解二次函数在某个特定位置的函数值，来估计拱桥在该位置的荷载。通过计算不同位置的荷载，我们可以绘制出拱桥的荷载分布曲线，从而帮助我们合理布置桥面和加强结构。 在实际问题中，我们还可以将二次函数与其他函数进行组合，以建立更为复杂的模型。例如，我们可以将二次函数与线性函数组合，来描述拱桥上的道路和人行道。通过这样的模型，我们可以进一步分析拱桥的使用效率和通行能力。 在完成二次函数拱桥问题的分析和建模后，我们还需要对结果进行验证和优化。例如，可以通过数值方法来验证二次函数模型的有效性，并对模型进行修正。此外，还可以进行仿真实验，验证模型所得结果与实际情况的吻合程度，并进一步优化拱桥

初中数学二次函数解题技巧必看

初中数学二次函数解题技巧必看 每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。下面是小编给大家整理的一些初中数学二次函数解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。 二次函数解题方法 1、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题： 这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。 进一步有： ①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。 ②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。 ③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。 2.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。) 先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如

二次函数解题方法总结

二次函数解题方法总结 二次函数解题方法总结 二次函数是初中重要的数学知识点，本文就来分享一篇二次函数解题方法总结，希望对大家能有所帮助！ 1.求证“两线段相等”的问题： 2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。 4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题： (方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 (方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 (方法3)先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，

数学二次函数解题技巧

数学二次函数解题技巧 作为一种经典的数学模型，在中学阶段二次函数是数学学科的重要组成部分。二次函数是求解各种数学问题的基础，在学习二次函数的过程中，考学生们需要学习它的定义、性质、问题解决技巧等，从而更深入地理解二次函数的本质和应用背景。本文将介绍数学二次函数解题技巧，为学生们提供实用的指导。 一、二次函数的定义 二次函数是指方程y=a(x-h)^2+k(a≠0) 的解析式，也就是 y=ax^2+bx+c(a≠0)。其中，a、b、c都是实数，称为二次函数的系数，h、k分别为二次函数的横坐标和纵坐标的坐标轴截距。二次函数定义需要掌握的关键点如下： 1. 二次函数的形式可以根据a的正负性质分为两种形式：开口上的二次函数和开口下的二次函数； 2. 当a=0时，二次函数变为一元一次函数，其形状为一条水平直线； 3. 当a>0时，二次函数的最小值为k； 4. 当a<0时，二次函数的最大值为k。 二、二次函数的图像 学习二次函数时，了解图像是非常重要的，因为它有助于直观地理解形状和性质。二次函数的图像并不难绘制，只需要

知道函数的系数a、h、k即可。当a>0时，二次函数的开口向上，最小值为k，在(h,k)处有一个最小值点。当a<0时，二次函数的开口向下，最大值为k，同样也在(h,k)点有最大值点。当a=0时，它是一条水平直线，它的坐标轴截距为k。 三、二次函数的解题技巧 1. 常规方法.求最值 最常见的二次函数问题是求解最值（最大值和最小值），最好的方法是计算其导数，当导数等于0时计算极值点，然后再确定最大值和最小值。当然，为了简化计算，我们也可以尝试化简方程或者直接考虑图像形式。 2. 定位顶点 对于二次函数，最简单的方法是确定其顶点，因为顶点描述了函数的变化趋势。我们可以用数学方法找到顶点，也可以通过观察二次函数的图像提取关键信息找到顶点，并使用顶点来帮助解决一些问题。 3. 转换成顶点形式 在某些情况下，将二次函数转换为顶点形式是很有用的。一个一般的二次函数y=ax^2+bx+c 与一个标准的二次函数 y=a(x-h)^2+k之间的关系是通过移项而产生的。 例如，如果我们需要解决“y=ax^2+bx+c”的最大值问题，但是由于其他因素导致导数比较难求解，则我们可以将其转换成“y=a(x-h)^2+k”的形式，然后进行最大或最小值的计算。 4. 应用解析式

快速掌握二次函数的秘诀

快速掌握二次函数的秘诀 二次函数是高中数学中的一个重要概念，在解题中经常会出现。掌握二次函数的秘诀可以帮助我们更加快速地理解和解决相关问题。本文将分享一些学习二次函数的方法和技巧，帮助读者快速掌握二次函数的特点与应用。 一、理解二次函数的定义及特点 二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且 a ≠ 0。理解二次函数的定义对于进一步学习与解题至关重要。 1. 标准形式与一般形式 二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。而一般形式可以表示为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。 2. 轴对称与顶点坐标 二次函数关于y轴对称，轴线方程为x = -b/2a。顶点坐标为(h, k)，其中h = -b/2a，k = f(h)。 二、快速掌握二次函数的方法和技巧 学习二次函数时，掌握以下方法和技巧能够帮助我们更好地理解和运用二次函数。 1. 求解二次函数的解

若要求解二次函数的解，可以利用一元二次方程的求解公式或者图像解法。若方程为ax^2 + bx + c = 0，则根据求解公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)可以求得解。若通过图像解法，可以观察函数图像与x轴的交点来确定解。 2. 理解二次函数的图像特点 二次函数的图像是一个抛物线，具有一些特点值得注意。 - 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 - 当a的绝对值很大时，抛物线会变得很瘦高；当a的绝对值很小时，抛物线会变得很矮胖。 - 当抛物线开口向上时，顶点是最小值点；当抛物线开口向下时，顶点是最大值点。 3. 利用顶点坐标求解二次函数 若已知二次函数的顶点坐标(h, k)，可以通过平移和伸缩的方法确定函数图像。平移方法可以通过减去或加上常数来实现，伸缩方法可以通过改变a的值来实现。根据顶点坐标与图像特点，能够更快速地确定二次函数的图像。 4. 利用对称性质解题 二次函数关于y轴对称，这个对称性质可以在解题中起到重要的作用。根据对称性质，我们可以通过求解一个根来得到另一个根，或者在已知一个根的情况下，利用对称性质求解顶点坐标。

中考数学二次函数解题方法

中考数学二次函数解题方法 2019中考数学二次函数解题方法：自定义概念 ①三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。 ③动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 ④动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ⑤定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：y=3x-6。 ⑦X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标，纵坐标称为y标。 ⑧直接动点：相关平面图形(如三角形，四边形，梯形等)上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标〝一母示〞是针对直接动点坐标而言的。 2019中考数学二次函数解题方法 1.求证〝两线段相等〞的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来;然后看两线段的长度是什么距离(即是〝点点〞距离，还是〝点轴距离〞，还是〝点线距离〞，再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，把它们进行化简，即可证得两线段相等。 2.〝平行于y轴的动线段长度的最大值〞的问题： 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式y上-y下，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口

向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3.〝抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大〞的问题： (方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y 消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以△=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 (方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 4.常数问题： (1)点到直线的距离中的常数问题： 〝抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数〞的问题：先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 (2)三角形面积中的常数问题： 〝抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数〞的问题：先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 (3)几条线段的齐次幂的商为常数的问题：

数学建立二次函数模型教学方案(最新)

数学建立二次函数模型教学方案 教学目标： 1、使学生会用描点法画出=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯重点难点： 重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例 例1、画二次函数=ax2的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x…－3－2－10123… …9410 149… (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做 1．在同一直角坐标系中，画出函数=x2与=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数=2x2与=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 对于1，在学生画函数图象的.同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数=x2的图象开口向上，函数=-x2的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 四、归纳、概括 函数＝x2、=-x2、=2x2、=-2x2是函数=ax2的特例，由函数＝x2、=-x2、＝2x2、=-2x2的图象的共同特点，可猜想： 函数=a x2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是 ______。 如果要更细致地研究函数=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察＝x2、＝2x2的图象，填空；

构造二次函数的解题策略.doc

构造二次函数的解題策略 通过对题日条件、结论的结构特征进行观察、对照、分析，恰当地构造出新的数学模型来达到解题的H的，这种方法称之为构造法，它往往以构思新颖、方法便捷而备受表睐，同时也是训练学生创造性思维能力的有效途径•本文将对如何构造二次函数解题的策略作探讨，供大家参考. 一、根据函数的性质构造二次函数 例2已知定义在R上的偶函数f仪)在[0, +8)上是增函数，且f (|)=0,则满足f (log4x)>0的x的取值范围是( ) (A) (x | x>2) (B) {x 102} 解析：因题中所涉及的隊I数的单调性与奇偶性，符合二次隊I数的性质特征，因此，令f (x)=x2 - 则f (log4X)= (log4X)2- | ,由(log4X)2- |>0 得log4X>|nR ] Og4X<~ 02,故选(C)・ 二、根据判别式的结构特征构造二次函数 例 2 实数a, b, c 满足(a+c)(a+b+c)<0,证明：(b—c)2>4a(a+b+c). 证明：从(b-c)2>4a(a+b+c),类比二次方程屮判别式厶=b?-4ac的结构特征，町构造二次函数f(x)=x2— (b—c)x+a(a+b+c), •/ (a+c)(a+b+c)<0,取x0= a+b+c,贝U f(x0)= (a+b+c) 2— (b — c) (a+b+c)+a(a+b+c)= (a+b+c)[ (a+b+c) — (b — c)+a]=2(a+c)(a+b+c)<0, 乂f(x)开口向上，Z.f(x)的图象与x轴相交，・・・△=(()—c)2—4a(a+b+c) >0,即(b~ c)2>4a(a+b+c). 三、变更主元构造二次函数 例 3 已知(0,1),求证:对于切xWR,都有1+2(2—a2)x2+ (3a—a2)x4>2x+2ax3. 证明：整理为关于。的不等式：(X4+2X2) a2-(3x4-2x3)a-4x2+2x-1<0是关于a的二次式，因此木题可构造关于a的二次函数.令f(a) = (x4+2x2)a2-(3x4-2x3)a-4x2+2x -1. 显然X4+2X2>0,特别地x=0时，f(a)=-l<0成立， 1 3 I(U xHO 时f(0)=—4X2+2X— 1=—4 (x—-)2——<0 2—护―(X f (1) =X4+2X2—3X4+2X3—4X2+2X— 1=—2x4+2x3— 2x2+2x — 1=—2(x2 -1) 2<0. 由二次函数的图象知,当ae (0, 1)时,f(a)

二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义之迟辟智美创作

对点P （x 0，y 0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0滴距离有 2 200a b a c by x d +++= 经常使用记牢 2、如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点 B （0，-5）． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标． 解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=. 0405, )1(4)1(02 2 c a c a …2分 解得 ⎩⎨⎧-==. 5,1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542--=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于2622=+=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩⎨ ⎧+=-=. 50, 5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组⎩⎨ ⎧-==5 , 2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值. 典范例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点动身，沿射线BC 向右匀速F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式暗示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部份面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中获得的函数y 在x 取含何值时，存在最年夜值，并求出最年夜值. A D G

第1课时建立二次函数模型解决实际问题-最新学习文档

30.4 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题 知识点 利用二次函数模型解决抛物线形问题 1．把一个小球以15 m/s 的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足表达式：h ＝15t －5t 2.当h ＝10 m 时，小球的运动时间为( ) A ．1 s B ．2 s C ．1 s 或2 s D ．无法确定 2．某广场有一个喷水池，水从地面喷出，如图30－4－1，以水平地面上出水处与水落地处所在直线为x 轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y ＝－x 2＋4x 的一部分，则水喷出的最大高度和最远距离分别是( ) A ．4米，4米 B ．3米，4米 C ．4米，2米 D ．2米，4米 图30－4－1 图30－4－2 3．教材例1变式小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2＋3.5的一部分(如图30－4－2)．若球命中篮圈中心，则她与篮底的距离l 是( ) A ．3.5 m B ．4 m C ．4.5 m D ．4.6 m 4．设计师以函数y ＝2x 2－4x ＋8的图像为灵感设计的杯子如图30－4－3所示．若AB ＝4，DE ＝3，则杯子的高CE 为( ) A ．17 B ．11 C ．8 D ．7 图30－4－3 图30－4－4 5.图30－4－4是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400 (x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为( ) A ．16940 米 B.174 米 C ．16740 米 D.154 米 6．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图30－4－5.若菜农身高为1.8 m ，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是________m. 图30－4－5 7．图30－4－6是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度

二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义

解：〔1〕根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ⎩ ⎨ ⎧-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y ．……4分 〔2〕令y =0，得二次函数542 --=x x y 的图象与*轴 的另一个交点坐标C 〔5, 0〕.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于262 2= +=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得 PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩ ⎨ ⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组⎩ ⎨ ⎧-==5, 2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,2y x 所求的点P 的坐标为〔2，-3〕.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为*〔*＞0〕. ⑴△EFG 的边长是____〔用含有*的代数式表示〕，当*＝2时，点G 的位置在_______； ⑵假设△EFG 与梯形ABCD 重叠局部面积是y ，求 ①当0＜*≤2时，y 与*之间的函数关系式； ②当2＜*≤6时，y 与*之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在*取含何值时，存在最大值，并求出最大值. A D

二次函数知识点及解题方法总结

二次函数知识点及解题方法总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；②保持抛物线 2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 方法二： ①c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）：②c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．